文档文本内容
押全国卷26题：电磁感应综合题（单杆+双杆+电路）
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
法拉第电磁 2023·新课标卷26
感应定律
电磁感应中 2023·全国甲卷25
电磁感应与动力学、能量
动力学、电
熟悉教材概念和规律，反复演练
路 结合的内容，在新高考下常以
2023·全国乙卷25
近几年高考真题，熟练掌握以下
、图像
压轴题的形式出现，是备考的
九大解题秘籍。
、动量和能 2022·全国乙卷24
重点和难点。
量转化等问
题 2021·全国乙卷25
1．（2023·全国甲卷，T25）如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为 ，导轨的最右
端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 。
一质量为 、电阻为 、长度也为 的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为 的绝缘棒Q位于P的左侧，以
大小为 的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出
导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。
求
（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由于绝缘棒Q与金属棒P发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得联立解得
，
由题知，碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点，则金属棒P滑出导轨时
的速度大小为
（2）根据能量守恒有
解得
（3）P、Q碰撞后，对金属棒P分析，根据动量定理得
又
，
联立可得
由于Q为绝缘棒，无电流通过，做匀速直线运动，故Q运动的时间为
2．（2021·全国乙卷，T25）如图，一倾角为 的光滑固定斜面的顶端放有质量 的U型导体框，导体
框的电阻忽略不计；一电阻 的金属棒 的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路 ； 与斜
面底边平行，长度 。初始时 与 相距 ，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下
滑距离 后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在
磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的 边正好进入磁场，并在匀速
运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小 ，重力加速
度大小取 。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【详解】（1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
（2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，之后金
属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可有
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为
当金属棒刚好离开磁场区域时，则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端EF刚好进入磁场，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得
（3）金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，则有
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有
导体框匀速运动的距离为
代入数据解得
一、感应电动势
1．导体平动切割磁感线产生感应电动势的算式E＝Blv的理解
(1)直接使用E＝Blv的条件是：在匀强磁场中，B、l、v三者互相垂直．如果不相互垂直，应取垂直分量进行计
算．
(2)有效长度
公式E＝Blv中的l为导体两端点连线在垂直于速度方向上的投影长度．如图，导体的有效长度分别为：
图甲：l＝sin β.
图乙：沿v方向运动时，l＝.
图丙：沿v 方向运动时，l＝R；沿v 方向运动时，l＝R.
1 2(3)相对速度
E＝Blv中的速度v是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系．
2．导体转动切割磁感线
如图，当长为l的导体在垂直于匀强磁场(磁感应强度为B)的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动，当导体运动
Δt时间后，转过的弧度θ＝ωΔt，扫过的面积ΔS＝l2ωΔt，则E＝＝＝Bl2ω(或E＝Bl＝Bl＝Bl＝Bl2ω)．
二、电磁感应中的电路问题
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
三、电磁感应中电荷量的计算
计算电荷量的导出公式：q＝n
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt内通
过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律＝n，得q＝Δt＝Δt＝Δt＝，即q＝
n.
四、电磁感应中的图像问题
1．解题关键弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题
的关键．
2．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生感应电动势和感
应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像．
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项．
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断．
五、电磁感应中的动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
v 若F ＝0 匀速直线运动
合
↓ v增大，若a恒定，拉力F增大
E＝Blv 若F ≠0 v增大，F 增大，F 减小，a减小，做加
合 安 合
a、v同向
↓ ↓ 速度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速
I＝ F ＝ma 直线运动
合
↓ a、v反向 v减小，F 减小，a减小，当a＝0，静止
安或匀速直线运动
F ＝BIl
安
↓
六、电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
―――――――→―――→
2．求解焦耳热Q的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
七、动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度 v、电荷量q、运
动时间t、运动位移x时常用动量定理求解．
水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速
度为v，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足
0
情景示例1 够长且电阻不计，从开始运动至停下来
求电荷量q －BLΔt＝0－mv，q＝Δt，q＝
0
求位移x －Δt＝0－mv，x＝Δt＝
0
初、末速度已知的变加速运动，在用动量定理列出的式子中 q＝
应用技巧
Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度
间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为
情景示例2 m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下
滑位移为x时，速度达到v－BLΔt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，q＝Δt－Δt＋mgsin θ·Δt＝
求运动时间
mv－0，x＝Δt
用动量定理求时间需有其他恒力参与．若已知运动时间，也可求q、
应用技巧
x、v中的任一个物理量
八、 动量守恒定律在电磁感应中的应用
1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦
力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便．
2．双棒模型(不计摩擦力)
双棒无外力 双棒有外力
示意图
F为恒力
导体棒1受安培力的作用做加速度
导体棒1做加速度逐渐减小的加
减小的减速运动，导体棒2受安培
速运动，导体棒2做加速度逐渐
动力学观点 力的作用做加速度减小的加速运
增大的加速运动，最终两棒以相
动，最后两棒以相同的速度做匀速
同的加速度做匀加速直线运动
直线运动
动量观点 系统动量守恒 系统动量不守恒
棒1动能的减少量＝棒2动能的增 外力做的功＝棒1的动能＋棒2
能量观点
加量＋焦耳热 的动能＋焦耳热
九、电磁感应现象中的几类典型问题
1.电磁感应现象中的单棒问题
模型 规律
；
1、力学关系：
阻尼式（导轨光滑） 2、能量关系：
3、动量电量关系： ；；
1、力学关系：
2、动量关系：
3、能量关系：
4、稳定后的能量转化规律：
5、两个极值：（1）最大加速度：v=0时,E反=0,电流、加速度最大。
电动式（导轨粗糙）
；
；
（2）
最大速度：稳定时，速度最大，电流最小。
1、力学关系：
2、动量关系：
3、能量关系：
4、稳定后的能量转化规律：
发电式（导轨粗糙）
5、两个极值：
（1）最大加速度：当v=0时， 。
（2）最大速度：当a=0时，2.电磁感应现象中的含容单棒问题
模型 规律
1、电容器充电量：
2、放电结束时电量：
3、电容器放电电量：
4、动量关系： ；
放电式（先接1，后接2。
导轨光滑）
5、功能关系：
达到最终速度时：
1、电容器两端电压： （v为最终速度）
2、电容器电量：
无外力充电式（导轨光
3、动量关系： ；
滑）
1、力学关系：
2、电流大小：
有外力充电式（导轨光
3、加速度大小：
滑）
3.电磁感应现象中的双棒棒问题
模型 规律
1、电流大小：
2、稳定条件：两棒达到共同速度
3、动量关系：
无外力等距式（导轨光
4、能量关系： ；
滑）
1、电流大小：
2、力学关系： ； 。（任意时刻两棒加速度）
有外力等距式（导轨光 3、稳定条件：当a＝a 时，v-v 恒定；I恒定；F 恒定；两棒匀加速。
2 1 2 1 A4、稳定时的物理关系：
； ； ；
滑）
1、动量关系： ；
2、稳定条件：
3、最终速度： ；
无外力不等距式 4、能量关系：
（导轨光滑）
5、电量关系：
F为恒力，则：
1、稳定条件： I恒定，两棒做匀加速直线运动
，
2、常用关系：
3、常用结果：
有外力不等距式
（导轨光滑）
此时回路中电流为： 与两棒电阻无关
1．如图甲，水平面上两根足够长的、电阻可忽略不计的平行金属导轨间距 ，导轨间两个矩形区域I和
Ⅱ的宽度分别为 、 ；区域I和II内有垂直于水平面向上的匀强磁场B 和B，其中B 随时间
1 2 1
变化的图像如图乙， 。导体棒a和b分别垂直导轨放置在I区域MM 的左侧和II区域的右边缘QQ 处，
1 1
在a、b中点处通过绝缘、松弛的轻绳连接。 时，a以平行于导轨的初速度 向左运动； 时，绳子瞬
间拉直带动b共同运动并匀速通过磁场区域II。已知a、b质量相等、电阻均为 ，b仅与NP、N P 之间的
1 1
导轨有摩擦，其他摩擦不计，且b未进入I区域，g取 ，回路中电流方向以俯视逆时针为正方向。（1）求 内回路的感应电动势大小和感应电流的大小及方向；
（2）求a棒的初速度 ；
（3）通过计算，在图丙中画出 内，回路中电流I随时间变化的图像。
【答案】（1） ， ，负方向；（2）1m/s；（3）
【详解】（1）由图乙可知 内
回路的感生电动势
回路中的电流
由楞次定律可知，回路中电流方向为顺时针，即负方向。
（2）设 棒的质量均为 ，轻绳拉直后瞬间两棒的共同速度为 ，由动量守恒定律得
棒在磁场区域II中运动产生的动生电动势
由题意可知两电动势相互抵消，则
联立解得
，
（3）各个时间段的电流分段计算如下，由（1）可知在 内，回路的电流
方向为负方向。 棒通过II磁场区域的时间因此 棒到达 边界时， 恰好为 。故在 内，回路电流
在 内，回路的感生电动势
故该段时间内电流
方向为正方向。由于 棒未进入区域Ⅰ， 后 ，所以在 内，回路的电流
综上所述， 内，回路中电流如下图
2．如图所示，在水平面内有一圆柱形轨道，虚线MN将轨道分为左右两部分，左侧光滑且有垂直于圆柱外表面
的辐射状磁场，右侧粗糙且有平行于圆柱的匀强电场。外表面绝缘的导体圆环P套在导轨上位于左端的弹射器
内，某时刻弹射器给P一冲量 ，将P弹射进入辐射状磁场，P向右运动一段时间在边界MN处与绝缘
带电圆环Q发生弹性碰撞，碰撞过程中Q的带电量不变，碰后P反弹进入磁场，Q则进入右侧电场中，在电场
右侧导轨上存在两档板，Q与档板碰后反弹，碰撞时间极短，碰后损失 的机械能。已知P、Q两圆环的直
径略大于导轨，磁场区域长度为 ，P、Q两圆环周长均为 ，P的质量 ，电阻 ，
Q环质量 ，带电量 ，Q环在虚线MN右侧受到摩擦阻力 ，圆环所在位置磁感应强度
，电场强度 ，右侧的挡板到MN的距离为 。求：
（1）导体环P刚弹射入磁场的加速度；
（2）P环与Q环碰后是否能返回弹射器，若能求出返回弹射器的速度，若不能求P环停止时离MN有多远；
（3）Q环在电场中运动的路程。【答案】（1） ，方向水平向左；（2）不能， ；（3）
【详解】（1）对P环，P环的初速度为
P环刚弹射入磁场产生的电动势为
体环P中电流为
根据牛顿第二定律可得
解得导体环P刚弹射入磁场的加速度为
方向水平向左。
（2）P环在磁场中向右运动过程中，由动量定理可得
又
联立解得
P、Q两环发生弹性碰撞，则有
解得
，
设P环向左运动的最大距离为 ，根据动量定理可得解得
P环不能返回弹射器，停止位置与MN的距离 。
（3）P、Q两环碰后Q环向右运动直到与挡板相撞，根据动能定理可得
解得
碰后动能变为
碰后根据动能定理可得
解得
Q环第二次向右运动到与挡板相撞，根据动能定理可得
解得
碰后动能变为
碰后根据动能定理可得
解得
同理可知，自Q环第一次碰挡板后，每次反向运动位移按等比规律变化，则有
则Q环在电场中运动的路程为
3．用质量为m、电阻率为 、横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框aba＇b＇。如图所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行。设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的磁
场忽略不计。可认为方框的aa＇边和bb＇边都处在磁极之间，极间磁感应强度大小为B。方框从静止开始释放，
其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻力，方框也没与磁极发生接触）。
（1）已知方框下落高度为h时，其速度为v（v<v ）。求在此过程中方框内产生的焦耳热；
t t m
（2）求方框下落的最大速度 （设磁场区域在竖直方向足够长）；
（3）若将方框质量不变、换成截面积 的n匝线圈（总长度为4nL），并且将线圈首尾相连，求其下落的最大
速度 与 的比值；
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据能量守恒定律有
解得此过程中方框内产生的焦耳热为
（2）方框下落速度为v时，产生的感应电动势为
感应电流为
则安培力为
方向竖直向上，方框下落过程，受到重力G及安培力F，当
方框达到最大速度，即有
根据电阻定律有则最大速度为
（3）若将方框质量不变、换成截面积 的n匝线圈（总长度为4nL），则有方框下落速度为v时，产生的感应
电动势为
感应电流为
则安培力为
方向竖直向上，方框下落过程，受到重力G及安培力 ，当
方框达到最大速度，即有
根据电阻定律有
则最大速度为
则其下落的最大速度 与 的比值为1:1
4．基于电容器的制动能量回收系统已经在一些新能源汽车上得到应用。某同学设计的这种系统的一种简易模型
如图所示。某种材料制成的薄板质量为m，围成一个中空圆柱，圆的半径为r，薄板宽度为L，可通过质量不计
的辐条绕过圆心O且垂直于圆面的水平轴转动。薄板能够激发平行于圆面且沿半径方向向外的辐射磁场，磁场
只分布于薄板宽度的范围内，薄板外表面处的磁感应强度为B。一匝数为n的线圈abcd固定放置（为显示线圈
绕向，图中画出了两匝），ab边紧贴薄板外表面但不接触，线圈的两个线头c点和d点通过导线连接有电容为
C的电容器、电阻为R的电阻、单刀双掷开关，如图所示。现模拟一次刹车过程，开始时，单刀双掷开关处于
断开状态，薄板旋转方向如图所示，旋转中薄板始终受到一与薄板表面相切、与运动方向相反的大小为f的刹
车阻力作用，当薄板旋转的角速度为 时，将开关闭合到位置1，电容器开始充电，经时间t电容器停止充电，
开关自动闭合到位置2直至薄板停止运动。除刹车阻力外，忽略其他一切阻力，磁场到cd连线位置时足够弱，
可以忽略。电容器的击穿电压足够大，开始时不带电，线圈能承受足够大的电流，不考虑可能引起的一切电磁辐射。求：
（1）电容器充电过程中，判断极板M带电的电性；
（2）开关刚闭合到位置1时，线圈切割磁感线的切割速度v的大小及此时产生的感应电动势；
（3）求充电结束时，薄板的角速度 大小；
（4）求薄板运动的整个过程中该系统的能量回收率。
【答案】（1）负电；（2） ， ；（3） ；（4）
【详解】（1）薄板旋转方向为逆时针，则线框相对于薄板的运动方向为顺时针，根据右手定则可知， 点电势
低于 点电势，故M板带负电。
（2）由线速度和角速度关系有
由法拉第电感应有
解得
（3）薄板旋转，线圈相对薄板的线速度分别为
同理充电后的速度为
停止充电时，两极板的电压为
在充电过程中，对薄板分析，根据动量定理得
充电的电荷量大小满足又因为
联立解得
（4）整个过程中，薄板损失的机械能为
充电过程中的 图像如图所示
利用微元法，结合充电过程中克服电场力做功的公式
电容的公式
可得到阴影面积为电容器充电过程中获得的能量，即
薄板运动的整个过程中该系统的能量回收率
联立解得
5．新能源电动汽车越来越受到人们的青睐，其核心关键部分之一就是电动机。某型号电动汽车的电动机结构简
化如图甲：AAAA、BBBB、C C C C 为三个完全相同、彼此绝缘、互成60°且有以OO 为公共对称轴的固
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2
定矩形线圈，构成定子；在定子内部有很多个完全相同的矩形线圈（图中只画了MMMM 一个），这些矩形
1 2 3 4
线圈排列类似于定子的三个固定线圈，都以OO 为公共对称轴、彼此绝缘且紧密排列在绕OO 轴360°范围内
1 2 1 2
固连在一起，构成转子，可绕OO 自由转动。转子通过OO 轴上的齿轮等机械构件与汽车车轮实现联动，当
1 2 1 2
转子所受磁场力为其转动的动力或阻力时，汽车也会同时受到相应的牵引力或阻力λF（F为此时转子中，磁通
量为0那个矩形线圈平行于OO 轴的“一条”边受的磁场力）。现在三个固定矩形线圈中分别通以图乙所示交
1 2流电i 、i 、i ，图中所标量均为已知，电流分别沿AA、BB、C C 为正向。单个固定线圈通电i后在其中心处
A B C 1 2 1 2 1 2
产生磁场，磁感应强度大小满足B=ki，k和λ均为定值。
（1）试通过定量计算，描述线圈中心处磁感应强度B的大小、方向变化情况；
（2）设转子线圈完全处于（1）所述磁场中，已知线圈MMMM 电阻为r，MM 长为L，MM 长为L；当质
1 2 3 4 1 2 1 1 4 2
量为m的汽车受恒定阻力f且以v匀速行驶时，求转子线圈绕OO 轴转动的角速度；
1 2
（3）如（1）（2）所述情况下，驾驶员突然踩刹车，三个固定线圈中电流立刻变为丙图所示，汽车经历时间t
停下；若任意时刻转子中所有线圈平行于OO 轴的“一条”边受的磁场力大小之和为δF，求：汽车整个刹车
1 2
过程中，所有转子线圈正、反向流过电量绝对值之和。
【答案】（1） ，以角速度 顺时针旋转；（2） ；（3）
【详解】（1）由乙图可得
；
故在t时刻ABC线圈分别在中心处产生的磁感应强度大小分别为
；
故在t时刻线圈中心处产生的合磁场
解得
解得故中心处磁感应强度大小恒定为
以角速度 顺时针旋转。
（2）由楞次定律，转子也会顺时针旋转，汽车匀速行驶时，设转子稳定旋转的角速度为 ，当线圈
磁通量为0时，该线圈中总感应电动势为
该线圈中电流为
所受安培力
汽车受到的牵引力
解得
（3）刹车过程，对汽车由动量定理
得
又因为在刹车的任意时刻，转子的所有线圈单边所受安培力大小之和
故刹车全过程
解得
6．如图所示，有一匝数 匝、内阻 、横截面积 的螺线管线圈内存在垂直线圈平面向上
的匀强磁场，磁感应强度随时间变化的规律为 ，线圈左侧有电容为 的超级电容器，平
行倾斜金属导轨可通过单刀双掷开关分别与线圈和电容器相连，倾斜导轨与水平金属导轨间通过一小段光滑绝
缘圆弧平滑连接．已知倾斜导轨的倾角 ，倾斜导轨和水平导轨间距均为 ，倾斜导轨内存在垂直导轨平面向上、磁感应强度 的匀强磁场，水平导轨 区域内存在方向竖直向上、宽度为 、
磁感应强度为 的匀强磁场，磁场边界与导轨垂直．现将开关接1，将一电阻不计、质量 的金
属杆 垂直倾斜导轨放在磁场边界 下方某处，金属杆 处于静止状态．然后将开关接2，金属杆 由静止
开始下滑，当滑到底端 时速度为 ，此后进入较长的光滑水平导轨，与磁场边界 左侧的“工”
字型联杆发生弹性碰撞，随后联杆向左运动穿过磁场区域．已知金属杆 与倾斜导轨间动摩擦因数 ，金
属杆 、 长度均为 、质量均为 、电阻均为 ，与金属杆垂直的绝缘轻杆 长度
也为 、质量不计．已知金属杆始终与导轨良好按触，导轨电阻不计，忽略磁场的边界效应，求：
（1）当开关接1时，金属杆 所受的摩擦力大小；
（2）当开关接2时，金属杆 从初始位置运动到倾斜导轨底端 的位移s；
（3） 与联杆相碰后，联杆穿过磁场区域 过程中， 杆上产生的焦耳热？
【答案】（1）1N；（2）4.5m；（3）1.25J
【详解】（1）当开关打到接头1时，由法拉第电磁感应定律，可知
感应电流
根据受力平衡列平衡方程
代入可得
（2）当开关打到接头2时，对金属杆ab受力分析可知
杆ab与电容器构成闭合回路，电流
联立求得杆做匀加速运动，加速度
杆ab运动至底端，根据匀变速直线运动规律有可得
（3）杆ab与联动装置发生弹性碰撞，由动量守恒和能量守恒可知其交换速度，故碰后杆ab静止，联杆速度变
为v=3. 0m/s
1
①当杆ef从FG运动到HI过程，ef杆为电源，ab和cd并联构成外电路，由于ab电阻不计，外电路短路，电路
中产生的电能全部转化为ef杆的焦耳热。对ef杆列动量定理
得
v=2m/s
2
由此得ef杆产生的焦耳热
②当杆cd从FG运动到HI过程，cd杆为电源，ab和ef并联构成外电路，由于ab电阻不计，ef被短路，电路中
产生的电能全部转化为cd杆的焦耳热，ef杆不发热。
所以整个过程中ef杆产生的焦耳热
Q=1. 25J
7．舰载机电磁弹射是现在航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界最先进的水平。某兴趣小组依据
所学知识设计出了一种电磁弹射模型，其原理可简化为图乙所示情景：水平面内由平行长直金属导轨组成的水
平区域内，等间距分布着竖直向下和竖直向上的磁场，磁感应强度均为B。电磁弹射装置可简化为一个矩形金
属框，其长边等于导轨间距L，短边等于每个磁场的宽度。磁场以速度v 向右匀速运动，固定在金属框上方的
0
舰载机在电磁力和发动机推力的双重作用下加速向右滑行，达到起飞速度时舰载机和金属框自动脱离，飞机升
空。舰载机在水平跑道上加速滑行时，受到竖直向上的机翼升力、发动机推力、空气阻力。升力F 、空气阻力
升
F 均与舰载机运动的速度成正比，即F =kv，F =kv，k、k 为已知常量。金属框与导轨接触面间的等效动摩
阻 升 1 阻 2 1 2
擦因数为μ。已知舰载机质量为M，金属框质量为m，舰载机在轨道上加速滑行时发动机推力为恒力F，金属框
电阻为R，其余电阻均不计。
（1）判断金属框在图乙位置时的感应电流方向（填“顺时针”或“逆时针”）；
（2）当舰载机达到升空速度时，金属框内感应电流多大？
（3）舰载机在水平轨道上匀加速滑行时磁感应强度B需满足什么条件？
（4）写出舰载机在水平轨道上匀加速滑行时发动机推力的功率随时间变化的关系式。【答案】（1）顺时针；（2） ；（3） ；（4）
【详解】（1）根据右手定则可知，金属框左右两边产生的感应电流方向均为顺时针方向，所以金属框中电流方
向为顺时针；
（2）达到升空速度，舰载机升力等于重力，即
联立可得
（3）由牛顿第二定律知
变形得
舰载机做匀加速滑行需满足的条件
即
为保证飞机能做匀加速运动，还需满足动力大于阻力，即
解方程得
所以，B需满足的条件为
（4）舰载机加速度为所以发动机推力的功率随时间变化的关系式为
8．中国第一台高能同步辐射光源（HEPS）将在2024年辐射出第一束最强“中国光”，HEPS工作原理可简化
为先后用直线加速器与电子感应加速器对电子加速，如图甲所示，直线加速器由多个金属圆筒（分别标有奇偶
序号）依次排列，圆筒分别和电压为U 的交变电源两极相连，电子在金属圆筒内作匀速直线运动。一个质量为
0
m、电荷量为e的电子在直线加速器0极处静止释放，经n次加速后注入图乙所示的电子感应加速器的真空室中，
图乙中磁极在半径为R的圆形区域内产生磁感应强度大小为B=kt（k>0）的变化磁场，该变化磁场在环形的真
1
空室中激发环形感生电场，使电子再次加速，真空室内存在另一个变化的磁场B“约束”电子在真空室内做半径
2
近似为R的圆周运动，已知感生电场大小为 （不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆
筒狭缝的时间），求：
（1）电子经第一次加速后射入1号圆筒的速率；
（2）电子在感应加速器中加速第一周过程中动能的增加量，并计算电子运动第一周所用的时间；
（3）真空室内磁场的磁感应强度B 随时间的变化表达式（从电子刚射入感应加速器时开始计时）。
2
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【详解】（1）对电子经第一次加速后射入1号圆筒的过程由动能定理有
解得（2）根据题意，设电子在感应加速器中加速第一周的时间为 ，该过程中感生电场
该过程属于变力做功，则由动能定理有
解得
设加速圆周运动的切向加速度为 ，由牛顿第二定律有
解得
直线加速 次后，由动能定理有
解得
加速一周后由能量守恒可得
解得
则加速一周的时间
（3）刚进入感应电子加速器时（即 ），根据洛伦兹力充当向心力有
解得
设经过任意时间 后电子的速度变化量大小为 ，则由动量定理有
对任意时刻由洛伦兹力充当向心力有解得
则
由此可得
则有
9．如图“自由落体塔”是一种惊险刺激的游乐设备，将游客升至数十米高空，自由下落至近地面再减速停下，
让游客体验失重的乐趣。物理兴趣小组设计了如图乙的减速模型，线圈代表乘客乘坐舱，质量为m，匝数N匝，
线圈半径为r，总电阻为R。减速区设置一辐向磁场，俯视图如图丙，其到中心轴距离r处磁感应强度 。
线圈被提升到离地 处由静止释放做自由落体运动，减速区高度为 ，忽略一切空气阻力，重力加速度为g。
（1）判断线圈刚进入磁场时感应电流方向（从上往下看），计算此时受到的安培力大小。
（2）若落地时速度为v，求全程运动的时间 。
（3）为增加安全系数，加装三根完全相同的轻质弹力绳（关于中心轴对称）如图丁，已知每一条弹力绳形变量
时，都能提供弹力 ，同时储存弹性势能 ，其原长等于悬挂点到磁场上沿的距离。线圈仍
从离地 处静止释放，由于弹力绳的作用会上下往复（未碰地），运动时间t后静止，求线圈在往复运动过程
中产生的焦耳热Q，及每根弹力绳弹力提供的冲量 大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，【详解】（1）右手定则判断电流沿顺时针方向，N匝线圈切割磁感线，由欧姆定律得 ，其中
联立得速度为v时线圈中通过电流
进入磁场前自由落体过程，由运动学公式得
则线圈受安培力
（2）全过程对线圈用动量定理，取向下为正，有
其中由（1）知
故有
回代解得
（3）最终静止时不切割，不受安培力，有
全过程系统能量守恒，有
解得线圈产生焦耳热
全过程对线圈用动量定理，取向下为正，有
其中由（2）知回代解得
由于弹力绳提供冲量向上，故
其大小为 。
10．图甲为某种发电装置，轻质钕磁铁固定在带状薄膜上，上下各固定一个完全相同的线圈。两线圈与磁铁共
轴，以薄膜平衡位置为原点O建立竖直向上x轴，线圈中心与磁铁相距均为 ，当周期性外力作用时，薄膜带
动磁铁在竖直方向上下振动，振幅为A。已知线圈的匝数为n、横截面积为S、磁铁中轴线上各点磁感应强度B
的大小与该点到磁铁中心距离x的关系如图乙所示，忽略线圈长度，线圈内各处磁感应强度的竖直分量近似等
于线圈中心位置的磁感应强度大小，不计线圈电阻和自感互感的影响，电路连接如图丙所示。定值电阻 ，
电容器的电容 ，足够长的光滑平行金属导轨 、 固定于水平面内，相距为 ，处于竖直向下、
大小为 的匀强磁场中，轨道在C、D处各被一小段正对的绝缘材料隔开，质量为 的金属棒a静
置于导轨 处，质量为 的金属棒b紧贴 右侧放置，质量为 的金属棒c静置于b棒右侧
的 处。a、b棒的接入电阻相同， ，c棒的接入电阻 ，所有导轨的电阻均不计。
初始时单刀双掷开关S与触点“1”闭合。
（1）若磁铁从O点运动到最高点历时 ，判断此过程流过电阻R中电流方向及流过R的电荷量；
（2）磁铁上升过程某时刻，电容器带电荷量 时，将开关S拨到触点“2”。当金属棒a运动至 时电容
器的电压 ，此时a、b两棒相碰结合为一个“双棒”整体，最终各棒运动达到稳定状态，求最终“双棒”
整体与c棒的距离以及从a、b棒碰后到各棒稳定的过程中a棒中产生的焦耳热；
（3）图乙中B与x关系式满足 （其中k为未知常数），图中 、 、 为已知量，写出磁铁以速率 向
上经平衡位置时，电阻 的电功率表达式。
【答案】（1）从M到N， ；（2） ， ；（3）
【详解】（1）由题意可知，当磁铁从O点向上运动到最高点，穿过上线圈的磁通量增大，下线圈的磁通量减
少，由楞次定律可知，流过电阻R的电流方向从M到N；由电磁感应定律可得线圈产生的平均感应电动势为流过R的电荷量
（2）电容器带电荷量 时，将开关S拨到触点“2”，电容器放电，棒a运动到CD时电容器的电压
，此时电容器所带电荷量为
该过程电容器放电
对棒a，由动量定理可得
又有
解得
a、b两棒相碰结合为一个“双棒”整体，由动量守恒定律可得
解得
此后，abc棒组成的系统动量守恒，最后速度相同 ，由动量守恒定律可得
解得
对c棒，由动量定理可得
其中
解得
最终“双棒”整体与c棒的距离
碰撞后abc棒组成的系统能量守恒，可得从a、b棒碰后到各棒稳定的过程中a棒中产生的焦耳热
（3）磁铁以速率 向上经平衡位置时，取极小的一段时间 （ 趋于零），上移极小位移 ，则有
其中
解得
同理可得
线圈中产生的感应电动势为
此时电阻 的电功率表达式
