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第 08 讲 图形的几何变化
（限时120分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·安徽马鞍山·一模）下面四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对
各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（2025·陕西西安·一模）已知点A(−1,3)关于x轴的对称点A'和B(2,2)都在一次函数y=kx+b的图象上，
则k的值为（ ）
5 5 3
A． B．5 C． D．
3 2 5
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称的坐标变化、待定系数法求函数解析式．先根据对称性求出点A'的坐标，再将
A'和B(2,2)代入y=kx+b，联立解方程组即可得k的值．
【详解】解：A(−1,3)关于x轴的对称点A'的坐标为(−1,−3)，
将(−1,−3)和(2,2)代入y=kx+b得，
¿，
解得¿，
故选：A．
3．（2025·山西长治·模拟预测）如图，将一张两边平行的纸条按如图所示的方式折叠，点A，D的对应点
分别为A',D',BC为折痕，CD'与BF交于点E，若∠D'EF=130°，则∠ABC的度数为（ ）
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A．130° B．150° C．155° D．160°
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质和折叠的性质等知识．根据平行线的性质和对顶角相等得到
1
∠ECD=180°−∠AEC=50°，由折叠得到∠BCD=∠BCE= ∠DCE=25°，再由平行线的性质即可
2
得到∠ABC的度数．
【详解】解：∵AE∥CD，∠AEC=∠D'EF=130°
∴∠ECD=180°−∠AEC=50°，
1
由折叠可知，∠BCD=∠BCE= ∠DCE=25°，
2
∵AE∥CD，
∴∠ABC=180°−∠BCD=155°，
故选：C
4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°)，得到
△ADE，DE交AC于点F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得∠BAC=∠DAE，
∠BAD=∠CAE=40°，AB=AD，∠C=∠E，由等腰三角形的性质可求∠B=70°，由三角形内角和
定理可求解．
【详解】解：∵将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°)，得到△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠BAD=∠CAE=40°，AB=AD，∠C=∠E，
1
∴∠B=∠ADB= (180°−∠BAD)=70°，
2
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∴∠C=∠E=180°−∠B−∠BAC=55°，
∴∠AFE=180°−∠E−∠CAE=180°−55°−40°=85°，
故选：D．
5．（2025·江西南昌·模拟预测）有一段长为18cm的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中
①~③符合条件的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查了平移性质的应用，图形的周长．图①经过平移，可求得图形的周长；图③是平行四边
形，一边长为4cm，另一边长大于5cm，可求得图形的周长，据此可判断．
【详解】解：图①经过平移，图形的周长为2(4+5)=18(cm)，符合题意；
图②，图形的周长为2(4+5)=18(cm)，符合题意；
图③，图形是平行四边形，一边长为4cm，另一边长大于5cm，其周长大于2(4+5)=18(cm)，不符合题意；
故选：B．
6．（2025·江苏宿迁·一模）如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上
的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△≝¿的面积为（ ）
A．5cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．40cm2
【答案】B
【分析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可
得△ABC的面积，然后根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，三角形中位线定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌
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握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC BC=2DE=10(cm)
， ．
由折叠的性质可得：AF⊥DE，△≝≌△DEA，
∴AF⊥BC，
1 1
∴S = BC×AF= ×10×8=40(cm2)，
△ABC 2 2
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
S
△ADE=
(DE) 2
=
(1) 2
=
1
，
S BC 2 4
△ABC
∴S
△≝¿=S = 1 S =10(cm2)¿ ．
△ADE 4 △ABC
故选：B ．
7．（2025·山东青岛·一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°,OA=2,OB=1，将Rt△AOB绕点O
顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O,E为圆心，
OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ）
7 π 5 π
A．π B．π+5 C． − D． −
2 4 2 4
【答案】D
【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为
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nπr2
S= ．作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积
360
+扇形AOF的面积−扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：作DH⊥AE于H，如图所示：
∵∠AOB=90°，OA=2，OB=1，
∴AB=√OA2+OB2=√5，
由旋转，得△EOF≌△BOA，
∴∠OAB=∠EFO，OE=OB=1，
∴AE=OA+OE=2+1=3；
∵∠FEO+∠EFO=∠FEO+∠HED=90°，
∴∠EFO=∠HED，
∴∠HED=∠OAB，
∵∠DHE=∠AOB=90°，DE=AB，
∴△DHE≌△BOA(AAS)，
∴DH=OB=1，
阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积−扇形DEF的面积
1 1 90π×22 90π×5
= ×3×1+ ×1×2+ −
2 2 360 360
5 1
= − π．
2 4
故选：D．
8．（2025·江西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2√5，点D是边AC的中点，
沿BD翻折三角形ABD得到三角形EBD，使点A落在同一平面的点E处，若BE⊥AC，则AB的长度为
（ ）
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A．5 B．5√2 C．5√3 D．√3
【答案】B
【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相
似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．记AC、BE的交点为F，设AB=AC=2a，DF=b，
则DC=AD=a，CF=a−b，AF=a+b，由翻折的性质可知，BE=AB=2a，DE=AD=a，∠E=∠A，
证明△EFD∽△AFB，得EF=2a−2b，由勾股定理得，得，5b2+2ab=3a2①； 5b2−8ab=−3a2②；
3 6 2
①−②得，10ab=6a2，可求b= a，则BF= a，CF= a，由勾股定理得，BF2+CF2=BC2，即
5 5 5
(6 a ) 2 + (2 a ) 2 =(2√5) 2 ，可求满足要求的解，a= 5√2 ，进而可求AB的值．
5 5 2
【详解】解：如图，记AC、BE的交点为F，设AB=AC=2a，DF=b，则DC=AD=a，CF=a−b，
AF=a+b，
由翻折的性质可知，BE=AB=2a，DE=AD=a，∠E=∠A，
∵BE⊥AC，
∴∠EFD=90°=∠AFB，，
∵∠EFD=90°=∠AFB，∠E=∠A，
∴△EFD∽△AFB，
DF DE b 1
∴ = ，即 = ，
BF AB BF 2
解得，BF=2b，
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∴EF=2a−2b，
由勾股定理得，BF2+AF2=AB2，即(2b) 2+(a+b) 2=(2a) 2，整理得，5b2+2ab=3a2①；
DF2+EF2=DE2，即b2+(2a−2b) 2=a2，整理得，5b2−8ab=−3a2②；
①−②得，10ab=6a2，
3
∴b= a，
5
6 2
∴BF= a，CF= a，
5 5
由勾股定理得，BF2+CF2=BC2，即 (6 a ) 2 + (2 a ) 2 =(2√5) 2 ，
5 5
5√2 5√2
解得，a= 或a=− （舍去），
2 2
∴AB=2a=5√2，
故选：B．
9．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在x轴的正半轴上，OA=4，
AB=3√2，∠ABO=45°，将△AOB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则旋转2026次后点A的对应
点A 的坐标是（ ）
2026
A．(−2√3,4) B．(2√3,−4) C．(−√7,−3) D．(√7,3)
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、旋转、点坐标等知识点，画出图形，通过作辅助线，正确找出两个全等三
角形是解题关键．过点A作AG⊥x轴于点G，点A 作A H⊥x轴于点H，根据∠ABO=45°，
1 1
，利用勾股定理求出 ，再求出 ，得到点 ，再
∠AGB=90° AG=BG=3 OG=√OA2−AG2=√7 A(√7,3)
根据旋转的性质可得OA =OA,∠AOA =90°，然后根据三角形全等的判定定理证出
1 1
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，最后根据全等三角形的性质可得 ，得到
△A OH≌△AOG(AAS) OH=AG=3,A H=OG=√7
1 1
，再根据根据旋转的性质，得到第二次旋转时， 点的对应点 与 点关于原点对称，则
A (3,−√7) A A A
1 2
，同理得到第三次旋转时， 点的对应点的坐标为 ，第四次旋转时回到 点，
A (−√7,−3) A A (−3,√7) A
2 3
再由2026÷4=506⋯2，则点A 与点A 的坐标相同，由此即可得出答案．
2026 2
【详解】解：如图，将△AOB绕原点O顺时针第一次旋转90°，得到△A OB ，过点A作AG⊥x轴于点
1 1
G，点A 作A H⊥x轴于点H，
1 1
∵∠ABO=45°，∠AGB=90°，
∴△AGB是等腰直角三角形，
∴AG2+BG2=2AG2=AB2=18，
∴AG=BG=3，
∵∠AGO=90°,OA=4，
∴OG=√OA2−AG2=√7，
∴点A(√7,3)，
由根据旋转的性质可得OA =OA,∠AOA =90°，
1 1
∴∠AOB+∠A OB=∠AOB+∠OAG=90°，
1
∴∠A OB=∠OAG，
1
∵∠AGO=∠A HO=90°，
1
∴△A OH≌△AOG(AAS)，
1
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∴OH=AG=3,A H=OG=√7，
1
∴A (3,−√7)，
1
由根据旋转的性质，得到第二次旋转时，A点的对应点A 与A点关于原点对称，则A (−√7,−3)，
2 2
同理得到第三次旋转时，A点的对应点的坐标为A (−3,√7)，
3
第四次旋转时回到A点，
∵2026÷4=506⋯2，
∴点A 与点A 的坐标相同，
2026 2
∴A (−√7,−3)，
2026
故选：C．
10．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋
FG
转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则 的值为（ ）
CE
3√2 3√3
A．√2 B．√3 C． D．
2 2
【答案】A
【分析】过点F作DC延长线的垂线，垂足为点H，则∠H=90°，证明△ADE≌△EHF，则
AD=EH=1，设DE=HF=x，得到HF=CH=x，则∠HCF=45°，故CF=√2x，同理可求
FG √2(1−x)
CG=√2BC=√2，则FG=CG−CF=√2(1−x)，因此 = =√2．
CE 1−x
【详解】解：过点F作DC延长线的垂线，垂足为点H，则∠H=90°，
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由旋转得EA=EF,∠AEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，DC∥AB，DA=DC=BC，设DA=DC=BC=1，
∴∠D=∠H，
∵∠AEH=∠1+∠AEF=∠2+∠D，
∴∠1=∠2，
∴△ADE≌△EHF，
∴DE=HF，AD=EH=1，设DE=HF=x，
则CE=DC−DE=1−x，
∴CH=EH−EC=1−(1−x)=x，
∴HF=CH=x，而∠H=90°，
∴∠HCF=45°，
HF
∴CF= =√2x，
sin45°
∵DC∥AB，
∴∠HCF=∠G=45°，
同理可求CG=√2BC=√2，
∴FG=CG−CF=√2−√2x=√2(1−x)，
FG √2(1−x)
∴ = =√2，
CE 1−x
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅
助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2025·上海黄浦·一模）如图，将矩形ABCD平移到矩形EFGH的位置（点A对应点E，点B对应点F，
点C对应点G），边EH与CD交于点M，边EF与BC交于点N，其中DM:MC=3:2，BN:CN=3:2，
如果M、N两点的距离为a，那么A、E两点的距离为 ．（用含a的代数式表示）
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3
【答案】 a
2
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平移的性质，解题的关键是正确作出
辅助线．延长EF交AD于点L，连接AE、MN，则MN=a，可证明四边形LDME和四边形ABNL都是矩
形，则DM=EL，BN=AL，由DM:MC=3:2，BN:CN=3:2，可得EL:MC=3:2，LA:CN=3:2，
AE LA 3
推出△ALE∽△NCM，得到 = = ，即可求解．
MN CN 2
【详解】解：延长EF交AD于点L，连接AE、MN，则MN=a，
∵ ABCD
四边形 是矩形，
∴ ∠D=∠DAB=∠B=∠C=90°，
∴ ∠MEL=90°，
由平移得：∠HEF=∠DAB=90°，EH∥AD，EF∥AB，
∴ ∠ELD=∠DAB=90°，∠ALN=∠D=90°，
∴四边形LDME和四边形ABNL都是矩形，
∴ DM=EL，BN=AL，
∵ DM:MC=3:2，BN:CN=3:2，
∴ EL:MC=3:2，LA:CN=3:2，
EL LA 3
∴ = = ，
MC CN 2
∵ ∠ALE=∠C=90°，
∴ △ALE∽△NCM，
AE LA 3
∴ = = ，
MN CN 2
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3 3
∴ AE= MN= a，
2 2
3
∴ A、E两点的距离为 a，
2
3
故答案为： a．
2
12．（2025·江西·模拟预测）如图，正方形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段
AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点F，则∠AEF的度数为 ．
【答案】45°
【分析】连接BE，由正方形的性质可得AD=AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，由旋转的性质可得
AD=AE，∠DAE=30°，可证△ABE是等边三角形，可得AB=BE，∠ABE=∠AEB=60°，由等腰
三角形的性质可求∠BEC=75°，即可求解．
【详解】解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∵将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=30°，
∴AB=AE，∠EAB=90°−∠DAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE=∠AEB=60°，
∴BE=BC，∠CBE=90°−∠ABE=30°，
1
∴∠BEC= (180°−∠CBE)=75°，
2
∴∠AEF=180°−∠AEB−∠BEC=45°．
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故答案为：45°．
【点睛】本题主要考查了正方形旋转．熟练掌握正方形性质，旋转性质，等腰等边三角形判定和性质，三
角形内角和定理，余角定义，平角定义，是解题的关键．
13．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，O为菱形ABCD的对称中心，
过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F,M为CD上的一点，连接OM．若CM+CF=5，则四边形
OEDM的面积为 ．
3√3
【答案】
2
【分析】本题考查菱形的性质、中心对称性以及解直角三角形的知识点，解题的关键是利用菱形的中心对
称性将四边形的面积进行转化．
通过连接相关线段，利用菱形中心对称性得到一些等量关系．过点作垂线，构造出可以计算面积的三角形．
因为菱形具有中心对称性，所以将四边形的面积转化为几个易求面积的三角形面积之和或差．利用已知条
件和所作辅助线，结合三角形面积公式（底×高÷2）来计算相关三角形面积，进而得出四边形的面积．
【详解】如图，由菱形的中心对称性可知BF=DE，
∴DE+DM=BF+DM=2CB−(CF+CM)=3
连接AC，
∵OA=OC=2，过点O作OH⊥AD于点H，
作OG⊥CD于点G，
∵∠OAH=∠OCG=60°
∴OH=OG=OA⋅sin60°=√3，
连接OD，
1 1
则S =S +S = DE⋅OH+ DM⋅OG
四边形OEDM △OED △OMD 2 2
1 1 3√3
= OH⋅(DE+DM)= ×√3×3=
2 2 2
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14．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，线段AB与y轴平行，点A的坐标为(−1,a)，将线段AB沿着x轴水平向
k
左平移到线段CD，点B的对应点D的坐标为(−3,a+6)，反比例函数y= (x<0)的图象同时经过点B与点
x
C．则k的值为 ．
【答案】−9
【分析】本题主要考查了反比例函数，平移的性质，坐标与图形，根据线段AB与y轴平行可得点B的横坐
标为−1，再结合平移的性质和平移的途径可得B(−1,a+6)，C(−3,a)，问题随之得解．
【详解】∵线段AB与y轴平行，点A的坐标为(−1,a)，
∴点B的横坐标为−1，
∵线段AB沿着x轴水平向左平移到线段CD，点B的对应点D的坐标为(−3,a+6)，
∴线段AB沿着x轴水平向左平移2个单位到线段CD，
∴点B的纵坐标为a+6，点C的横坐标为−1−2=−3，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同为a，
即B(−1,a+6)，C(−3,a)，
k
∵反比例函数y= (x<0)的图象同时经过点B与点C，
x
∴¿，
解得：k=−9，
故答案为：−9．
15．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）四边形ABCO是矩形，已知抛物线y=−x2+2x+3经过点A，
B，与x轴交于点D，E，如图，抛物线对称轴与x轴交与点F．点P，Q分别为AB、BC边上一点，当四
边形OPQF周长最短时，则PO与QF的数量关系为 ．
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3
【答案】OP= QF
2
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，两点之间线段最短最短，轴对称的性质，掌握知识点的
应用是解题的关键．作点O关于直线AB的对称点M，先求出A(0,3)，E(3,0)，对称轴为直线x=1，连接
ME，交AB于点P，交BC与Q，QF=QE，OP=MP，此时四边形OPQF周长为
OF+OP+PQ+QF=OF+MP+PQ+QE=OF+ME，周长最短，即点M、P、Q、E共线时，周长
(3 )
最短，然后求出直线ME解析式为y=−2x+6，从而可求出P ,3 ，Q(2,2)，然后用两点间的距离即可
2
求解．
【详解】解：如图，作点O关于直线AB的对称点M，
由y=−x2+2x+3得：当y=0时，−x2+2x+3=0，解得：x =−1，x =3，
1 2
∴E(3,0)，
当x=0时，y=3，
∴A(0,3)，
∵四边形ABCO是矩形，
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∴AB⊥OA，BC⊥OC，
∴A、B关于抛物线对称轴对称；
∴抛物线对称轴为直线x=1，
∴F(0,1)，B(2,3)，
∴C(2,0)，
∴E，F关于直线BC对称；
连接ME，交AB于点P，交BC与Q，
∴QF=QE，OP=MP，
∴此时四边形OPQF周长为OF+OP+PQ+QF=OF+MP+PQ+QE=OF+ME，周长最短，
即点M、P、Q、E共线时，周长最短，
∵点O关于直线AB的对称点为M，
∴M(0,6)，
设直线ME解析式为y=kx+b，
∴¿，解得¿，
∴直线ME解析式为y=−2x+6，
3
当y=3时，−2x+6=3，解得：x= ，
2
(3 )
∴P ,3 ，
2
当x=2时，y=−2×2+6=2，
∴Q(2,2)，
∴OP= √ (3 −0 ) 2 +(3−0) 2= 3√5 ，QF=√(2−1) 2+(2−0) 2=√5，
2 2
3
∴OP= QF，
2
3
故答案为：OP= QF．
2
16．（2025·广东·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=60°，点E为高AD上的一动点，
以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF= ，FB+FD的最小值为 ．
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【答案】 30° 4√3
【分析】①利用等边三角形的性质和SAS判定出△BAE≌△BCF，即可求解；
②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，利用轴对称的性质分析出FB+FD=FB+FG≥BG，求出BG
的长即可．
【详解】①∵∠BAC=60°，AB=AC
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC
∵AD⊥BC，
1
∴∠BAE= ∠BAC=30°，
2
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF=∠ABC=60°，BE=BF，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=60°−∠EBC，∠CBF=∠EBF−∠EBC=60°−∠EBC，
∴∠ABE=∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
¿，
∴△BAE≌△BCF(SAS)，
∴∠BCF=∠BAE=30°；
②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，
∴∠BCF=∠GCF=30°，CD=CG，
∴∠BCG=60°
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∴△DCG为等边三角形，
∴CF为DG的中垂线，FD=FG，
∴FB+FD=FB+FG，连接BG，
1
∴FB+FD=FB+FG≥BG，又DG=DC= BC，
2
∴B，G，C三点共圆，BC为直径，
∴△BGC为直角三角形，
∵BC=8，
1
∴CG=CD= BC=4，
2
∴BG=tan∠BCG×CG=4×√3=4√3，
∴FB+FD的最小值为4√3；
故答案为：30°；4√3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，圆周角性质，三角函
数的比值关系等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2024·安徽·二模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段AB的两个端点
均为格点（网格线的交点）．
(1)将线段AB先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到线段A B ，请画出线段A B
1 1 1 1
（其中A ,B 分别与A,B对应）．
1 1
(2)将线段AB绕点A 按顺时针方向旋转180°得到线段A B ，请画出线段A B （其中A ,B 分别与A,B对
1 2 2 2 2 2 2
应）．
(3)描出一个格点P，使得PA =PA ，请画出线段PA ．
1 2 2
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【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平移作图，旋转，垂直平分线的性质，根据题意结合网格特点画出图形是解此题的关
键．
（1）根据所给平移方向作图即可；
（2）根据所给旋转方式作图即可；
（3）连接A A ，作A A 的垂直平分线，在垂直平分线上任选一点P，线段PA 即为所求．
1 2 1 2 2
【详解】（1）解：如图，线段A B 即为所求，
1 1
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（2）解：如图，线段A B 即为所求，
2 2
（3）解：如图，连接A A ，作A A 的垂直平分线，在垂直平分线上任选一点P，线段PA 即为所求，
1 2 1 2 2
18．（2024·四川广安·模拟预测）如图5×5方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点
叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上．
(1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
(2)在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为20；
(3)在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10；
(4)在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查了作图−旋转变换，作图−轴对称变换，无理数，勾股定理的灵活运用．
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（1）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，
且面积为8的图形；
（2）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，
且面积为20；
（3）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，
且面积为10；
（4）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且
各边长都是无理数，面积为10．
【详解】（1）如图1所示即为所求；
（2）如图2所示即为所求；
（3）如图3所示即为所求；
（4）如图4所示即为所求；
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k
19．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (x>0)的图象和△ABC都
x
在第一象限内，BC∥x轴，且BC=8，点A的坐标为(6,10)，点B的坐标为(2,7)．
k
(1)若反比例函数y= (x>0)的图象经过点B，求此反比例函数的表达式；
x
(2)若将△ABC向下平移m(m>0)个单位长度得到△A'B'C'，A，C两点的对应点A'，C'恰好同时落在反
k
比例函数y= (x>0)的图象上，求m的值．
x
14
【答案】(1)y=
x
5
(2)
2
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，平移的性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握反比例函
数的性质．
（1）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
k
【详解】（1）解：∵ 反比例函数y= (x>0)的图象经过点B(2,7)，
x
k
∴7= ，
2
解得：k=14，
14
∴ 反比例函数的表达式为y= ．
x
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（2）解：∵B(2,7)，BC∥x轴，且BC=8，
∴C(10,7)，
∵A(6,10)，将△ABC向下平移m个单位长度得到△A'B'C'，
∴A'(6,10−m)，C'(10,7−m)，
∵A'，C'两点同时落在反比例函数图象上，
∴k=6(10−m)=10(7−m)，
5
∴m= ．
2
20．（2024·黑龙江绥化·一模）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D是平面内不与点A，C重合的任
意一点，连接CD，将线段DC绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接BE，AD．
(1)当α=60°时，如图①，线段BE，AD之间的数量关系是_________；
(2)当α=90°时，如图②，当α=120°时，如图③，线段BE，AD之间又有怎样的数量关系？写出你的猜
想，并对图②的情形进行证明．
【答案】(1)AD=BE
(2)当α=90°时，BE=√2AD，当α=120°时，BE=√3AD，
【分析】（1）当α=60°时，AB=AC，∠BAC=α．DC=DE，∠CDE=α=60°
△ABC和△CDE都是等边三角形，得到BC=AC,CD=CE，∠BCA=∠ECD=60°，再证明
△BCE≌△ACD，得到AD=BE．
（2）过点A作AG⊥BC于点G，设AG=x，过点D作DH⊥EC于点H，设DH= y，利用等腰三角形
的性质，三角形的相似判定和性质，三角函数的应用，计算解答即可．
设AB=x，设DC= y，利用等腰三角形的性质，三角形的相似判定和性质，计算解答即可．
【详解】（1）证明：当α=60°时，
∵AB=AC，∠BAC=α．DC=DE，∠CDE=α=60°，
∴△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC,CD=CE，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCE=60°−∠ECD=∠ACD，
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∵¿，
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴BE=AD．
故答案为：BE=AD．
（2）当α=90°时，BE=√2AD．当α=120°时，BE=√3AD．
理由如下：当α=90°时，
设AB=x，设DC= y，如图，连接CE，
∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=α=90°．
180°−90° 180°−90°
∴∠ABC=∠ACB= =45°，∠DCE=∠DEC= =45°，
2 2
BC=√AB2+AC2=√2x，EC=√ED2+CD2=√2y
∴∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，
∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
DC y EC √2y y
∴ = ， = = ，
AC x BC √2x x
DC EC
∴ = ，
AC BC
∴△BCE∽△ACD，
BE BC √2x
∴ = = =√2，
AD AC x
∴BE=√2AD．
当α=120°时，如图，连接CE，过点A作AG⊥BC于点G，设AG=x，
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当α=120°时，
∵AB=AC，∠BAC=α．DC=DE，∠CDE=α=120°，
180°−120° 180°−120°
∴∠ABC=∠ACB= =30°，∠DCE=∠DEC= =30°，
2 2
1
BG=CG= BC，
2
∴∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，
∴∠ACH+∠ACB=∠ACH+∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴AC=2AG=2x，CG=ACcos30°=√3x，BC=2√3x，
过点D作DH⊥EC于点H，设DH= y，同理可证DC=2DH=2y，CH=DCcos30°=√3 y，
EC=2√3 y，
DC 2y y EC 2√3 y y
∴ = = ， = = ，
AC 2x x BC 2√3x x
DC EC
∴ = ，
AC BC
∴△BCE∽△ACD，
BE BC 2√3x
∴ = = =√3，
AD AC 2x
∴BE=√3AD．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三
角函数的应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，
三角函数的应用是解题的关键．
21．（2024·陕西榆林·三模）【问题提出】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=10，点D是AB的中点，点E在BC上，且
BE=7，点F是AC边上的一个动点，连接DF、EF，求DF+EF的最小值；
【问题解决】
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（2）如图2，四边形ABCD是某市的一块绿地公园，已知该绿地公园的两个入口G、H分别在AD、AB
边上，∠A=∠D=90°，∠B=60°，AB=100m，AH=40m，AG=40√3m，GD>AH，现计划在边
BC上修建一个半径为10√3m的圆形休闲娱乐广场（即⊙O的圆心在BC上，且⊙O的半径为10√3m），
再沿直径EF设置一排休息长椅（宽度忽略不计，且EF⊥BC），在F处设置自助饮水设备，需要沿FH
和FG铺设地下水管，从节约成本的角度考虑，铺设地下水管的长度FH+FG要最小，请你求出FH+FG
的最小值．
【答案】（1）(DF+EF)的最小值为10；（2）(FH+FG)的最小值为160m
【分析】本题主要考查了轴对称路径最短．熟练掌握轴对称性质，勾股定理解直角三角形，含30°的直角
三角形性质，正切值定义，是解决问题的关键．
（1）作点E关于AC的对称点G，连接DG，FG，则EF=GF，CG=CE， (DF+FE)最小值为，
DF+EF=DG．过点D作DH⊥BC于点H．则DH∥AC，根据点D是AB的中点，推出点H是BC的
中点，得到BH=CH=5，DH=6．根据CE=3，得到GH=8，在Rt△DHG中，运用勾股定理即得；
（2）连接GH，过点F作直线l∥BC，作点H关于直线l的对称点P，连接PH、PF、PG，PH交BC于
点I，交直线l于点K，得PH⊥l，FH=FP， (FH+FG) 最小值为，FH+FG=FP+FG=PG．根据
AH √3
AH=40，AG=40√3，∠A=90°，得到tan∠AGH= = ，得到∠AGH=30°，得到
AG 3
HG=2AH=80．根据∠B=60°，推出 ∠BHI=30°，得到HI=30√3，证明四边形FOIK是矩形，得
到IK=10√3，得到HK=40√3，得到HP=80√3，根据勾股定理得到PG=160．
【详解】（1）作点E关于AC的对称点G，连接DG，FG，
则EF=GF，CG=CE，
当点D、F、G三点共线时，
(DF+FE)取得最小值，为DF+EF=DF+FG=DG．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
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∴∠ACG=∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠ACB=180°，
∴点E，C，G在同一条直线上，
过点D作DH⊥BC于点H．
则DH∥AC，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BH=CH，
∴点H是BC的中点，
∵AC=12，BC=10，
1 1
∴BH=CH= BC=5，DH= AC=6．
2 2
∵BE=7，
∴CG=CE=10−7=3，
∴GH=CG+CH=8，
∴在Rt△DHG中，DG=√DH2+GH2=10，
∴(DF+EF)的最小值为10；
（2）连接GH，过点F作直线l∥BC，作点H关于直线l的对称点P，连接PH、PF、PG，PH交BC于
点I，交直线l于点K，
当点O在边BC上运动时，点F在直线l上移动，
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由轴对称可得，PH⊥l，FH=FP，
∴FH+FG=FP+FG≥PG，
∴当点P、F、G三点共线时， (FH+FG) 取得最小值，为FH+FG=FP+FG=PG，
∵AH=40，AG=40√3，∠A=90°，
AH √3
∴tan∠AGH= = ，
AG 3
∴∠AGH=30°，
∴HG=2AH=80．
∵∠B=60°，∠AHG=90°−∠AGH=60°，
∴HG∥BC，
∴HG∥l，
∴PH⊥HG，PH⊥BC，
∴∠BIH=90°，
∴∠BHI=90°−∠BIH=30°，
∵AB=100，
∴BH=AB−AH=60，
√3
∴HI= BH=30√3，
2
∵∠OIK=∠FKI=∠FOI=90°，
∴四边形FOIK是矩形，
∴IK=OF=10√3，
∴HK=HI+IK=40√3，
∴PH=2HK=80√3，
∴PG=√GH2+PH2=160，
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∴(FH+FG)的最小值为160m．
22．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线．L:y=ax2−5ax+c(a≠0)与x轴交于A(1，0)与B点，与
y轴交于点C(0，4)，抛物线L'与L关于原点中心对称，且A的对应点为A'，B的对应点为B'，C的对应
点为C'．
(1)求抛物线L的解析式并直接写出L'的解析式．
(2)在x轴上方的抛物线L上有一点M，点M在抛物线L'上的对应点为M'，若四边形MAM' A'的面积为
20，请求出M的点坐标．
【答案】(1)抛物线L的函数表达式是y=x2−5x+4，抛物线L'的函数表达式是：y=−x2−5x−4
(2)(6,10)或(1,10)．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式，二次函数关于原点对称的特征，四边形的
面积转化为三角形的面积问题，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
（1）先用待定系数法求抛物线L的解析式，再由抛物线L'与L关于原点中心对称，两函数图象的顶点关于
原点对称，开口方向相反即可求出L'的解析式；
1
（2）根据M与M'关于原点对称可以得到S =S = S =20，然后得出y =10，再把
△AA'M △AA'M' 2 MAM'A' M
y =10代入y=x2−5x+4中，求出x即可．
M
【详解】（1）解：将点A(1，0)和点C(0，4)代入 y=ax2−5ax+c(a≠0)中，
得 ¿
解得 ¿，
5 2 9
∴抛物线L的函数表达式是 y=x2−5x+4=(x− ) − ，
2 4
∵抛物线L'与L关于原点中心对称，
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5 2 9
∴抛物线L'的函数表达式是：y=−(x+ ) + =−x2−5x−4
2 4
（2）解：∴点A 的坐标是A(1，0)，抛物线L'与L关于原点中心对称，
∴A'(−1，0),A A'=2
∵如图，点M与M'关于原点对称，设点M坐标为(x,y )，而且y >0.
M M
1 1
S =S = S = ×20=10
△AA'M △AA'M' 2 四边形MAM'A' 2
1
∴ A A ⋅y =10，
2 1 M
∴解得y =10
M
当y =10时， x2−5x+4=10，解得 x =6，x =−1
M 1 2
∴M (6,10)，M (1,10)；
1 2
综上所述，点P的坐标是M (6,10)，M (1,10)．
1 2
23．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连
接CD，交AP于点E，连接BE．
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(1)依题意补全如图；
(2)若∠PAB=20°，求∠ACE；
(3)若0°<∠PAB<60°，用等式表示线段DE，EC，CA之间的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)40°
(3)C A2=DE2+EC2−CE·DE，理由见解析
【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等
知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键．
（1）依题意补全图形；
（2）由等腰三角形的性质和外角性质即可求解；
（3）连接AD、BE，BE交AC于点F，证明∠CEF=∠BAF=60°，过点C作CM⊥BE于点M，设
EM=m，BM=n，则CE=2m，BE=m+n，根据勾股定理求出CM=√3m，在Rt△BMC中，由勾股定
理得出BC2=BM2+CM2，代入相关数据得出BC2=(n+m) 2+(2m) 2−2m⋅(m+n)
=BE2+CE2−CE⋅BE，由BC=CA，BE=DE可得出结论．
【详解】（1）解：过点B作直线AP的垂线，交于点O，取点D，使得OD=OB，连接CD，交AP于点E，
连接BE，则点D为点B关于直线AP的对称点，图1为所求的图：
（2）如图2：连接AD，
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∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD=AB，DE=BE，
∴∠ADB=∠ABD，∠EDB=∠EBD，
∴∠ADB−∠EDB=∠ABD−∠EBD，即∠EDA=∠EBA，
∵AB=AC，AB=AD，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ABE=∠ACE，
在△FAC与△FEB中，
∠AFC=∠EFC，∠ABE=∠ACE，
∴∠BAC=∠BEC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BEC=∠BAC=60°，
∵∠PAB=20°，BD⊥AP，
∴∠ABO=90°−∠PAB=70°，
∵∠EDB=∠EBD，
1 1
∴∠EBD= ∠BEC= ×60°=30°，
2 2
∴∠ABE=∠ABO−∠EBD=70°−30°=40°，
∴∠ACE=∠ABE=40°；
（3）解：C A2=DE2+CE2−CE⋅DE，理由如下：
如图，连接AD、BE，BE交AC于点F，
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∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD=AB，DE=BE，
∴∠ADP=∠ABP，∠EDP=∠EBP，
∴∠EDP−∠ADP=∠EBP−∠ABP，即∠EDA=∠EBA，
∵AB=AC，AB=AD，
∴AD=AC，
∴∠ADE=∠ACE，
∴∠ABE=∠ACE，
∵∠AFB=∠CFE，
∴在△FAB与△FEC中，
∠FCE=∠FBA,∠CFE=∠BFA
∴∠BAF=∠CEF
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∴∠CEF=∠BAF=60°，
过点C作CM⊥BE于点M，
设EM=m，BM=n，则CE=2m，BE=m+n，
在Rt△CEM中，CM=√CE2−EM2=√3m，
在Rt△BMC中，BC2=BM2+CM2，
∴BC2=n2+3m2
=(n+m) 2+(2m) 2−2m⋅(m+n)
=BE2+CE2−CE⋅BE，
∵BC=CA，BE=DE，
∴C A2=DE2+CE2−CE⋅DE
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24．（2024·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，点
A(5,0)，点B在第一象限，点P在边OA（点P不与点O，A重合），过点P作PQ⊥OA，交△OAB的
直角边于点Q，将线段QP绕点Q逆时针旋转90°得到线段QM，点P的对应点为M，连接PM．
(1)如图①，若点M落在AB上，点B的坐标是 ，点M的坐标是 ；
(2)设△PQM与△OAB重合部分面积为S，OP=t．
①如图②，若重合部分为四边形PQEF，与边AB交于点E，F，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取
值范围；
②当1≤t≤4时，求S的取值范围．（请直接写出结果即可）
5 5 10 5
【答案】(1)( , )；( , )
2 2 3 3
7 15 25 5 5 1 25
(2)①S=− t2+ t− ，t的取值范围为
