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2025-2026 学年全国九省联考高三（上）联考数学试卷（1 月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x Z|x2+x﹣6＜0}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则集合A∩B中的元素个数为（ ）
A．1 B∈．2 C．3 D．4
2．（5分）已知i为虚数单位， ，则|z|＝（ ）
3+4
A．5 B． = 1+2 C．10 D．
5 2 5
3．（5分）若方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
2 2
A．（﹣2，5） + = 1 B．（5，+∞）
5− +2
C．（﹣∞，﹣2）∪（5，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
4．（5分）在平面直角坐标系中，直线l1 ：2x+3y﹣1＝0关于直线l：x﹣y+2＝0对称的直线l2 的方程是
（ ）
A．3x﹣2y+1＝0 B．3x﹣2y﹣1＝0 C．3x+2y﹣1＝0 D．3x+2y+1＝0
5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若sinB（c﹣b）＝（sinA+sinC）（c﹣a），
且 ，则△ABC的面积为（ ）
→ →
⋅ =4
A． B． C． D．2
3
6．（5分）函数 3 ＞，＜ ＜2 3的部分图象如图所示，△ABC是正三角形，其中A，
2
B两点为图象 (与 )x=轴的3 交 (点 ， +C 为)(图 象的0 最0高点 ， 且) OB＝3OA，则f（0）+f（1）+f（2）+ +f（2024）
⋯
+f（2025）＝（ ）
A． B． C． D．0
6
6 − 6
7．（5分2）已知F1 ，F2 是椭圆C ＞＞ 的左、右焦点，点M为椭圆C上的一点，点N在x
2 2
2 + 2 = 1( 0)
轴上，满足∠F1MN＝∠F2MN ＝60 °．若 ，则椭圆C的离心率为（ ）
→ → →
1+2 2= ( ∈ )
第1页（共20页）A． B． C． D．
7 6 7 1
8．（5分9）已知函数 3 3 ．若不等式f（x3ex﹣a）+f（﹣2lnx﹣2x）≥0在
− 2
( )= − −2 (2 −1)
（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范2围是（4 ）
A．（﹣∞，2﹣2ln2] B．（﹣∞，2+2ln2]
C．（﹣∞，2ln2] D．（﹣∞，2]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知正项等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Sn ．若a3 ＝1，S8 ＝4096，则下列说
法正确的有（ ）
A．a3a6 ＝±8 B．q＝2
C．a5 ＝4 D．当Sn 最小时，n＝2
（多选）10．（6分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝x+b2+1，b R，则下列结论正确的有（ ）
A．存在b使得圆C关于直线l对称 ∈
B．圆心到直线l的距离最小值为
2
C．当 时，直线l与圆C相切
2
2
D．存 在=b使2得2圆−1C上有三个点到直线l的距离为1
（多选）11．（6分）已知F为椭圆C： 的左焦点，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于A，B
2 2
两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与+椭圆=C1的另一个交点为P，则下列结论正确的有（ ）
9 5
A．直线BE的斜率为
1
B．∠PAB为直角
2
C．△ABE面积的最大值为
D． 的最小值为 2
4 1 3
三、填空
|
题
|
：+本
|
题
|
共3小题，
2
每小题5分，共15分。
， ，
12．（5分）已知函数 则f（f（e））＝ ．
−，2 ＞，
≤1
( )=
1
13．（5分）在双曲线C： 中，过右焦点F的直线与双曲线C同一支交于不同的两点A，B，
2 2
− = 1
线段AB的中点为P．若6直线3OP的斜率为 ，则直线AB的斜截式方程为 ．
1
2
第2页（共20页）14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，∠BAA1 ＝∠DAA1 ＝60°，∠BAD＝90°．若AB＝1，AD
＝2，A1C＝3，则AC1 ＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知平面内三点A（2，3），B（4，﹣1），C（7，2）．
（1）若直线l1 经过点A且与线段BC有交点，求直线l1 的斜率的取值范围；
（2）若直线l2 经过点A，且与x，y轴的正半轴分别交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的最小值及此时l2 的
方程．
16．（15分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2．
（1）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值；
（2）求二面角O﹣BC﹣A的正切值．
17．（15分）已知一动圆的圆心为M，该动圆与圆 ： 外切，同时与圆 ：
2 2 2 2
内切． 1 + +6 +5=0 2 + −
6（ 1−）9求1该=动0圆圆心M的轨迹方程；
（2）设圆心M的轨迹为曲线C．点P在曲线C上（异于顶点），A1 （﹣6，0），A2 （6，0），F（﹣3，
0），直线A1P交y轴于点Q，若△A2PQ的面积是△A1FQ的面积的两倍，求|A1P|的值．
18．（17分）已知函数 ．
( )= 2+
（1）讨论函数f（x）的单调 性；
（2）设 ，若对任意x [e，+∞），e ﹣xg（x） lnx﹣g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
( )−
( )= ∈
19．（17分）我们把形 如 的数学对象称作一个2×2矩阵．定义矩阵乘法： •
1 1 2 2
=
．已知矩阵 ． 1 1 2 2
1 2+ 1 2 1 2+ 1 2 2 1
=
（ 1 1 ） 2 若+矩 1 阵 2 1 2+ 1 ， 2 计算A•B和B•A．1 1
0 1
=
（2）若矩阵 1 0 ，其中a，b，c，d都是正整数，且满足A•B＝B•A和ad﹣bc＝1，证明：d2+bd
=
第3页（共20页）﹣b2＝1．
（3）现定义Ak+1＝Ak•A，其中 ，k N且 ，利用以上定义．写出数列{ak}与{bk}
0 1 0
= ∈ =
间的递推关系式；记 ， 为方程 2+ 0＝1 1＝0 的两个根，利用数列{ak+ 1bk}和
−1− 5 −1+ 5
{ak+ 2bk}，求数列{ak} ， 1 = {bk}的 2 通项公 2 式=． 2 λ λ λ
λ
第4页（共20页）2025-2026 学年全国九省联考高三（上）联考数学试卷（1 月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D C B C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC BCD AD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x Z|x2+x﹣6＜0}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则集合A∩B中的元素个数为（ ）
A．1 B∈．2 C．3 D．4
【分析】分别化简集合A，B，可得集合A∩B中的元素个数．
【解答】解：集合A＝{x Z|x2+x﹣6＜0}＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝{x|x＜1}，
则集合A∩B＝{﹣2，﹣1∈，0}，元素个数为3个．
故选：C．
2．（5分）已知i为虚数单位， ，则|z|＝（ ）
3+4
A．5 B． = 1+2 C．10 D．
【分析】由商的模等于模的5商求解． 2 5
【解答】解：由 ，得|z|＝| | ．
2 2
3+4 3+4 |3+4 | 3 +4 5
故选：B． = 1+2 1+2 = |1+2 | = 1 2 +2 2 = 5 = 5
3．（5分）若方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
2 2
A．（﹣2，5） + = 1 B．（5，+∞）
5− +2
C．（﹣∞，﹣2）∪（5，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
【分析】结合双曲线的方程及性质求解即可．
第5页（共20页）【解答】解：已知方程 表示焦点在y轴上的双曲线，
2 2
+ = 1
＜， 5− +2
则
＞，
5− 0
解得 m +＞2 5，0
即实数m的取值范围是（5，+∞）．
故选：B．
4．（5分）在平面直角坐标系中，直线l1 ：2x+3y﹣1＝0关于直线l：x﹣y+2＝0对称的直线l2 的方程是
（ ）
A．3x﹣2y+1＝0 B．3x﹣2y﹣1＝0 C．3x+2y﹣1＝0 D．3x+2y+1＝0
【分析】联立直线方程求得直线l1 与直线l的交点坐标，再求出直线l1 上的点B（2，﹣1）关于直线l
的对称点C的坐标，则答案可求．
【解答】解：联立 ，解得 ，
2 +3 −1=0 =−1
即直线l1 与直线l的 交−点 为+2A（=﹣0 1，1），设直 =线1l1 上的点B（2，﹣1）关于直线l的对称点为C（x，y），
则 ，解得 ，则C（﹣3，4），
+1
=−1
−2 =−3
+2 −1 =4
− +2=0
则直线2 AC即2直线l2 的方程为y﹣1 ，即3x+2y+1＝0．
4−1
故选：D． = −3+1 ( +1)
5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若sinB（c﹣b）＝（sinA+sinC）（c﹣a），
且 ，则△ABC的面积为（ ）
→ →
⋅ =4
A． B． C． D．2
3
3 2 3
【分析2 】根据正弦定理化简已知等式，可得b2+c2﹣a2＝bc，结合余弦定理求出A＝60°，然后根据
→
⋅
，结合向量数量积的定义求出bc＝8，进而运用三角形的面积公式求出答案．
→
【 解=答4】根据sinB•（c﹣b）＝（sinA+sinC）（c﹣a），
结合正弦定理得b（c﹣b）＝（c+a）（c﹣a），化简得b2+c2﹣a2＝bc，
根据余弦定理得cosA ，结合A （0， ），可得A＝60°，
2 2 2
+ − 1
= = ∈ π
2 2
因为 ，即bccosA＝4，
→ →
⋅ =4
第6页（共20页）所以bc 8，可得△ABC的面积S bcsinA ．
4 1 1 3
故选：C=．
60°
= =
2
=
2
×8×
2
=2 3
6．（5分）函数 ＞，＜ ＜ 的部分图象如图所示，△ABC是正三角形，其中A，
B两点为图象 (与 )x=轴的3 交 (点 ， +C 为)(图 象的0 最0高点 ， 且) OB＝3OA，则f（0）+f（1）+f（2）+ +f（2024）
⋯
+f（2025）＝（ ）
A． B． C． D．0
6
【分析】过点C作CD⊥x轴6于点D，利用正弦函数−的6周期公式和对称性得到 ， ，再利用函数的周期
2
性可得． ω φ
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，
则由函数 ＞，＜ ＜ 的部分图象，可得 ，
又△ABC 是( 正)三=角3形 ， ( + )( 0 0 ) = 3
可得AB＝2，
设函数f（x）的最小正周期为T，则T＝4，
由于 ＞0，可得 ，
2
ω = =
可得 2，
( )= 3 ( + )
由于OB＝3OA， 2
可得 ， ，
1 3
= =
可得 2， ， 2 ， ， ， ，
1 3 1
(− 0) ( 0) ( 3)
2 2 2
第7页（共20页）可得 ，k Z，解得 ，k Z，
1
由于 20＜× 2 ＜+ ，= 2 +2 ∈ = 4 +2 ∈
可得 φ，π
=
可得 4 ，
( )= 3 ( + )
2 4
则 ，
6 6 6 6
所以 (0)+ (1)+ (2)+ (3)= 2 + 2 − 2 − 2 =0 ．
故选： (0B)．+ (1)+ (2)+⋯+ (2024)+ (2025)=506×0+ (0)+ (1)= 6
7．（5分）已知F1 ，F2 是椭圆C ＞＞ 的左、右焦点，点M为椭圆C上的一点，点N在x
2 2
2 + 2 = 1( 0)
轴上，满足∠F1MN＝∠F2MN ＝60 °．若 ，则椭圆C的离心率为（ ）
→ → →
1+2 2= ( ∈ )
A． B． C． D．
7 6 7 1
【分9析】由已知可得直线M3N平分∠F1MF2 ，结合3已知向量等式可得|MF3 1|＝2|MF2|，得到 ，
4
| 1|=
，再由余弦定理列式求解． 3
2
|【 解 2 答|=】3解 ：因为点M在椭圆上，所以|MF1|+|MF2|＝2a，
由已知可得，直线MN平分∠F1MF2 ，
由 ，得|MF1|＝2|MF2|，
→ → →
1+2 2= ( ∈ )
所以 ， ，
4 2
在△| F 1M 1 F | 2 =中3， 由余| 弦 2 定|=理3得 ： cos∠F1MF2 ，
2 2 2
因为∠F1MF2 ＝120°， | 1 2| =| 1| +| 2| −2| 1|| 2|
所以 ，化简得： ，即e ．
2
2 4 2 2 2 4 2 1 7 7
故选：4 C．=(
3
) +(
3
) −2×
3
×
3
×(−
2
)
2 =
9
=
=
3
8．（5分）已知函数 ．若不等式f（xex﹣a）+f（﹣2lnx﹣2x）≥0在
− 2
( )= − −2 (2 −1)
（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范2围是（4 ）
A．（﹣∞，2﹣2ln2] B．（﹣∞，2+2ln2]
C．（﹣∞，2ln2] D．（﹣∞，2]
【分析】化简得到f（x）＝ex﹣e ﹣x+sinx，利用导数求得f（x）是增函数，且f（x）是奇函数，把不等
第8页（共20页）式转化为a≤xex﹣2lnx﹣2x在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝elnx+x﹣2（lnx+x），转化为a≤g（x）
在（0，+∞）上恒成立，令t＝lnx+x，得到h（t）＝et﹣2t，利用导数求得h（t）的单调性和最小值，
即可求解．
【解答】解：由函数f（x）＝ex﹣e ﹣x﹣2sin5（2sin2x﹣1）＝ex﹣e ﹣x+sinx，x R，
则f 当且仅当x＝0时，∈等号成立），
− −
所′以( f′)=（ x）+＞ 0在+R 上 恒≥成2立 ，⋅所 以函+数 f （=x）2是+增 函 数( ，
因为f（﹣x）＝e ﹣x﹣ex+sin（﹣x）＝e ﹣x﹣ex﹣sinx＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，
因为f（xex﹣a）+f（﹣2lnx﹣2x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即f（xex﹣a）≥﹣f（﹣2lnx﹣2x）＝f（2lnx+2x）在（0，+∞）上恒成立，
所以xex﹣a≥2lnx+2x在（0，+∞）上恒成立，
即a≤xex﹣2lnx﹣2x在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）＝xex﹣2lnx﹣2x＝elnx+x﹣2（lnx+x），则a≤g（x）在（0，+∞）上恒成立，
令t＝lnx+x，则t R，且函数g（x）等价于h（t）＝et﹣2t，
因为h'（t）＝et﹣∈2，令h'（t）＞0，可得t＞ln2；令h'（t）＜0，可得t＜ln2，
所以h（t）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
所以h（t）≥h（ln2）＝2﹣2ln2，所以函数h（t）的最小值为2﹣2ln2，
即g（x）的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣2ln2]．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知正项等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Sn ．若a3 ＝1，S8 ＝4096，则下列说
法正确的有（ ）
A．a3a6 ＝±8 B．q＝2
C．a5 ＝4 D．当Sn 最小时，n＝2
【分析】根据题意，由等比数列的性质分析A，由等比数列的通项公式分析B、C，结合Sn 的意义，分
析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，正项等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Sn ．
对于A，若a3 ＝1，S8 ＝4096，则有S8 ＝（a3a6 ）4＝4096，变形可得a3a6 ＝8，A错误；
对于B，又由a3 ＝1，则a6 ＝a3q3＝q3＝8，解可得q＝2，B正确；
对于C，由于a3 ＝1，q＝2，则a5 ＝a1q2＝q2＝4，C正确；
第9页（共20页）对于D，由于a3 ＝1，q＝2，故当n＝1、2时，an ＜1，当n＝3时，a3 ＝1，当n＞3时，an ＞1，故当Sn
最小时，n＝2或3，D错误．
故选：BC．
（多选）10．（6分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝x+b2+1，b R，则下列结论正确的有（ ）
A．存在b使得圆C关于直线l对称 ∈
B．圆心到直线l的距离最小值为
2
C．当 时，直线l与圆C相切
2
2
D．存 在=b使2得2圆−1C上有三个点到直线l的距离为1
【分析】由对称性得到圆心在直线上代入直线方程可得A；由圆心到直线的距离公式可判断B、C、D．
【解答】解：圆C：x2+y2＝4，圆C的圆心为C（0，0），半径r＝2．
对于选项A，若圆C关于直线l：y＝x+b2+1，b R对称，则圆心C在直线l上，即0＝0+b2+1，
关于b的方程没有实数解，∴不存在b使得圆C∈关于直线l对称，故A选项错误．
对于选项B，圆心C到直线l的距离 ，当且仅当b＝0时，等号成立，故B选项正确．
2
+1 2
对于选项C，当 时，直 线= l的方
2
程≥为2 ．
2
=2 2−1 = +2 2
∵圆心C到直线l的距离为 ，∴直线l与圆C相切，故C选项正确．
2 2
对于选项D，∵r＝2，∴当圆C=上有2 =三个 点到直线l的距离为1时，圆心C到直线l的距离为1，
2
即 ，∴ ，解得 ，故D选项正确．
2
+1 2
故选：B=CD1． = 2−1 =± 2−1
2
（多选）11．（6分）已知F为椭圆C： 的左焦点，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于A，B
2 2
两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与+椭圆=C1的另一个交点为P，则下列结论正确的有（ ）
9 5
A．直线BE的斜率为
1
B．∠PAB为直角
2
C．△ABE面积的最大值为
D． 的最小值为 2
4 1 3
【分
|
析
】
|
+由
|
椭
圆
|
的对称性，
2
结合题设可判定A；根据直线的斜率公式推得直线PA与直线PB的斜率关
系可判定B；由椭圆焦点三角形的面积结合基本不等式可判定C；根据椭圆定义结合基本不等式可判定
D．
第10页（共20页）【解答】解：由椭圆和直线的对称性，设k＞0，点A在x轴上方，椭圆的右焦点为F'，如图，
设A（x0 ，y0 ），则B（﹣x0 ，﹣y0 ），E（x0 ，0）， ，
0
=
0
故直线BE的斜率 ，故A正确；
0+ 0 1
= =
设P（m，n），直线PA的 0斜+率 0为2kPA ，直线PB的斜率为kPB ，
则 ，
2 2
− 0 + 0 − 0
因为 点 ⋅ P 和 = 点 A−在 0椭 ⋅ 圆+C 0上 = ， 2 − 0 2
所以 ①， ②，
2 2 2 2
0 0
+ = 1 + = 1
①﹣②9 得5 9， 5
2 2
− 0 5
2 2 =−
又 − 0 ，所以9 ，
1 1 5
= = ⋅ =−
所以kPA • 2 ，即 2 9，
10 10
所以直线 PA =−与9AB不垂 直 ⋅， 即 ∠=− PAB9不是直角，故B错误；
联立椭圆C的方程 与直线l的方程y＝kx，解得 ，
2 2
3 5
+ = 1 0 = 2
则 ，9 5 ， 9 +5
3 5 3 5
− 0 =− 2 0 = 2
9 +5 9 +5
所以△ABE的面积 ，
1 45 45 45 3 5
△ = 2 0×2 0 = 9 2 +5 = 9 + 5 ≤ 2 9 ⋅ 5 = 2
当且仅当 ，即 时，等号成立，
5 5
9 = =
3
所以△ABE面积的最大值是 ，
3 5
同理，当k＜0时，△ABE面积2 的最大值也是 ，故C错误；
3 5
如图，连接AF'，椭圆C的左、右焦点分别为F（﹣2，0），F'（2，0），
2
由椭圆的定义得|AF|+|AF'|＝2a＝6，
又因为点A，B关于坐标原点对称，
所以|BF|＝|AF'|，所以|AF|+|BF|＝6，
设|AF|＝s，|BF|＝t，s＞0，t＞0，则s+t＝6，
所以 ，
4 1 1 4 1 1 4 1 4 3
+ = ( + ) ⋅ ( + ) = (5 + + ) ≥ (5 + 2 ⋅ ) =
| | | | 6 6 6 2
第11页（共20页）当且仅当 ，即s＝4，t＝2时，等号成立，故D正确．
4
故选：AD
．=
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
， ，
12．（5分）已知函数 则f（f（e））＝ ．
−，2 ＞，
≤1 1
( )=
【分析】根据题意，由函数 的 解析 式1计算可得答案．
， ，
【解答】解：根据题意，函数
−，2 ＞，
≤1
( )=
1
则f（e）＝lne＝1，f（f（e））＝f（1）＝e ﹣1 ．
1
=
故答案为： ．
1
13．（5分）在双 曲线C： 中，过右焦点F的直线与双曲线C同一支交于不同的两点A，B，
2 2
− = 1
线段AB的中点为P．若6直线3OP的斜率为 ，则直线AB的斜截式方程为 y＝x﹣3 ．
1
【分析】由已知结合点差法求得直线AB的
2
斜率，再由直线方程的斜截式得答案．
【解答】解：由双曲线C： ，得a2＝6，b2＝3，则c＝3，
2 2
可得F（3，0），设A（x1 ，y
61
）−，B
3
（=x2 1，y2 ），
则 ， ，
2 2 2 2
1 1 2 2
− = 1 − = 1
两式6作差得3： 6 3 ，即 ，
2 2 2 2
1 − 2 1 − 2 1− 2 1+ 2 1
= ⋅ =
设P（x0 ，y0 ），则6 3， 1− ，2 1+ 2 2
1+ 2 1+ 2
0 = 0 =
所以 ，因为直2线OP的斜率2为 ，
1 1
所以 k A B ＝⋅ 1 ， =可2得直线AB的斜截式方程为 2y＝x﹣3．
第12页（共20页）故答案为：y＝x﹣3．
14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，∠BAA1 ＝∠DAA1 ＝60°，∠BAD＝90°．若AB＝1，AD
＝2，A1C＝3，则AC1 ＝ ．
【分析】根据空间向量基本定33理和向量数量积的运算进行求解即可．
【解答】解：∵ ，∠BAA1 ＝∠DAA1 ＝60°，∠BAD＝90°，
→ → → → → →
1 = 1 + = 1 + +
∴ ，∠AA1B1 ＝∠AA1D1 ＝120°，
→ →
⋅ =0
∴
→ → → → → → → → → → → → →
2 2 2 2 2
| 1 | =( 1 + + ) = 1 + + +2 1 ⋅ +2 1 ⋅ +2 ⋅
→ → → → → → →
2 2 2
=| 1 | +| | +| | +2| 1 || | 120°+2| 1 || | 120°
∵AB＝1，AD＝2，A1C＝3，∴ ， ， ，
→ → →
| |= 1 | |= 2 | 1 |=3
∴9＝| |2+1+4﹣| |﹣2| |，即| |2﹣3| |﹣4＝0，
→ → → → →
1 1 1 1 1
解得 ．
→
| 1 |=4
∵ ，
→ → → →
1= 1+ +
∴
→ → → → → 2 → → → → → → → →
2 2 2 2
| 1| =( 1+ + ) = 1 + + +2 1⋅ +2 1⋅ +2 ⋅
，
→ → → → → → →
2 2 2
=| 1| +| | +| | +2| 1|| | 60°+2| 1|| | 60°=16+1+4+4+8=33
∴ ，即 ．
→
故答| 案 1|为=：33 ． 1 = 33
33
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知平面内三点A（2，3），B（4，﹣1），C（7，2）．
（1）若直线l1 经过点A且与线段BC有交点，求直线l1 的斜率的取值范围；
（2）若直线l2 经过点A，且与x，y轴的正半轴分别交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的最小值及此时l2 的
方程．
第13页（共20页）【分析】（1）求出直线AB，AC的斜率，然后利用数形结合求解直线l1 的斜率范围；
（2）由题意直线l2 的方程为y﹣3＝k′（x﹣2），求出P，Q 两点坐标，则 ，
1 2
| |⋅| |= 6 2+′ +2
′
然后利用基本不等式求解最小值及直线l2 的方程．
【解答】解：（1）因为A（2，3），B（4，﹣1），C（7，2），
所以 ， ，
−1−3 2−3 1
因为直 线 = l1 经4−过2点=− A且2 与 线 段= B7C−2有=交−点5，
所以直线l1 的斜率k满足kAB ≤k≤kAC ，
即 ，
1
−2≤ ≤−
所以直线l1 的斜5 率的取值范围是 ， ；
1
（2）由题意，得直线l2 的斜率存[在−，2 设−为5k ]′，则k′＜0，
因为直线l2 过点A（2，3），所以直线l2 的方程为y﹣3＝k′（x﹣2），
令y＝0，解得 ，
3
=2−
所以 ， ， ′
3
(2− 0)
令x＝0，解′ 得y＝3﹣2k′，
所以Q（0，3﹣2k′），
所以
3 2 2 2 2 9 2
| |⋅| |= ( ) +3 ⋅ 2 +(2′ ) = ( 2+9)(4′ +4)
′ ′
，
1 2 1 2
=6 2+′ +2 ≥6 2 2⋅′ +2 =12
′ ′
当且仅当 ，即k′＝﹣1时，等号成立，
1 2
2 =′
所以|AP|•
′
|AQ|的最小值为12．
此时直线l2 的方程为x+y﹣5＝0．
第14页（共20页）16．（15分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2．
（1）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值；
（2）求二面角O﹣BC﹣A的正切值．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，用向量法即可求解；
（2）分别求出平面OBC与平面ABC的法向量，用向量法求出二面角平面角的余弦值，然后利用同角
三角函数关系求解正切值即可．
【解答】解：（1）在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，
∴以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
由题意OA＝OC＝3，OB＝2，
可知O（0，0，0），A（0，0，3），B（2，0，0），C（0，3，0），
则 ，， ， ，， ，
→ →
=(2 0 −3) =(0 3 −3)
设平面ABC的法向量为 ，， ，则
→ →
，
→
=( ) → ⋅ → =2 −3 =0
⋅ =3 −3 =0
第15页（共20页）令z＝2，则x＝3，y＝2，得 ，， ，
→
=(3 2 2)
又 ，， ，设直线OB与平面ABC所成角为 ，
→
=(2 0 0) θ
∴ ， ；
→ → → →
| ⋅ | 6 3 17
=| 〈 〉|= → → = =
17⋅2 17
| |⋅| |
（2）由（1）知平面ABC的一个法向量为 （3，2，2），
→
二面角O﹣BC﹣A的平面角 是锐角， =
α
由题意可知 （0，0，3）为平面OBC的一个法向量，
→
=
∴cos ， ，
→ → → →
| ⋅ | 6 2 17
α=| 〈 〉|= → → = =
17⋅3 17
| |⋅| |
∵sin ，∴tan ，
221
2 2 17 2 221 17 13
α= 1− = 1−( 17 ) = 17 α= = 2 17 = 2
17
即二面角O﹣BC﹣A的正切值为 ．
13
17．（15分）已知一动圆的圆心为M，该动圆与圆 ： 外切，同时与圆 ：
2
2 2 2 2
内切． 1 + +6 +5=0 2 + −
6（ 1−）9求1该=动0圆圆心M的轨迹方程；
（2）设圆心M的轨迹为曲线C．点P在曲线C上（异于顶点），A1 （﹣6，0），A2 （6，0），F（﹣3，
0），直线A1P交y轴于点Q，若△A2PQ的面积是△A1FQ的面积的两倍，求|A1P|的值．
【分析】（1）由题意|MC1|＝R+2，|MC2|＝10﹣R，进而根据椭圆的定义可得；
（2）由题意设直线A1P的方程为y＝k（x+6），则Q（0，6k），联立椭圆方程可得 ，进而
2
18−24
= 2
可得 ， ，由 ，进而可得． 3+4
2
36| ||3−4 |
【解答 △ 】 2 解 ：=（1） 3 设 +4 动 2圆M的 △ 半 1 径 为= R 9．| | △ 2 =2 △ 1
圆 ： ，则圆C1 （﹣3，0），圆的半径r1 ＝2，
2 2
圆 1：( +3) + =4 ，圆C2 （3，0），圆的半径r2 ＝10，
2 2
动圆 2与圆( −：3) + =100 外切，同时与圆 ： 内切．
2 2 2 2
可得|MC1 |＝1R+ r1 +＝ R++2，6 |M+C5 2|＝=r0 2 ﹣R＝10﹣R， 2 + −6 −91=0
故|MC1|+|MC2|＝12＞6＝|C1C2|，
由椭圆的定义，得圆心M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为12，焦距为6的椭圆．
第16页（共20页）a＝6，c＝3，故b2＝a2﹣c2＝36﹣9＝27，
故圆心M的轨迹方程为 ．
2 2
+ = 1
（2）由（1）知，M的轨36迹为2曲7 线C，即椭圆 ．
2 2
点A1 ，A2 是椭圆C的左、右顶点．A1 （﹣6， 3 0 6 ），+A 227 （=6，10），F（﹣3，0），如图，
由题意知，直线A1P的斜率一定存在，设为k，则k≠0，且 ，
3
直线A1P的方程为y＝k（x+6），则Q（0，6k）， ≠±
2
设P（xP ，yP ），
由 消去y，整理得（3+4k2）x2+48k2x+144k2﹣108＝0．
2 2
+ =1
36 27
= ( +6)
由题意得 ，故 ，
2 2
144 −108 18−24
−6 = 2 = 2
故 3+4 3，+4
2 2
2 |18−24 | 1+
| |= 1+ | |= 2
又点A2 到直线A1P的距离 3+4 ，
|12 |
= 2
故 1+ ，
2 2 2
1 1 |18−24 | 1+ |12 | 36| ||3−4 |
又 △ 2 = 2 | | = 2 × 3+4 2 × ，1+ 2 = 3+4 2
1 1
△ 1 = | 1 || |= ×3×|6 |= 9| |
2 2
由题意 ，化简得2|3﹣4k2|＝3+4k2，
2
36| ||3−4 |
2 = 18| |
解得 3或+4 ，
2 1 2 9
= =
4 4
当 时，xP ＝3，则 ；
2 1 2 5 9 5
= | 1 |= 1+ | − 1|= ×9=
当 4时，xP ＝﹣3，则 2 2 ．
2 9 2 13 3 13
= | 1 |= 1+ | − 1|= ×3=
4 2 2
综上，|A1P|的值为 或 ．
9 5 3 13
18．（17分）已知函数2 2 ．
( )= 2+
第17页（共20页）（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设 ，若对任意x [e，+∞），e ﹣xg（x） lnx﹣g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
( )−
【分析】 （( 1 )）=求出导 函数，按照a≤0 ∈和a＞0分类讨论研究函数单调性；
（2）将题干恒成立问题转化为 ，设 （x）＝xex，利用导数法求得 （x）在（﹣1，+∞）
2
上单调递增，从而转化为a≤x2 lnx在[ ≥ e， 2 +∞ ）上恒φ成立，设h（x）＝x2lnx，x [ φ e，+∞），利用导数法
求得 ，即可求解． ∈
2
ℎ( ) =
【解答】解：（1）函数 ，其定义域为（0，+∞），∴ ，
2
2 1 −2
当a≤0时，f'（x）＞0 恒( 成)立=， 2∴+ f （ x）在（0，+∞）上单调递增；′ ( )=− 3 + = 3
当a＞0时，令f'（x）＝0，解得 ，
当 ， 时，f'（x）＜0， 当= 2 ， 时，f'（x）＞0，
∴ f（∈x(）0在 2， ) 上单调递减，在 ∈( ，2 +∞上)单调递增，
综上所述，(当0 a≤20 )时，f（x）在（0，( +2∞ ）+上∞单)调递增；
当a＞0时，f（x）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增；
(0 2 ) ( 2 +∞)
（2）由题意 ，∴ ，即 ，
−
( )− − ( ) 2
( )= = 3 − ( )≥0 − 3 ≥0
∵x [e，+∞），∴不等式 可化为 ，即 ，
2 2
设 ∈（x）＝xex，则当x＜0时， （ x）≥＜ 2 0 ；当x＝ 0时 ， ≥（ 2 x ）＝0；当x＞0时， （x）＞0，
'（φx）＝（x+1）ex，当x＞﹣1φ时， '（x）＞0，∴ （xφ）在（﹣1，+∞）上单调φ递增，
φ φ φ
当a≤0时，∵x [e，+∞），∴lnx＞1，故 ＜ ，
2
∈ 2 ≤ 0
当a＞0时，∵x [e，+∞），∴lnx＞1，∴ ，∴ 在[e，+∞）上恒成立，
∈ ( )≥ ( 2) ≥ 2
即a≤x2lnx在[e，+∞）上恒成立，
设h（x）＝x2lnx，x [e，+∞），则h'（x）＝2xlnx+x＝x（2lnx+1）＞0，
∴h（x）在[e，+∞）∈上单调递增，∴h ，
2
∴0＜a≤e2， ( ) =ℎ( )=
综上实数a的取值范围是（﹣∞，e2]．
19．（17分）我们把形如 的数学对象称作一个2×2矩阵．定义矩阵乘法： •
1 1 2 2
=
．已知矩阵 ． 1 1 2 2
1 2+ 1 2 1 2+ 1 2 2 1
=
1 2+ 1 2 1 2+ 1 2 1 1
第18页（共20页）（1）若矩阵 ，计算A•B和B•A．
0 1
=
（2）若矩阵 1 0 ，其中a，b，c，d都是正整数，且满足A•B＝B•A和ad﹣bc＝1，证明：d2+bd
﹣b2＝1． =
（3）现定义Ak+1＝Ak•A，其中 ，k N且 ，利用以上定义．写出数列{ak}与{bk}
0 1 0
= ∈ =
间的递推关系式；记 ， 为方程 2+ 0＝1 1＝0 的两个根，利用数列{ak+ 1bk}和
−1− 5 −1+ 5
{ak+ 2bk}，求数列{ak} ， 1 = {bk}的 2 通项公 2 式=． 2 λ λ λ
【分λ析】（1）利用矩阵乘法公式求解．
（2）利用矩阵乘法公式和矩阵相等的定义求解．
（3）利用新定义、矩阵乘法公式、数列间的递推关系能求出结果．
【解答】解：（1）∵A ，B ，
2 1 0 1
= =
∴A•B 1 2 ， 1 0
2 1 0 1 1 2
= ⋅ =
B•A 1 1 1 0 1 1．
0 1 2 1 1 1
= ⋅ =
（2）证1明：0∵A1 1 ，2B1 ，
2 1
= =
∴A•B • 1 1 ，
2 1 2 + 2 +
= =
B•A 1 2• + + ，
2 1 2 + +
= =
1 1 2 + +
∵A•B＝B•A，∴ ，∴ ，
2 + =2 +
=
2 + = +
= +
∵ad﹣bc＝1， + = +
∴（b+d）d﹣bc＝1，∴d2+bd﹣b2＝1．
（3）∵A ，∴ ，
2 1 +1 +1 2 1 2 + +
= ⋅ =
∴ak+1 ＝2ak+b1k ， 1①，bk+ 1 ＝+1ak+ bk ，+1② 1 1 2 + +
①+ 2②，得ak+1+ 1bk+1 ＝2ak+bk+ 1 （ak+bk ）＝（2+ 1 ）ak+（1+ 1 ）bk ＝（2+ 1 ）（ak bk ），
1+ 1
λ λ λ λ λ λ +
∵ ， 2+ 1
2
∴ 1 + 1−，1=∴0 ak+1+ 1bk+1 ＝（2+ 1 ）（ak+ 1bk ），
1+ 1
= 1 λ λ λ
∵2A+1＝ 1 A0•A • ，
1 0 2 1 2 1
= =
0 1 1 1 1 1
第19页（共20页）∴a1+ 1b1 ＝2+ 1 ，
3− 5
λ λ =
2
∴数列{ak+ 1bk}是首项和公比均为 的等比数列，
3− 5
λ
同理，数列{ak+ 2bk}是首项和公比均2为 的等比数列，
3+ 5
λ
∴ ， 2 ，
−1− 5 3− 5 −1+ 5 3+ 5
+ =( ) + =( )
解得 2 2 2 ， 2
5+ 5 3+ 5 5− 5 3− 5
= ( ) + ( )
10 2 10． 2
5 3+ 5 3− 5
= [( ) −( ) ]
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