文档内容
第03课 奇偶性、对称性与周期性（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2022秋·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递
增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高三专题练习）若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·高一单元测试）函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]
4．（2022秋·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考期中）设函数 是定义在实数集上的奇函数，在区间
上是增函数，且 ，则有
A． B．
C． D．
5．（2022秋·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中）已知 是定义在 ， 上的偶函数，且在 ，
上为增函数，则 的解集为
A． B． C． D．
6．（2022秋·高一课时练习）已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足 的 x 取值
范围是（ ）A． B． C． D．
7．（2023春·江苏苏州·高二常熟中学校考阶段练习）已知函数 为偶函数，且函数 在
上单调递增，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则下列说法
正确的是（ ）
A． 是周期为 的周期函数 B． 是周期为 的周期函数
C． 为奇函数 D． 为奇函数
9．（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考开学考试） 是定义在 上周期为4的函数，且
，则下列说法中正确的是（ ）
A． 的值域为
B．当 时，
C． 图象的对称轴为直线
D．方程 恰有5个实数解
10．（2023春·高一单元测试）已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数
为奇函数，则（ ）
A．函数 是周期函数 B．函数 的图象关于点 对称C．函数 为 上的偶函数 D．函数 为 上的单调函数
11．（2023春·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有
，当 时， ，则（ ）
A． 是以2为周期的周期函数
B．点 是函数 的一个对称中心
C．
D．函数 有3个零点
12．（2020·全国·高三专题练习）定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对 ，都有 ， 为奇函数，且
时， ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图像关于点 中心对称
B． 是周期为2的函数
C．
D．三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条
件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称
图形的充要条件是函数 为奇函数，则 的图象的对称中心为 .
15．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）写出一个同时具有下列性质①②③的函数
.① 是定义域为 的奇函数；② ；③ .
16．（2020·全国·高三专题练习）已知 ，函数 为偶函数，且在 上是减
函数，则关于 的不等式 的解集为 ．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
．
18．（2020秋·内蒙古包头·高一包头市第六中学校考期中）已知函数 的图象关于点
对称，则 ．
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数 满足 ，且 是奇函
数，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称
2．（2022·江西赣州·赣州市赣县第三中学校考模拟预测）已知定义在 的函数满足 ，，则下列结论正确的是（ ）
A． 不是周期函数
B． 是奇函数
C．对任意 ，恒有 为定值
D．对任意 ，有
3．（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）若函数 为偶函数，对任意的 ，且 ，
都有 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·陕西安康·高三校考阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 都有
，当 时， ，则
A． B． C． D．
5．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）已知定义在R上的奇函数 满足
，且当 时， ，则下列不等式正确的是
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为R， ，且 在 上单调递减，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
．则下列结论正确的是（ ）．
A．当 时，
B．函数 有五个零点
C．若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是
D．对 ， 恒成立
8．（2023·全国·高三专题练习）关于函数 有以下四个选项，正确的是（ ）
A．对任意的a， 都不是偶函数 B．存在a，使 是奇函数
C．存在a，使 D．若 的图像关于 对称，则
9．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，
是偶函数，当 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数 关于直线 对称
B．4是函数 的周期C．
D．方程 恰有4不同的根
10．（2023春·安徽·高二马鞍山二中校考阶段练习）已知函数 （ ）是奇函数，
且 ， 是 的导函数，则（ ）
A． B． 的一个周期是4
C． 是偶函数 D．
11．（2022春·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，f(x+1)=f(1-
x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=-x2+2x，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的图象关于直线x=1对称 B．当 时，
C．当 时，f(x)单调递增 D．
12．（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）已知函数 为 上的奇函数， 为偶函数，
下列说法正确的有（ ）
A． 图象关于直线 对称 B．
C． 的最小正周期为4 D．对任意 都有
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 为R上的奇函数，且 ，当 时，
，则 的值为 ．
14．（2022秋·山东菏泽·高一校考阶段练习）设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式
<0的解集为 .
15．（2021秋·上海静安·高三上海市第六十中学校考阶段练习）设 是定义在R上以2为周期的偶函数，当 时， ，则函数
在 上的解析式是
16．（2022春·江西吉安·高二校联考阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，若对于 ，都
有 ，且当 时， ，则 的值为 .
17．（2022·高二课时练习）已知函数 的图象是以点 为中心的中心对称图形，
，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线互相垂直，
则 ．
18．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）关于函数 ，有如下四个命题：
①若 ，则 的图象关于点 对称；
②若 的图象关于直线 对称，则 ；
③当 时，函数 的极值为 ；
④当 时，函数 有两个零点．
其中所有真命题的序号是 ．
【三层练能力】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）函数 、 的定义域为 ， 的导函数
的定义域为 ，若 ， ， ， ，则
的值为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 为奇函数，
为偶函数，记 ，且当 时， ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 是定义在 上的函数，且 为奇函数， 为偶函
数，当 时， ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2023春·陕西渭南·高一统考期末）已知函数 、 定义域均为 ，且 ，
为偶函数，若 ，则下面一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·广东茂名·统考二模）已知定义在 上的函数 满足 ，函数 为
奇函数，且对 ，当 时，都有 .函数 与函数
的图象交于点 ， ，…， ，给出以下结论，其中正确的是（ ）A． B．函数 为偶函数
C．函数 在区间 上单调递减 D．
6．（2023·山西大同·统考模拟预测）定义在R上的函数 ， 满足 ， ，
， ，则（ ）
A． 是函数 图象的一条对称轴
B．2是 的一个周期
C．函数 图象的一个对称中心为
D．若 ，且 ， ，则n的最小值为2【一层练基础】参考答案
1．C
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【详解】对 ：容易知 是偶函数，且在 单调递减，故错误；
对 ：容易知 是偶函数，当 时， ，
其在 单调递增，在 单调递减，故错误；
对 ：容易知 是偶函数，当 时， 是单调增函数，故正确；
对 ：容易知 是奇函数，故错误；
故选：C.
2．B
【分析】根据函数为奇函数，求得当 时 的解析式，与已知的解析式对应即可得到结果.
【详解】 为奇函数
当 时，
又 时，
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.
3．D【分析】根据奇函数的性质，并根据函数的单调性求解即可.
【详解】由函数 为奇函数，得 ，
不等式 即为 ，
又 在 单调递减，∴得 ，即 ﹒
故选：D．
4．A
【分析】由题意可得 ， ，再利用函数在区间
上是增函数可得答案.
【详解】解： 为奇函数， ，
又
， ，
又 ，且函数在区间 上是增函数，
，
，
故选A.
【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.
5．B
【分析】由偶函数定义域的对称性可求 ，从而可得 在 ， 上为增函数，在 ， 上为减函数，
距离对称轴越远，函数值越小，可求．
【详解】解： 是定义在 ， 上的偶函数，
，
，
在 ， 上为增函数，
在 ， 上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，
由 可得 ，且 ，且 ，解得 ，
故不等式的解集为 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考
查函数性质的应用．
6．A
【分析】由偶函数性质得函数在 上的单调性，然后由单调性解不等式．
【详解】因为偶函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上单调递减，故 越靠近 轴，函数值越小，
因为 ，
所以 ，解得： .
故选：A．
7．A
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.
【详解】因为 为偶函数，所以 的图像关于y轴对称，则 的图像关于直线 对称．
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，解得 ．
故选：A.
8．BD
【分析】AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合 ， 为奇函数判断.
【详解】因为函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 ，即 ，故B正确A错误；
因为 ，且 为奇函数，所以 为奇函数，故D正确；
因为 与 相差1，不是最小周期的整数倍，且 为奇函数，所以 不为奇函数，
故C错误.
故选：BD.
9．ABD
【分析】画出 的部分图象结合图形分析每一个选项即可.
【详解】根据周期性，画出 的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确；
根据周期为 ，当 时， ，故B正确.
故选：ABD.
10．ABC
【解析】利用 可以判断函数 的周期性，利用 为奇函数可以判断函数
的对称性和奇偶性，最后选出正确答案.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，故A正确；因为函数 为奇函数，所以函数 图像关于原点成中心对称，所以B正确；
又函数 为奇函数，所以 ，根据 ，令 代 有
，所以 ，令 代 有 ，即函数 为 上的偶函数，
C正确；
因为函数 为奇函数，所以 ，又函数 为 上的偶函数， ，所以函数不单
调，D不正确.
故选：ABC.
【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性以及对称性，属于基础题.
11．BD
【分析】首先根据函数的对称性求出 的周期和对称中心，然后求得 .利用图象法即
可判断D.
【详解】依题意， 为偶函数，
且 ，有 ，即 关于 对称，
则
，
所以 是周期为4的周期函数，故A错误；
因为 的周期为4， 关于 对称，
所以 是函数 的一个对称中心，故B正确；
因为 的周期为4，则 ， ，
所以 ，故C错误；作函数 和 的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数 有3个零点，故D正确.
故选：BD.
12．ABC
【解析】由已知可得 是周期为 的函数，结合奇偶性和已知解析式，即可求出函数值，逐项验证即可.
【详解】由 知 的周期为6，
，
，
.
故选:ABC.
【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.
13．ACD
【分析】根据 为奇函数得 ,推出 ，判断A；结合
，推出 ，判断B；采用赋值法求得 ，判断C;利用函数
的周期性结合题设判断D.
【详解】由题意 为奇函数得 ，即 ，
故 的图像关于 中心对称，故A正确；由 ， 得 ，
所以 ，即 是周期为4的函数，故B错误；
由 ，令 ，则 ，
故 ，故C正确；
时， ，
∵ 的周期为4，∴ ，故D正确，
故选:
14．
【分析】求解出 ，利用定义法判断出其为奇函数，从而得到 的图象的对
称中心.
【详解】因为 ，定义域为R，
且 ，
所以 为奇函数，
故 的图象的对称中心为 .
故答案为： .
15． （答案不唯一）
【分析】根据满足的条件写出一个函数即可.
【详解】由条件①②③可知函数对称轴为 ，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数
.故答案为： （答案不唯一）
16．
【分析】由函数 为偶函数可得 ，即 结合单调性可知 ，数形结合即可
得到结果.
【详解】解：因为 ＝ 为偶函数，所以， ，
，
又因为 在 上是减函数，所以， ，
由二次函数图象可知： 的解集为 ，
的图象看成是 的图象向右平移2个单位，得到，
所以， 的解集为
故答案为
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查函数与方程思想，数形结合
思想.
17．4043
【分析】根据题意，化简得到 ，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】由题意，函数 ，
可得
，
设 ，
则
两式相加，可得，
所以 .
故答案为： .
18．1
【分析】根据 化简求解即可.
【详解】由已知函数图象关于 对称，得 ， ，
整理得 ，所以当 时，等式成立，即 .
故答案为:1.
【二层练综合】参考答案
1． C
【分析】由周期函数的概念易知函数 的周期为2，根据图象平移可得 的图象关于点 对称，
进而可得奇偶性.
【详解】由 可得2是函数 的周期，
因为 是奇函数，所以函数 的图象关于点 对称，
所以 ， ，所以 是奇函数，
故选：C.
2． C
【分析】利用已知两个等式进行变形，由此可推出函数 为周期是4的偶函数，从而可判断选项 ，
再利用周期性可得 的值，即可判断
【详解】 ，∴，∴
∴ ，∴
∴ ，∴ 是周期为4的函数
∴ ，∴ 为偶函数
在 中，令 ，有
故 是定值
当 时， 即为 ，故D不正确
故选：C
【点睛】本题考查了函数的周期性与对称性综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于
中档题
3． A
【分析】由题意可得函数 在 上递减，且关于 对称，则 ，利用作差法比较
三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】解：由对 ，且 ，都有 ，
所以函数 在 上递减，
又函数 为偶函数，
所以函数 关于 对称，
所以 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
故选：A.
4． A
【分析】根据题意，对 变形可得 ，则函数 是周期为 的周期函数，
据此可得 ， ，结合函数的解析式以及奇偶性求出 与 的值，相加
即可得答案．
【详解】根据题意，函数 满足任意的 都有 ，则 ，
则函数 是周期为 的周期函数，
，
又由函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
时， ，则 ，
则 ；
故 ；
故选A．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．5． C
【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期 ，然后利用函数 的性质计算或估计 、
、 的值或范围即可比较大小.
【详解】由 ，得 ，所以 ， 的周期 .又 ，
且有 ，
所以 ， .
又 ，所以 ，即 ，
因为 时， ，
所以
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查根据已知条件推导抽象函数的周期性并利用函数的奇偶性、周期性等性质，再结合
函数在指定区间的解析式比较函数值的大小问题，试题综合性强
6． C
【分析】由 可得函数 的图象关于直线 对称，进而得到 在 上单调递
增，数形结合将 转化为 ，解不等式即可.
【详解】因为 ， ，所以函数 的图象关于直线对称，
又 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，
结合草图可知：要使 ，则 到 的距离小于 到 的距离，故不等式
等价于 ，两边同时平方后整理得 ，解得 或 .
故选：C．
7． AD
【分析】根据函数 是奇函数，求出 时的解析式，可判断A；利用导数求出函数 在 上的
单调区间及极值，再结合 是奇函数，可作出函数 在 上的大致图象，从而可逐项判断B、C、D．
【详解】设 ，则 ，所以 ，
又函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，即
故A正确．
当 时， ，所以 ，
令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时，函数 取得极小值 ，
当 时， ，又 ，故函数 在 仅有一个零点 ．
当 时， ，所以函数 在 没有零点，
所以函数 在 上仅有一个零点，函数 是定义在 上的奇函数，
故函数 在 上仅有一个零点 ，又 ，
故函数 是定义在 上有3个零点．
故B错误．
作出函数 的大致图象，由图可知
若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 .
故C错误．
由图可知，对 ，
故D正确．
故选：AD．
【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函
数的零点，综合性较强．
8． AD
【分析】根据辅助角公式将函数 化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为 ，其中 ， ，
对于A，要使 为偶函数，则 ，且 ，即对任意的a， 都不是偶函数，
故正确；
对于B，要使 为奇函数，则 ，且 ，即不存在a，使 是奇函数，故正确；对于C，因为 ，故错误；
对于D，若 的图像关于 对称，则 ， ，
解得 ，且 ，所以 ，即 ，故正确.
故选：AD
9．ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可
判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出 和 的图
象，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为 是偶函数，
所以 ，即
所以 关于 对称，故A正确.
对于B：因为 ，
所以 ，
所以 ，即周期 ，故B正确
对于C：
所以 ，故C错误；
对于D：因为 ，且 关于直线 对称，
根据对称性可以作出 上的图象，
又 ，根据对称性，可作出 上的图象，
又 的周期 ，作出 图象与 图象，如下图所示：
所以 与 有4个交点，故D正确.
故选： ABD
10．BC
【分析】根据函数奇偶性与 可得 ，根据导数的运算可得 从
而可判断B项，根据周期性与奇偶性可判断A项，根据奇偶性与导数运算可得 ，从而可判断
C项，在 中，令 代入计算可判断D项.
【详解】因为函数 是奇函数， ，
所以 ，
所以 ，即： ，故 的周期为4，
所以 ，故 的一个周期为4，故B项正确；
，故A项错误；
因为函数 是奇函数，
所以 ，
所以 ，即： ，
所以 为偶函数，故C项正确；
因为 ，
所以 ，
令 ，可得 ，解得： ，故D项错误.
故选：BC.11． ACD
【分析】根据给定条件探讨函数 的性质，再逐一分析各个选项判断作答.
【详解】因 ，则有函数 图象关于 对称，A正确；
由 得 ，又R上的函数 满足 ，因此有 ，
于是得函数 是周期为2的周期函数，当 时， ，
则 ，B不正确；
因当 时， ，因此 在 上单调递增，C正确；
因函数 是周期为2的周期函数，则 ，D正确.
故选：ACD
12． ABD
【分析】由奇偶性知 的对称中心为 、对称轴为 ，进而推得 ，即可判断各选
项的正误.
【详解】由 的对称中心为 ，对称轴为 ，
则 也关于直线 对称且 ，A、D正确，
由A分析知： ，故 ，
所以 ，
所以 的周期为4，则 ，B正确；
但不能说明 最小正周期为4，C错误；
故选：ABD
13． /-0.8
【分析】由题设条件可得 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有 ，根据已知解析式求值即可.
【详解】由题设， ，故 ，即 的周期为2，
所以 ，且 ，
所以 .
故答案为： .
14． (－1，0)∪(0，1)
【分析】首先根据奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，得到f(－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增
函数，从而将不等式转化为 或 ，进而求得结果.
【详解】因为f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0，
所以f(－1)＝－f(1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数.
因为 ＝2· <0，
即 或
解得x∈(－1，0)∪(0，1).
故答案为：(－1，0)∪(0，1).
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.
15．
【详解】设 ，则 ，结合题意可得： ，
设 ，则 ，故 .
综上可得，函数 在 上的解析式是 .
16．【分析】推导出当 时， ，利用函数 的周期性和奇偶性可求得结果.
【详解】当 时， ，
又因为函数 是定义在 上的偶函数，
则 ，
，
因此， .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将
它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多
以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数
值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利
用奇偶性和单调性求解.
17．
【分析】由中心对称得 ，可解得 ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，
即可得解.
【详解】由 ，得 ，
解得 ，所以 .
又 ，所以 .因为 ， ， ，
由 ，得 ，即 .
故答案为
【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.
18．①②③
【分析】利用函数对称性的定义可判断①；利用函数对称性的定义求出 的值，可判断②；利用函数的极
值与导数的关系可判断③；取 ，解方程 ，可判断④.
【详解】对于①，当 时， ，
则
，
所以，当 时， 的图象关于点 对称，①对；
对于②，若 的图象关于直线 对称，
则对任意的 ， ，
即 ，
即 ，即 ，解得 ，②对；
对于③，当 时， ，该函数的定义域为 ，
所以， ，令 ，可得 ；令 ，可得 .
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，
所以，函数 的极小值为 ，③对；对于④，当 时，由 ，可得 ，
此时函数 只有一个零点，④错.
故答案为：①②③.
【三层练能力】参考答案
1．D
【分析】设 ，可得出 ，则 （ 为常数），由 可得出
，再结合已知等式可推导出函数 是周期为 的周期函数，计算出 、 、 、
的值，结合函数 的周期性可求得 的值.
【详解】设 ，则 ，
所以，函数 为常值函数，设 （ 为常数），
又因为 ，则 ，即 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，则 ，
因为 ， ，
且函数 、 的定义域为 ，
所以， ，所以， ，则 ，
所以， ，所以，函数 是周期为 的周期函数，
因为 ，则 ，
所以， ，所以，函数 是周期为 的周期函数，
因为 ，则 ，
所以， ，故 ，
所以，函数 为偶函数，
因为 ，所以， ，故 ，
在等式 中，令 可得 ，则 ，
在等式 中，令 可得 ，
在等式 中，令 可得 ，
所以， ，故 ，则 ，
所以， ， ， ， ，
因此，
.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数 的图象关于直线 和 对称，则函数 的周期为 ；
（2）若函数 的图象关于点 和点 对称，则函数 的周期为 ；
（3）若函数 的图象关于直线 和点 对称，则函数 的周期为 .
2．C
【分析】由 为奇函数可得 两边求导得到 ，即
，同理可得 ，即可得到 的对称性与周期，画出 与的图象，数形结合即可得解.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，即 ，
两边同时求导得 ，即 ，
所以 的图象关于直线 对称，且 ①；
又 为偶函数，所以 ，即 ，两边求导得
，即 ，
所以 的图象关于点 中心对称，且 ②；
由①②得 ，即 ，
所以 ，所以 的一个周期为 ，
因为当 时， ，
当 时，则 ，所以 ，
当 时，则 ，所以 ，
作出函数 与 的图象如图所示，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
结合图象可知不等式 的解集为 .
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是找到函数 的对称性与周期性，再利用数形结合法.
3．D【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数 的周期性，及在 上的单调性即可判断作
答.
【详解】由 为奇函数，得 ，即 ，
又由 为偶函数，得 ，即 ，
于是 ，即 ，因此 的周期为8，
又当 时， ，则 在 上单调递增，
由 ，得 的图象关于点 成中心对称，则函数 在 上单调递增，
因此函数 在 上单调递增，由 ，得 的图象关于直线 对称，
， ， ，
，显然 ，即有 ，即 ，
所以a，b，c的大小关系为 .
故选：D
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，
(1)存在常数a，b使得 ，则函数 图象关于点 对
称.
(2)存在常数a使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
4．AD
【分析】根据条件判断 关于 中心对称和 轴对称，可求出 是函数 的周期，利用
函数的对称性和周期性进行转化求解即可.
【详解】由 可得函数 关于 中心对称，
且 ，又因为 为偶函数，所以 ，令 等价于 ，所以
可知函数 关于 轴对称，再令 替换 ，所以 ，
所以 知， ，
，所以 ，即 是函数 的周期，
由 ，令 ，则 ，故A正确；
因为 ，由已知条件无法求出 ，故C不正确；
由 可得 ，所以B不正确；
由 可得 与 关于 中心对称，
所以 是函数 的周期， ，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：根据条件判断函数 ， 的对称性和周期性，利用函数的对称性和周
期性进行转化求解时解决本题的关键.
5．BCD
【分析】根据已知条件可得函数 的对称中心和对称轴，然后可得周期，进而可判断A；根据偶函数的
定义，结合已知直接验证可判断B；由已知条件先判断在 的单调性，然后利用对称性即可判断C；判
断 的对称性，结合 的对称性即可求得所有交点横坐标之和，以及纵坐标之和，然后可判断D.
【详解】因为 ，所以 ， 的图象关于 对称，
因为函数 为奇函数，所以 的图象关于点 对称，且
又 ，
所以，即 ，
所以 的周期为4，所以 ，故A错误；
由上可知， ，
，故B正确；
因为 ，当 时，都有 ，
即 ，所以 在区间 单调递增，
因为 的图象关于点 对称，所以 在区间 单调递增，
又 的图象关于 对称，所以 在区间 单调递减，C正确；
因为 ，所以 的图象关于点 对称，
所以 与 的交点关于点 对称，不妨设
则 ，
所以 ，
所以 ，D正确.
故选：BCD
6．ABC
【分析】由已知可推得 关于直线 对称， .又有 .进
而得出 ，即有 ，即可得出B项；根据 的周期可得出 的周期为
4，结合 的对称性，即可得出A项；由 的对称中心，即可得出 关于点 对称，结合的性质，即可得出C项；根据 的周期性以及对称性可得 ，
，然后分 讨论求解，即可判断D项.
【详解】由 可得 ，所以 关于直线 对称，
所以 关于直线 对称，即 关于直线 对称，
所以 关于直线 对称，所以 关于直线 对称，
所以有 ，所以有 ，所以 .
又由 可得， ，所以 关于点 对称，
所以 .
对于B项，因为 ， ，
所以， ，所以 ，
所以， 的周期为 ，故B项正确；
对于A项，由已知 周期为2，所以 的周期为4.
因为 关于直线 对称，所以 是函数 图象的一条对称轴，故A项正确；
对于C项， 关于点 对称，所以 关于点 对称，
所以 关于点 对称，所以 .
又 关于直线 对称，所以 ，
所以 ，所以有 ，
所以函数 图象的一个对称中心为 ，故C项正确；对于D项，由C知， 关于点 对称， 关于点 对称，
所以， ， ，所以 .
又 的周期为4，所以对 ， .
因为 ，
则当 时，有 .
因为 ，所以 ，不满足题意；
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，满足题意.
故n的最小值为3，D错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点睛：根据已知关系式可得出 的对称轴，进而根据 的关系，即可推得
的对称轴，结合 的对称中心，即可得出 的周期.
