文档内容
北京市第一七一中学 2023—2024 学年度第二学期
初二年级数学学科期中调研试卷
（考试时间：100分钟 总分：100分）
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】A、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
B、 是最简二次根式，此项符合题意；
C、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
D、 ，则 不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．
2. 下列以 ， ， 为边的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. D. ， ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那
么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即
第1页/共30页
学科网（北京）股份有限公司可．
【详解】解：A．∵ ，
∴三边长为 ， ， 的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B．∵ ，
∴三边长为 ， ， 的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C．∵ ，
∴可设 ，
∴
∴三边长为满足 的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
D．∵ ，
∴三边长为 ， ， 的三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 下列函数中，一次函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的定义，能够熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．
根据一次函数 进行分析判断．
【详解】解：A. 是二次函数，故此选项不符合题意；
B. 是一次函数，故此选项符合题意；
C. 是反比例函数，故此选项不符合题意；
D. 没有自变量，不是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
4. 数据2，6，4，5，4，3的平均数和众数分别是（ ）
第2页/共30页
学科网（北京）股份有限公司A. 5和4 B. 4和4 C. 4.5和4 D. 4和5
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数和众数的概念求解．
【详解】这组数据的平均数是： （2+6+4+5+4+3）=4；
∵4出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4；
故选B．
【点睛】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组
数据中所有数据之和再除以数据的个数．
5. 二次根式 的值是（ ）
A. －2 B. 2或－2 C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简可得答案．
【详解】解： =2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，当a≥0时， =a；当a<0时， =-a．
6. 一次函数 的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次函数的图像与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵y=-5x+1，其中斜率k=-5<0，常数项b=1>0，
对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限，
∴不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，
第3页/共30页
学科网（北京）股份有限公司y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，
y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．
7. 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC
等于（ ）
A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据在□ABCD中，AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠AEB，即AB=BE，即可求出EC的长度．
【详解】∵在□ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵AD=5cm，AB=3cm，
∴BE=3cm，BC=5cm，
∴EC=5-3=2cm，
故选：A．
【点睛】本题是对平行四边形知识的考查，熟练掌握平行四边形性质及角平分线知识是解决本题的关键．
8. 小明同学先向北行进4千米，然后向东进4千米，再向北行进2千米，最后又向东行进一定距离，此时
小明离出发点的距离是 千米，小明最后向东行进了（ ）
A. 2千米 B. 3千米 C. 4千米 D. 6千米
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意画出图形是解题关键．
根据题意画出图形，进而得出各边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：如图所示：由题意可得， 千米， 千米，
第4页/共30页
学科网（北京）股份有限公司则在Rt 中， 千米，
∵ 千米，则 千米，
故选：C．
9. 图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则图中所有正方形的面积的和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理得到 ，再由正方形面积计
算公式即可得到答案．
【详解】解：如图所示，在 中， ，
∴由勾股定理得 ，
∴图中所有正方形的面积的和是 ，
故选：D．
第5页/共30页
学科网（北京）股份有限公司10. 如图，在 中，直线 ． 将直线 沿 从 点匀速平移至 点，在运动过程中，直线
与 两边的交点分别记为点 、 ． 设线段 的长为 ，平移时间为 则如图图象中，能表示
与 的函数关系的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
第6页/共30页
学科网（北京）股份有限公司D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了动点问题 的函数图象的识别，根据点 在 上运动，直线 在 之间运动，点
在 上运动，分析 的长的变化情况即可．
【详解】解：①当点 在 上运动时， 的长逐渐增大，
②当直线 在 之间运动时， 的长不变；
的
③当点 在 上运动时， 长逐渐变小
故选：D．
二、填空题（每题2分，共16分）
11. 若二次根式 有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式成立的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的
关键．
12. 函数 的图像经过 ，那么 _____________．
第7页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，直接把 代入对应的解析式中进行求解即可．
【详解】解：∵函数 的图像经过 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（分） 9.2 9.5 9.5 9.2
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择_______．
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查的是平均数、方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差
越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
根据平均数的概念、方差的性质判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴乙、丙的平均成绩较好，
∵ ，
∴乙的发挥稳定，
∴选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择乙，
故答案为：乙
14. 在平面直角坐标系中，一次函数 和 的图象如图所示，则不等式 的解集为
______
第8页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象写出一次函数 在 上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：一次函数 和 的图象交于点
所以，不等式 的解集为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键．
15. 如图，以菱形 的顶点O为原点，对角线 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若
，点C的坐标为 ，则点A的坐标为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的对角线互相垂
直平分的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
连接 ，交 于 ，根据菱形的对角线互相垂直平分求出 ， ，再根据菱形的每
第9页/共30页
学科网（北京）股份有限公司一条边都相等求出 ，然后利用勾股定理列式求出 的长，再根据点A在第一象限解答．
【详解】解：如图，连接 ，交 于 ，
∵点 ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在
中，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
16. 如图，在 中， ， ， ，如果将 折叠，使 点与 的中点
重合，折痕为 ，那么线段 的长是_____________．
【答案】5
【解析】
第10页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性
较强．
设 ，则由折叠的性质可得 ，根据中点的定义可得 ，在 中，根
据勾股定理可得关于 的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设 ，由折叠的性质可得 ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 中， ，
解得 ．
即 ．
故答案为：5．
17. 如图，在 中， ，P为边 上一动点， 于E，
于F，M为 中点，则 的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得当 时， 最短，同样 也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值．
【详解】解：连接 ，如图：
第11页/共30页
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
，
∴ 是直角三角形，且 ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ．
∵M是 的中点，
∴ ，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即 时， 最短，同样 也最短，
，即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性质、直角三角形的性质，解题的关键是能够把
要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
18. 如图,直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,将线段 沿 轴向右平移 个单位长度得到线
段 ,若直线 与四边形 有两个交点,则 的取值范围是_________．
第12页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【答案】 或
【解析】
【分析】先求得点的坐标,A（-2,0）、B（2,0）,C（4,3）分别代入 中,求得k的值,结合函数图象,
即可求得k的取值范围．
【详解】解：∵直线 与x轴交于点A,与y轴交于点D,
令x=0,则y=3,令y=0,则x=-2．
∴D（0,3）,A（-2,0）．
∵将直线AD向右平移4个单位长度,点A平移后的对应点为点B为（2,0）,
把A（-2,0）代入y=kx-4中得-2k-4=0,则k=-2,
把B（2,0）代入y=kx-4中得2k-4=0,则k=2,
把C（4,3）代入y=kx-4中得4k-4=3,则k= ．
∴ 或k＜-2．
故答案为 或k＜-2．
【点睛】本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征,坐标和图形的变换-平移,一次函数的图象与系数的关
系等,求得对应点的坐标是解题的关键．本题还考查了数形结合的能力,得到取值范围．
三、解答题（本题共64分，第19题-21题，每小题5分，第22—25题，每小题6分，第26
—27题，每小题7分，第28题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 计算：
（1） ; （2） .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）先化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简合并即可.
第13页/共30页
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）原式= = ；
（2）原式= =4+ = .
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解答此题的关键.
20. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则把所求式子去括号，
再利用完全平方公式把所在式子变形为 ，据此代值计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
21. 学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知： ．
求作： 边上的中线 ．
作法：如图，
①分别以点 ， 为圆心， ， 长为半径作弧，两弧相交于 点；
②作直线 ， 与 交于 点，所以线段 就是所求作的中线．
第14页/共30页
学科网（北京）股份有限公司根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ．
， ，
四边形 是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
（ ）（填推理的依据）．
是 边上的中线．
【答案】（1）见解析 （2） ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角
线互相平分
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．
【小问1详解】
解：如图，图形如图所示：
【小问2详解】
第15页/共30页
学科网（北京）股份有限公司解：连接 ， ．
， ，
四边形 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
（平行四边形的对角线互相平分）．
故答案为： ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点睛】本题考查作图 基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所
学知识解决问题．
22. 已知一次函数的图象经过 和 两点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）在坐标系中画出该一次函数的图象，并求这个一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】（1） ；
（2）图象见解析， ．
【解析】
【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ）利用两点确定一条直线即可画出一次函数的图象，再根据函数解析式求出求出直线与 轴的交点坐
标，根据三角形的面积公式计算即可求解；
本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，两点法画一次函数图象，求一次函数与坐标轴所围成的三
角形的面积，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设这个一次函数的表达式为 ，
第16页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∵一次函数的图象经过 和 两点，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：画一次函数图象如下，设直线与 轴的交点为点 ，与 轴的交点为点 ，则 ，
∵ 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
23. 为了调查同学们对安全知识的了解情况，小颖从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获
得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析． 下面给出了相关信息：
．30名同学安全知识测试成绩的统计图如图：
第17页/共30页
学科网（北京）股份有限公司．30名同学安全知识测试成绩的频数分布直方图如图（数据分成 6组： ， ，
， ， ， ）：
．测试成绩在 这一组 的是：
70 73 74 74 75 75 77 78
．小明的安全知识测试成绩为85分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第 ；
（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为 ；
（3）序号为1-10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为 ；序号为11-20的学生是八年级的，他们
的成绩的方差记为 ，序号为21-30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为 ，则 ， ， 的
大小关系为 ；（用“ ”号连接）
（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为
第18页/共30页
学科网（北京）股份有限公司人．
【答案】（1）5 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，涉及中位数，方差，用样本估
计总体等知识．利用统计图获取信息时，必须认真观察．分析．研究统计图，才能作出正确的判断和解决
问题．
（1）根据图 由大到小数即可得出结论；
（2）根据中位数的定义，可以得到结论；
（3）根据方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大可得出结论；
（4）由图 可知，成绩在 分以上的有 人，总占比 ，再乘总人数即可得出结论．
【小问1详解】
解：在30名同学冬奥知识测试成绩的统计图中画出成绩为85分的水平线，如下图：
由图可知：小明的成绩是 ，位于第 名；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵ ， ， ， ， ， 的人数分别为：
第19页/共30页
学科网（北京）股份有限公司人， 人， 人， 人， 人， 人；
即中位数落在 的范围内，
又∵ 的范围内的成绩为：70，73，74，74，75，75，77，78，且共抽取30人，
∴中位数是第 和第 个分数的平均数，即中位数为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：为便于观察，画出年级分隔先，如图，
∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由上图可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，
∴ ，
故答案为： ；
【小问4详解】
解：由直方图可知，成绩在 分以上的有 人，总占比 ，
∴估计成绩优秀的同学约为 （人），
故答案为： ．
24. 如图，某人从 地到 地有三条路可选，第一条路从 地沿 到达 地， 为10米，第二条路从
地沿折线 到达 地， 为8米， 为6米，第三条路从 地沿折线 到达 地
第20页/共30页
学科网（北京）股份有限公司共行走26米，若 、 、 刚好在一条直线上．
（1）求证： ；
（2）求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2） 的长为17米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理：
（1）通过计算得出 ，再根据勾股定理的逆定理即可证明．
（2）设 米，则 米，进而得到 米，根据勾股定理可列出关于x的方
程，然后求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 是直角三角形，即 ；
【小问2详解】
解：设 米，则 米，
∴ 米，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ 的长为17米．
25. “白银2号”种子的价格是 元/kg，如果一次性购买 kg以上的种子，则超过 kg部分的种子价格
第21页/共30页
学科网（北京）股份有限公司打折．购买种子所需的付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示：
（1）根据图象，求当购买种子超过 kg时，付款金额y（单位：元）关于购买量x（单位：kg）的函数关
系式；
（2）当顾客付款金额为 元时，求此顾客购买了多少种子？
【答案】（1）
（2） kg
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题关键．
（1）设 将点 代入即可求解；
（2）令 即可求解．
【小问1详解】
解：当 时，
由图象可知y是x的一次函数，且过点
∴设
则
解得：
第22页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
【小问2详解】
解：根据图像可知当顾客付款金额为 元时，购买数量大于 ，
令 时，
解得： ，
∴当顾客付款金额 为元时，此顾客购买了 种子．
26. 如图，四边形 是平行四边形， ， 与 的延长线交于点 ， 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，判断四边形 的形状并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得 ， ，又由平行四边形的判定可得四边形
是平行四边形，又由平行四边形的对边相等可得结论；
（2）利用“有一内角为直角的平行四边形是矩形”推知四边形 是矩形即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
第23页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
【小问2详解】
四边形 是矩形．理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ．
又∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质平行线的性质
等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定条件是解题关键．
27. 如图，在正方形 中，E是边 上的一动点，点F在边 的延长线上，且 ，连接
、 ．
（1）求证 ；
（2）连接 ，取 中点 ，连接 并延长交 于 ，连接 ．
第24页/共30页
学科网（北京）股份有限公司①依题意，补全图形：
②求证 ；
③若 ，用等式表示线段 、 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析；③ ，见解析
【解析】
【分析】（1）证 ，得 ，再证 ，即可得出结论；
（2）①依题意，补全图形即可；②由直角三角形斜边上的中线性质得 ， ，即可
得出结论；③先证 是等腰直角三角形，得 ，再证 ， ，
，得 ， ， ，然后证
，得 ，再由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
又 ，
，
，
，
，
第25页/共30页
学科网（北京）股份有限公司即 ，
；
【小问2详解】
①解：依题意，补全图形如图所示：
②证明：由（1）可知， 和 都是直角三角形，
是 的中点，
， ，
；
③解： ，证明如下：
由（1）可知， ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
为 的中点，
， ， ，
， ， ， ，
，
，
，
，
，
第26页/共30页
学科网（北京）股份有限公司又 ， ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
， ，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定
与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和
等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28. 如图 ，在直角 中， ，若点 在斜边 上 不与 ， 重合 满足 ，则
称点 是直角 的“近 点”．
在平面直角坐标系 中， ，一次函数图象 与 轴， 轴分别交于点 ， ．
第27页/共30页
学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，点 是直角 的“近 点”，则 的长度可能是______ ； 填序号
① ；② ；③ ；④
（2）若线段 上的所有点 不含 和 都是直角 的“近 点”，求 的取值范围；
（3）当 时，若一次函数 与 的交点恰好是直角 的“近 点”，则直接
写出 的取值范围是______ ．
【答案】（1）②③ （2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，作 于 ，求出 ， 的长，进而得出结果；
（2）找出临界：当 时， 上所有的点都是直角 的“近 点”，进而得出结果；
（3）找出临界：由 得 ，进而得出结果．
【小问1详解】
解：如图 ，
第28页/共30页
学科网（北京）股份有限公司取 的中点 ，连接 ，作 于 ，
由 得，
，
，
，
，
，
，
由 得，
，
当 时，点 是直角 的“近 点”，
故答案为： ；
【小问2详解】
如图 ，
第29页/共30页
学科网（北京）股份有限公司当 时， 上所有的点都是直角 的“近 点”，
或 ；
【小问3详解】
如图 ，
由 得 ，
由 得， ，
由 得，
，
或 ．
【点睛】本题考查了新定义的理解能力，直角三角形的性质，一次函数及其图象的性质等知识，解决问题
的关键是找出临界，数形结合．
第30页/共30页
学科网（北京）股份有限公司
