文档内容
第 54 讲 电磁感应中的电路及图像问题
目录
01 模拟基础练
【题型一】电磁感应中的电路问题
【题型二】电磁感应中电荷量的计算
【题型三】电磁感应中的图像问题
02 重难创新练
【题型一】电磁感应中的电路问题
1.如图所示，两根相距为l的平行直导轨ab、cd，b、d间连有一定值电阻R，导轨电阻可忽略不计。MN为
放在ab和cd上的一导体杆，与ab垂直，其电阻也为R。整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为
B，磁场方向垂直于导轨所在平面向里(指向图中纸面内)。现对MN施力使它沿导轨方向以速度v(如图)做
匀速运动。令U表示MN两端电压的大小，则( )
A.U＝Blv，流过电阻R的感应电流由b到d
B.U＝Blv，流过电阻R的感应电流由d到b
C.U＝Blv，流过电阻R的感应电流由b到d
D.U＝Blv，流过电阻R的感应电流由d到b
【答案】 A
【解析】 由右手定则可知，通过MN的电流方向为N→M，电路闭合，流过电阻R的电流方向由b到d，
B、D错误；导体杆切割磁感线产生的感应电动势为E＝Blv，导体杆为等效电源，其电阻为等效电源内阻，
由闭合电路欧姆定律可知，U＝IR＝·R＝Blv，A正确，C错误。
2.如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，匀强磁场垂直穿过
大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的
电势差为( )A.E B.E
C.E D.E
【答案】 B
【解析】 a、b间的电势差等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的，故a、b两点间电势差为U＝E，
选项B正确。
3. (多选)(2024·新疆名校联考)如图所示，A、B两闭合线圈为同样导线绕成，A有10匝，B有20匝，两圆
线圈半径之比为2∶1，均匀磁场只分布在B线圈内。当磁场随时间均匀减弱时( )
A.A中无感应电流
B.A、B中均有恒定的感应电流
C.A、B中感应电动势之比为2∶1
D.A、B中感应电流之比为1∶2
【答案】 BD
【解析】 当磁场随时间均匀减弱时，根据法拉第电磁感应定律E＝n＝nS，可知A、B两闭合线圈中均产
生恒定不变的感应电动势，则A、B中均有恒定的感应电流，故A错误，B正确；当磁场随时间均匀减弱
时，根据法拉第电磁感应定律有E＝n＝nS ∝n，则A、B中感应电动势之比为＝＝＝，故C错误；根据
有效
电阻定律知，线圈电阻为R＝ρ＝ρ＝∝nr，可得A、B两闭合线圈的电阻之比为＝·＝×＝，根据I＝，可得
A、B中感应电流之比为＝＝，故D正确。
4.如图，垂直纸面的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面的正方形导体框 abcd，现将导体框分别朝两个
方向以v、3v的速度匀速拉出磁场，则导体框分别从两个方向移出磁场的两个过程中( )
A．导体框中产生的感应电流方向相反
B．导体框ad边两端电势差之比为1∶3
C．导体框中产生的焦耳热之比为1∶3
D．通过导体框截面的电荷量之比为1∶3
【答案】C
【解析】： 将导体框拉出磁场的过程中，穿过导体框的磁通量都减小，由楞次定律判断出感应电流的方
向都沿逆时针方向，方向相同，故A错误；设正方形导体框的边长为L，导体框以速度v运动时，dc边中
感应电动势为E ＝BLv，ad边两端电势差为U ＝E ＝BLv；导体框以速度3v运动时，ad边中感应电动势为
1 1 1
E ＝3BLv，ad边两端电势差为U ＝E ＝BLv，导体框ad边两端电势差之比为U∶U ＝1∶9，故B错误；感应
2 2 2 1 2
电流I＝＝，时间t＝，焦耳热Q＝I2Rt＝∝v，导体框中产生的焦耳热之比为Q∶Q ＝1∶3，故C正确；将导
1 2
体框拉出磁场的过程中，穿过导体框的磁通量的变化量相同，根据推论 q＝可知，通过导体框截面的电荷
量相同，故D错误。5.在同一水平面上的光滑平行导轨P、Q相距l＝1 m，导轨左端接有如图所示的电路。其中水平放置的平
行板电容器两极板M、N相距d＝10 mm，定值电阻R＝R＝12 Ω，R＝2 Ω，金属棒ab的电阻r＝2 Ω，其
1 2 3
他电阻不计。磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场竖直穿过导轨平面，当金属棒ab沿导轨向右匀速运动时，
悬浮于电容器两极板之间的质量m＝1×10－14 kg、电荷量 q＝－1×10－14 C的微粒恰好静止不动。取g＝10
m/s2，在整个运动过程中金属棒与导轨接触良好，且速度保持恒定。试求：
(1)匀强磁场的方向；
(2)ab两端的路端电压；
(3)金属棒ab运动的速度。
【答案】：(1)竖直向下 (2)0.4 V (3)1 m/s
【解析】：(1)带负电荷的微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，因为重力竖直向下，所以电场力竖
直向上，故M板带正电。ab棒向右做切割磁感线运动产生感应电动势，ab棒等效于电源，感应电流方向
由b→a，其a端为电源的正极，由右手定则可判断，磁场方向竖直向下。
(2)微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，根据平衡条件有mg＝Eq
又E＝
所以U ＝＝0.1 V
MN
R 两端电压与电容器两端电压相等，由欧姆定律得，通过R 的电流为I＝＝0.05 A
3 3
则ab棒两端的电压为U ＝U ＋I＝0.4 V。
ab MN
(3)由法拉第电磁感应定律得，感应电动势E＝Blv
由闭合电路的欧姆定律得E＝U ＋Ir＝0.5 V
ab
联立解得v＝1 m/s。
【题型二】电磁感应中电荷量的计算
6.(2024·江苏南通调研)如图所示，正方形线圈MOO′N处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与水平
面的夹角为30°，线圈的边长为L，电阻为R，匝数为n。线圈从竖直面绕OO′顺时针转至水平面的过程中，
通过导线横截面的电荷量为( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 根据法拉第电磁感应定律得E＝n，又有I＝，q＝I·Δt，解得q＝n，又因为ΔΦ＝Φ －Φ ，Φ ＝
2 1 2
BL2sin 30°，Φ＝－BL2cos 30°，解得q＝，故A正确。
17. (2024·江苏南京模拟)如图所示，垂直纸面的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面内的正方形导体框
abcd，现将导体框分别朝两个方向以v、3v的速度匀速拉出磁场，则导体框从两个方向移出磁场的过程中(
)
A.导体框中产生的感应电流方向相反
B.导体框ad边两端电势差大小之比为1∶3
C.导体框中产生的焦耳热之比为1∶3
D.通过导体框截面的电荷量之比为1∶3
【答案】 C
【解析】 根据楞次定律和安培定则可以判断两次将导体框拉出磁场的过程中产生的感应电流方向均为逆
时针方向，选项A错误；设导体框的边长为l，以速度v拉导体框时，|U |＝Blv，当以3v拉出时，|U |＝
ad ad
Bl·3v＝Blv，因此两次拉出的过程中，ad边两端的电势差大小之比为1∶9，选项B错误；导体框移出磁场过
程产生的焦耳热Q＝t＝·＝v ，故两次移出过程产生的焦耳热之比为Q∶Q＝1∶3，选项C正确；导体框移出
出 1 2
磁场过程通过导体框截面的电荷量 q＝It＝t＝，故两次移出过程通过导体框截面的电荷量之比为q∶q ＝
1 2
1∶1，选项D错误。
【题型三】电磁感应中的图像问题
9.(多选)如图甲所示，虚线右侧有一垂直纸面的匀强磁场，取磁场垂直于纸面向里的方向为正方向，磁感应
强度B随时间t变化的关系如图乙所示，固定的闭合导线框 abcd一部分在磁场内。取线框中感应电流沿顺
时针方向为正方向，安培力向左为正方向。从t＝0时刻开始，下列关于线框中感应电流i、线框cd边所受
安培力F分别随时间t变化的图像，可能正确的是( )
【答案】 AD
【解析】 在0～时间内磁场方向垂直纸面向里且减小，由楞次定律可判断，产生的感应电流方向为顺时针方向，与规定的正方向相同，大小I＝·恒定，cd边受到的安培力方向向右，为负，大小F＝IlB均匀减小；
在～时间内，磁场方向垂直纸面向外且增强，产生的感应电流方向为顺时针方向，为正，大小恒定，cd边
受到的安培力方向向左，为正，大小均匀增加；在～时间内，磁场方向垂直纸面向外且减小，产生的感应
电流方向为逆时针方向，为负，大小恒定，cd边受到的安培力方向向右，为负，大小均匀减小；在～T时
间内，磁场方向垂直纸面向里且增强，产生的感应电流方向为逆时针方向，为负，大小恒定，cd边受到的
安培力方向向左，为正，大小均匀增加，综上分析，选项A、D正确。
10.(多选)(2024·云南师大附中月考)如图所示，间距为L的水平边界MN、PQ之间存在垂直纸面向外的匀强
磁场，一正方形线框位于磁场区域上方某一高度，线框的边长为L、ab边的电阻是dc边电阻的2倍，ad边、
bc边的电阻不计。若线框由静止释放，t＝0时刻dc边进入磁场，一段时间后ab边进入磁场并匀速穿过磁
场，整个线框通过磁场区域的过程中，ab边与dc边保持水平，则a、b两点之间的电势差U 随时间t的变
ab
化图像可能正确的是( )
【答案】 BCD
【解析】 设dc边的电阻是r，ab边的电阻是2r，由于下落高度不确定，dc边进入磁场后，线框可能做匀
速直线运动、加速度减小的加速直线运动或加速度减小的减速直线运动。dc边进入磁场时电动势为E＝
BLv，ab两点之间的电势差为U ＝·2r，dc边出磁场后，线框做匀速运动，a、b两点之间的电势差为U ＝
ab ab
·r，故A错误，B、C、D正确。
11．(2024·哈尔滨调研)(多选)如图甲所示，两根固定的平行金属导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，
导轨间距0.4 m，每根导轨单位长度的电阻为0.01 Ω/m。均匀变化的磁场垂直于导轨平面，磁感应强度 B
随时间t变化的规律如图乙所示。t＝0时刻有一电阻不计的金属杆从PQ端以1.0 m/s的速度向右做匀速运
动，滑动过程中保持与导轨垂直，则( )
A．0.5 s末回路中电动势为4×10－3 V
B．0.5 s末回路的电功率为1.6×10－3 W
C．0～1.0 s内穿过回路的磁通量变化量为8×10－3 Wb
D．1.0 s末金属杆所受安培力大小为6.4×10－3 N
【答案】CD【解析】： 金属杆在0.5 s时产生的电动势为E＝Blv＋S＝0.01×0.4×1 V＋×0.4×1×0.5 V＝8×10－3 V，A错
误；0.5 s末回路的电功率为P＝＝W＝6.4×10－3 W，B错误；0～1.0 s内磁通量的变化量为ΔΦ＝BS －0＝
1 1
0.02×0.4×1×1 Wb＝8×10－3 Wb，C正确；1.0 s末金属杆中的电流大小为I＝＝＝ A＝0.8 A，因此安培力大
小F＝BIl＝0.02×0.8×0.4 N＝6.4×10－3 N，D正确。
1
12．如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁场区域在y轴方向足够宽，在x轴方向宽度为a。一直角三
角形导线框ABC(BC边的长度为a)从图示位置沿x轴向右匀速穿过磁场区域，下列选项中关于BC两端的电
势差U 与线框移动的距离x的关系图像正确的是( )
BC
【答案】B
【解析】： 在0～a内，导线框切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，感应电流I＝＝，方向沿逆时针，有
效长度L均匀变大，感应电流I均匀变大，BC两端的电势差U ＝IR ，则随着I均匀增大，U 均匀增大，
BC 0 BC
且B点的电势高于C点的电势，U ＞0。在a～2a内，有效长度L均匀变大，感应电流均匀变大，方向沿
BC
顺时针，故U 均匀增大，且B点的电势低于C点的电势，U ＜0，只有B正确。
BC BC
1.(2024·陕西西安模拟)如图所示，半径为L的导电圆环(电阻不计)绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属
轴以角速度ω逆时针匀速转动。圆环上接有电阻均为r的三根金属辐条OA、OB、OC，辐条互成120°角。
在圆环圆心角∠MON＝120°的范围内(两条虚线之间)分布着垂直圆环平面向外、磁感应强度大小为B的匀
强磁场，圆环的边缘通过电刷P和导线与一个阻值也为r的定值电阻R 相连，定值电阻R 的另一端通过导
0 0
线接在圆环的中心轴上，在圆环匀速转动过程中，下列说法中正确的是( )
A.金属辐条OA、OB、OC进出磁场前后，辐条中电流的大小不变，方向改变
B.定值电阻R 两端的电压为BL2ω
0
C.通过定值电阻R 的电流为
0D.圆环转动一周，定值电阻R 产生的热量为
0
【答案】 C
【解析】 由题意知，三根金属辐条始终有一根在磁场中切割磁感线，切割磁感线的金属辐条相当于内阻
为r的电源，另外两根金属辐条和定值电阻R 并联，辐条进出磁场前后电流的大小、方向均改变，故A错
0
误；电路的总电阻R＝，圆环匀速转动时感应电动势E＝BL＝，所以定值电阻R 两端的电压U＝·＝，通过
0
定值电阻R 的电流I＝＝，故B错误，C正确；圆环转动一周，定值电阻R 产生的热量Q＝I2rT＝，故D错
0 0
误。
2．(多选)如图所示，abcd是位于竖直平面内用粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框，它的下方有一个垂直
纸面向里的匀强磁场，MN、PQ为磁场的上下水平边界，两边界间的距离与正方形的边长均为L，线框从
某一高度开始下落，恰好能匀速进入磁场。不计空气阻力，以bc边进入磁场时为起点，在线框通过磁场的
过程中，线框中的感应电流i、bc两点间的电势差U 、线框所受的安培力F、线框产生的焦耳热Q分别随
bc
下落高度h的变化关系可能正确的是( )
【答案】ABD
【解析】： 设正方形线框每条边的电阻为R，进入磁场时速率为v。正方形线框进入磁场过程中，只有
bc边切割磁感线，由右手定则可知，线框中电流方向为逆时针方向，设为正方向，大小为 i ＝；b、c两点
1
的电势差为U ＝BLv；正方形线框所受安培力为F ＝BiL＝＝mg，由左手定则知方向向上；线框产生的焦
bc 1 1
耳热为Q ＝i2·4R·t＝2×4R×＝h；由于v为定值，所以进入磁场过程，i、U 、F都恒定不变，Q随下落高度
1 1 bc
h均匀增大。正方形线框离开磁场过程中，线框所受安培力继续被重力平衡，所以速度还是v；ad边切割
磁感线，由右手定则可知，线框中电流方向为顺时针，与进入磁场过程方向相反，则为负值，其大小为i
2
＝，与i 等大反向；b、c两点的电势差为U ′＝BLv；正方形线框所受安培力为F ＝BiL＝＝mg，与F 相
1 bc 2 2 1
同；线框产生的焦耳热为Q ＝i2·4R·t′＝2×4R×＝(h－L)，随下落高度h继续均匀增大。综上可知，A、B、
2 2
D正确，C错误。
3．(多选)如图所示，间距为L的两条平行光滑竖直金属导轨PQ、MN足够长，底部Q、N之间连接阻值为
R 的电阻，磁感应强度大小为B、范围足够大的匀强磁场与导轨平面垂直。质量为 m、阻值为R 的金属棒
1 1 2
ab垂直放在导轨上，且棒的两端始终与导轨接触良好。导轨的上端点 P、M分别与横截面积为S的n匝线圈的两端连接，线圈的轴线与磁感应强度大小均匀变化的匀强磁场 B 平行。开关K闭合后，金属棒ab恰
2
能保持静止。已知重力加速度大小为g，其余部分电阻均不计。则由此可知( )
A．匀强磁场B 的磁感应强度均匀减小
2
B．流过电阻R 的电流为
1
C．匀强磁场B 的磁感应强度的变化率为
2
D．断开K之后，金属棒ab下滑的最大速度为
【答案】CD
【解析】： 根据题意可知，开关K闭合后，金属棒ab恰能保持静止，则金属棒ab受竖直向上的安培力
大小等于金属棒的重力大小，保持不变，由左手定则可知，电流方向由a→b，且大小不变，则线圈中电流
方向为M→P，由楞次定律可知，磁场B 的磁感应强度均匀增大，故A错误；设流过金属棒的电流为I ，
2 1
由以上分析可知BIL＝mg，解得I＝，由并联分流原理可得，流过电阻R 的电流为I＝＝，由于线圈电阻
1 1 1 1 2
不计，则金属棒ab两端电压等于线圈产生的感应电动势，则有n＝nS＝IR ＝，解得＝，故B错误，C正
1 2
确；断开K之后，当金属棒所受合力为零时，速度最大，设最大速度为 v ，则有E＝BLv ，I ＝，F ＝
m 1 m m A
BLI ＝mg，解得v ＝，故D正确。
1 m m
5．如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨 MN、PQ相距l，在M、P和N、Q间各连接一个额定电
压为U、阻值恒为R的灯泡L 、L ，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d 的有界
1 2 0
匀强磁场，磁感应强度为B ，且磁场区域可以移动，一电阻也为R、长度也刚好为l的导体棒ab垂直固定
0
在磁场左边的导轨上，离灯泡L 足够远。现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒 ab刚处
1
于磁场中时两灯泡恰好正常工作。棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计。
(1)求磁场移动的速度大小；
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，两灯泡中有一灯泡正常
工作且都有电流通过，设t＝0时，磁感应强度为B。试求出经过时间t时磁感应强度的可能值B。
0 t
【答案】：(1) (2)B±t
0
【解析】：(1)当ab刚处于磁场中时，ab棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，灯泡刚好正常工
作，则电路中路端电压U ＝U，由电路的分压之比得U ＝2U，则感应电动势为E＝U ＋U ＝3U
外 内 外 内
由E＝Blv＝3U，解得v＝。
0
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，可得棒ab与L 并联后再
1
与L 串联，则正常工作的灯泡为L，所以L 两端的电压为U，电路中的总电动势为E＝U＋＝
2 2 2根据法拉第电磁感应定律得
E＝＝ld
0
联立解得＝，所以经过时间t时磁感应强度的可能值B＝B±t。
t 0
6.(多选)(2024·贵州师大附中统考模拟)如图所示，在MN右侧区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强
度大小为B。一高为a、总电阻为R的正三角形金属线框平行纸面向右匀速运动。在t＝0时刻，线框底边
恰好到达MN处；在t＝T时刻，线框恰好完全进入磁场。在线框匀速进入磁场的过程中( )
A.线框中的感应电流方向为逆时针方向
B.t＝时刻，流过线框的电流大小为
C.若线框运动的速度越大，全过程线框产生的焦耳热越多
D.若线框运动的速度越大，全过程通过线框的电荷量越多
【答案】 AC
【解析】 根据右手定则，线框匀速进入磁场的过程中，线框中的感应电流方向为逆时针方向，故 A正确；
t＝时刻，电动势E＝B·a·v，其中v＝，则电流I＝＝，故B错误；运动速度越大，安培力越大，相同位移，
克服安培力做功产生的热量越多，故C正确；由于q＝IΔt＝Δt＝，电荷量多少与速度无关，故D错误。
7.(2024·新疆乌鲁木齐模拟)空间中存在如图甲所示的磁场，磁感应强度B与水平位置x的关系图线如图乙
所示，0～L区域的B－x图线为一水平直线，L～2L区域的B－x图线为一倾斜直线。边长为L、电阻为R
的单匝正方形线框abcd以水平速度v匀速通过磁场区域，整个过程中线框平面始终与磁场方向垂直，ab边
始终与磁场的左边界保持平行。求：
(1)cd边刚进入磁场时受到的安培力的大小F；
(2)ab边从x＝L的位置运动到x＝2L的位置的过程中，通过线框某一横截面的电荷量q。
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)设cd边刚进入磁场时产生的感应电动势为E，感应电流为I，则有
E＝BLv，I＝
0
又安培力F＝ILB
0
联立解得F＝。
(2)设ab边从x＝L的位置运动到x＝2L的位置的过程中，线框中的平均感应电流为I，ab边的平均感应电动
势为E，则有E＝，ΔΦ＝L2，I＝，q＝It
联立解得q＝。
8.一个阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R、电容为C的电容器连接成如图(a)所示回
1
路。金属线圈的半径为r ，在线圈中半径为r 的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应
1 2
强度B随时间t变化的关系图线如图(b)所示。图线与横、纵轴的截距分别为t 和B。导线的电阻不计。求：
0 0
(1)通过电阻R 的电流大小和方向；
1
(2)0～t 时间内通过电阻R 的电荷量q；
1 1
(3)t 时刻电容器所带电荷量Q。
1
【答案】 (1) 从b到a (2) (3)
【解析】 (1)由B－t图像可知，磁感应强度的变化率为＝
根据法拉第电磁感应定律，可知感应电动势为
E＝n＝nπr＝
根据闭合电路欧姆定律，
可知感应电流为I＝
1
联立解得I＝
1
根据楞次定律可知通过R 的电流方向为从b到a。
1
(2)通过R 的电荷量q＝It
1 11
解得q＝。
(3)电容器两板间电压为U＝IR＝
1 1
则电容器所带的电荷量为Q＝CU＝。
