文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 01 数与式、方程与不等式
（限时90分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1
1．（2025·河南安阳·模拟预测）− 的相反数是（ ）
2025
1 1
A． B．2025 C．− D．−2025
2025 2025
【答案】A
【分析】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
1 1
【详解】解：− 的相反数是 ，
2025 2025
故选：A．
2．（2025·山西长治·模拟预测）山西省农业农村厅，山西省水利厅联合印发《全省推进农业节水增效行动
方案（2024－2027年）》（简称（方案》起旨在大力推进农业节水，提高农业用水效率，推动农业高质量
发展《方案》提出要坚持节水优先方针，到2025年，全省总灌溉面积达到2356万亩，农业用水总量控制
在43亿立方米之内．数据“2356万亩”用科学记数法表示为（ ）
A．2.356×107亩 B．23.56×106亩
C．2356×104亩 D．2.356×108亩
【答案】A
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记
数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数
点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【详解】解：2356万亩=2.356×107亩．
故选：A．
3．（2025·河南安阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−(m+n)x+mn=0，其中m，n在数轴上的
对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．
根据数轴上表示的点的值和根的判别式Δ=(m+n) 2−4mn，判定根的情况有两个不相等实数根．
【详解】解：由数轴看出m<0，n>0，
∵x2−(m+n)x+mn=0是关于x的一元二次方程，
∴Δ=(m+n) 2−4mn，
∵m<0，n>0，
∴−4mn>0
∴Δ=(m+n) 2−4mn>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快
慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周
√ l
期公式为2π ，其中l（单位：m）表示摆锤的长，g=10m/s．若某摆钟的摆锤长为0.9m，则在5min
g
内该摆钟发出滴答声的次数约为（ ）（结果保留整数；参考数据：π≈3.14）
A．60 B．135 C．159 D．300
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期T=1.884s，即可求出在5min内该摆钟发出
滴答声的次数．
√ l √0.9
【详解】解：一个周期T=2π ≈2×3.14× =1.884(s)，
g 10
5×60
∵ ≈159，
1.884
∴在5min内该摆钟发出滴答声的次数约为159；
故选：C．
5．（2025·广东佛山·一模）若3−√2的整数部分为a，小数部分为b，则(2+√2a)⋅b=（ ）
A．2 B．−1 C．0 D．−√2
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】A
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．根据√2的范围，求出3−√2
的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵1<√2<2,
∴1<3−√2<2,
∵ 3−√2的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1,b=3−√2−1=2−√2,
∴(2+√2a)⋅b=(2+√2)(2−√2) =2，
故选：A．
6．（2023·河北衡水·二模）数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式
子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ）
（1）(−a3) 2 =(−a2) 3 （×）
（2）a3−a2＝a（×）
（3）a6÷a2＝a3（×）
（4）3a2−(−a2)＝2a2（√）
（5）a4・a2＝a8（×）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各
项进行运算即可．
【详解】解：（1）(−a3) 2 =−(−a2) 3 ，故（1）判断正确；
（2）a3与−a2不属于同类项，不能合并，故（2）判断正确；
（3）a6÷a2=a4，故（3）判断正确；
（4）3a2−(−a2)=4a2，故（4）判断错误；
（5）a4 ⋅a2=a6，故（5）判断正确；
则判断正确的有4个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应
的运算法则的掌握．
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足|a+b+c|+ √b−4 + √5−2a =0，那么ab+bc
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的值为（ ）
A．0 B．16 C．−16 D．−32
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性，由题意得：a+b+c=0,b−4=0,5−2a=0，
据此即可求解；
【详解】解：由题意得：a+b+c=0,b−4=0,5−2a=0，
5 13
解得：a= ,b=4,c=− ，
2 2
∴ (5 13) ，
ab+bc=b(a+c)=4× − =−16
2 2
故选：C
8．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组¿无解，则k的取值范围为（ ）
A．k>2 B．k≥2 C．k<−2 D．k≤−2
【答案】B
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，反比例函数的图象和性质，求出每一个不等式的解
集，根据不等式组无解，得到关于k的不等式，利用反比例函数的图象和性质，进行求解即可．
【详解】解：解¿，得：¿，
∵不等式组无解，
6 6
∴k>0，x>− ，− ≥−3，
k k
6
令y=− (k>0)，
k
∵−6<0，
∴反比例函数的图象在第四象限，y随着k的增大而增大，
当y=−3时，k=2，
6
∴当− ≥−3时，k≥2；
k
故选B．
9．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图
案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12
块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．28 B．30 C．34 D．36
【答案】D
【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图
形变化的规律，能根据所给图形发现灰砖及白砖块数变化的规律是解题的关键．
【详解】由所给图形可知，
第 1 个图形中灰砖块数为：1=12，白砖块数为：8=1×4+4，
第 2 个图形中灰砖块数为：4=22，白砖块数为：12=2×4+4，
第3个图形中灰砖块数为：9=32，白砖块数为：16=3×4+4，
⋯
所以第n个图形中灰砖块数为n2块，白砖块数为(4n+4)块，
当n2=64时，n=8（舍负），
则4n+4=36（块），
即所选的图中灰砖有 64 块，则白砖有 36 块．
故选：D．
10．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 为常数，且 ，下
x ax2+bx+c=0(a,b,c a≠0)
列说法：
①若4a+2b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若c=0，则方程ax2+bx+c=0必有一个根为0；
③若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个不相等的实根，则关于x的一元二次方程x2+c=0有两个不
相等的实根；
其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及性质，根据一元二次方程根与判别式的关系以
及性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：①若4a+2b+c=0，则x=2是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的关系可知Δ=b−4ac≥0，故①正确；
b
②若c=0，则ax²+bx=0，即x(ax+b)=0，所以x=0或x=− ，所以方程ax²+bx+c=0必有一个根为
a
0，故②正确；
③若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个不相等的实根，则Δ=b2−4c>0，当b2−4c≥4c且c≥0
时，关于x的一元二次方程x2+c=0才有两个不相等的实根，故③错误，
故选：C．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
√5−1 1
1．（2025·陕西西安·一模）比较大小： （填“>”“<”“=”）．
3 3
【答案】>
【分析】本题主要考查二次根式与有理数的比较大小，熟练掌握实数的取值范围是解题的关键．根据
2<√5<3得到1<√5−1<2，即可比较大小．
【详解】解：∵ 2<√5<3，
∴ 1<√5−1<2，
∴√5−1>1，
√5−1 1
∴ > ．
3 3
故答案为：>．
12．（2025·陕西西安·一模）分解因式：ax2−4a y2= ．
【答案】a(x+2y)(x−2y)
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式a，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：ax2−4a y2
=a(x2−4 y2)
=a(x+2y)(x−2y)，
故答案为：a(x+2y)(x−2y)．
1
13．（2024·云南昆明·一模）若关于x的方程 x2−2kx−4k+1=0有两个相等的实数根，则
2
4k5+20k2+10
的值为 ．
k
【答案】49
【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式的意义得到Δ=0，所以2k2=1−4k，然后利用降次的
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
方法和整体代入的方法进行计算．
1
【详解】解：∵关于x的方程 x2−2kx−4k+1=0有两个相等的实数根，
2
1
∴Δ=(−2k) 2−4× ×(−4k+1)=0，
2
整理得2k2=1−4k，
1 1
∴4k4=(2k2) 2 =(1−4k) 2=1−8k+16k2=1−8k+8(1−4k)=9−40k，2k= −4，即 −2k=4，
k k
4k5+20k2+10 10
∴ =4k4+20k+
k k
10
=9−40k+20k+
k
10
=9−20k+
k
(1 )
=9+10 −2k
k
=9+10×4
=49，
故答案为：49．
3x−4 A B
14．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知 = + ，则A+B= ．
(x−1)(x−2) x−1 x−2
【答案】3
【分析】本题考查异分母分式的加减法，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方
法计算．已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可．
3x−4 A B
【详解】解： ∵ = +
(x−1)(x−2) x−1 x−2
∴ 3x−4 A(x−2) B(x−1) ；
= +
(x−1)(x−2) (x−1)(x−2) (x−1)(x−2)
化简得： 3x−4 (A+B)x−2A−B；
=
(x−1)(x−2) (x−1)(x−2)
所以A+B=3，
故答案为：3
15．（2025·湖南娄底·模拟预测）若关于x的一元二次方程−2x2+bx+c=0有两个不相等的实数根
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，已知 ，则 ．
x ，x (x >x ) x +x =2，x −x =4 c=
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系可得x +x 和x x ，再根据
1 2 1 2
x +x =2，x −x =4，得到16=4+2c，代入即可求出c的值．
1 2 1 2
【详解】解：由题意可得：−2x2+bx+c=0
b b c
x +x =− = ，x x =− ，
1 2 −2 2 1 2 2
∵x +x =2，
1 2
b
∴ =2，(x +x ) 2=4，
2 1 2
∴b=4，
∴ ，
(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =4+2c
1 2 1 2 1 2
∵x −x =4，
1 2
∴16=4+2c，
解得：c=6，
故答案为：6．
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的
“杨辉三角”．此图揭示了 （ 为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律．
(a+b) n n
请仔细观察，填出 的展开式中所缺的项： ．
(a+b) 4 (a+b) 4=a4+4a3b+ +b4
【答案】6a2b2+4ab3
【分析】本题主要考查了完全平方公式及规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，找出字母和系数
存在的规律．观察图形可知：杨辉三角，各项是按照a的降幂和b的升幂排列，下一行的系数是上一行相
邻两系数的和，按照此规律进行解答即可．
【详解】解： ，
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：6a2b2+4ab3
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2025·山东临沂·一模）（1）计算：
(π−2024) 0−3×tan30°−|1−√3|+2−1
（2）解不等式组¿并求出它的所有整数解的和．
5
【答案】（1） −2√3；（2）−5−5，
则不等式组的解集为：−51
(2)m的值为2
【分析】本题考查的是一元二次方程中根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是明确二次函数与x轴
的交点是对应一元二次方程的解即可求解本题．
（1）根据意义得到Δ>0，代入题目中的数据求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ， ，再根据完全平方公式将
x +x =2m x x =m2−m+1 x2+x2−x x =7
1 2 1 2 1 2 1 2
转化为 ，将代数式代入求解即可．
(x +x ) 2−3x x =7
1 2 1 2
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2−2mx+m2−m+1与x轴有两个交点，
∴ ，
Δ=(−2m) 2−4(m2−m+1)>0
解得：m>1；
（2）解：∵ ， 是抛物线 与 轴交点的横坐标，
x x (x ≠x ) y=x2−2mx+m2−m+1 x
1 2 1 2
∴ ， ，
x +x =2m x x =m2−m+1
1 2 1 2
∴ ，
x2+x2−x x =(x +x ) 2−3x x =(2m) 2−3(m2−m+1)=7
1 2 1 2 1 2 1 2
解得：m =−5（舍去），m =2，
1 2
∴m的值为2．
23．（2025·广西柳州·一模）某店销售某种进价为40元/kg的产品，已知该店按60元/kg出售时，每天可
售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加10kg．
(1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低x元，则每天的销售量是______千克；
（用含x的代数式表示）
(2)若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？
(3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)120；(100+10x)
(2)应降价2元或8元
(3)当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，
列出关系式．
（1）根据每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加10kg，
列出代数式或算式即可；
（2）根据每天获利2160元，列出方程，解方程即可；
（3）设利润为w元，单价降低m元，根据总利润=单个的利润×销售量，列出二次函数解析式，然后求最
大值即可．
【详解】（1）解：若单价降低2元，则每天的销售量是100+2×10=120（千克），
若单价降低x元，则每天的销售量是(100+10x)千克；
（2）解：设单价应降价y元，依题意得：
(60−y−40)(100+10 y)=2160，
整理得：y2−10 y+16=0，
解得y =2，y =8，
1 2
答：单价应降价2元或8元；
（3）解：设利润为w元，单价降低m元，
w=(60−m−40)(100+10m)
=−10m2+100m+2000
，
=−10(m−5) 2+2250
∵ a=−10<0，
∴w有最大值，
当m=5时，w的最大值是2250，
答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．
24．（2025·安徽·模拟预测）数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出
一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵
1+2+3+4+5+6=21，21能被3整除，∴615 432能被3整除．
对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明：
（i）星星同学对三位数进行了证明：
设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c．
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵100a+10b+c=+a+b+c＝3()+a+b+c，
∴若a+b+c能被3整除，则该三位数能被3整除．
（ii）宁宁同学对四位数进行了证明：
设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d．
∵1000a+100b+10c+d
=+(a+b+c+d)
=3()+(a+b+c+d)，
∴若a+b+c+d能被3整除，则该四位数能被3整除．
(1)请写出横线上所缺内容．
(2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下：
1000a+100b+10c+d=1001a−a+99b+b+11c−c+d
……
请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件．
【答案】(1)（i）99a+9b，33a+3b；（ii）999a+99b+9c，333a+33b+3c
(2)补充证明过程见解析
【分析】本题主要考查了整式加减的应用，
(1)(i)仿照题干给定的方法填空即可；(ii)仿照题干给定的方法填空即可；
(2)仿照题干给定的方法，将 表示为 的形式，即
1000a+100b+10c+d 11(91a+9b+c)+[(b+d)−(a+c)]
可得证；
熟练掌握整式加减的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】（1）解：(i)星星同学对三位数进行了证明：
设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c，
∵100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=3(33a+3b)+a+b+c，
∴若a+b+c能被3整除，则该三位数能被3整除；
故答案为：99a+9b，33a+3b；
(ii)宁宁同学对四位数讲行了证明：
设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a,b,c,d，
∵1000a+100b+10c+d
=999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)，
故答案为：999a+99b+9c，333a+33b+3c，
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴若a+b+c+d能被3整除，则该四位数能被3整除；
（2）解：补充推理讨程如下：=1001a+99b+11c+(−a+b−c+d)
，
=11(91a+9b+c)+[(b+d)−(a+c)]
∴若(b+d)−(a+c)能被11整除，则该四位数能被11整除．
25．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：．
（1）第n个图案中，“▲”的个数为______；
1 1
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为 ×2×3，第2个图案中，“★”的个数可表示为 ×3×4，
2 2
1
第3个图案中，“★”的个数可表示为 ×4×5，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______；
2
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多
4．
1
【答案】（1）3n−1；（2） (n+1)(n+2)；（3）n的值为2或7
2
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为3n−1，即可作答．
1
（2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为 (n+1)(n+2)；
2
（3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答．
【详解】解：（1）观察图形，得出
第1个图案中，“▲”的个数为2=3×1−1；
第2个图案中，“▲”的个数为5=3×2−1；
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第3个图案中，“▲”的个数为8=3×3−1；
第4个图案中，“▲”的个数为11=3×4−1；
以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为3n−1；
1
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为 ×2×3，
2
1
第2个图案中，“★”的个数可表示为 ×3×4，
2
1
第3个图案中，“★”的个数可表示为 ×4×5，
2
…，
1
第n个图案中，“★”的个数可表示为 (n+1)(n+2)；
2
（3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4
1
∴(3n−1)×2= (n+1)(n+2)+4
2
∴12n=(n+1)(n+2)+12
解得n =2，n =7
1 2
∴n的值为2或7
17
