2025年高考1卷（答案版）(1)_高考真题2025年全国各地《高考真题汇总》9科全_2025《高考真题汇总》数学

2025年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I卷) 数学 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.(1+5i)i的虚部为 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 6 答案 1+5i  i=-5+i,故虚部为1.故选择:C 2.已知集合U={x∣x是小于9的正整数},A={1,3,5},则∁ A中元素个数为 ( ) U A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 答案 ∁ A={2,4,6,7,8},5个元素.故选择:C U 3.双曲线虚轴长是实轴长的 7倍,则离心率为 ( ) A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2 c2 答案 b= 7a⇒b2=7a2⇒e2= =8⇒e=2 2.故选择:D a2 4.已知点a,0  a>0  π 是函数y=2tanx- 3  图象的一个对称中心,则a的最小值为 ( ) π π π 4π A. B. C. D. 4 2 3 3 π 答案 函数y=2tanx- 3  π kπ π 的对称中心为 + ,k∈Z,因为a>0,所以a = . 3 2 min 3 故选择:C 5.已知fx  为定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,fx  3 =5-2x,则f- 4  = ( ) 1 1 1 1 A. - B. - C. D. 2 4 4 2 3 答案 f- 4  3 =f2- 4  5 =f 4  5 =f- 4  5 =f4- 4  11 =f 4  11 1 =5-2× =- . 4 2 故选择:A 6.帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速, 视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向 量与船速对应的向量大小相等,方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系, 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和 向量的大小相同,单位m/s),则真风为 ( ) 等级 风速大小 名称 2 1.1∼3.3 轻风 3 3.4∼5.4 微风 4 5.5∼7.9 和风 5 8.0∼10.1 劲风 图1 图2 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 ·1·答案 船风速(-1,-3),视风速(-3,-1),真风速(-2,2),所以V =2 2<3.3,为轻风. 真 故选择:A 7.已知圆x2+y+2  2=r2r>0  上到直线y= 3x+2的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值 范围为 ( ) A. (0,1) B. (1,3) C. 3,+∞  D. 0,+∞  c-2 答案 设与直线y= 3x+2距离为1的平行直线的方程为y= 3x+c,由 =1得c=0或4,则l:y= 3x,l:y= 3x+4,则圆与 2 1 2 3×0--2 l,l 共两个交点,由于圆心(0,-2)位于直线l 下方,故圆只能与l 相交且与l 不相交,所以 1 2 1 1 2    3×0--2 y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x 答案 由题知logx-1=logy=logz+2=k,所以x=2k+1,y=3k,z=5k-2, 2 3 5 1 1 当k=-1时,x=1,y= ,z= ,此时x>y>z,A可能正确; 3 125 当k=2时,x=8,y=9,z=1,此时y>x>z,C可能正确; 当k=5时,x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时y>z>x,D可能正确. 故选择:B 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.在正三棱柱ABC-ABC 中,D为BC中点,则 ( ) 1 1 1 A. AD⊥AC B. BC⊥平面AAD 1 1 C. CC ⎳平面AAD D. AD⎳AB 1 1 1 1 答案 取BC 中点D, 1 1 1 C A D B C 1 A 1 D 1 B 1 A:若AD⊥AC,已知AD⊥AA,则AD⊥面ACA,⇒AD⊥AC.矛盾！A错误:B:AD⊥BC.BC⊥AA ⇒BC⊥面AAD,B正确； 1 1 1 1 1 1 C:若AD⎳AB,则AB ⎳AD,矛盾！C错误； 1 1 1 1 1 1 D:CC ⎳AA,CC ⊄面AAD⇒CC ⎳面AAD,D正确；综上,故选BD. 1 1 1 1 1 1 10.设抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,过A点作垂线交准线于D点,过F 3 且垂直于AB的直线交l:x=- 于E点,则 ( ) 2 A. AD=AF B. AE=AB C. AB≥6 D. AE⋅BE≥18 答案 由抛物线定义可知:AD=AF,故A正确; 3 当AB⊥x轴,易知A ,3 2  3 ,B- ,3 2  ,所以AB=6,AE=3 2≠AB,故B错误; 3 当AB不与x轴垂直时,设AB:y=kx- 2  1 3 ,则EF:y=- x- k 2  3 3 ,所以E- , 2 k  3 y=kx- ,联立 2    ,可得k2x2-3k2+6 y2=6x  9 x+ k2 4 3k2+6 9 =0,由韦达定理得:x 1 +x 2 = k2 ,x 1 x 2 = 4 ,所以AB= 1+k2x 1 -x 2= 1+k2⋅ x 1 +x 2  2-4x 1 x 2 =6+ k 6 2 ∈6,+∞  ,故C正确; 1 181+ 1 1 AB⋅EF k2 由题易知EF⊥AB,所以S ΔAEB = 2AE⋅BE⋅sin∠AEB= 2AB⋅EF⇒AE⋅BE= sin∠AEB =  3 2 >18,若AB⊥x轴 sin∠AEB ·2·可取等,故综上D正确. 故选择:ACD y E D A O F x B 1 1 11.已知△ABC的面积为 ,若cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC= ,则 ( ) 4 4 A. sinC=sin2A+sin2B B. AB= 2 6 C. sinA+sinB= D. AC2+BC2=3 2 答案 cos2A+cos2B+2sinC=2⇒2sinC=1-cos2A+1-cos2B⇒2sinC=2sin2A+2sin2B,所以sinC=sin2A+sin2B,故A正确; a b c π π = = =2R,a2+b2=c⋅2R≥c2,若a2+b2>c2,即△ABC为锐角三角形,则A+B> ⇒A> -B,则sinA> sinA sinB sinC 2 2 π sin -B 2  ,即sinA>cosB,代λsinC=sin2A+sin2B,有sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1,矛盾,故a2+b2=c2,即cosA+B  1 1 1 1 ab =cosAcosB-sinAsinB=0⇒cosAcosB=sinAsinB= 4 ,因为S= 2 absinC= 4 ⇒ab= 2 ,所以 sinAsinB =2R  2=2⇒2R= c 2, =2R= 2⇒c= 2,故B正确; sinC sinA+sinB  2=sin2Asin2B+2sinAsinB=sinC+ 2 1 = 3 2 ⇒sinA+sinB= 2 6 ,故C正确;AC2+BC2=AB2=c2=2,故D错误. 故选择:ABC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,则a= . 答案 设fx  =ex+x+​​a. fx  =ex+1=2⇒x=0. fx  在x=0处切线为y=2x+f0  =2x+1+a 故1+a=5⇒a=4 13.若一个正项等比数列的前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为 . 答案 设等比数列a n  的公比为q,前四项和为S 4 =a 11+q+q2+q3  =4, S 8 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 +a 8 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4  +a 1 +a 2 +a 3 +a 4  q4=68⇒4+4q4=48⇒q4=16,因正项等比数列，则q>0， 故q=2. 14.一个箱子里有5个球,分别以1~5标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球的个数X,则 EX  = . 答案 X的所有可能取值为1,2,3, 则PX=1  1 =C1⋅ 5 5  3 1 = 25 ,PX=2  1 =C2⋅C1⋅C2⋅ 5 2 3 5  3 12 = 25 ,PX=3  1 =A3⋅ 5 5  3 = 12 , 25 所以EX  1 12 12 61 =1× +2× +3× = . 25 25 25 25 61 故答案为: 25 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过的超声波检查的人群中随机调查了1000人,得到 如下列联表: 检查结果是否患病 正常 不正常 合计 ·3·患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患病的概率为p,求p的估计值； (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析样本数据中超声波检查结果与是否患该疾病有关. nad-bc 附:χ2=  2 a+b  c+d  a+c  b+d  , Pχ2≥k  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 180 9 解析 (1)超声波检查结果不正常者患该疾病的概率P= = ； 200 10 1000×20×20-180×780 (2)由题意知:χ2=  2 =765.625>10.828,所以,根据小概率值α=0.001的独立性检验,超声波检查结果与患该疾 800×200×800×200 病有关。 16.(本小题满分15分)已知数列a n  a a 1 中,a =3, n+1 = n + 1 n n+1 nn+1  . (1)证明:数列na n  是等差数列； (2)给定正整数m,设函数fx  =a 1 x+a 2 x2+⋯+a m xm,求f-2  . 解析 (1)因为 a n+1 = a n + 1 n n+1 nn+1  ,所以n+1  a n+1 =na n +1,即n+1  a -na =1, n+1 n 由等差数列的定义可得数列na n  为等差数列. (2)即令b =na,可得b -b =1, n n n+1 n 即b n  是以1⋅a =3为首项,1为公差的等差数列,可算得b =n+2=na, 1 n n 又因为fx  =a 1 x+a 2 x2+a x x3⋯+a m xm,所以fx  =a +2ax+3ax2⋯+ma xm-1, 1 2 3 m 即fx  =1⋅a 1 +2a 2 x+3a 3 x2⋯+ma m xm-1,即fx  =b +bx+bx2⋯+b xm-1, 1 2 3 m 将x=-2与b n =n+2代入上式可得f-2  =3+4⋅-2  +5⋅-2  2⋯+m+2  -2  m-1, 令S m =f-2  =3+4⋅-2  +5⋅-2  2⋯+m+2  -2  m-1, 有-2⋅S m =3-2  +4⋅-2  2+5⋅-2  3⋯+m+2  -2  m, 所以3S m =3+-2  +-2  2+-2  3+⋯+-2  m-1-m+2  ⋅-2  m, 3S m =3+-2  1--2  m-1 1--2  -m+2  ⋅-2  m, 所以f-2  7 3m+7 =S = - m 9 9  -2  m. 17.(本小题满分15分)如图所示的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC⎳AD,AB⊥AD. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA=AB= 2,AD= 3+1,BC=2,P,B,C,D在同一个球面上,设该球面的球心为 O. (i)证明:O在平面ABCD上； (ii)求直线AC与直线PO所成角的余弦值. P A D B C 解析 (1)证明：PA⊥平面ABCD⇒PA⊥AB,又AB⊥AD,则AB⊥面PAD，则平面PAB⊥平面PAD. 1 (2)如图，建系,由题可知,B 2,0,0  、C 2,2,0  、D0, 3+1,0  、P0,0, 2  , ·4·2 (i)设△BCD外接圆圆心为O 1 ,易知BC中垂线为y=1;BD中垂线为y= 3+1 x+1,联立解得O 10,1,0  ,由于PO = 3,BO = 3,所 1 1 以PO =BO,此时O与O 重合,故O在平面ABCD上. 1 1 1 (ii)易知PO=0,1,- 2   ,AC= 2,2,0  ,设直线AC与直线PO所成角为θ,   PO⋅AC 则cosθ=  2 2 2   = = ,故直线AC与直线PO所成角余弦值为 . PO⋅AC 3⋅ 6 3 3 z P A D y O B C x x2 y2 18.(本小题满分17分)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  2 2 的离心率为 ,椭圆下顶点为A,右顶 3 点为B,AB= 10. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上,R在射线AP上,且满足AP⋅AR=3. (i)设Pm,n  ,求R的坐标(用m,n表示); (ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求PQ的最大 值. 解析 (1)由题意A0,-b  ,Ba,0  ,所以AB= a2+b2= 10, c 2 2 x2 因为e= = ,所以a2=b2+c2,得a=3,b=1,所以椭圆方程为 +y2=1. a 3 9 (2)(i)由题可知直线AP斜率存在,设其为k,则直线AP的方向向量为(1,k),  故可设AP=λ 11,k   ,AR=λ 21,k  ,   因为点R在射线AP上,故λ 1 λ 2 >0,所以AP⋅AR=λ 1 λ 21+k2   =3,AP=m,n+1   ,AR=x R ,y R  , m=λ 1 n+1=λk 1 x =λ R 2 y +1=λk R 2 λ 1 λ 21+k2  λ=m 1 m+1 k= ⇒ m 3 λ= =3 2 λ 11+k2  3 = m+1 m 1+ m    2  3m = m2+n+1  3m = 2 m2+n+1         2       3m ⇒x = R m2+n+1  3n+1 ,y = 2 R  m2+n+1  -1, 2 3m 所以R的坐标为 m2+n+1  3n+1 , 2  m2+n+1   -1 2  . 3n+1 (ii)k = y R =3k = 3n = OR x OP m R  m2+n+1  -1 2 3m m2+n+1  3n+1 = 2  - m2+n+1   2  3m ⇒m2+n+4  2=18, 即P在以G0,-4  为圆心,半径为r=3 2的圆上运动,所以PQ≤PG+QG=r+QG=3 2+QG,Q在椭圆C上,故可设为 3cosθ,sinθ  ,QG2=9cos2θ+sinθ+4  2=-8sin2θ+8sinθ+25=-8sinθ- 1 2  2 1 3 3 1 +27≤27,当sinθ= ,即Q为± , 2 2 2  ,且P,Q, G三点共线且P在QG射线上时取到最大值,此时QGmax =3 3,所以PQmax =3 2+ 3  . 19.(本小题满分17分) (1)求函数fx  π =5cosx-cos5x在区间 0,  4  的最大值； (2)给定θ∈0,π  和a∈R,证明:存在y∈a-θ,a+θ  使得cosy≤cosθ； (3)设b∈R,若存在φ∈R使得5cosx-cos5x+φ  ≤b对x∈R恒成立,求b的最小值. 解析【解析一】(1)fx  =5sin5x-sinx  =5 3x+2x  sin - 3x-2x   sin  =10cos3x⋅sin2x,所以fx  π 在0, 6  π π 递增,在 , 6 4  递 ·5·减,所以fx  π =f max 6  =3 3. π (2)若θ∈0, 2  ,则cosy  cosa-θ ≤ min  +cosa+θ  π =cosacosθ≤cosθ；若θ∈ ,π 2 2  ,不妨a∈[0,2π),①若π∈a-θ,a+θ  ,则 cosy  π =-1≤cosθ；②若a+θ≤π,此时a+θ,θ∈ ,π min 2  ,所以cosa+θ  0,x∈ , 6 4  时,fx  <0, 所以fx  π 在在0, 6  π π 上单调递增,在 , 6 4  上单调递减,所以fx  π =f max 6  =3 3. (2)反证:若∀y∈a-θ,a+θ  ,有cosy>cosθ,则y∈-θ+2kπ,θ+2kπ  ,k∈Z. 不妨设a∈[0,2π),则a-θ>-π,a+θ<3π,则a-θ,a+θ  ⊆2kπ-θ,2kπ+θ  . 故a=2kπ.矛盾！故得证！ (3)证明:令hx  =5cosx-cos5x+φ  ,hx  =-5sinx+5sin5x+φ  , 由于hx  周期为2π,不妨设x∈-π,π  ,φ∈-π,π  , 因为hx  连续且处处可导,所以hx  最大值在极值点处取到, 令hx  =0,sin5x+φ  =sinx,所以5x+φ=x+2kπ或5x+φ=π-x+2kπ, 1 2 所以x=- φ 4 + k 2 1 π 或x= π 6 - φ 6 + k 3 2 π k 1 ,k 2 ∈Z  , φ kπ 当x=- 4 + 2 1 时,hx  φ k =5cosx-cosx=4cosx=4cos- + 1π 4 2  , 当x= π 6 - φ 6 + k 3 2 π ,hx  =5cosx-cosπ-x+2k 2 π  =6cosx=6cos π - φ + k 2π 6 6 3  , 所以hx  φ k =max 4cos- + 1π max 4 2  ,6cos π - φ + k 2π 6 6 3     , φ k 显然4cos- + 1π 4 2  ≤4,记qφ  =6cos π - φ + k 2π 6 6 3  , 取值情况最多有6种,相当于px  π φ π φ =6cosx图象上以A - ,p - 6 6 6 6    π 为起点,横坐标以 3 为跨度,往后总共取6个点,由px  图象 可知,φ=0时,qφ  取最小值3 3,3 3>4, 所以b≥5cosx-cos5x+φ  ,所以b≥qφ  =3 3, min 此时hx  π ≤3 3恒成立,且x=± 时取等号,所以b的最小值为3 3. 6 ·6·