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哈师大青冈实验中学 2024-2025 学年度高三期中考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据根式的性质化简集合 ，即可根据交集的定义求解.
详解】由题， 得 ，故 ，进而 ，
【
故选：A
2. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算可得答案.
【详解】若复数 满足 ，
则 .
故选：D.
3. 已知角 终边上一点 ，则 （ ）
的
A. 1 B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】由任意角三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的关系，化简可得结果.
【详解】由三角函数定义知 ， ，
所以 .
故选：A.
4. 已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用向量共线的坐标运算，得到 ，再利用向量数量积的坐标运算，即可求出结
果.
【详解】因为 ， ，又 ，所以 ，
故 .
故选：B.
5. 函数 的图像恒过定点A，若点A在直线 上，且 ，则
的最小值为（ ）
A. 13 B. 16 C. D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】由函数图像过定点得 ，则有 ，由 ，利用基本不
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学科网（北京）股份有限公司等式可得最小值.
【详解】函数 的图像恒过定点 ，
点A在直线 上，有 ，又 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为16.
故选：B.
6. 函数 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.
【详解】函数的定义域为 ，且 ，
所以函数 是奇函数，故排除A，
且当 时， ，故排除C，
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学科网（北京）股份有限公司，当 时， ，故排除D，满足条件的只有B.
故选：B
7. 已知数列 是等比数列，记数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列 是等比数列，可知数列 为等差数列，由等差数列的性质求解即可.
【详解】则 为常数，所以 为常数，
知数列 为等差数列，
由 ，知 ，又 ，
所以公差 ，
故 .
故选：A
8. 记 表示 ， 二者中较大的一个，函数 ，
，若 ， ，使得 成立，则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】计算出 ，结合 ， 的单调性得到 ，
并求出 在区间 上的值域为 ，由题意得到 在 上的值域包含 在
上的值域，从而得到不等式，求出
【详解】 在 上单调递减， 在 上单调递增，
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，即 在区间 上的值域为 .
，
令 ，得 ，解得 或 ，
画出 ， 的图象如图所示，
若 ， ，使得 成立，
则需要 在 上的值域包含 在 上的值域，
则 ，解得 ，即 的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：A
【点睛】关键点点睛：求出 的解析式，从而确定 的值域，并得到 在 上的值域包含
在 上的值域，得到不等式，求出答案
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设单位向量 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 向量 的夹角为
C.
D. 在 的方向上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
【分析】将 平方，可得 ，可判断A，B；由向量模长公式分别计算 ，
验证C；由投影向量公式验证D.
【详解】由于 ，
又因为 ，所以 ，故 ，
故A正确，B错误；
因为 ，故 ，
又 ，故 ，
所以 ，C正确；
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学科网（北京）股份有限公司在 的方向上的投影向量为 ，故D正确.
故选：ACD
10. 设 为正实数，已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时，函数 的图象的一条对称轴为
B. 已知 ， ，且 的最小值为 ，则
C. 当 时,函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数
D. 若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
的
【分析】根据正弦函数 对称轴公式计算判断A，根据函数最值结合函数的图象特征得出参数判断B,应用
平移化简结合诱导公式得出函数判断C,结合正弦函数的单调性列出不等式计算判断D.
【详解】A选项，当 时，函数 的图象的对称轴为 ,即 ,
不能取到 ,A错误；
B选项， 为 的最小值点， 为 的最大值点，则 ，即 ，且 ，
所以 ，B正确；
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学科网（北京）股份有限公司C选项，当 时,函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数
，故C正确；
D选项，∵ ，则 ，
若 在区间 上单调递增，则 ，解得 ，D正确；
故选：BCD.
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 存在三个不同的零点
B. 函数 既存在极大值又存在极小值
C. 若 时， ，则t的最大值为2
D. 当 时，方程 有且只有两个实根
【答案】BCD
【解析】
【分析】求得 ，得到函数 的单调性和极值，以及 时， ，当
时， ，作出函数 的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
当 ，函数 取得极小值 ；
当 ，函数 取得极大值 ，
当 时， ，当 时， ，
作出函数 的图象，如图所示，结合图象得：
对于A中，函数 存在两个不同的零点，所以A不正确；
对于B中，函数 既存在极大值又存在极小值，所以B正确；
对于C中，当 时， ，可得 ，所以t的最大值为 ，所以C正确；
对于D中，若方程 有且只有两个实根，
即 与 的图象有两个不同的交点，可得 ，所以D正确.
故选：BCD.
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角 的终边上一点 ，且 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为: .
13. 设函数 ，则不等式 的解集为 __________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数解析式分析得 为偶函数，在 上单调递增，在 上单调递减，不等式
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学科网（北京）股份有限公司等价于 ，求解即可.
【详解】函数 ，定义域为 ，
，函数为偶函数，
当 时 ，在 上单调递增，
则 在 上单调递减，
不等式 ，则有 ，解得 且 ，
所以不等式解集为 .
故答案为：
14. 若函数 在区间 上有极值点，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】求导函数，确定函数的单调性和极值点，利用函数在区间(0,1)上有极值点，即可求实数 的取值
范围．
【详解】函数 的定义域为R，且 ．
当 时，f′(x)>0恒成立，故在R上单调递增，从而没有极大值，也没有极小值．
当 时，令 ，得 ，
f′(x)<0解得 ，f′(x)>0解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 时 有极小值，函数f (x)没有极大值．
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学科网（北京）股份有限公司依题意有 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的 值；
（2）讨论 在 上的单调性.
【答案】（1） ，最大值为 ，
（2）单调增区间为 ，单调减区间为
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值；
（2）利用整体代入法可得函数的单调区间.
【小问1详解】
，
所以 的最小正周期 ，
当 时， 取最大值为 ，此时 ， ，即 ，
；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司当 时，有 ，
从而 时，即 时， 单调递增，
时，即 时， 单调递减，
综上所述， 单调增区间为 ，单调减区间为 .
16. 已知数列 中 ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）若数列 的通项公式为 ，求数列 的前 项和 ；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由 构造得 ，又 ，可证数列 是等比数
列；
（2）利用错位相减法求数列{b }的前 项和.
n
【小问1详解】
由 ，得 ，即 ，
又 ，有 ，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列.
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得 ，则有 ，
，
，
①-②得
，
，即 .
17. 如图，在多面体 中，四边形 是边长为3的正方形， ， ，且
， ， 面 ， ， 为 中点．
（1）若 是 中点，求证： 面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到线面平行，进而证明出面面平行，即平面 平面 ，证明出
平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值，进而得到
正弦值.
【小问1详解】
取 的中点 ，连接 ，
因为 是 中点， 为 中中点， ，
所以 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
又 ， 平面 ，
故平面 平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 ；
【小问2详解】
因为 面 ， 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又四边形 是边长为3的正方形， ⊥ ，
故 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
因为 ， ，所以四边形 为矩形，
其中 ， ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
解得 ，令 ，则 ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
解得 ，令 ，则 ，故 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故平面 与平面 夹角的正弦值为 .
18. 在 中，角 的对边分别是 ，且 ．
（1）求角 ；
（2）已知 为 边上一点，且 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边化角，然后结合两角和的正弦公式及特殊角的余弦值求解即可.
（2）利用三角形相似得 ，求得 ，然后在 中由余弦定理求解 即可.
【小问1详解】
由正弦定理可得： ，
，
由 可得： ，
，
，
可得： ，
， ， .
【小问2详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司与 相似，满足： ，
设 ，则有 ，
解得： （舍去），即： ，
，
在 中，由余弦定理可得： ，
即： ，
解得： （舍去）， 的长为1.
19. 已知函数 ，直线 为曲线 在点 处的切线.
（1）当 时，求出直线 的方程；
（2）若 ，讨论 的单调性，并求出 的最值；
（3）若直线 与曲线 相交于点 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 的最小值为 ，无最大值；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率，再求出切点坐标，从而可求出切线方程；
（2）对 求导，然后根据其正负求出函数的单调区间，则可求出函数的最小值点，从而可求出函数的
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学科网（北京）股份有限公司最小值；
（3）求出直线 ，将“直线 与曲线y=f (x)相交”转化为关于 的方程 在 有解，
然后通过构造函数，对 进行分类讨论，结合导数可求得结果.
【小问1详解】
由 ，得 ，
则 ，
因为 ，
所以曲线y=f (x)在点 处的切线 的方程为 ，
即 ；
【小问2详解】
，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，无最大值；
【小问3详解】
由 ，得 ，则 ，
所以曲线y=f (x)在点 处的切线 的方程为
，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为直线 与曲线y=f (x)相交于点 ，且 ，
所以关于 的方程 在 有解，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
①当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，所以存在唯一实数 ，使 ，
当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
因为 ，所以存在唯一实数 ，使 ，
所以 符合题意，
②当 时，由 ，得 ，则 在 上单调递减，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上无零点，所以 不符合题意，
综上 ，即实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：当一阶导数无法求得函数的单调区间时，可考虑利用二阶导数进行求解，通过二阶导
数的符号来确定一阶导数的单调性，符号，从而可确定原函数的单调性.
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学科网（北京）股份有限公司
