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期末模拟一
一、选择题（每小题2分）
1. 在平面直角坐标系 中， 与 关于原点 成中心对称的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征对B进行判
断；根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断．
【详解】解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；
B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；
C、△ABC与△A'B'C'关于（- ，0）对称，所以C选项不符合题意；
D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；
【点睛】本题考查了中心对称：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就
说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的
对称点．中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
2. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（ ）
A. 瓜熟蒂落 B. 守株待兔 C. 旭日东升 D. 夕阳西下
【答案】B
【解析】
【分析】一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大
小在0至1之间．
【详解】A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，发生的可能性很小，符合题意；
C．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故选B．
3. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦 ， ，则 等于（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据垂径定理得到 ，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠CAB=40°，然后利用邻补角的定
义计算∠AOD的度数．
【详解】∵CD⊥AB，
∴ ，
∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°.故答案为C.
【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是关键.
4. 将抛物线 向左平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】解：将抛物线 向左平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为 ．
即 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解
题的关键．
5. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得ΔECF是等腰直角三角形，∠DFC=∠BEC=60°，即得结果．
【详解】解：由题意得EC=FC，∠DCF=90°，∠DFC=∠BEC=60°
∴∠EFC=45°
∴∠EFD=15°
故选B．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段
的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
7. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据当x=1时函数值大于0，函数的图象开口向下，抛物线与x轴有两个交点，与y轴的交点在y
轴的正半轴上；逐个判断即可．【详解】解：当 时， ，故A正确；
图象的开口向下，
，
故B错误，
抛物线与 轴有两个交点，
故C错误，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴
故D错误，
综上，正确的是A选项，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次
项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．
抛物线与y轴交于（0，c）．
8. 小阳在如图所示的扇形舞台上沿O-M-N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到
点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t
（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固
定位置可能是图①中的
A. 点Q B. 点P C. 点M D. 点N
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：观察图②中函数图象可知：在小阳从点 O出发，沿箭头所示的方向到达点M时， y随t的增大而减小，且并未减小到0，所以摄像机的位置不可能在点Q和M处，所以A、C错误；又小阳
从点M到达点N的过程中y随t的增大先减小后增大，所以摄像机的位置不可能在点 N处，所以D错误，
故B正确，所以选B．
考点：函数 的图象
二、填空题（每小题2分）
9. 请写出一个开口向上且过点 的抛物线表达式为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】令抛物线的对称轴为y轴，二次项系数为1，则抛物线的解析式可设为 ，然后把已知
点的坐标代入求出m即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，
所以满足条件的抛物线解析式为 ．
故答案为： (答案不唯一)．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
10. 如图，若 ， ，则 _____________度．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆周角定理可得 ，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
11. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表：
每批粒数 50 100 300 400 600 1000
发芽的频数 45 96 283 380 571 948
这种油菜籽发芽的概率约是_____________．（结果精确到0.01）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意及频率估计概率可直接进行求解．
【详解】解：由表格得：
当每批粒数为 50 时，则种子发芽的频率为 ；当每批粒数为 100 时，则种子发芽的频率为
；当每批粒数为300时，则种子发芽的频率为 ；当每批粒数为400时，则种子发
芽的频率为 ；当每批粒数为500时，则种子发芽的频率为 ；当每批粒数为1000
时，则种子发芽的频率为 ；
∴该植物种子发芽的概率的估计值是 ；
故答案为∶
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．
12. 已知关于x 的一元二次方程x2－x＋k=2的一个根是1，则k=_______．
【答案】2
【解析】【详解】解：把x=1代入方程x2-x+k=2，可得1-1+k=2，即k=2．
故答案为：2．
13. 已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．
【答案】六
【解析】
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到
∠AOB=60°，则 ，由此即可得到答案．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
∵正多边形的半径与边长相等，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴ ，
∴ ，
∴正多边形的边数是六，
故答案为：六．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
14. 如图，在Rt 中， ， ， ，若把Rt 绕直线AC旋转一周，则所
得圆锥的侧面积等于______．
【答案】【解析】
【分析】先利用勾股定理求解 再利用圆锥的侧面积公式： （ 为底面圆的半径， 为母线
长），再代入数据进行计算即可得到答案.
【详解】解： ， ， ，
所以把Rt 绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆锥的侧面积的计算，掌握“圆锥的侧面积公式 ”是解
本题的关键.
15. 如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ．已知 ，则线段AB扫过的图
形（阴影部分）的面积为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】由于将△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别
计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图：由旋转可得：
∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
S = = ，
扇形ACA′
S = = ，
扇形BCB′
则线段AB扫过的图形的面积为 = ，故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的
关键．
16. 在平面直角坐标系中，点 ，圆C与x轴相切于点A，过A作一条直线与圆交于A，B两点，AB
中点为M，则OM的最大值为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】连接CM、CA，取AC的中点D，以AC为直径作OD，如图，则点M在⊙D上，连接OD并延长，
当点M在OD的延长线与⊙D的交点处（图中的点M'处）时，OM的值会最大，根据圆周角定理和切线的
性质得出AC=2，OA=2，则AD= AC=1，DM'= AC=1，利用勾股定理求出OD，由OM'=OD+DM'即可求
解．
【详解】解：连接CM、CA，OC与x轴相切于点A，C（2，2），
∴AC⊥x轴，AC=2，OA=2，
∵M为弦AB的中点，
∴CM⊥AB，
∴∠AMC=90°，
取AC的中点D，以AC为直径作OD，如图，则点M在⊙D上，
连接OD并延长，当点M在OD的延长线与⊙D的交点处（图中的点M'处）时，OM的值会最大，
在Rt AOD中，AD= AC=1，OA=2，
△
∴OD=
∵DM'= AC=1，
∴OM'=OD+DM'= +1，即OM的最大值为 +1
为
故答案 ： +1
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线
定理，把求出OM的最小值转换成求BD的最小值是解题的关键．
三、解答题（第17-22题每题5分，23—26题每题6分，27-28题每题7分）
17.
解方程
【答案】
【解析】
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次
方程来求解．【详解】解：移项得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程．
18. 下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知： ．
求作： 的内接等腰直角三角形．
作法：如图，
①作直径 ；
②分别以点A，B为圆心，以大于 的同样长为半径作弧，两弧交于M，N两点；
③作直线 交 于点C，D；
④连接 ， ．
所以 就是所求作的三角形．
根据小松设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．
证明：∵ 是直径，C是 上一点，
∴ _________（____________）（填写推理依据）
∵直线 是 的垂直平分线，
∴ （_______________）．（填写推理依据）
是
∴ 等腰直角三角形．
【答案】（1）见解析 （2） ；直径所对的圆周角是直角；线段垂直平分线上的点到线段两个端点
的距离相等
【解析】
【分析】（1）根据作法作出图形即可求解；
（2）根据直径的性质，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【小问1详解】
解：补全的图形如图所示：
；
【小问2详解】
证明：∵ 是直径，C是 上一点，
∴ （直径所对的圆周角是直角），
∵ （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴ 是等腰直角三角形．故答案为： ；直径所对的圆周角是直角；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题．
19. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 ，点 ．
（1）以点 为中心，把 逆时针旋转 ，画出旋转后的图形 ；
（2）在（1）中的条件下，
① 扫过的面积为______（结果保留 ）；
②写出点 的坐标为______．
【答案】（1）见解析 （2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转 得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）①根据扇形面积公式列式计算即可；
②根据（1）中所作图形可得．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；；
【小问2详解】
解：①∵ ， ，
∴ 扫过的面积为 ，
故答案为： ；
②由图知点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及扇形面积公式．
20. 如图，二次函数 的图象过点A（0，3），B（2，3），C（-1，0）则
（1）该抛物线的对称轴为_________；
（2）该抛物线与x轴的另一个交点为_______；
（3）求该抛物线的表达式．【答案】（1）x=1；（2）（3，0）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据 坐标即可确定对称轴，根据函数值相等即可确定对称轴；
（2）根据对称轴以及C点的坐标即可确定另一个交点；
（3）根据待定系数法求解析式即可．
【详解】（1） A（0，3），B（2，3）
该抛物线的对称轴为x=1
故答案为：
（2） ，对称轴为
该抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）;
故答案为：（3,0）
（3）∵抛物线过点（0,3）、（-1,0）、（2,3）
设二次函数的解析式为
由题意得，
解得，
∴
【点睛】本题考查了根据二次函数的对称性求对称轴，根据对称轴求与 轴的交点问题，待定系数法求解
析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21. 如图， 的半径为 ，弦 垂直平分半径 ，垂足为点D．
（1）弦 的长（2）求劣弧 的长
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据弦 垂直平分半径 ， ，得出 ，
， ，根据勾股定理 ，再由垂径定理，即
可求解；
（2）根据锐角三角函数定义求出 ，得出 ，利用弧长公式求解即
可．
【小问1详解】
解：∵弦 垂直平分半径 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ，
∴ ，
∴劣弧 的长为 ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，求弧长，掌握勾股定理，锐角三角函数，弧长公
式是解题关键．22. 如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后，指针各指向
一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这
个游戏公平吗?请你利用列表法或树状图法说明理由．
【答案】不公平，理由见解析
【解析】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小力胜、小明胜的情况，继而
求得小力胜与小明胜的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平．
【详解】解：列表得：
∵由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之积
为非负数有7个，负数有5个，
∴P（小力获胜）= ，P（小明获胜）= ．
∴这个游戏对双方不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．
23. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值．
【答案】（1）k＜ ；（2）2
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不
等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【详解】解：（1）∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ．
解得：k＜ ；
（2）∵k为正整数，
∴k=1或2．
当k=1时，方程为 ，两根为 ，非整数，不合题意；
当k=2时，方程为 ，两根为 或 ，都是整数，符合题意．
∴k的值为2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的
关系是解答的关键．
24. 如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且 ．
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）连接 ， 只要证明 即可．此题可运用三角形的中位线定理证 ，
因为 ，所以 ．
（2）根据直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可分别求出 的长和 、
的长，即可根据中位线性质 求出 的长，即 的半径长．
【详解】（1）证明：连接 ．
因为 是 的中点， 是 的中点，
，
．
，
．
， 是圆的半径，
是 的切线．
（2）如图， ， ，， ，
，且 ，
，
，
且 ，
∴ ，
，
，
∴ ，
的半径长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．
要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．
25. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中
心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.37
y/m 2.44 3.15 3.49 3.45 3.04 2.25 1.09 0
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数的图象；
（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为
_______m（结果保留小数点后两位）；
（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数
图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
【答案】（1）见解析；
（2）出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
（3）出水口至少需要降低0.52m．
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线画出图象；
（2）设y=ax²+bx+2.44，将点(1，3.49)，(2，3.04)代入求出解析式，然后求出对称轴即可；
（3）根据水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，得出a，b不变，只有c改变，将x=3.2代入求解即可．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
由图象可得：当x=0时，y=2.44，
∴c=2.44，设y=ax²+bx+2.44，将点(1，3.49)，(2，3.04)代入得： ，解得： ，
∴y=-0.75x²+1.8x+2.44，
∴抛物线的对称轴为： ，
∴y=-0.75×1.2²+1.8×1.2+2.44=3.52，
∴出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
【小问3详解】
为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，此时y=ax²+bx+c中，a，b不变，只有c改变，
∴y=-0.75×3.2²+1.8×3.2+c，解得c=1.92，2.44-1.92=0.52(m)，
∴出水口至少需要降低0.52m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，解题的关键是数形结合并熟练掌握待定系数法．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与y轴交于点A．点 是抛物线上的
任意一点，且不与点A重合，直线 经过A，B两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若点 ， 在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；
（3）若对于 时，总有 ，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由 ，可得抛物线的顶点坐标；
（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线 ，可知 关于对称轴对称的点坐标为
，进而可知 的关系；（3）将 代入 ，得 ，则 ，过A，B两点的直线解析式为
，当 时，由题意知，当 时， 随 的增大而减小， ，即
，可得 ，可得 ；当 时，由题意知，当 时， 随 的增大
而减小，点 关于直线 的对称点为 ，则 ，计算求出此时 的取值
范围；进而可得 的取值范围．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ．
【小问2详解】
解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 关于对称轴对称的点坐标为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【小问3详解】
解：将 代入 ，得 ，
∴ ，
将 代入 ，解得 ，
∴ ，
当 时，由题意知，当 时， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，由题意知，当 时， 随 的增大而减小，
点 关于直线 的对称点为 ，
∵对于 时，总有 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
综上所述， 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的综合等知识．解
题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
27. 在 中， ， ，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为线段DC上一动点
（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线
AD交于点G．
（1）如图，当点E在线段CD上时，
的
①依题意补全图形，并直接写出BC与CF 位置关系；
②求证：点G为BF的中点．
（2）直接写出AE，BE，AG之间的数量关系．【答案】（1）①BC⊥CF；证明见详解；②见详解;（2）2AE2=4AG2+BE2．证明见详解．
【解析】
【分析】（1）①如图所示，BC⊥CF．根据将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，得出AE=AF，
∠EAF=90°，可证△BAE≌△CAF（SAS），得出∠ABE=∠ACF=45°，可得∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°
+45°=90°即可；
②根据AD⊥BC，BC⊥CF．可得AD∥CF，可证△BDG∽△BCF，可得 ，得出 即
可；
（2）2AE2=4AG2+BE2，延长BA交CF延长线于H，根据等腰三角形性质可得AD平分∠BAC，可得
∠BAD=∠CAD= ，可证 BAG∽ BHF，得出HF=2AG，再证 AEC≌ AFH（AAS），得
△ △ △ △
出EC=FH=2AG，利用勾股定理得出 ， 即
即可．
【详解】解：（1）①如图所示，BC⊥CF．
∵将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠EAC+∠CAF=90°，
∵ ， ，
∴∠BAE+∠EAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠CAF，
在 BAE和 CAF中，
△ △
，
∴ BAE≌ CAF（SAS），
∴△∠ABE=∠△ACF=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴BC⊥CF；②∵AD⊥BC，BC⊥CF．
∴AD∥CF，
∴∠BDG=∠BCF=90°，∠BGD=∠BFC，
∴△BDG∽△BCF，
∴ ，
∵ ，AD⊥BC，
∴BD=DC= ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴BG=GF;
（2）2AE2=4AG2+BE2．延长BA交CF延长线于H，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD= ，
∵BG=GF，AG∥HF，
∴∠BAG=∠H=45°，∠AGB=∠HFB，
∴△BAG∽ BHF，
△∴ ，
∴HF=2AG，
∵∠ACE=45°，
∴∠ACE =∠H，
∵∠EAC+∠CAF=90°，∠CAF+∠FAH=90°，
∴∠EAC=∠FAH，
在
AEC和 AFH中，
△ △
，
∴ AEC≌ AFH（AAS），
∴△EC=FH=△2AG，
在Rt△AEF中，根据勾股定理 ，
在Rt△ECF中， 即 ．
【点睛】本题考查图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，
勾股定理，掌握图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，
勾股定理是解题关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，点P为一定点，点P和图形W的“旋转中点”定义如下：点Q是图形W上
任意一点，将点Q绕原点顺时针旋转90°，得到点 ，点M为线段 的中点，则称点M为点P关于图形W的“旋转中点”．
（1）如图1，已知点 ， ， ，
①在点 ， ， 中，点 是点A关于线段BC的“旋转中点”；
②求点A关于线段BC的“旋转中点”的横坐标m的取值范围；
（2）已知 ， ， ，点 ，且⊙D的半径为2．若 的内部（不包括边
界）存在点G关于⊙D的“旋转中点”，求出t的取值范围．
【答案】（1）①点 为点A关于线段 的“旋转中点”② ；（2）t的取值范围
或 ．
【解析】
【分析】（1）①分别假设点 为点A关于线段 的“旋转中点”，求出点 （旋转之前的点），
查看点 是否在线段 即可；
②设点A关于线段 的“旋转中点”的坐标为 ，按照题意，逆向思维找到点 ，根据点 在线段
上，求解即可；（2）设旋转中点 的坐标为 ，则应满足 ，找到点 ，线段 的中
点为 ，再将点 逆时针旋转 ，得到点 ，点 应该在使得点 在 的内部（不包括
边界），求解即可．
【详解】解：（1）①假设点 为点A关于线段 的“旋转中点”， ，
则点 为线段 的中点，
即 ，
解得 ，即 ，
将 绕原点逆时针旋转 得到点 ，可得点 的坐标为 ，此时点 在线段 上，符合题意；
假设点 为点A关于线段 的“旋转中点”， ，
则点 为线段 的中点，
即 ，
解得 ，即 ，
将 绕原点逆时针旋转 得到点 ，可得点 的坐标为 ，此时点 不在线段 上，不符合
题意；
假设点 为点A关于线段 的“旋转中点”， ，则点 为线段 的中点，
即 ，解得 ，即 ，
将 绕原点逆时针旋转 得到点 ，可得点 的坐标为 ，此时点 不在线段 上，不符合
题意；
综上所得，点 为点A关于线段 的“旋转中点”，
②设点A关于线段 的“旋转中点” 的坐标为 ， ，
则点 为线段 的中点，
即 ，
解得 即 ，
将 逆时针旋转 得到点 ，可得点 的坐标为 ，
由题意可知点 在线段 上，
即 ，
解得 ；
（2）设 的内部（不包括边界）存在点G关于⊙D的“旋转中点”，为 ， ，
则点 为线段 的中点，即 ，
解得 即 ，
将 逆时针旋转 得到点 ，可得点 的坐标为 ，
由题意可知点 在⊙D上，
即 ，
解得 ，
∴0≤2n+t≤2或-2≤2n+t≤0，
∴ 或 ，
设EF解析式为 把坐标代入得，
，
解得 ，
∴EF解析式为 ，
由题意可得：点 在 的内部（不包括边界），
∴ ，∴0＜n＜2，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
，
∴t的取值范围 或 ．
【点睛】此题考查了坐标系点坐标的旋转变换，涉及了不等式组的求解，新概念的理解，解题的关键是理
解点P和图形W“旋转中点”的概念，并掌握点绕原点顺时针或逆时针旋转 后的坐标公式．绕原点旋转
的坐标公式：点 绕原点顺时针转 后坐标为 ，逆时针转旋转 坐标为 ．
