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5.3 三角函数的性质（精练）（提升版）
题组一 值域
1．（2021·北京市第五中学高三阶段练习）已知 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由
设 ， ， ， ， ， ，
即 的值域为 ， .故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A． B．3
C． D．4
【答案】C
【解析】解：根据题意，设 ，则 ，
则原函数可化为 ， ，所以当 时，函数取最大值 .
故选：C.
3．（2021·河南·高三阶段练习（文））函数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
，
因此，当且仅当 是， 取最小值 ，故选：A
4．（2022·河北张家口）已知函数 ，其中 ．若函数 的最大值记为
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
因为 ，所以当 时
当且仅当 ，即 时取等号故选：D
5．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 的值域为 ,可得 ，
由 可得 ，所以 ，解得 ，所以a的取值范围是 ，故选:C
6．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））将函数 向右平移 个
单位长度得到函数 ，若函数 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将函数 向右平移 个单位长度得到函数 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 ，所以 ，故选：B.
7．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ， 的最小值为 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的最小值是 ，并且观察当 时， ，
所以当 时， 恒成立，即 ，当 时， ，
当 时， 恒成立，即 时， 的最大值是 ，所以 的最小值是 ，所以 .故选：D
8．（2022·江苏江苏·一模）（多选）下列函数中，最大值是1的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A， ，当且仅当 ，即 时
取“=”，即当 时， ，A不正确；
对于B， ，当且仅当 ，即 时取“=”，
即当 时， ，B正确；
对于C， ，当且仅当 ，即 时取“=”，
即当 时， ，C正确；
对于D，依题意，由 ， 都有意义，且 得： ，且 ，且
， ， ，显然 最大值为
1，
此时， ，而 使函数 无意义，即 不能取到1，D不正确.
故选：BC
9．（2022·江西九江·一模（理））函数 的值域为______．
【答案】【解析】当 ， 时， ，
而 ，∴ ，此时 ．
当 ， 时， ，
而 ，∴ ，此时 ．
∴ 的值域为 ．故答案为：
10．（2022·江西上饶·二模（理））已知函数 ，若 且 在区间
上有最小值无最大值，则 _______．
【答案】4或10
【解析】∵f(x)满足 ，∴ 是f(x)的一条对称轴，
∴ ，∴ ，k∈Z，
∵ω＞0，∴ .当 时， ，
y＝sinx图像如图：要使 在区间 上有最小值无最大值，则：
或 ，
此时ω＝4或10满足条件；
区间 的长度为： ，
当 时，f(x)最小正周期 ，则f(x)在 既有最大值也有最小值，故 不满足条
件.综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.
11．（2020·全国·高三专题练习）函数 的值域为________.
【答案】
【解析】 ，
由题意可得 ，所以， ，
因此，函数 的值域为 .故答案为： .
12．（2022·河南·高三阶段练习）将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到函数 的图象，若函数 在 时恒成立，则实数m的最大值
是___．
【答案】1【解析】因为 ，将 的图象上所有点的横坐标
缩短到原来的 （纵坐标不变）得到 ， ．
∵ ，∴ ．∴ ，即 ．∴ ．故实数m的最大
值是1，故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，且在 上的最大
值为 ，则 ___________.
【答案】
【解析】因为函数 在 上单调递减，所以 ， ，则 ，
又因为函数在 上的最大值为 ，所以 ，即 ，
所以 .故答案为：
13．（2022·全国·高三专题练习）当 时，函数 的最大值为______．
【答案】-4
【解析】由题意得 所以 ，
当 时， ，设 所以 ，所以当 时，函数 取最大值 .所以 的最大值为-4．故答案为：
14．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））求函数 ( )
的值域
【答案】
【解析】令 ，所以 ，
所以当 ，即 ( )时，
；当 ，即 ( )时， ，
因此函数 的值域应为 ．
题组二 伸缩平移
1．（2022·江西·高三阶段练习）已知函数 的部分图象如下所示，其中
， .将 的图象的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位长度后，得到函数
的图象，则 的一条对称轴方程是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ，故 ，故 ，故 ，
将 代入，可得 ，故 ，解得 ，
因为 所以 ，则 ，
将 的图象的横坐标缩短为原来的 ，得到 ，再向右平移 个单位长度后，得到
，
的对称轴方程为 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以选项A满足题意，
故选：A.
2．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））将函数 的图象沿水平方向平
移 个单位后得到的图象关于直线 对称（ 向左移动， 向右移动），当 最小时，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将函数 的图象沿水平方向平移 个单位后得到即 由题意 的图像关于直线 对称.
所以 ，即 当 时， ，此时 最小故选：C
3．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选）将函数 的图象向左平移
个单位长度后，与函数 的图象重合，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】 ，
向左平移 得 ，
与函数 的图象重合，故 ，
（1）若 ，
符合.
（2）若 ，
符合.
故选：AC
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，且 .将 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，再向上平移一个单位长度，得到
的图像；若 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 的最小正周期为T，则由图可知 ，得 ，则 ，所以
，
又由题图可知 图象的一个对称中心为点 ，
故 ， ，故 ， ，
因为 ，所以 ，所以 .
又因为 ，
故 ，所以 ；
将 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，再向上平移一个单位长度，
得到 的图象；
因为 ，所以 同时令 取得最大值3，
由 ，可得 ， ，
又 ，要求 的最大值，故令 ，得 ；
令 ，得 ，所以 的最大值为 ，
故选：D.
5．（2022·安徽黄山·二模（文））将函数 的图象向右平移 个
单位，得到函数 的图象，若 在 上为增函数，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】依题意，函数 ，
于是得 ，由 ， 得： ，
因此，函数 在 上为增函数，而 在 上为增函数，
于是得 ，解得 ，有 ，
所以 的最大值为2.
故选：C6．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 是奇函数．若将曲
线 向左平移 个单位长度后，再向上平移 个单位长度得到曲线 ，若关于x的方程
在 有两个不相等实根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 是奇函数，
所以 ，解得 ，即 ，
则 ，
向左平移 个单位长度后，得到 ，
向上平移 个单位长度，得到 ，
当 时， ，结合正弦函数对称性可知，
在 有两个不相等实根，则 且 ，
此时 ，实数m的取值范围是 .
故选：C．
7．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）将函数 的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】A
【解析】将函数 的图象分别向左平移 个单位长度后，
可得
将函数 的图象分别向右各平移 个单位长度后，
可得 ，
因为函数 与 的对称中心重合，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 的最小值为 .
故选：A.
8．（2022·安徽安庆·二模（理））已知函数 ， 的最小正周期为 ，
将其图象沿x轴向右平移 个单位，所得图象关于直线 对称，则实数m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由其最小正周期为 ，有 ，所以 ，
将其图象沿 轴向右平移 （ ）个单位，所得图象对应函数为，
其图象关于 对称，则有 ，
所以 ， ，
由 ，实数 的最小值为 .
故选：B.
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平
移 个单位长度得到函数 的图象，若函数 在 上存在唯一极值点，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知 的最小正周期 ，∴ ，∴ ，
∴ ，作出 的图象如图所示，数形结合可知 ，解得：
∴实数a的取值范围是 .
故选：D
10．（2022·四川巴中·一模（文））为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】B
【解析】 ，
所以，为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象向左平移 个单位长度，
故选：B.
题组三 三角函数的性质
1．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，把函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，得到函数 的图象，
则（ ）A． 为偶函数
B． 的最小正周期是
C． 的图象关于直线 对称
D． 在区间 上单调递减
【答案】BC
【解析】由图知， ，则 ，即 ，因为 ，所以 .
因为 为 的零点，则 ，得 .由图知， ，
则 ，所以 ， ，从而 .
由题设， ，
则 为非奇非偶函数，所以A错； 的最小正周期
，所以B正确；
当 时， ，则 的图象关于直线 对称，所以C正确.
当 时， ， 不单调，所以D错误.故选：BC.
2．（2022·海南·模拟预测）（多选）已知函数 （ ， ），则（ ）
A．存在 的值，使得 是奇函数 B．存在 的值，使得 是偶函数
C．不存在 的值，使得 是奇函数 D．不存在 的值，使得 是偶函数【答案】BC
【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 不可
能是奇函数，则A错误，C正确.
当 时， 是偶函数，则B正确，D错误.
故选：BC
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 ，则（ ）
A． ， 的最小正周期为 B． ，
C． ，使得 为偶函数 D． ，使得 为奇函数
【答案】BC
【解析】
，
对于A选项，取 ，则 为常函数，A错；
对于B选项， ， ，B对；
对于C选项，取 ，则 ，此时函数 为偶函数，C对；
对于D选项，若函数 为奇函数，由 ，
得 ，
可得 ，但 ，则 ，可得 ，D错.
故选：BC.
4．（2021·江苏·淮阴中学高三阶段练习）（多选）已知函数 ，下列结论正确的是
（ ）A． 的最小正周期为 B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 的最小值为
【答案】AD
【解析】解：对于A选项，由于函数 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ，所以
的最小正周期为 ，故A选项正确；
对于B选项，当 时， ，且当 时， ，
此时函数在 单调递减；当 时， ，此时函数在 上单调递增，故
B选项错误；
对于C选项，由于 ，
，故函数 的图象不关于直线 对称，故
C选项错误；
对于D选项，由题知 ，当 时， ，
，此时函数在 上的值域为 ；当 时， ，，此时函数在 上的值域为 ，故函数在一个周期内的值域为 ，进而函数
的值域为 ，即最小值为 ，故D选项正确.
故选：AD
5．（2022·全国·模拟预测）（多选）对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为1 B．最小值为
C．最小正周期为 D．图像的对称中心为
【答案】AC
【解析】因为
， ， ，
对 ：当 时， ， ，即 ， 时， 取得最大值1，
故 正确；
对 ：当 时， ， ，即 ， ，不在定义域内，故 不存在最小
值，故 错误；
对 ： 的最小正周期 ，故 正确；
对 ：定义域不满足关于点 对称，所以 不是 图象的对称中心，
故 错误.
故选： .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，给出下列结论：① 是奇函数；② 是周期函数；③ 的图象是轴对称图形；④ 的值域是 ，其中正确结论的序号为___________.
【答案】②③
【解析】由 ， ，可得①错误；
由 ，可得②正确；
由 ，可知 的图象关于直线 对称，③正确；
当 时 ， ，当 时 ， ，所以 的值域
是 ，④错误，所以正确结论的序号为②③ .故答案为：②③
7．（2022··模拟预测（理））已知函数 ，其图象与直线 相邻两
个交点的距离为 ，若 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 ，其图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，
故函数的周期为 ，故 ，
若 对 恒成立，即当 时， 恒成立，
所以 ，解得
因为 ，所以 .故选：D．
8．（2022·四川达州·二模（理））设 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 值域为 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D．
【答案】B
【解析】∵ ，
由 ，可得 ，
∴ ，即 或 ，
∴函数的值域为 ，故A错误；
∵ ，
当 时， 单调递增， 单调递减， 单调递增，
故 在 上单调递增，故B正确；
∵ ， ，
令 ，则 ，
由 ，可得 ， ，根据正弦函数在 上单调递增，可知在 上存在唯一的实数 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 在 上有增有减，故C错误；
由 ，可得
，故D错误.
故选：B.
9．（2022·河北石家庄·二模）（多选已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的一个周期为 B．函数 在 上单调递增
C．函数 的最大值为 D．函数 图象关于直线 对称
【答案】ABD
【解析】由 知，A正确；
由 在 上单调递增及复合函数的单调性知， 在 上单调递增，由 在
上单调递减，可知 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，故B正确；
当 时， ，故函数 的最大值取不是 ，故C错
误；关于直线 对称，故D正确.
故答案为：ABD
10．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）（多选）已知函数 （ ， ），若
函数 的部分图象如图所示，函数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 的图象
D．函数 在区间 上的单调递减区间为
【答案】ABD
【解析】根据函数 的图象，可知 ，
当 时，满足 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，可得 ．
对于A中，当 时， ，可得函数 的图象不关于直线 对称，所以A项错误；对于B中，当 时， ，可得函数 的图象不关于点 对称，所以B项错误；
对于C中，因为 ，将其图象向左平移
个单位，可得函数 的图象，所以C项正确；
对于D中，因为 ，所以 ，所以当 ，即 时，
单调递减，所以D项错误．
故选：ABD
11．（2022·全国·模拟预测）（多选）设函数 （ ， 是常数， ， ），若
在区间 上具有单调性，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的周期为
B． 的单调递减区间为
C． 的对称轴为
D． 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
【答案】ABD
【解析】由 在区间 上具有单调性知， 的周期T满足 ，所以 ，又
因为 ，所以 ， 在同一个周期内且 ，故 的一条对称轴为 ，又由 知 的一个对称中心为 ，且所求得的对称轴与对称中心是
相邻的，所以 ，得 ，即 ，A正确．
又因为 的一个对称中心为 ，所以 ， ，由 知， ，
故 .
，解得 ， ，B正确；
， ， ，C错误；
的图象向左平移 个单位得 ，
D正确．
故选：ABD．
12．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模（文））已知函数 的部分图象
如图所示.将函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，则下列有关 与 的描
述正确的有___________（填序号）.
① ；②方程 所有根的和为 ；
③函数 与函数 图象关于 对称.
【答案】①③
【解析】由图象可知： ， ， ；
又 ，由五点法可知： ，解得： ；
；
对于①， ，①正确；
对于②，
，即 ；
， ， 或 或 或 ，
所有根的和为 ，②错误；
对于③，
，
与 图象关于 对称，③正确.
故答案为：①③13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模（文））已知函数 的部分图象
如图所示.将函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，则下列有关 与 的描
述正确的有___________（填序号）.
① ；
②方程 所有根的和为 ；
③函数 与函数 图象关于 对称.
【答案】①③
【解析】由图象可知： ， ， ；
又 ，由五点法可知： ，解得： ；
；
对于①， ，①正确；
对于②，，即 ；
， ， 或 或 或 ，
所有根的和为 ，②错误；
对于③，
，
与 图象关于 对称，③正确.
故答案为：①③
题组四 三角函数性质与其他知识的综合运用
1．（2022·贵州黔东南·一模（文））若函数 在区间 内只有一个极小值点，
则 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，且 ，则 ，解得
.
结合各选项，只有A不可能.故选：A
2．（2022·新疆昌吉·一模（文））已知函数 在 上是增函数，且在 上
恰有一个极大值点与一个极小值点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ， ， ，所以 ，解得 ，
由 在 ， 上仅有一个极大值点与一个极小值点，则有 ，所以 ，又
，
所以 的取值范围为 ， ．故选： ．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，且 在 上有
最大值，没有最小值，则 的值可以是（ ）
A．17 B．14 C．5 D．2
【答案】A
【解析】由 ，且 在 上有最大值，没有最小值，可得 ，
所以 .由 在 上有最大值，没有最小值，可得 ，解得
，又 ，当 时， ，故结合选项知选A.故选：A
4．（2022·山东潍坊·一模）设函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
则 的最小值为（ ）.
A．1 B． C． D．【答案】D
【解析】因为函数 ，所以其最小正周期为 ，而区间 的区间长度是该函
数的最小正周期的 ，
因为函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
所以当区间 关于它的图象对称轴对称时， 取得最小值，对称轴为 ，此时
函数 有最值 ，
不妨设y取得最大值 ，则有 ，所以 ，
解得 ，得 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，
故选：D.
5．（2022·四川省泸县第四中学模拟预测（理））已知函数 ，给出下列四个
命题：
① 是函数 的一个周期； ②函数 的图象关于原点对称；
③函数 的图象过点 ； ④函数 为 上的单调函数.
其中所有真命题的序号是__________.
【答案】①②③【解析】函数 ，
对于①： ，故函数的最小正周期
为 ，故①正确；
对于②：函数 故函数的图像关于
原点对称，故②正确；
对于③：当 时， ，故③正确；
对于④：由于 ，所以 ，由于
，由于 的导数有正有负，所以函数 在 上有增有减，所以函数
在 上不是单调函数.故④错误．
故选：①②③．
6．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）函数 ，则方程 在
上的根的个数为（ ）
A．14 B．12 C．16 D．10
【答案】B
【解析】由题意，函数 满足 ，
所以函数 为偶函数，
当 时， ，
因为 ，即 ，
设 ，可得 ，解得 或 ，即 或 ，此时共有4个解；
当 时， ，
因为 ，即 ，
设 ，可得 ，解得 或 （舍去），
即 ，此时共有2个解，
所以方程 在 上的根的个数为 个.
故选：B.
7．（2022·河南·模拟预测（理））已知对任意 ，不等式 恒成立，则实数
a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】解：设 ，所以 .
所以对任意 ，不等式 恒成立，
所以对任意 ，不等式 恒成立，
当 时，不等式 不是恒成立；
当 时， 在 是增函数，在 是减函数， 在 是减函数，在 是增函
数，所以函数 在 是增函数，在 是减函数，所以当 时，
，与 矛盾，所以舍去；
当 时，对任意 ，不等式 恒成立，如图所示，所以 .综合得 .故答案为：
8．（2022·北京西城·一模）如图，曲线 为函数 的图象，甲粒子沿曲线 从 点向目的
地 点运动，乙粒子沿曲线 从 点向目的地 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的 倍，
当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为 ，乙
粒子的坐标为 ，若记 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 在区间 上是增函数
B． 恰有 个零点
C． 的最小值为
D． 的图象关于点 中心对称
【答案】B
【解析】由题意得： ，
所以 ，由 得 ，
令 ，则 ，因为 在 上递减， 在 上递增，
所以 在区间 上是减函数，故A错误；
令 ，得 或 ，解得 或 ，故B正确；
因为 ，所以 的最小值为 ，故C错误；
因为 ，关于 对称，是轴对称图形，
所以 不可能关于点 中心对称，故D错误；
故选：B
9．（2022·江苏南通·模拟预测）（多选）已知直线 与函数 的图象
相交，A，B，C是从左到右的三个相邻交点，设 ， ，则下列结论正确的是（ ）．
A．将 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称
B．若 ，则
C．若 在 上无最值，则 的最大值为
D．
【答案】BCD
【解析】A：将函数 的图象向右平移 个长度单位，
则 ，若 图象关于原点对称，则 为奇函数，有 ( )，
解得 ( )，又 ，得 ，
所以当且仅当 且 时， 图象关于原点对称，故A错误；
B：若 ，则 ，即 ，
设 ，则 ，且 ，
所以 ，得 ①，
又点A、B的中点的横坐标为 ，则 ，
所以 ，即 ②，
由①②得， ，有 ， ，
所以 ，所以 ，故B正确；
C：由函数 在 上无最值，知 在 上是单调的，
有 ，所以 ， ，
解得 ， ，所以当 时， 取得最大值 ，故C正确；
D：由B选项的分析可知， ， ，
两式相加，得 ，有 ，
所以 ，
即 ，所以 ，令 ，
则 ，又 ，易得 在 上单增，且 ，所以，
所以 ，则函数 在 上单调递减，所以 ，
即 ，故D正确.
故选：BCD
10．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 的部分图象如图所示，将
函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若集合 ，
集合 ，则 ______．
【答案】
【解析】由图可知 周期 ，∴ ．
由 得 ，∴ ， ，
∵ ，∴k取0， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ﹒
11．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数 ，方程 在 上的解按从
小到大的顺序排成数列 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】(1)解：由 ，
令 ，即 ，解得
，∴ ，
此时数列是等差数列，公差为 ，首项为 .
∴(2)证明：因为 ， ，
∵ ，
∴ .
