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2024—2025 学年高三年级 9 月入学摸底考试
数学
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ，则 （ ）
A. -13 B. 0 C. D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】先得到 ，再利用模长公式求解,
【详解】 ，故 .
故选：D
2. 已知 ，使 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.
【详解】对于A， ，A不是；
对于B，当 时，由 ，得 ，B不是；
对于C， ，可能有 ，如 ，C不是；
对于D，由 ，得 ，则 ；若 ，则 ，D是.
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学科网（北京）股份有限公司故选：D
3. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
.
A -9 B. -6 C. 6 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先根据坐标运算得出向量 再结合向量平行的坐标公式计算.
【详解】因为
又因为 ,
所以
故选：C.
4. 某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示：
年龄
人数 1 2 6 5 4 2
下列说法正确的是（ ）
A. 这20人年龄的 分位数的估计值是46.5
B. 这20人年龄的中位数的估计值是41
C. 这20人年龄的极差的估计值是55
D. 这20人年龄的众数的估计值是35
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据已知条件提供的数据，可分别计算80%分位数，中位数（50%分位数），但无法计算众
数和极差.
【详解】因为 ，故80%分位数落在区间 ，设其估计值为m，则
，解得 ，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以中位数（50%分位数）落在区间 ，设其估计值为n，则
，解得 ，故B正确；
有表格中数据可知极差不超过 ，故C错误；
因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值，故D错误.
故选：B.
5. 已知 两点坐标分别 .直线 相交于点 ，且它们的斜率之和是3，则点 的
轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题先设K点的坐标，根据斜率之和为3列出方程，化简即可得出结果.
【详解】设 ，则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
依据题意可知， ，化简得： ，
因为直线 、 的斜率存在，所以 ，
所以 ，
故选：A.
6. 已知 ，将 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象，函数
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学科网（北京）股份有限公司的图象与y=g(x)的图象交点横坐标为 ，则 最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定 的定义域及表达式，根据函数图象，可得 的范围及关系，可求 的最小
值.
【详解】易知 ，x∈[0,2].
在同一坐标系内作出函数 ，x∈[0,2]和 的图象，如下图：
由解析式易知两函数均关于x=1对称，则 ，且交点位置与 有关.
若 ，则 ，
所以 ，当 时， 有最小值，为 ；
若 ，则 ，
所以 ，在 上有 .
综上： 的最小值为 .
故选：C
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知正三棱台 ，上下底面边长分别为1和3，侧面和底面所成角为 ，则棱台的体积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】根据给定条件，求出正三棱台的高，再利用棱台的体积公式计算得解.
【详解】令 分别是 的中点，连接 ，
设 分别是正三角形 和正三角形 的中心，
则 ，且 ，
由 平面 平面 ，得 ，
由 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ， 是棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，
即 ，过 作 ，垂足为 ，则 ， ，
所以三棱台的的体积 .
故选：B
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数 ， 的单调性，判断 的大小关系.
【详解】设 ，易知 在(0,+∞)上单调递增.
且 ， ，所以 ；
设 ，易知 在(0,+∞)上单调递增.
且 ， ，所以 .
综上： .
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ，周期为 ，且满足 ，则（
）
A.
B. 向右平移 个单位变为偶函数
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学科网（北京）股份有限公司C. 在区间 上单调递减
D. 在 上有两个不相等的实数解
【答案】BD
【解析】
【分析】根据周期以及对称可得函数表达式，即可判断 A，根据函数平移即可求解B.利用整体法即可求解
CD.
【详解】由周期为 ，可得 ，故 ，
由 可得 ，故 是 的一个对称中心，
故 ，结合 ，故 ，
进而可得 ，故A错误，
对于B， 向右平移 个单位得到 为偶
函数，故B正确，
对于C，当 时，则 ，故C错误，
对于D，令 ，则 或 ， ,解得
或 ， ，
当 ，此时有 和 ，
故D正确，
故选:BD
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知曲线 上的动点 到点 的距离与其到直线 的距离相等，则（ ）
A. 曲线 的轨迹方程为
B. 若 为曲线 上的动点，则 的最小值为5
C. 过点 ，恰有2条直线与曲线 有且只有一个公共点
D. 圆 与曲线 交于 两点，与 交于 两点，则 四点围成的四边形的
周长为12
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线 的轨迹方程，再逐项分析判断即得.
【详解】对于A，依题意，曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，方程为 ，A
正确；
对于D，直线 交圆 于点 ，而 ，
四边形 是矩形，周长为 ，D正确；
对于B，显然 共线， 垂直于直线 ，令点 到直线 的距离为 ，
则 ， ，当且仅当 与点 重合时取等号，
因此 的最小值为 ，B正确；
对于C，过点 与曲线 仅只一个公共点的直线方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 消去 得 ，当 时，直线 与抛物线仅中一个公共点，
当 时， ，解得 ，显然直线 与抛物线仅只一个公共点，
因此过点 与曲线 有且只有一个公共点的直线有3条，C错误.
故选：ABD
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 时， 是 的极大值点
B. 若 存在三个零点，则
C. 当 时，过点 可以作 的切线，有且只有一条
D. 存在 ，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出极大值点判断A； 有三个零点，求出 的范围判断B；利用导数的几何意义求解判断
C；取 ，求出函数图象对称中心计算判断D.
【详解】对于A，当 时， ，当 或 时， ，
当 时， ，因此 是 的极大值点，A正确；
对于C，当 时， ， ，设切点为 ， ，
则切线方程为 ，由切线过点 ，得 ，此方程有唯一解，
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学科网（北京）股份有限公司因此过点 可以作 的切线，有且只有一条，C正确；
对于B，当 时， 在 上取得极大值 ，在 处取得极小值 ，
函数 存在三个零点，则 ，解得 ，
当 时， 在R上单调递增， 最多一个零点；
当 时，当 或 时， ，当 时， ，
因此 在 处取得极大值 ，在 上取得极小值 ，
则 最多一个零点，于是 存在三个零点， ，B错误；
对于D，取 ，则 ，
，
令 ，
则 ， ， ，
因此当 时， ，D正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 __________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】本题利用等比数列的性质或者基本量法计算数列的首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式
计算即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
又因 为，所以 ， ，从而 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
13. 已知 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用差角的正弦公式、正切化成正余弦求出 ，再利用和
角的正弦公式计算即得.
【详解】由 ，得 ，
解得 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： 公众号：高中试卷君
14. 为促进学生个性化全面发展，树人中学开设了丰富多彩的课余选课活动.已知高一年级共100人开始选
课，要求没有人选到的课是一模一样的.通过选课模拟测试，发现每人选课3门，不合要求，每人选课4门，
符合要求.则年级总共开设__________门课.
【答案】9
【解析】
【分析】根据题意可得 且 ，即可根据组合数的性质求解.
【详解】设开设了 门课，则 且 ，
由于 ， ，
故 ，故 ，
故答案为：9
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 的内角 所对的边分别是 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合三角形内角和定理、诱导公式可求角 .
的
（2）利用余弦定理，结合条件，可求 值，进而求三角形的面积.
【小问1详解】
因为：
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学科网（北京）股份有限公司由正弦定理：
所以： ，因为 ， ，而 为三角形内角，故 .
【小问2详解】
由余弦定理：
所以 ，即 .
又 .
所以 .
所以 .
16. 已知 和 为椭圆 上的两点.
（1）求椭圆 的离心率；
（2）设直线 与椭圆 交于 两点，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程即可联立求解方程，进而由离心率公式求解.
（2）由点到直线距离以及弦长公式，结合面积公式先表示出 的面积 ，即可结合换元法以及二次
函数的性质得出 的范围．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司将 和 代入椭圆方程可得 且 ，
解得 ，故所求椭圆方程为：
故离心率为 ，
【小问2详解】
设 , ， , ，
将 ，代入椭圆的方程，
整理得 ，
，
所以点 到直线 的距离为 ，
，
，
设 ，则 ，
，
当 时上式取等号． 的最大值为
故
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学科网（北京）股份有限公司17. 如图，在四棱锥 中，等边 与等边 的边长均为 ， .
（1）若 平面 ，求 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）1； （2） .
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的性质，结合等边 的边长为2计算即得.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用空间向量求出面面角的余弦.
【小问1详解】
在四棱锥 中，由 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 ，又等边 的边长为2，则 ，又 ，
所以 .
【小问2详解】
取 中点 ，连接 ，由等边 与等边 的边长均为2，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 平面 ，则 平面 ， 平面 ，
则平面 平面 ，在平面 内过点 作 ，于是 平面 ，
由 ， ，得 ， ，
即 ，以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，由 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
则 ，观察图形知二面角 的平面角是钝角，
所以二面角 的余弦值为 .
18. 某校社团开展知识竞赛活动，比赛有 两个阶段，每队由两名成员组成.比赛规则如下： 阶段由某
参赛队中一名队员答2个题，若两次都未答对，则该队被淘汰，该队得0分；若至少答对一个，则该队进
入 阶段，并获得5分奖励.在 阶段由参赛队的另一名队员答3个题，每答对一个得5分，答错得0分，
该队的成绩为 ， 两阶段的得分总和.已知某参赛队由甲乙两人组成，设甲每次答对的概率为 ，乙每
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学科网（北京）股份有限公司次答对的概率为 ，各次答对与否相互独立.
（1）若 ，甲参加 阶段比赛，求甲乙所在队的比赛成绩不少于10分的概率；
（2）①设甲参加 阶段比赛，求该队最终得分 的数学期望 （用 表示）；
② ，且 ，设乙参加 阶段比赛时，该队最终得分 的数学期望为 ，则
时，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）得分不少于10分，是指 阶段至少答对1题，得5分， 阶段也至少答对1题，有得分.
（2）①写出 的可能取值，求出对应概率，再求期望 .
②由 ，得到 的关系，再利用基本不等式求 的最小值.
【小问1详解】
甲乙所在队的比赛成绩不少于10分的概率为：
.
【小问2详解】公众号：高中试卷君
①由题意， 的值可能为0，5，10，15，20，
且 ，
，
，
，
.
所以 的分布列为：
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学科网（北京）股份有限公司0 5 10 15 20
所以 .
②同理可知 ，
由 ，
又 ，所以 .
所以 .
所以 ，
所以 （当且仅当 ，即 ， 时取“ ”）
所以 的最小值为： .
19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图， 是函数 的
零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近 的实数 ，在横坐标为 的点处作
的切线，则 在 处的切线与 轴交点的横坐标是 ，同理 在 处的切线与 轴
交点的横坐标是 ，一直继续下去，得到数列 .令 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，用牛顿法求出方程 的近似解 ；
（2）在（1）的条件下，当 时，写出 与 的关系式（无需证明），并求数列 的
通项公式；
（3）令 ，已知 是两个正实数，且 ，求证： .
【答案】（1）
（2） ；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）本题根据题干给出的牛顿法解高次方程，结合曲线上某点的导数即为经过该点的切线的斜
率，从而求得切线方程，再求出该切线与横轴的交点，采用逐步逼近的方法求得高次方程的近似解；
（2）根据（1）的条件逐步求得 ，从而递推出 与 的关系式，进一步求出数列 的通项
公式；
（3）先求出 ，然后判断 单调性，最后得到 ，然后不妨设
的
函数 ， ，判断其单调性，然后得到 ，得到
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学科网（北京）股份有限公司，利用 以及 的单调性，得到 ，最后化简，证毕.
【小问1详解】
由题意得 ，因为 ，所以 ， ，
所以过点 的切线方程为 ，即 ，令 ，得 ；
又因为 ， ，
所以过点 的切线方程为 ，令 ，得 .
综上得， ， .
【小问2详解】
在（1）的条件下， ；
因为 ， ，
则 在点 处的切线方程为 ，
令 ，得 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
所以 .
【小问3详解】
由题可知 ， ，得
显然当 时， ，此时， 单调递减；
当 时， ，此时， 单调递増；
又因为 是两个正实数，且 ，
不妨设 ，
设函数 ， ，故 ，
显然 时 ，此时 单调递增，
所以 ，即 ，有 ，
又因为 ，所以有 ，
因为 ，所以 ，
因为当 时， ，此时， 单调递増，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又因为 是两个正实数，故 .
【点睛】关键点点睛：新概念题，前两位根据新概念计算即可；第三问属于极值点偏移，利用极值点偏移
的方式，证明不等关系即可.
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学科网（北京）股份有限公司
