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专题 15 概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）
1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独
立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p ,p ,p ，且p >p >p >0．记该
1 2 3 3 2 1
棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】
【分析】
该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率
p ；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两
甲 乙
盘的概率p .并对三者进行比较即可解决
丙
【详解】
该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p
甲
则p =2(1−p )p p +2p p (1−p )=2p (p +p )−4 p p p
甲 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p
乙
则p =2(1−p )p p +2p p (1−p )=2p (p +p )−4 p p p
乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p
丙
则p =2(1−p )p p +2p p (1−p )=2p (p +p )−4 p p p
丙 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 2 3
则p −p =2p (p +p )−4 p p p −[2p (p +p )−4 p p p ]=2(p −p )p <0
甲 乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3
p −p =2p (p +p )−4 p p p −[2p (p +p )−4 p p p ]=2(p −p )p <0
乙 丙 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1
即p <p ，p <p ，
甲 乙 乙 丙
则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的
概率为（ ）1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
【答案】D
【解析】
【分析】
由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】
从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C2=21种不同的取法，
7
若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7
种，
21−7 2
故所求概率P= = .
21 3
故选：D.
3．【2021年甲卷理科】已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】
因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
【点睛】
关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键.
4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【详解】
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .
故选：C.
5．【2021年乙卷理科】在区间 与 中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设从区间 中随机取出的数分别为 ，则实验的所有结果构成区域为
，设事件 表示两数之和大于 ，则构成的区域为，分别求出 对应的区域面积，根据几何概型的的
概率公式即可解出．
【详解】
如图所示：
设从区间 中随机取出的数分别为 ，则实验的所有结果构成区域为
，其面积为 ．
设事件 表示两数之和大于 ，则构成的区域为 ，即
图中的阴影部分，其面积为 ，所以 ．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件 对
应的区域面积，即可顺利解出．
6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放
回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件
“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件
“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】
根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】
，
故选：B
【点睛】
判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正
确的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【解析】
【分析】
由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】
对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B
正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于
的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，
所以一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
故选：D.
8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度
x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据
得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x
的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故选：D.
【点睛】
本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每
天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志
愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单
超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积
压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】
由题意，第二天新增订单数为 ，
，故至少需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】
本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为
，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】
【分析】
计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.
【详解】
对于A选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于B选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于C选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于D选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 .
因此，B选项这一组的标准差最大.
故选：B.
【点睛】
本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学
生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又
喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
【答案】C
【解析】
【分析】
记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学
生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，然后根据积事件的概率公式 可得结果.
【详解】
记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学
生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，
则 ， ， ，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一
“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是
一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计
算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3
个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】
由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有 情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有 ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为 = ，故选A．
【点睛】
对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题
还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足
条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
13．【2019年新课标2卷理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定
该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个
有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
【答案】A
【解析】
【分析】
可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【详解】
设9位评委评分按从小到大排列为 ．
则①原始中位数为 ，去掉最低分 ，最高分 ，后剩余 ，
中位数仍为 ， A正确．
②原始平均数 ，后来平均数
平均数受极端值影响较大， 与 不一定相同，B不正确
③
由②易知，C不正确．
④原极差 ，后来极差 可能相等可能变小，D不正确．
【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.
14．【2019年新课标3卷理科】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国
古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，
随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红
楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该
校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】
由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为
70÷100=0.7．故选C．
【点睛】
本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想
解题．
15．【2018年新课标1卷理科】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一
倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设
前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A【解析】
【分析】
首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为
2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，
并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】
设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增
加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所
以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正
确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 ，
所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读
出相应的信息即可得结果.
16．【2018年新课标1卷理科】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此
图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．
△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随
机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p，p，p，则
1 2 3
A．p=p B．p=p
1 2 1 3
C．p=p D．p=p+p
2 3 1 2 3
【答案】A
【解析】
【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应
用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几
何概型的概率公式确定出p，p，p 的关系，从而求得结果.
1 2 3
【详解】
设 ，则有 ，
从而可以求得 的面积为 ，
黑色部分的面积为
，
其余部分的面积为 ，所以有 ，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到 ，故选A.
点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面
积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相
关图形的面积公式求得结果.
17．【2018年新课标2卷理科】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领
先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如
．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典
概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两
个不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为 ，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问
题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题
目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
18．【2018年新课标3卷理科】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员
的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ，
，则
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：判断出为二项分布，利用公式 进行计算即可．
或
，
,可知
故答案选B.
点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．
19．【2021年新高考1卷】有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据
， ，…， ，其中 ( 为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】
【分析】
A、C利用两组数据的线性关系有 、 ，即可判断正误；根据中
位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】
A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为
，故极差相同，正确；
故选：CD
20．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是
（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
【答案】AC
【解析】
【分析】
考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选
项.
【详解】
由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
21．【2020年新高考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所
有可能的取值为 ，且 ，定义X的信息熵
.（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，
则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A选项，求得 ，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对
于C选项，计算出 ，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出
，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.
【详解】
对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项正确.
对于B选项，若 ，则 ， ，
所以 ，当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若 ，则
，
则 随着 的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且
（ ）.
.
由于
，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，
涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.
22．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工
复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【解析】
【分析】
注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的
差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定
CD正确.
【详解】
由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11
复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所
以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
【点睛】
本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在
于指数增量的理解与观测，属中档题.23．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概
率为________．
6
【答案】 .
35
【解析】
【分析】
根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】
从正方体的8个顶点中任取4个，有n=C4=70个结果，这4个点在同一个平面的有
8
m 12 6
m=6+6=12个，故所求概率P= = = ．
n 70 35
6
故答案为： ．
35
24．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且
P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=____________．
7
【答案】0.14## ．
50
【解析】
【分析】
根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】
因为X∼N(2,σ2)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5，因此
P(X>2.5)=P(X>2)−P(2<X≤2.5)=0.5−0.36=0.14．
故答案为：0.14．
25．【2019年新课标1卷理科】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得
四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主
主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果
相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
【答案】0.18【解析】
【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式
求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】
前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
综上所述，甲队以 获胜的概率是
【点睛】
由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是
思维的全面性是否具备，要考虑甲队以 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确
计算．
26．【2019年新课标2卷理科】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高
铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正
点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
【答案】0．98.
【解析】
【分析】
本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【详解】
由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为 ，其中高铁
个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为 ．
【点睛】
本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度
不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列
车数量与列车总数的比值．
