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中考数学几何专项练习：胡不归
一、填空题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，
﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得
PG= PC；当A、P、G在同一直线时，AP+ PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的
性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，
∴OA=3，OC=3，
作∠OCE=120°，
∵∠OCB=60°，
则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，
过点P作PG⊥CE于点G，如图：
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在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，
∴CG= PC，由勾股定理得PG= PC，
∴AP+ PC= AP+PG，
当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，
延长AG交y轴于点F，
∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG，GF= CF，
在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，
∴AF=2OA=6，OF= ，
∴CF=OF-OC= ，
∴GF= ( )= ，
∴AG=AF-FG= ，
即AP+ PC的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到
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当A、P、G在同一直线时，AP+ PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一
动点，则2BC+AC的最小值为 ．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点 ，可证 是等
边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝ AC，则 ，即当点 ，点C，点H三点
共线时， 有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数 分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点 ，
∴AO＝3， ，
∴ ，
作点B关于OA的对称点 ，连接 ， ，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴ ，
3 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵CH⊥AB，
∴ ，
∴ ，
∴当点 ，点C，点H三点共线时， 有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时， ， 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴2BC＋AC的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确
定点C的位置是解题的关键．
3．如图， 中 ， ， ， 为边 上一点，则 的最小值为 ．
▱
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP= DP，因此 PD+2PB=2(
DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即 PD十2PB有最小值，即可求解．
4 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是平行四边形，
，
∴
∵PH丄AD
∴
∴ ， ，
∴
当点 ，点 ，点 三点共线时，HP+PB有最小值，即 有最小值，
此时 ， ， ，
∴ ，
则 最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角
三角形是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、
PC．则PA+2PB的最小值为 ．
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【答案】4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2 ＝
＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝ ，
∴PA+2PB＝2 ＝ ＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4 ，
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∴（PA+2PB） ＝2BF＝ ，
最大
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．
5．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则
PC＋PB的最小值为 ．
【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝
∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD PB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD
的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PD PB，
∴ PC+PB （PC PB） （PC+PD），
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当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CD AC＝2 ，
即PC+PD的最小值为 ，
∴ PC+PB的最小值为 4，
故答案为：4．
6．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC ，E为线段AB上一动点，连接CE，则 AE＋CE的最小值为 ．
【答案】3
【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证
ET AE，推出 AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB ，
∴∠CAB＝30°，
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∴AC＝2BC＝2 ，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ET AE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2 ，
∴CH＝AC•sin6°＝2 3，
∵ AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴ AE+EC≥3，
∴ AE+EC的最小值为3，
故答案为3．
7．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+
BM的最小值为 ．
【答案】4
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性
质可得MH＝ BM，于是可得AM+ BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
9 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，
∴MH＝ BM，
∴AM+ BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB•sin60°＝4 ，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥4 ，
∴AM+ BM≥4 ，
∴AM+ BM的最小值为4 ，
故答案为：4 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属
于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
8．如图， ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于
▱
.
【答案】
【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=
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PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝
30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值= AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE= PD，
∵2PB+ PD=2（PB+ PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值= AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三
点共线的形式是解题的关键.
9．如图， 中， ， ， 于点 ， 是线段 上的一个动点，则
的最小值是 ．
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【答案】
【分析】过点D作 于 ，过点C作 于 ，首先通过勾股定理及 求出AE,BE的
长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出 ，然后通过锐角三角函数得出 ，进
而可得出 ，最后利用 即可求值．
【详解】解：如图，过点D作 于 ，过点C作 于 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍弃），
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ （等腰三角形两腰上的高相等）
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ,
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并
利用转化的思想是解题的关键．
二、解答题
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10．如图，已知抛物线 （ 为常数，且 ）与 轴从左至右依次交于 ， 两点，与
轴交于点 ，经过点 的直线 与抛物线的另一交点为 ．
(1)若点 的横坐标为 ，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从点 出发，沿线段 以
每秒1个单位的速度运动到 ，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到 后停止．当点 的坐标是多
少时，点 在整个运动过程中用时最少?
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点 的坐标求出直线 的解析式，再由点 的横坐标代入直线 的解析式求出点 的
坐标，然后将点 的坐标代入抛物线解析式求 ，从而得到抛物线的函数表达式；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 和点 分别作 轴的平行线和 轴的平行线，交于点 ，过点
作 于点 ，由点 和点 的坐标求线段 、 和 的长度，得到 ，结合速度可
知时间为 ，然后利用“ 角所对的直角边是斜边的一半”得 ，从而得到
，进而求得此时点 坐标．
【详解】（1）解：对于 ，当 时， 或 ，
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∴ ， ，
将点 代入 ，得：
∴ ，
则直线 的解析式为： ，
当 时， ，
∴ ，
将点 代入 ，得： ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为： ；
（2）由题意得：点 的运动时间为 ，
过点 作 轴于点 ，
∵ ， ，
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∴ ， ， ，
∴ ，
过点 和点 分别作 轴的平行线和 轴的平行线，交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于点 ，此时 ，
∴ 与直线 的交点即为所求点 ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴点 的坐标为 时，点 在整个运动过程中用时最少．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直
角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“ 角所对的直角边是斜边的一半”将
进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点 坐标．
11．已知抛物线 过点 ， 两点，与 轴交于点 ， ，
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(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)点 为抛物线上位于直线 下方的一动点，当 面积最大时，求点 的坐标；
(3)若点 为线段 上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)解析式为 ，顶点 的坐标为
(2)点 的坐标为
(3)存在，最小值为
【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点 的坐标，求解即可；
（2）作 轴，交 于点 ，通过设 和 的坐标，利用“割补法”表示出 ，从而利用二次
函数的性质求解最值即可；
（3）将直线 绕着 点逆时针旋转 ，并过点 作其垂线，垂足为 ，分别连接 ， ， ，构
造出含 角的直角三角形，然后转换为求 得最小值，继而确定当 、 、 三点共线时，满足
取得最小值，此时利用含 角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为 ，其中 ，
∵ ，
∴点 的坐标为 ，
将 代入 ，解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵对称轴为直线 ，
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∴将 代入 ，得： ，
∴顶点 的坐标为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴直线 的解析式为： ，
∵点 在抛物线上，且位于直线 下方，
∴设 ，其中， ，
如图所示，作 轴，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
整理可得： ，其中 ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值，
将 代入 ，得： ，
∴此时点 的坐标为 ；
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（3）解：存在最小值，理由如下：
如下图所示，将直线 绕着 点逆时针旋转 ，并过点 作其垂线，垂足为 ，
分别连接 ， ， ，则 ， ，
∴在 中， ，
∴随着 点的运动，总有 ，
∴ ，
要使得 取得最小值，即要使得 取得最小值，
如下图，当 、 、 三点共线时，满足 取得最小值，
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此时， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 存在最小值，最小值为 ．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线
段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．
12．抛物线 分别交x轴于点 ， ，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交
于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且 ．
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(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋ MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)有，最小值为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）在 中， ， ，根据 ，有 ，即可得
，问题得解；
（3）先求出 ，即 ，即有 ，则 的最小值是 的最
小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．
【详解】（1）把点 ， 代入抛物线 中得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2） ，
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理由是：如图1，
令 ，则 ，即 ，
∵ ， ，
∴， ， ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）在M，N移动的过程中， 有最小值是 ，理由如下：
由（2）知： ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的最小值是 的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如
图2，
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抛物线解析式为： ；
∴对称轴是： ，即 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴在M，N移动的过程中， 有最小值是 ．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段
最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x，y轴交于点A，B，抛物线 恰
好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是 ，将 绕着点C逆时针旋转90°得到 ，点A的对应点是点E．
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①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 取最小值时，点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①点E在抛物线上；②P（0，− ）
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解
析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H， ，则 ，得
，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时， ，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线 ，
得 ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
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∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时， ，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（−3，0），B（0，−4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴HP＋PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴OP＝ −3＝ ，
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∴P（0，− ）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之
间、线段最短等知识，利用三角函数将 转化为HP的长是解题的关键．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的
左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、C两点的坐标；
(2)连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，
PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线CB方向平移3 个单位得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'对称轴上一点，
在新抛物线y'上是否存在一点N，使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出
点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（﹣3，0），C
(2)最大值， ，
(3)存在，此时 或 或 ，见解析
【分析】（1）令x=0，求出y的值，可求出点C的坐标；令y=0，可求出x的值，由此可求出点A的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据相似三角形的性质可表达PD+DE的值，再利用二次函数
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的性质求出最值；
（3）分三种情况：当四边形ACNM是平行四边形时，当ACMN时平行四边形时，当ANCM时平行四边形时，
分别利用点的平移和中点坐标公式进行求解即可．
（1）
在 中，
令x＝0， ．
∴C ），
令y＝0，x＝﹣3，x＝1，
1 2
∵xA＜xB，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）
∵PE⊥x轴，y⊥x轴，
∴PE∥y轴，
∴∠PED＝∠ACO，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴△PED∽△ACO，
∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC，
在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当PE最大时，PD+DE最大，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0）， ，
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∴ ，
∴直线 ．
设 ，﹣3＜m＜0，
∴ ，
∴ ，
∵ ，﹣3＜m＜0，
∴ 时， ，
∴ ，
∴ ．
（3）
存在，此时 或 或 ．
在射线CB上取一点Q，使CQ＝ ，过点Q作QG⊥y轴于点G，则∠QGC＝90°，如图，
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∵B（1，0），C（0， ），
∴OB＝1，OC＝ ，
∵∠BOC＝90°，
∴BC＝ ，
∵∠QGC＝∠BOC＝90°，∠QCG＝∠BCO，
∴△QGC∽△BOC，
∴QG：BO＝CG：CO＝CQ：CB，即 ，
∴QG＝3，CG＝ ，
∴沿射线CB方向平移 个单位相当于向右平移3个单位，再向下平移 个单位，
∵ ，
将抛物线 向右平移3个单位，再向下平移 个单位得到新抛物线y′，
∴ ，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵点M为新抛物线y′对称轴上一点，
∴点M的横坐标为2，
当四边形ACMN为平行四边形时，如图，
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根据平行四边形的性质可知：AC∥NM，AC＝NM，
由图可知，将点C先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点M，
∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点N，
∴点N的横坐标为：﹣3+2＝﹣1，
当x＝﹣1时， ，
∴此时点N的坐标为 ；
∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移 个单位得到点N（﹣1，﹣ ）；
∴将点C（0， ）先向右平移2个单位，再向下平移 个单位得到点M（2，﹣ ）；
当四边形ACNM为平行四边形时，如图，
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根据平行四边形的性质可知：AC∥MN，AC＝NM，
由图可知，将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点M，
∴将点C（0， ）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点N，
∴点N的横坐标为：0+5＝5，
当x＝5时， ，
∴此时点N的坐标为（5，﹣ ）；
∴点C（0， ）先向右平移5个单位，再向下平移 个单位得到点N（5，﹣ ）；
将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移 个单位得到点M（2，﹣ ）；
当ANCM为对角线时，A（﹣3，0），C（0， ）的中点为： ，
∵点M在对称轴x＝2上，
∴点M的横坐标为x＝2，
∴点N的横坐标为x＝﹣5，
当x＝﹣5时， ，
∴N（﹣5， ），
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∴点M的纵坐标为 ，
∴ ．
综上所述，符合题意的点M的坐标为： . 或 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，轴对称最值问题，平行四边形存在性等知识，包括
分类讨论思想等，（3）关键是进行正确的分类讨论．
15．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝ ，
连接AE，CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF．
(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求SBCF的值．（SBCF表示△BCF的面积）
△ △
(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P
是线段DG上的一个动点，当满足 MP+PG的值最小时，求MP的值．
【答案】(1)见解析
(2)2或6
(3)
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF；
（2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，
即可求解；
（3）先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
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∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BE＝BF，AB＝BC，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，
∵△ABE≌△CBF，
∴SABE＝SCBF，
△ △
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，
∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵EH⊥AB，
∴∠EAB＝∠AEH＝45°，
∴AH＝EH，
∵BE2＝BH2+EH2，
∴10＝EH2+（4﹣EH）2，
∴EH＝1或3，
当EH＝1时
∴SABE＝SBCF＝ AB×EH＝ ×4×1＝2，
△ △
当EH＝3时
∴SABE＝SBCF＝ AB×EH＝ ×4×3＝6，
△ △
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∴SBCF的值是2或6；
△
（3）解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，
由（1）同理可得△ABE≌△CBF，
∴∠EAB＝∠BCF，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点G，点C，点D四点共圆，
∴∠ACD＝∠AGD＝45°，
∵PK⊥AG，
∴∠PGK＝∠GPK＝45°，
∴PK＝GK＝ PG，
∴MP+ PG＝MP+PK，
∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+ PG值最小，即 MP+PG最小，
如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，
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∵BE＝BF＝ ，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，
∴EF＝2 ，BQ＝EQ＝FQ＝ ，
∵CQ＝ ，
∴CE＝CQ﹣EQ＝ ，
∵MK⊥AE，CE⊥AE，
∴MK∥CE，
∴ ，
又∵M是CD的中点，
∴DC＝2DM，
∴MP＝ CE＝ ．
【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾
股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0， ），C
（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱
形，求点M的坐标；
（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求 PB＋PD的最小值．
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【答案】（1）y= （x ）2 ，（ ， ）；（2）（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）或（ ， ）或（ ， ）；（3）
【详解】思路引领：（1）将A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的
表达式，进而得到其顶点坐标；
（2）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两
个交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直
平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，分别列出方程，求解即可；
（3）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时 PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．
答案详解：（1）由题意 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y x2 x ，
∵y x2 x （x ）2 ，
∴顶点坐标（ ， ）；
（2）设点M的坐标为（ ，y）．
∵A（﹣1，0），B（0， ），
∴AB2＝1+3＝4．
①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，
则（ 1）2+y2＝4，解得y＝± ，
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即此时点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，
则（ ）2+（y ）2＝4，解得y 或y ，
即此时点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，
则（ 1）2+y2＝（ ）2+（y ）2，解得y ，
即此时点M的坐标为（ ， ）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）或（ ， ）；
（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时 PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB ，
∴tan∠ABO ，
∴∠ABO＝30°，
∴PH PB，
∴ PB+PD＝PH+PD＝DH，
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∴此时 PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD ，∠HAD＝60°，
∴sin60° ，
∴DH ，
∴ PB+PD的最小值为 ．
17．在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得
到如图所示的抛物线，该抛物线与 轴交于点 、 (点 在点 的左侧)， ，经过点 的一次函数
的图象与 轴正半轴交于点 ，且与抛物线的另一个交点为 ， 的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点 在一次函数的图象下方，求 面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点 为 轴上任意一点，在(2)的结论下，求 的最小值．
【答案】(1) ； ；(2) 的面积最大值是 ，此时 点坐标为 ；(3)
的最小值是3.
【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点 代入可求得 的值，由 的面积为5可求
出点 的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由 、 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析
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式；
(2)作 轴交 于 ，如图，利用三角形面积公式，由 构建关于E点横坐标的
二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；
(3)作 关于 轴的对称点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，则 ，利
用锐角三角函数的定义可得出 ，此时 最小，求出最小值即可．
【详解】解：(1)将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物
线解析式为 ，
∵ ，∴点 的坐标为 ，
代入抛物线的解析式得， ，∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ．
令 ，解得 ， ，∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为5，∴ ，∴ ，
代入抛物线解析式得， ，解得 ， ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
(2)过点 作 轴交 于 ，如图，设 ，则 ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，此时 点坐标为 ．
(3)作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ 、 关于 轴对称，∴ ，
∴ ，此时 最小，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的最小值是3．
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【点睛】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定
与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数
法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解（3）题的关键是作 关
于 轴的对称点 ，灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学
思想把求 的最小值转化为求 的长度．
18．已知抛物线 过点 ， 两点，与y轴交于点C， ．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作 ，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当 面积最大时，求点P的坐标；
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问： 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为： ，顶点 ；(2)证明见解析；(3)点 ；(4)
存在， 的最小值为 ．
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【分析】(1)设交点式 ，利用待定系数法进行求解即可；
(2)先证明四边形ADBM为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；
(3)先求出直线BC的解析式，过点P作y轴的平行线交BC于点N，设点 ，则点N
，根据 可得关于x的二次函数，继而根据二次函数的性质进行求解即可；
(4)存在，如图，过点C作与y轴夹角为 的直线CF交x轴于点F，过点A作 ，垂足为H，交y轴
于点Q，此时 ，则 最小值 ，求出直线HC、AH的解析式即可求得H点坐
标，进行求得AH的长即可得答案.
【详解】解：(1)函数的表达式为： ，
即： ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ，
则顶点 ；
(2) ， ，
∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，
∴AB=2，
∴ ，
又∵D(2，-1)，
∴AD=BD= ，
∴AM=MB=AD=BD，
∴四边形ADBM为菱形，
又∵ ，
菱形ADBM为正方形；
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B、C的坐标代入得： ，
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解得： ，
所以直线BC的表达式为：y=-x+3，
过点P作y轴的平行线交BC于点N，
设点 ，则点N ，
则 ，
，故 有最大值，此时 ，
故点 ；
(4)存在，理由：
如图，过点C作与y轴夹角为 的直线CF交x轴于点F，过点A作 ，垂足为H，交y轴于点Q，
此时 ，
则 最小值 ，
在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO= ，
∴OF= ，
∴F(- ，0)，
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为： …①，
∵∠COF=90°，∠FOC=30°，
∴∠CFO=90°-30°=60°，
∵∠AHF=90°，
∴∠FAH=90°-60°=30°，
∴OQ=AO•tan∠FAQ= ，
∴Q(0, )，
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为： …②，
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联立①②并解得： ，
故点 ，而点 ，
则 ，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形的应用，正方形的判定，最值
问题等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，会添加常用辅助线是解题的关键.
19．如图，已知抛物线 （ 为常数，且 ）与 轴从左至右依次交于A，B两点，与
ｙ轴交于点C，经过点B的直线 与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求 的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF
以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多
少时，点M在整个运动过程中用时最少．
44 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）F ．
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出 的值得到直线的解析式、点D的纵坐
标、 的值得到抛物线的函数表达式；
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可；
（3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点
M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的
倾斜角是30°知道 ，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形
的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线 （ 为常数，且 ）与 轴从左至右依次交于A，B两点，
∵BM=9，AB=6，∴BF= ，BD= ，AF=
∴A（-2，0），B（4，0）
∵点B在直线 上，∴ ，即
∴直线的解析式为
∵点D在直线 上，且横坐标为-5，∴纵坐标为
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∵点D在抛物线 上，∴ ，解得
∴抛物线的函数表达式为
（2）易得，点C的坐标为 ，则
设点P的坐标为 ，
分两种情况：
①若△PAB∽△ABC，则∠PAB=∠ABC，
∴由∠PAB=∠ABC 得 ，即
∴ ，解得
此时点P的坐标为 ， ，
∴由 得 ，解得
②若△PAB∽△BAC，则∠PAB=∠BAC，
∴由∠PAB=∠BAC 得 ，即
∴ ，解得
此时点P的坐标为 ， ，
∴由 得 ，解得
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（3）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求
∵直线BD的解析式为 ，∴∠FBA=∠FGD=30°
∵AB=6，∴AF=
∴点F的坐标为
【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；
相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用．
三、一次函数综合
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x＋ 和直线l：y＝﹣ x＋b相交于y轴上的点B，
1 2
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且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F
1
的坐标，并求出此时PF＋ OP的最小值．
【答案】（1）SABC= ；（2）点F坐标为（1， ）；PF＋ OP的最小值为 ．
△
【分析】（1）根据l的解析式可得A、B坐标，把点B坐标代入y＝﹣ x＋b可求出b值，进而可得出点
1
C坐标，即可求出AC、OB的长，利用三角形面积公式即可得答案；
（2）如图，作点C关于直线l的对称点C′，连接C′E，交l于F，根据A、B、C坐标可得△ABC是直角
1 1
三角形，可得点C′在直线l上，根据两点间距离公式可得出C′坐标，可得C′E为EF＋CF的最小值，利
2
用待定系数法可得出直线C′E的解析式，联立直线C′E与l解析式即可得出得F的坐标；作二、四象限
1
对角线l，过点F作FG⊥l于G，交y轴于P，可得∠GOP=45°，可得PG= ，可得FG为PF＋ OP
3 3
的最小值，过点F作FQ⊥x轴，交l于Q，可得△FGQ为等腰直角三角形，可得FG= FQ，由l的解析式
3 3
为y=-x及点F的坐标可得点Q坐标，进而可得FQ的长，即可得FG的长，可得答案．
【详解】（1）∵l：y＝ x＋ ，
1
∴当x=0时，y= ，当y=0时，x=-3，
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∴A（-3，0），B（0， ），
∵点B直线l：y＝﹣ x＋b上，
2
∴b= ，
∴直线l的解析式为y＝﹣ x＋ ，
2
∴当y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴AC=4，OB= ，
∴SABC= = = ．
△
（2）如图，作点C关于直线l的对称点C′，连接C′E，交l于F，
1 1
∵A（-3，0），B（0， ），C（1，0），
∴AB2=（-3）2+（ ）2=12，BC2=12+（ ）2=4，AC2=42=16，
∵AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴点C′在直线l上，
2
∵点C与点C′关于直线l的对称，
1
∴CC′=2BC=4，
设点C′（m，﹣ m＋ ，）
∴（m-1）2+（﹣ m＋ ）2=42，
解得：m=-1，m=3，
1 2
∵点C′在第二象限，
∴m=-1，
∴﹣ m＋ = ，
∵FC=FC′，
∴EF＋CF=EF+FC′，
∴当C′、F、E三点共线时EF＋CF的值最小，
设直线C′E的解析式为y=kx+b，
∴ ，
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解得： ，
∴直线C′E的解析式为 ，
联立直线C′E与l解析式得 ，
1
解得： ，
∴F（1， ）．
如图，作二、四象限对角线l，过点F作FG⊥l于G，交y轴于P，过点F作FQ⊥x轴，交l于Q，
3 3 3
∴直线l的解析式为y=-x，∠GOP=45°，
3
∴△GOP是等腰直角三角形，
∴PG= OP，
∴G、P、F三点共线时，PF＋ OP的值最小，最小值为FG的长，
∵∠GOP=45°，∠POE=90°，
∴∠EOQ=45°，
∴∠FQO=45°，
∴△FGQ是等腰直角三角形，
∴FG= FQ，
∵F（1， ），直线l的解析式为y=-x，
3
∴Q（1，-1），
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∴FQ= -（-1）= +1，
∴FG= FQ= ×（ +1）= ，
∴PF＋ OP的最小值为 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟
练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线l 和直线l相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C
1 2
且∠OBC＝30度．
（1）求直线l的解析式；
2
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F
1
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的坐标，并求出此时 的最小值．
【答案】（1） ；（2）F（1， ），PF+ OP的最小值为 ；
【分析】（1）求出B（0， ），再由OC=BO•tan30°=1，求出C（1，0），再由待定系数法求直线解析
式即可；
（2）先确定∠ABC=90°，则可知C点关于直线l的对称点C'在l上，过点C'作C'K⊥y轴交K点，易证
2 2
△C'KB≌△COB（AAS），则C'的纵坐标为2 ，即可求C'（ 1，2 ），连接C'E交l于F，因为
1
EF+CF=EF+C'F≥C'E，所以当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E；当P、F、Q三点共线时，PF+
OP的值最小，过F作FG⊥x轴交l，于点G，易证△FQG为等腰直角三角形，然后求出最小值即可．
3
【详解】解：（1）令x=0，则y= ，
∴B（0， ），
∴OB= ，
∵∠OBC=30°，
∴OC=BO•tan30°= × ，
∴C（1，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，
2
则 ，
∴ ，
∴直线l的解析式为 ；
2
（2）令y=0，则 ，
∴x= 3，
∴A（ 3，0），
∴OA=3，
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∴tan∠ABO= ，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=90°，
∴C点关于直线l的对称点C'在l上，
1 2
如图1，过点C'作C'K⊥y轴交K点，
∵∠KBC'=∠CBO，∠C'KB=∠BOC，BC=BC'，
∴△C'KB≌△COB（AAS），
∴BK=BO= ，
∴C'的纵坐标为2 ，
∴ ，
∴x= 1，
∴C'（ 1，2 ），
连接C'E交l于F，
1
∵EF+CF=EF+C'F≥C'E，
∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E，
设直线C'E的解析式为y=kx+b，
∵E（5，0），C'（-1，2 ），
则 ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得x=1，
∴F（1， ），
作第二、四象限的角平分线l，，过点F作FQ⊥l，，交y轴于点P，交l，于点Q，
3 3 3
在Rt△PQO中，∠POQ=45°，
∴ ，
∴PF+ OP=PF+PQ≥FQ，
当P、F、Q三点共线时，PF+ OP的值最小，
过F作FG⊥x轴交l，于点G，
3
∴△FQG为等腰直角三角形，
∴FQ= FG，
∵l，的解析式为y= x，
3
∴G（1， 1），
∴FG=1+ ，
∴FQ= + ，
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∴PF+ OP的最小值为 + ．
【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造坐标象限的角平分线将
转化为求FQ的长是解（2）问的关键，数形结合，利用坐标平移的性质是解题关键．
22．如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 的坐标为 ，一次函数
的图象与边 、 、 轴分别交于点 、 、 ， ，并且满足 ，点
是线段 上的一个动点．
（1）求 的值；
（2）连接 ，若 的面积与四边形 的面积之比为 ，求点 的坐标；
（3）求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）利用矩形的性质，用 表示点 的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）首先求出四边形 的面积，再根据条件求出 的面积，即可解决问题；
（3）过点 作 轴交于点 ，则 ，即可转化为求 的最小值，作
点 关于一次函数的对称点 ，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，交一次函数于点 ，即 的
最小值为 ，算出长度即可．
【详解】（1）在 中，令 ，则 ，
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点 的坐标为 ，
， ，
，
把 代入 中得： ，
解得： ；
（2）由（1）得一次函数为 ， ， ，
， ， ，
，
的面积与四边形 的面积之比为 ，
的面积与四边形 的面积之比为 ，
，
设点 的横坐标为 ，则 ，
解得： ，
把 代入 中得： ，
；
（3）
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如图所示，过点 作 轴交于点 ，
，
，
，
作点 关于一次函数的对称点 ，且OO’与直线DF交于Q点，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，
，
，
当 、 、 在同一直线时 最小，
即 的最小值为 ，
，
， ， ，
在 中， ，
，
在 中． ，
的最小值为 ．
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