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专题 12 数列（选填题）
1．【2022年全国乙卷】已知等比数列{a }的前3项和为168，a −a =42，则a =
n 2 5 6
（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
设等比数列{a }的公比为q,q≠0，易得q≠1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列
n
的通项即可得解.
【详解】
解：设等比数列{a }的公比为q,q≠0，
n
若q=1，则a −a =0，与题意矛盾，
2 5
所以q≠1，
则¿，解得¿，
所以a =a q5=3.
6 1
故选：D.
2．【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国
第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到
1
1 b =1+
1 b =1+ 3 1
数列{b }：b =1+ ， 2 1 ， α + ，…，依此类推，其中
n 1 α α + 1 1
1 1 α α +
2 2 α
3
α ∈N∗(k=1,2,⋯)．则（ ）
k
A．b <b B．b <b C．b <b D．b <b
1 5 3 8 6 2 4 7
【答案】D
【解析】【分析】
根据α ∈N∗(k=1,2,…)，再利用数列{b }与α 的关系判断{b }中各项的大小，即可求解.
k n k n
【详解】
解：因为α ∈N∗(k=1,2,⋯)，
k
1 1
1 >
所以α <α + ，α 1 ，得到b >b ，
1 1 α 1 α + 1 2
2 1 α
2
1 1
α + >α +
同理 1 α 1 1 ，可得b <b ，b >b
2 α + 2 3 1 3
2 α
3
1 1 1 1
> , α + <α +
α 1 1 1 1 1
又因为 2 α + α + α + ，
2 1 2 α 2 1
α + 3 α +
3 α 3 α
4 4
故b <b ，b >b ；
2 4 3 4
以此类推，可得b >b >b >b >…，b >b ，故A错误；
1 3 5 7 7 8
b >b >b ，故B错误；
1 7 8
1 1
>
α 1
2 α + ，得b <b ，故C错误；
2 1 2 6
α +…
3 α
6
1 1
α + >α +
1 1 1 1
α + α +… ，得b <b ，故D正确.
2 1 2 1 4 7
α + α +
3 α 6 α
4 7
故选：D.
3．【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．
如图是某古建筑物的剖面图，DD ,CC ,BB ,A A 是举， OD ,DC ,CB ,BA 是相
1 1 1 1 1 1 1 1
DD CC BB A A
等的步，相邻桁的举步之比分别为 1=0.5, 1 =k , 1=k , 1=k ，若
OD DC 1 CB 2 BA 3
1 1 1 1
k ,k ,k 是公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k =（ ）
1 2 3 3A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】
【分析】
设OD =DC =CB =BA =1，则可得关于k 的方程，求出其解后可得正确的选项.
1 1 1 1 3
【详解】
设OD =DC =CB =BA =1，则CC =k ,BB =k ,A A =k ，
1 1 1 1 1 1 1 2 1 3
DD +CC +BB +A A
依题意，有k −0.2=k ,k −0.1=k ，且 1 1 1 1=0.725，
3 1 3 2 OD +DC +CB +BA
1 1 1 1
0.5+3k −0.3
所以 3 =0.725，故k =0.9，
4 3
故选：D
4．【2021年甲卷文科】记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.
【详解】
∵ 为等比数列 的前n项和，∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
5．【2021年甲卷理科】等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙：
是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立
即可说明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛
盾的，则 成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
6．【2020年新课标1卷文科】设 是等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
7．【2020年新课标2卷理科】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，
上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外
每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9
块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
（ ）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【解析】
【分析】
第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步
得到 .
【详解】
设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .故选：C
【点晴】
本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
8．【2020年新课标2卷理科】数列 中， ，对任意 ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式
可得出关于 的等式，由 可求得 的值.
【详解】
在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算
能力，属于中等题.
9．【2020年新课标2卷理科】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足 ，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序
列，并称满足 的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列
， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1
序列中，满足 的序列是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据新定义，逐一检验即可
【详解】
由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运
算能力，是一道中档题.
10．【2020年新课标2卷文科】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a–a=12，a–
5 3 6
a=24，则 =（ ）
4
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数
列的通项公式和前 项和公式进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前 项和公式的应用，考
查了数学运算能力.
11．【2019年新课标1卷理科】记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B， ，
，排除B，对C， ，排除
C．对D， ，排除D，故选A．
【详解】
由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用
等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适
当计算即可做了判断．
12．【2019年新课标3卷理科】已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且
，则
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
利用方程思想列出关于 的方程组，求出 ，再利用通项公式即可求得 的值．
【详解】
设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ，
解得 ， ，故选C．
【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．
13．【2018年新课标1卷理科】设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，
则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：首先设出等差数列 的公差为 ，利用等差数列的求和公式，得到公差 所满足
的等量关系式，从而求得结果 ，之后应用等差数列的通项公式求得
，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为 ，
根据题中的条件可得 ，
整理解得 ，所以 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要
利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差 的值，之后利用等差数列的通项
公式得到 与 的关系，从而求得结果.
14．【2022年全国乙卷】记S 为等差数列{a }的前n项和．若2S =3S +6，则公差d=
n n 3 2
_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
转化条件为2(a +2d)=2a +d+6，即可得解.
1 1
【详解】
由2S =3S +6可得2(a +a +a )=3(a +a )+6，化简得2a =a +a +6，
3 2 1 2 3 1 2 3 1 2
即2(a +2d)=2a +d+6，解得d=2.
1 1故答案为：2.
15．【2021年新高考1卷】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某
条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ，
两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到
， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，
以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么
______ .
【答案】 5
【解析】
【分析】
（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】
（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所
以对着三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格
如何，其面积成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为
，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为
种（证明从略），故得猜想 ，设 ，
则 ，
两式作差得：
，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则
，利用裂项相消法求和.
16．【2020年新课标1卷文科】数列 满足 ，前16项和为540，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】
对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数
项用 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
【详解】
，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 的前 项和为 ，
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能
力，属于较难题.
17．【2020年新课标2卷文科】记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前 项和，即可
求得答案.
【详解】
是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了求等差数列的前 项和，解题关键是掌握等差数列的前 项和公式，考查
了分析能力和计算能力，属于基础题.
18．【2020年新高考1卷（山东卷）】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到
数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】【解析】
【分析】
首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的
首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】
因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特
征，等差数列求和公式，属于简单题目.
19．【2019年新课标1卷理科】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则
S=____________．
5
【答案】 .
【解析】
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得
到 ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，所以 所以 ．
【点睛】
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，
部分考生易出现运算错误．
20．【2019年新课标1卷文科】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若 ，则
S=___________．
4
【答案】 .
【解析】
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得
到 ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
详解：设等比数列的公比为 ，由已知
，即
解得 ，
所以 ．
【点睛】
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，
部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算
，避免繁分式计算．21．【2019年新课标3卷理科】记Sn为等差数列{an}的前n项和， ，则
___________.
【答案】4.
【解析】
【分析】
根据已知求出 和 的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】
因 ，所以 ，即 ，
所以 ．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出
答案．
22．【2019年新课标3卷文科】记 为等差数列 的前 项和，若 ，则
___________.
【答案】100
【解析】
【分析】
根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.
【详解】
得【点睛】
本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列
的求和公式是解题的关键．
23．【2018年新课标1卷理科】记 为数列 的前 项和，若 ，则
_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的 ，类比着写出 ，两式相减，整理得到
，从而确定出数列 为等比数列，再令 ，结合 的关系，求得 ，
之后应用等比数列的求和公式求得 的值.
【详解】
根据 ，可得 ，
两式相减得 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
所以数列 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类
比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等
比数列，之后令 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明
确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
