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专题 04 点到平面的距离(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：等体积法求点到平面的距离.................................2
题型二：利用向量法求点到平面的距离..............................10
三、专项训练.......................................................16
一、必备秘籍
1、等体积法求点到平面的距离
（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体
积问题，是一种常用数学思维方法
（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥
四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当
线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点
2、利用向量法求点到平面的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平面 的垂线 ，
交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量
的长度.二、典型题型
题型一：等体积法求点到平面的距离
1．（23·24高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，边长为1的正方形 中， 分别是 的中点，
沿 把这个正方形折成一个四面体使 三点重合，重合后的点记为 .则在四面体
中，点 到平面 的距离为 .
【答案】
【详解】由题意，折叠后的四面体 如图所示，因为正方形 边长为 ， 分别是 的中点，
所以 ，即 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
同时由 ，得 ，
又 ，
所以 ，
，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，即 ，解得 .
故答案为： .
2．（23·24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱 的底面圆O的圆周上， ，圆O
的直径 ，圆柱的高 ．
(1)求圆柱的体积；
(2)求点A到平面 的距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，圆柱的底面半径 ，圆柱的高 ，
圆柱体积为： ；
（2）设点 到平面 的距离为 ，
在等腰 中，由 ，则 ，
为直径， ，
在 中， ，则 ，
由 底面 ， 底面 ,所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，
故 ，
， ，
由等体积法 ，得 ，
解得： ．
即点 到平面 的距离为 ．
3．（17·18高二下·河北唐山·期末）如图，已知长方体 中， ， ，连接 ，过B点
作 的垂线交 于E，交 于F．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点A到平面 的距离；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：根据题意， 平面 ， 平面 ，得 ，
又 （已知）， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，得 .
同理， 平面 ，得 .
因为 平面 ， 平面 ， ， ， ，
所以 平面 .（2）因为 平面 ，所以点A到平面 的距离等于点B到平面 的距离，设为d，
因为 ， ，即 ， ，
所以 ， .
故点A到平面 的距离等于 .
4．如图，在正方体 中， .
(1)求证： ∥平面 ；
(2)求点 到面 的距离.
【答案】(1)答案见详解
(2)
【详解】（1）∵ ∥ , 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面
（2）连接 ,设点 到面 的距离为 ，
由已知可得 ,
由正方体的性质可知 平面 ,则 ,
∵ ，
∴ ，解得 ，
即点 到面 的距离为 .5．（23·24高二上·江西九江·阶段练习）如图所示的五边形 中 是矩形， ，
沿 折叠成四棱锥 .
(1)从条件① ；② ；③ 中任选两个作为补充条件，证明：平面
平面 ：
(2)在（1）的条件下，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）选条件①②：
证明：由题意知， ， ，所以 ，
在 中， ， ，则 ， ，
又因为 为矩形， ，则 ，所以 ，
在 中， ，由余弦定理可得 ，
解得 ，
所以 ，即 ，
又因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
选条件①③：
证明：由题意知， ， ，所以 ，
在 中， ， ，则 ， ，
又因为 为矩形， ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
又因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 平面 .
选条件②③：
证明：由题意知， ， ，所以 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，解得 ，
所以 ，即 ，
又因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.
由（1）知， 平面 ， ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
在 中， ， ，则 ，所以在 中，由余弦定理得 ，则 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则点 到平面 的距离也为 ，
由 可得 ，即 ，解得 ，
故点 到平面 的距离为 .
6．（23·24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，其中 ，
， 底面 ， ， 为 的中点， 为 的中点.
(1)证明：直线 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：
如上图，取 中点 ，连接 、 ，
∵ 为 的中点， 为 的中点， 为 的中点，
∴在矩形 中 ，在 中 ，
又∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
又∵ 平面 ， 平面 ， ，∴平面 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ 平面 .
（2）解：
如上图，连接 ，由题意， ， ， ，
∵ 底面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ ，则 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵矩形 中 ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又∵ 平面 ，
∴ ，则 是直角三角形， ，
∴ .
∵ 底面 ，∴ 是三棱锥 的高.
∵底面 是矩形，∴ .
∵点 到平面 的距离就是三棱锥 的高 ，
∴由 得： ，
即 ，解得： ，
即点 到平面 的距离为 .
7．（23·24高二上·上海杨浦·期中）如图, 为菱形 外一点, 平面 , , 为棱
的中点.(1)求证: 平面 ;
(2)若 ,求 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 ,如图:
因为 ,四边形 为菱形,
所以 ,
又 为棱 的中点,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 ,
又 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
（2）因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
则 到平面 的距离即为点 到平面 的距离,
设点 到平面 的距离为 ,
因为 , , 平面 , ,四边形 为菱形,所以 ,
解得 ,
即 到平面 的距离为 .
题型二：利用向量法求点到平面的距离
1．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ，
，M是 的中点，N是 的中点，P是 的中点，则点A到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，以A为原点， ， ， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
，
则 ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量 ，
所以 ，
即点A到平面 的距离为 ．故选：D.
2．（23·24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 面
， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
由题意可知： ，则 ∥ ，
且 ，则 为为平行四边形，
由 ，所以四边形 为矩形，
可知 ，则 ，
又因为 ，可知 ，即 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）如图所示，以 为原点， 分别为 轴、 轴，过 作垂直 平面的直线，为 轴，建立空
间直角坐标系.
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
所以 到平面 的距离为 .
3．（23·24上·沧州·阶段练习）如图所示，四棱锥 的底面是矩形， ， ，且
底面 ，若边 上存在异于 的一点 ，使得直线 ．
(1)求 的最大值；
(2)当 取最大值时，求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)当 取最大值时，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)【详解】（1）
建立如图空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
则 ， ．
因为 ，所以 ，即 ．
即 ，
当 时， 的最大值为 ．
（2）由（1）可知，当 取最大值时， ， ，
所以 ．
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
（3）设平面 的法向量为 ，则 ， ，
因为 ， ， ，
所以 ，
取 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 到平面 的距离 等于 在 上的射影长，
所以 ．
4．（23·24上·北辰·期中）如图， 且 且 且
平面 ．(1)若 为 的中点， 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的正弦值；
(3)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【详解】（1）取GD中点为Q，连接NQ，MQ.
因 为 的中点， 为 的中点，Q为GD中点，
由三角形及梯形中位线定理，可得 .
又注意到， 平面EDC， 平面EDC，
平面MNQ， ，则平面 平面 .
又 平面MQN，则 平面 .
（2）因 平面ABCD， 平面ABCD，
则 ，又 ，则如图建立以D为原点的空间坐标系.
则 .
.
设平面 和平面 的法向量分别为 .
则 ，取 ；
，取 .
设平面 和平面 夹角为 ，则 .则平面 和平面 夹角的正弦值为 .
（3）由（2），设 ，其中 ，则
又由题可得，平面 的一个法向量可取 .
结合直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
则 ， .
设平面 法向量为 ，则 .
取 ，则点 到平面 的距离 .
5．（重庆市部分区2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题）如图，在正方体 中，
．(1)求证： ；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴， 为z轴建立如图所示的坐标系．
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ；
（2）∵ ， ，∴ ，
设面 的法向量为 ，
∵ ， ，
∵ ， ，∴ ，
令 ，则 ， ，∴ ，
设 到面 的距离为d，
∴ .三、专项训练
一、单选题
1．（23·24高二上·陕西·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， ， ．点 ， ，
分别在棱 ， ， 上， ， ， ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，
得 ．
点 到平面 的距离为 ．
故选：D.2．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段 的
中点， 为 线段的中点，则直线 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意易知直线 面 ，
所以 到面 的距离即为直线 到平面 的距离.
建立如图所示坐标系 ，则：
， ， ， ， ,
所以
设面 的法向量 ，则：
，即
取 ，则 ，所以
所以 到面 的距离 .
故选：D3．（23·24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体 中， 分别是 的中
点，则直线 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图建立空间直角坐标系，则 ， ，
所以 ,
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
所以直线 到平面 的距离为 .
故选：D.
4．（23·24上·邯郸·阶段练习）在正三棱柱 中， ，点 分别为棱 的中
点，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角
坐标系，则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 令 ，解得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离 .
故选：C.
5．（23·24上·绍兴·阶段练习）在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，F为 的三等
分点 靠近C点 ，则点E到平面BDF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在棱长为1的正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
所以点 到平面 的距离为 .
故选：A
6．（23·24高二上·北京·阶段练习）如图，在长方体 中， ，点B到平
面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意得点 到平面 距离为三棱锥 的高，
设点 到平面 距离为 ，取 中点 ，连接 ，
因为 为长方体，所以 ，所以 ，
， ， ，
所以 ， ，解得 .
故选：C.
7．（23·24高二上·湖南益阳·阶段练习）如图所示，在直三棱柱 中，为棱 的中点，则点 到平面 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接 ，
因为三棱柱 为直三棱柱，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 为棱 的中点，且 平面 ，则易知 ，
则 ，则 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，即 ，
即 ，解得 ．
故选：C.
8．（23·24高二上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，
从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指
底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵” ，其中 ，若 ，则 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
取 中点 ，连结 ，
根据题意， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 ，所以 ，
又平面 平面 ， 平面
所以 平面 ，且
由题意可知 ，
，
则 ，即 为直角三角形，
，
设 到平面 的距离为 ，且 ，
即 ，.
故选：B
9．（23·24高三上·河北沧州·阶段练习）在三棱柱 中， 平面 ， ，
，点D是 的中点，点E是平面 的中心，则点E到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，连接 ，则点 在 上，再连接 交 于点 ，则 为 的中点，
因为 为 的中点，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离等价于点 到平面 的距离，
设点 到平面 的距离为 ，由 ，即 ，
由 ，可得 ,
又由 ， ，所以 ，
所以 为直角三角形，所以 ，
所以 ，即点 到平面 的距离为 .
故选：C.
二、填空题
10．（23·24高二上·宁夏固原·阶段练习）在棱长为1的正方体 中，点 到平面 的距
离为 .【答案】 /
【详解】如图所示，
设 到平面 的距离为h，
由 得 ，
所以 ，
因为正方体的棱长为1，所以 ， ， ，
所以 是等边三角形，
所以 ，
所以 ，即 到平面 的距离为 .
故答案为： .
11．（23·24高二上·山西太原·阶段练习）如下图所示，在平行六面体 中，各棱长均为2，
已知 ， ，则点A到平面 的距离 .【答案】 /
【详解】取 的中点，记为 ，连接 ，如下图：
在 中， ， ，且 为 中点，所以 ，同理可得： ，
由 ，则 ，且 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面
在 中，由余弦定理可得： ，
由 ， ，解得 ，
在 中， ，
所以 ，易知 ，
三棱锥 的体积 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
则 ， ，
设 到平面 的距离为 ， .故答案为： .
12．（23·24高二上·安徽·阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD中，平面 平面ABCD，底面ABCD是边
长为2的正方形， 是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面
ABCD中心距离的最小值为 .
【答案】
【详解】
连接 相交于点 ， 点为底面 的中心，取 中点为 ，连接 ，则 ，因为
平面 平面ABCD，则 平面 ，
以点 为原点，分别以 为 轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
且底面ABCD边长为2， 是等边三角形，则 ，
，则 ， ，则 ，
，设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，取 ，则 ，，所以 ，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点 到平
面 的距离，则 .
故答案为： .
13．（23·24高二上·天津西青·阶段练习）如图，棱长为2的正方体 ，点 是棱 的中点，
点 到直线 的距离为 ．
【答案】 /
【详解】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体 的棱长为2，所以 ， ， ，
所以直线 方向向量 ，又 ，
，
所以 在 上的投影长为 ，
所以点 到直线 的距离为
故答案为： .三、解答题
14．（23·24高三上·四川成都·阶段练习）已知正方形 的边长为2， 为等边三角形（如图1所
示）．沿着 折起，点 折起到点 的位置，使得侧面 底面 ． 是棱 的中点（如图2
所示）．
(1)求证： ；
(2)求点 与平面 的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图，取AB中点O，连接 交 于 ,
∵ 为等边三角形，
∴ ，
又∵平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
故 平面 ，
而 平面 ，∴ ，
又∵ , ，
∴ .
∴ ，
又∵ 平面 , 平面 , ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ .
（2）设点 与平面 的距离为 ，
∵ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，∴ , ，
又∵平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
故 ⊥平面 ，
而 平面 ，所以， ，
∴在 中， ，
∴ ,则易得 ，
由（1）知， 平面 ，
∴ 为三棱锥 的高，
∴
又∵ ，
得 .
故点 与平面 的距离为 .
15．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知一个组合体由一个圆锥 与一个圆柱 构成（圆
锥底面与圆柱上底面重合.平面 为圆柱的轴截面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.
(1)求这个组合体的体积
(2)设 为半圆弧 的中点，求 到面 的距离.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）依题意，圆锥的底面圆半径为4，而其高为3，则圆锥的体积 ，
圆柱的底面圆半径为4，高为5，则圆柱的体积 ，
所以这个组合体的体积为 .
（2）连接 ，由 为半圆弧 的中点，得 ， ，而 平面 ， 平面 ，则 ， ， 平面 ，
于是 平面 ，显然圆锥与圆柱有共同的旋转轴，即点 在平面 内，
因此三棱锥 的高为 ，且 ，
设 到平面 的距离为 ，由 ，得 ，
即 ，从而 ，
故 到平面 的距离为 .
16．（23·24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，在正三棱柱 中，点 为侧棱 的中点，且
.
(1)证明：平面 平面
(2)若二面角 的大小为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）法一：
取 中点 的中点 ，连接 与 ，
则 ，且又 为 中点， ，且 ，
四边形 是平行四边形， .
在正三棱柱中， 平面 平面 ，
，又 为等边三角形， ，
又 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，
法二如图，以 原点，垂直于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则
，
取 ，则
又平面 的法向量为 ，
，
平面 平面（2）方法一：取 中点 ，连接 ，
，
在正三棱柱中， ，
是二面角 的平面角，
又 平面 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
，即点 到平面 的距离为 .
方法二：由（1）得 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
，
，取 ，则
又平面 的法向量为 ，
二面角 的大小为
，
由于 ，
，又 ，
点 到平面 的距离为 .
17．（23·24高二上·辽宁·阶段练习）如图，六面体 中， 面 且 面 ，
， ， .(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求点 到直线 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为 面 且 面 ，
面 且 面 ，
所以 且 ，
在面 中， ，
同理，在面 中, ，
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由 面 ， 面 ，知 ，
又因为 ， 面 ， 面 ,
所以 面 .
（2）取 中点 ，由题可知， 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 面 ，故 面 ，
又因为 为正三角形，所以 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，以 的方向分别为 ， ， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ，
， ， ， ，
设面 的法向量为 ，则有 ，
不妨设 ，得 ，
又 面 ，故面 的法向量不妨设为 ，
由题意 ，解得 ，
于是， ， ，
所以点 到到直线 的距离为 .
18．（23·24高二上·北京通州·期中）如图，在正方体 中， 分别是棱 ， ，
， 的中点.
(1)求证： 四点共面；
(2)求 与平面 所成角的正弦值；(3)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）如图，取 的中点 连接 ,
因为 分别是棱 ， ， ， 的中点，
易得 , ,所以 ,
所以 四点共面，
又 ,
所以 ，
则 四点共面，
而过不共线的的三点 的平面具有唯一性，
则平面 与平面 重合，
故 四点共面.
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形的的边长为
则则 ，
设 是平面 的法向量，
则 ，
取 ,则 所以 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为
（3）由（2）知平面 的法向量 ，
又
所以点 到平面 的距离为
，
即 到平面 的距离为
