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专题 02 常用逻辑用语解密
【练基础】
一、单选题
1．（2021·全国·高考）已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦函数的有界性确定命题 的真假性，由指数函数的知识确定命题 的真假性，由此确定正确选项.
【详解】由于 ，所以命题 为真命题；
由于 在 上为增函数， ，所以 ，所以命题 为真命题；
所以 为真命题， 、 、 为假命题.
故选：A．
2．（2021·全国·高考真题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说明
成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 成立，所
以甲是乙的必要条件．
故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
3．（2019·北京·高考真题）设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】∵A､B､C三点不共线,∴
| + |>| | | + |>| - |
| + |2>| - |2 • >0 与
的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选C.
【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
4．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中）已知直线y＝x＋b与圆 ，则“ ”是
“圆C上的任意一点到该直线的最大距离为 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线与圆的位置关系分析判断即可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，
由于 ，可得该直线与圆 不相交，
因为圆C上的任意一点到该直线的最大距离为 ，
所以圆心到直线的距离为 ，解得 或 ，
所以“ ”是“圆C上的任意一点到该直线的最大距离为 ”的充分不必要条件．
故选：A5．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则“函数 的图象经过点 ”是“函数
在 上递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由幂函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】函数 的图象经过点 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上递减，
而 在 上递减，函数 的图象不一定经过点 ，
如： .
所以“函数 的图象经过点 ”是“函数 在 上递减”的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））已知直线 ： ， ： ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出 时的 的取值，然后利用条件的定义进行判定.
【详解】因为直线 ： ， ： ，
若 ，则 ，即 ；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件；
故选：A.7．（2022·重庆市永川北山中学校高三期中）“幂函数 在 上为增函数”是“函数
为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】要使函数 是幂函数，且在 上为增函数，求出 ，可得函数 为奇函数，
即充分性成立；函数 为奇函数，求出 ，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数 是幂函数，且在 上为增函数，
则 ，解得： ，当 时， ， ，
则 ，所以函数 为奇函数，即充分性成立；
“函数 为奇函数”，
则 ，即 ，
解得： ，故必要性不成立，
故选：A．
8．（2022·四川成都·模拟预测（理））下列说法正确的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定为“ ， ”
B．命题“不等式 恒成立”等价于“ ”
C．“若 ，则函数 有一个零点”的逆命题是真命题
D．若 ，则 或
【答案】D
【分析】对于A选项：含有一个量词的否定，A选项错误；
对于B选项：关注 的连续性；对于C选项：先写出逆命题进行真假判断；
对于D选项：使用逆否命题判定.
【详解】对于A选项：命题“ ， ”的否定为“ ， ”，故A选项错误；
对于B选项：命题“不等式 恒成立”等价于 “ ”，故B选项错误；
对于C选项：“若 ，则函数 有一个零点”的逆命题是“若函数 有一个零点，则
”，这个命题是假命题，a应该取0或-1，故C选项错误；
对于D选项：不容易直接判断，但是其逆否命题“若 且 ，则 ”是真命题，故原命题
是真命题，D正确.
故选：D.
二、多选题
9．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】先求命题“ ”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】因为 为真命题，
所以 或 ，
所以 是命题“ ”为真命题充分不必要条件，A对，
所以 是命题“ ”为真命题充要条件，B错，
所以 是命题“ ”为真命题充分不必要条件，C对，
所以 是命题“ ”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
10．（2022·江苏省如皋中学高三阶段练习）已知a， ，则使“ ”成立的一个必要不充分条件是
（ ）A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】对于A、D选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于B，先取特殊值说明不充分，再同时平方证
必要即可；对于C，先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可；
【详解】对于A，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不必要；A错误；
对于B，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，平方得 ，又 ，又 ，故
，
即 能推出 ，必要；B正确；
对于C，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，由 ， ，即 能推出 ，必要；C正确；
对于D，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不必要；D错误.
故选：BC.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知空间中的两条直线 和两个平面 ，则 ”的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据线面垂直或平行关系，代入分析讨论求证即可.【详解】对于选项 ， ，
则有 内的一条直线
因为 ，
所以
又
所以 ，
即条件“ ”能够得到 ,
所以选项 是 的充分条件；
对于选项 ， 不一定能够得出结论 ，
也可能相交或平行；因此该选项错误；
对于选项 ， ， ，
所以 ，
又因为
所以 ，
因此该选项正确；
对于选项 ，
因为
所以 或
又因为 ，
所以 .
故选：ACD.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，设 ，则 成立的一个充分条件
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数 为偶函数，且在 上单调递增，所以 在 上单调递减，结合 可得 ，举例说明即可判断选项A、B，将选项C、D变形即可判断.
【详解】函数 的定义域为R，
则函数 ，
所以函数 是偶函数，
当 时， ，
，
所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递减.
若 ，则 ，即 .
A：若 ，满足 ，但 ，故A错误；
B：若 ，满足 ，但 ，故B错误；
C：由 可得 ，即 ，故C正确；
D：由 ，故D正确.
故选：CD
三、填空题
13．（2022·内蒙古·赤峰市林东第一中学模拟预测（理））若命题“ ”是假命题，则实数m
的范围是___________．
【答案】
【分析】由已知命题写出它的否定即为真命题，用 即可求出.
【详解】命题 是假命题，即命题的否定为真命题，
其否定为： ，则 ，解得： .故实数m的范围是： ．
故答案为： .
14．（2022·上海市嘉定区第二中学高三期中）能够说明“若 均为正数，则 ”是真命题的充分必要
条件为___________.
【答案】
【分析】利用充分必要条件的定义判断.
【详解】解： ，
因为 均为正数，
所以 ，反之也成立，
故“若 均为正数，则 ”是真命题的充分必要条件为 ，
故答案为：
15．（2022·北京工业大学附属中学三模）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为矩形．请
在下面给出的5个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在BC边上存在点Q，使得△PQD为钝角三角形”
的充分条件___________．（写出符合题意的一组即可）① ；② ；③ ；④ ；⑤
.
【答案】②④或②⑤或③⑤
【分析】设 ， ，则 ，计算出 ， ， ，若在 边上存
在点 ，使得 为钝角三角形，则 ，解不等式再根据已知条件可得答案.
【详解】设 ， ，则 ，
因为 平面 ，底面四边形 为矩形，
所以 ，则 ，
， ，若在 边上存在点 ，使得 为钝角三角形，
则 ，即 ，
整理得 ，
要使不等式有解，只需 ，即只需 即可，
因为① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，
所以②④或②⑤或③⑤.
故答案为：②④或②⑤或③⑤.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则“方程 在区间 和
上各有一个解”的一个充分不必要条件是a＝______．（写出满足条件的一个值即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】先由方程 在区间 和 上各有一个解，求出 的范围，然后在该范围内取一值即可.
【详解】方程 在区间 和 上各有一个解，则
解得
所以 是方程 在区间 和 上各有一个解”的一个充分不必要条件
故答案为：
四、解答题17．（2019·陕西·安康市教学研究室一模（理））已知 ， ．
(1)若 为真命题，求 的取值范围；
(2)若 为真命题，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分 和 两种情况讨论，当 时需满足 ，即可求出参数的取值范围；
（2）首先求出命题 为真时参数的取值范围，依题意 为真命题，则 为真命题且 为真命题，取两个范围的
公共部分即可得解.
（1）
解：若命题 为真命题，
当 时， 不恒成立，不符合题意；
当 时， ，解得 ．
综上所述， ，即 ．
（2）
解：若命题 为真命题，即 ， ，则 成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，所以 ．
因为 为真命题，所以 为真命题且 为真命题，
所以 ，即 ，即 的取值范围为 ．18．（2022·内蒙古·赤峰市林东第一中学模拟预测（理））已知命题p： ， ，命题p为真命题
时实数a的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合 ，若 是 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由一元二次方程有实数解，即判别式不小于0可得结果；
（2）将 是 的必要不充分条件化为 是 的真子集后，列式可求出结果．
【详解】（1）由命题 为真命题，得 ，得
∴ ．
（2）∵ 是 的必要不充分条件，∴ 是 的真子集．
∴ （等号不能同时成立），
解得 .
19．（2022·河南·南阳中学模拟预测（理））已知 ，命题 ：函数 仅有一个极值点；命题
：函数 在 上单调递减.
（1）若 为真命题，求 的取值范围；
（2）若 为真命题， 为假命题，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）去掉绝对值号转化为分段函数，由二次函数可知其极值点，分类讨论即可求解；
（2）由复合函数的单调性求出 为真命题时 的取值范围，再根据复合命题的真假判断出 为假命题，即可得出
的取值范围.
【详解】 ，易知函数 和 分别在 和 处取得极小值.
当 时， 仅有一个极小值点 ，
此时 为真；
当 时， 有两个极小值点 和
一个极大值点
此时 为假；
当 时， 仅有一个极小值点
此时 为真.
的取值范围是 .
若命题 为真命题，
函数 在 上单调递减，
函数 在 上单调递减，且恒大于 ，
为真命题，
为假命题，
又 为假命题，
为假命题.
由 为假命题可得 或
的取值范围是 .
20．（2021·北京市育英学校模拟预测）已知数列 ： ， ，…， 满足：① ；②.记 .
（1）直接写出 的所有可能值；
（2）证明： 的充要条件是 ；
（3）若 ，求 的所有可能值的和.
【答案】（1）所有可能值是 ， ， ， ，1，3，5，7；（2）证明见解析；（3） .
【解析】（1）根据递推关系式以及求和式子即可得出结果.
（2）充分性：求出数列的通项公式，再利用等比数列的前 和公式可证；必要性：利用反证法即可证明.
（3）列出 中的项，得出数列的规律：每一个数列前 项与之对应项是相反数的数列，即可求解.
【详解】解：（1） 的所有可能值是 ， ， ， ，1，3，5，7.
（2）充分性：若 ，即 .
所以满足 ，且前 项和最小的数列是 ， ， ，…， ， .
所以
.
所以 .
必要性：若 ，即 .
假设 ，即 .
所以 ，
与已知 矛盾.
所以 .
综上所述， 的充要条件是 .（3）由（2）知， 可得 .所以 .
因为数列 ： ， ，…， 中 有 ，1两种， 有 ，2两种，
有 ，4两种，…， 有 ， 两种， 有 一种，
所以数列 ： ， ，…， 有 个，
且在这 个数列中，每一个数列都可以找到前 项与之对应项是相反数的数列.
所以这样的两数列的前 项和是 .
所以这 个数列的前 项和是 .
所以 的所有可能值的和是 .
【提能力】
一、单选题
21．（2022·河南·南阳中学高三）已知命题p：若 ，则 ；命题q：若方程 只有一个实
根，则 .下列命题中是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断命题 的真假，根据复合命题的真假判断方法判断即可.
【详解】当 时， ，又 ，所以 ，
当 时， ，又 ，所以 ，
当 时， ，
所以当 时， ，故命题 为真命题，
由方程 只有一个实根等价于方程 只有一个实根，所以函数 与函数 的图象有且只有一个交点，
，
作函数 的图象，
观察图象可得当直线 位于 之间时，函数 与函数 的图象有且只有一个交点，
其中 与 有且只有一个交点，设
即 只有一个解，
所以 只有一个解，所以 ，
所以
与 有且只有一个交点，
即 只有一个解，
所以 只有一个解，所以 ，
所以 ，
所以方程 只有一个实根，则 ，命题 为真命题，所以 为真命题，命题 ， ， 为假命题.
故选：A.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：函数 ，且关于x的不等
式 的解集恰为（0，1），则该命题成立的必要非充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，可从已知出发，求得结论成立的m需要满足的关系，然后结合选项要求进行分析验证，
即可完成求解.
【详解】函数 ，
故 ， ，
， ，
令 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，此时函数 是单调递增的，
所以 ，要使得 的解集恰为（0，1）恒成立，
且 、 则应满足在 为增函数，所以当 时， ，故 ，此时，
，由选项可知，选项C和选项D无法由该结论推导，故排除，而选项C， ，若 ，此时
与 矛盾，故不成立，所以该命题成立的必要非充分条件为 .
故选：A.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：函数 ，且 在区
间 上恒成立，则该命题成立的充要条件为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题知 ，通过求导可得 在 上是增函数，结合条件可得函数 在 上
是增函数，进而 ，即求.
【详解】∵ ，
∴ ， ， ，
令 ，则 ，
∵ ，即
∴ 时， ，函数 在 上是增函数，
要使 在区间 上恒成立，又 ，
则应满足 在区间 上为增函数，
∴当 时， ，又函数 在 上是增函数，
∴ ，即 .
故选：C.
24．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，对于实数a､b，给出以下命题：命题
；命题 ；命题 .下列选项中正确的是（ ）
A． 中仅 是 的充分条件
B． 中仅 是 的充分条件C． 都不是 的充分条件
D． 都是 的充分条件
【答案】D
【分析】令 ，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，
在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.
【详解】令 ，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，
在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.
，
即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，
即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，
①当a＋b≥0时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时 ，即 是q的充分条
件；
②当 时，a≥0， ， ，
(i)当a≥1时，a≥ ，则－b≤a，故g(a)≥g(－b)；
此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴ 成立；
(ii)当a＝0时，b＝0，f(0)＋f(0)＝6≥0成立，即 成立；
(iii)∵g(x)在R上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，
∴ 在(－∞，0)单调递增，
∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0在(－1，0)上恒成立；
又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，
故当0＜a＜1时，a＜ ＜1， ，
∴f(a)＞0，f(b)＞0，∴ 成立.
综上所述， 时，均有 成立，∴ 是q的充分条件.
故选：D.
【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的
掌握与熟练运用.
二、多选题(共0分)
25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中常数 ， ，则下列说法正确的有
（ ）
A．函数 的定义域为
B．当 ， 时，函数 有两个极值点
C．不存在实数 和m，使得函数 恰好只有一个极值点
D．若 ，则“ ”是“函数 是增函数”的充分不必要条件
【答案】BC
【分析】A判断 时的定义域情况即可；B利用导数研究 的单调性，判断是否有两个变号零点即可；C、
D对 求导，构造 结合二次函数性质讨论 和m，应用零点存在性定理判断 变号
零点的个数，进而判断 极值点个数及单调性.
【详解】A：当 时定义域为 ，错误；
B： 且定义域为 ，则 ，
而 在 上递减， 上递增，且 ， ，所以 在 上各有一个变号零点，则 有两个极值点，正确；
C： ，则 ，
令 ，则图象开口向上，对称轴 且 ，
要使 有极值点， 必有变号零点，则 ，所以 或 ，
当 时，则 定义域为 ，又 ，
此时 则 ，故 在 上递增，又 ，即 ，无极值点；
此时 则 ，则 在 递减， 递增，
故 、 各有一个零点，即 有两个变号零点；
当 时，则 定义域为 ，且 ， ，
则 在 上递增，又 ，即 ，无极值点；
当 时， 定义域为 ， ，
此时 则 ，故 在 上递减， 递增，
又 ， ， 趋向正无穷 趋于正无穷，故 在 、 各有一个变号
零点，即 有两个变号零点；
此时 则 ，则 在 递增，又 ，即 ，无极值点；
综上，不存在实数 和m，使得函数 恰好只有一个极值点，正确；
D：结合C分析：当 且 时有 ，则 在 上恒正，即 ，此时 是增
函数；
当 且 时有 ，则 在 ， 各有一个零点，易得 有两个变号零点，此时 不单调，
命题的充分性不成立，错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：C、D首先对 求导，构造 ，结合二次函数性质讨论参数判断
变号零点的个数及 单调性.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是坐标平面 内一点，若在圆 上存在 ， 两点，使得
（其中 为常数，且 ），则称点 为圆 的“ 倍分点”.则（ ）
A．点 不是圆 的“3倍分点”
B．在直线 上，圆 的“ 倍分点”的轨迹长度为
C．在圆 上，恰有1个点是圆 的“2倍分点”
D．若 ：点 是圆 的“1倍分点”， ：点 是圆 的“2倍分点”，则 是 的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】对“ 倍分点”这个概念理解以后，根据 的不同取值，对题干进行讨论与验证，结合同角这一条件，运
用余弦定理找到变量之间的关系即可进行判断.
【详解】若满足 ，设 ， ，则有 ， ， ， .如下图：
在 中，由余弦定理得： ，在 中，由余弦定理得： ， ，
解得 ， 点 是圆 的“3倍分点”，故A错误；
过 作弦 的垂线垂足为 ，当 在直线 上时，如下图：
若 是圆 的“ 倍分点”即 ，设 ， ，则有 ， .
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
，解得 .又 ， ，
即 ，解得 ，
又 与坐标轴得交点为 与 ，
则在直线 上，圆 的“ 倍分点”的轨迹长度为 ，故B正确；
在圆 上取一点 ，若点 是圆 的“2倍分点”，
则有 ，设 ， ， ， ，则有 ， ，
如下图：在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
，
解得 ，即 ，综上， ，
所以在圆 上，恰有1个点是圆 的“2倍分点”，故C正确；
设 ， ， .如下图：
若点 是圆 的“1倍分点”则有 ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ， ，解得
， ，由上面的结论可知，若点 是圆 的“2倍分点”， 解得 ， ，
若 ：点 是圆 的“1倍分点”， ：点 是圆 的“2倍分点”，
则 是 的充分不必要条件，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题以圆为背景，考查了平面向量与解三角形知识，并且运用不等式对答案进行判断.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 有零点的充要条件是 B．当且仅当 ， 有最小值
C．存在实数 ，使得 在R上单调递增 D． 是 有极值点的充要条件
【答案】BCD
【分析】对于A，将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程有根的条件可判断其正误；对
于B，分类讨论a的取值范围，利用导数判断函数的最值情况；对于C，可举一具体实数，说明 在R上单调
递增，即可判断其正误；对于D，根据导数与函数极值的关系判断即可.
【详解】对于A，函数 有零点 方程 有解，
当 时，方程有一解 ；
当 时，方程 有解 ，
综上知 有零点的充要条件是 ，故A错误；
对于B，由 得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 有最大值 ，无最小值；
当 时，方程 有两个不同实根 ， ，
当 时， 有最小值 ，当 时， ；当 时，
有最小值0；当 时， 且当 时， ， 无最小值；
当 时， 时， ， 无最小值,
综上，当且仅当 时， 有最小值，故B正确；
对于C，因为当 时， ， 在R上恒成立，此时 在R上单调递增，
故C正确；
对于D，由 知，当 时， 是 的极值点，
当 ， 时， 和 都是 的极值点，
当 时， 在R上单调递增，无极值点，
所以 是 有极值点的充要条件，故D正确，
故选:BCD.
【点睛】本题以函数为背景，考查二次函数、对数函数性质和利用导数研究函数单调性及最值，考查推理论证能
力、运算求解能力，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.
三、填空题
28．（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知 ， ， 请写出使得“ ”恒成立的一个充分
不必要条件为__________.（用含m的式子作答）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】将 变为 展开后利用基本不等式可求得 的最小值，即可写出答案.
【详解】由题意可知 ， ，
故 ，
当且仅当 时取等号，
故“ ”恒成立的一个充分不必要条件为 ，故答案为：
29．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知命题p：不等式组 命题q：
，若p是q的充分条件，则r的取值范围为______.
【答案】
【分析】画出命题p所表示的点的集合，根据q的几何意义及充分条件得到圆要把阴影部分包含在内，求出圆过点
时，为r的最小值，此时 ，从而得到答案.
【详解】如图，阴影部分为命题p表示的点的集合，命题q为以原点为圆心的圆的内部，
要想p是q的充分条件，则圆要把阴影部分包含在内，
故当圆过点 时，为r的最小值，此时 ，
所以r的取值范围为 .
故答案为：
30．（2022·全国·高三专题练习（理））设命题 ： >2；命题 ：关于 的方程 的两个实根均大于0.若命题“ 且 ”为真命题，求 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由命题 为真，根据根与系数的关系求出a的范围，进而结合命题“ 且 ”为真命题求得答案.
【详解】对命题 ， ，因为命题“ 且 ”为真命题，所以 .
故答案为： .
31．（2019·广东·高考模拟（理））已知 ，命题 ，命题 ，
若命题 为真命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】 或
【分析】通过分离参数求命题 为真命题时 的取值范围；根据 求命题 为真命题时 的取值范围，从而求
命题 为真命题时实数a的取值范围.
【详解】若命题 为真命题，则 恒成立，
又当 时， 是最小值为1，所以 ；
若命题 为真命题，则 ，解得 或 ，
所以若命题 为真命题，则实数a的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
32．（2023·全国·高三专题练习）给出下列命题:
①命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”；②“ ”是“ ”的必要不充分
条件；③命题“ ，使得 ”的否定是:“ ，均有 ”；④命题“若 ，则
”的逆否命题为真命题.其中所有正确命题的序号是_________.
【答案】④
【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断；②利用充分条件和必要条件的定义判断；③利用特称命
题的否定判断；④利用逆否命题的等价性进行判断．
【详解】解：①根据否命题的定义可知，命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，所以①错误．
②由 得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以②错误．
③根据特称命题的否定是全称命题，
得命题“ ，使得 ”的否定是：
“ ，均有 ”，所以③错误．
④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，
所以命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题，所以④正确．
故答案为：④．
【点睛】本题考查命题的真假判断，以及充分必要条件、四种命题的关系和真假性的判断，属于基础题．
四、解答题
33．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数 .
（1）若 ，求证：函数 在区间 内是增函数；
（2）求证：“ ”是“在区间 内存在唯一实数 ，使 ”的必要不充分条件.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论；（2）令
，问题等价于“函数 在 内有唯一零点 ”，设
，根据函数的单调性证明即可.
【详解】（1）证明： ，
当 时，令 ，
则在区间 内，
，
所以 在区间 上单调递增.所以 ，
所以 .
所以函数 在区间 内是增函数.
（2）当 时，由（1）可知，
函数 在区间 内是增函数，
而 ，
所以当 时，
，
即“在区间 内存在唯一实数 ，使 ”不成立，
所以充分性不成立，下面证明必要性：
令 ，
问题等价于“函数 在 内有唯一零点 ”，
设 ，
则 .
由 ， ，
所以 在 和 上均存在零点，
即 在 上至少有两个零点.
令 ，得 ，
所以 .
此时 在 上递减，在 上递增.
所以 在 上有最小值 .
因为，
设 ，
则 ，
令 ，
得 .
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
所以 ，
所以 恒成立.
若 有两个零点，
则有 ，
， .
由 ， ，
得 .
当 时，
设 的两个零点为 ， ，
则 在 递增，在 递减，在 递增.
所以 ， .
所以 在 内有唯一零点.
所以 在 内有唯一零点
即在区间 内存在唯一实数 ，
使 .所以实数a的取值范围是 ，
可知 成立.
综上，“ ”是“在区间 存在唯一实数 ，
使 ”的必要不充分条件.
【点睛】方法点睛：
利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数 的定义域；求导函数 ，由 （或 ）解出相应的 的范围，对应的区间为
的增区间（或减区间）；
（2）确定函数 的定义域；求导函数 ，解方程 ，利用 的根将函数的定义域分为若干个
子区间，在这些子区间上讨论 的正负，由符号确定 在子区间上的单调性.
34．（2020·江苏南通·二模）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列 的前n项和为Tn，且
，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{an}为等比数列；
（3）证明：“数列an，2xan ，2yan 成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．
+1 +2
【答案】（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）取n＝1时，由 得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.
（2） ，则 ，相减得到3an ＝4﹣Sn ﹣Sn，再化简得到 ，得到
+1 +1
证明.
（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan ，2yan 成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y﹣2
+1 +2
＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.
【详解】（1）n＝1时，由 得p＝0或2，若p＝0时， ，当n＝2时， ，解得a＝0或 ，
2
而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；
（2）当p＝2时， ①，则 ②，
②﹣①并化简得3an ＝4﹣Sn ﹣Sn③，则3an ＝4﹣Sn ﹣Sn ④，
+1 +1 +2 +2 +1
④﹣③得 （n∈N*），
又因为 ，所以数列{an}是等比数列，且 ；
（3）充分性：若x＝1，y＝2，由 知an，2xan ，2yan 依次为 ， ， ，
+1 +2
满足 ，即an，2xan+，2yan+ 成等差数列；
1 2
必要性：假设an，2xan ，2yan 成等差数列，其中x、y均为整数，又 ，
+1 +2
所以 ，化简得2x﹣2y﹣2＝1，
显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），
因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，
故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．
【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
35．（2019·上海松江·一模）已知数列 满足：① （ ）；②当 （ ）时， ；③当
（ ）时， ，记数列 的前 项和为 .
（1）求 ， ， 的值；
（2）若 ，求 的最小值；
（3）求证： 的充要条件是 （ ）.
【答案】（1） ， 或1， 或1；（2）115；（3）证明见解析.
【分析】（1）先根据题中条件，求出 ， ， ，再结合题意，即可得出结果；（2）先由题意，得到 ，当 时， ，由
于 ，所以 或 ， 分别求出 ， ，进而可求出结果；
（3）先由 ，根据题中条件，求出 ，证明必要性；再由 ，求出 ，
证明充分性即可.
【详解】（1）因 ， ，且 是自然数， ；
， ，且 都是自然数； 或 ；
， ，且 ， 或 ．
（2）由题意可得： ，当 时，
，由于 ，
所以 或 ，
， ，
， ，
又 ，
所以
（3）必要性：若 ，
则： ①
②
① ②得： ③由于 或 或 ，且 或
只有当 同时成立时，等式③才成立，
；
充分性：若 ，由于
所以 ，
即 ， ， ，…， ，又
所以对任意的 ，都有 …（I）
另一方面，由 ，
所以对任意的 ，都有 …（II）
，
由于 .
