[横版]25李艳芳《900题》数三线代概率_考研_数学_08.李艳芳_25李艳芳《900题》做题本_数三

李艳芳 900 · 1.行列式 第一章 行列式 A 类 一、填空题 1 多项式 第 1 页，共 368 页 f ( x ) = x 1 2 3 2 − x 1 x 1 3 1 2 1 x − − 4 1 x 1 x 中 x 3 项的系数为________.李艳芳 900 · 1.行列式 a b c d e f g h 2 设行列式D = ,则 D的第一行元素的代数余子式之和 A + A + A + A = ________. l l l k 11 12 13 14 k k k l 第 2 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.行列式 1 2 3 4 − f 2f e 2e 3 设行列式D = ,则 0 2f 2e e 0 f e e 第 3 页，共 368 页 a 1 1 , a 1 2 的余子式之和M + M =________. 11 12李艳芳 900 · 1.行列式 4 记行列式 第 4 页，共 368 页 2 3 x x x 4 − − − x 1 2 3 2 3 4 x x x x − − − + 2 3 4 4 3 x 2 x 6 + x + x 1 1 − 3 6 x 2 x x + x + + 2 + 2 6 1 为 f ( x ) ,则方程 f ( x ) = 0 的根的个数为________.李艳芳 900 · 1.行列式 5 设 4 阶矩阵A = (α,,2 ,3 ),B = (β,,− , ),其中 1 2 3 1 2 3 第 5 页，共 368 页 , , 1 , 2 , 3    α β 均为 4 维列向量,且已知行列式 A = 6 , B = 2 ,则行列式 A + B = ________.公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 1.行列式 6 设A,B 为 第 6 页，共 368 页 n ( n  2 ) 阶矩阵,且 A = 2 , B = − 2 , A * + B = 2 ,则 A − B * = ________.李艳芳 900 · 1.行列式 2 1 0   7 设矩阵A = 1 3 0 ,可逆矩阵     0 0 4   第 7 页，共 368 页 B 满足ABA* −BA* =BAB*,其中 A * , B * 分别为 A , B 的伴随矩阵, 则 B * = ________.李艳芳 900 · 1.行列式 8 已知 3 阶矩阵 第 8 页，共 368 页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ,且 A  0 .若A2 =(α +α +α ,α +2α +4α ,α + 1 2 3 1 2 3 1 3 α 2 + 9 α 3 ) ,则 A = ________.李艳芳 900 · 1.行列式 9 设 第 9 页，共 368 页 A 为 2 n + 1 阶矩阵,且 9 A A T = E ,其中 E 为单位矩阵.若 A  0 ,则 A − 1 3 E = ________.李艳芳 900 · 1.行列式 二、解答题 10 计算下列行列式: (I) 第 10 页，共 368 页 1 0 0 1 0 1 2 0 0 3 2 0 5 0 0 3 ;公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 1.行列式  0 0      (II) ;         第 11 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.行列式 1 4 3 2 2 1 4 3 (III) ; 3 2 1 4 4 3 2 1 第 12 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.行列式 5 2 2 2 5 2 (IV) ; 2 2 5 nn 第 13 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.行列式 (Ⅴ) 第 14 页，共 368 页 b 2 a + a 2 c 2 a 2 b + b 2 c 2 a 2 + c c 2 b 2 ;李艳芳 900 · 1.行列式 3 3 3 (VI) 3a +5 3a +5 3a +5 ; 1 2 3 3a2 +5a +7 3a2 +5a +7 3a2 +5a +7 1 1 2 2 3 3 第 15 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.行列式 1 1 1 1 2 22 23 24 (Ⅶ) ; 3 32 33 34 4 42 43 44 第 16 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.行列式 2 1 1 2 1 (VIII) ; 1 2 1 1 2 nn 第 17 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.行列式 1−a a −1 1−a a (Ⅸ) . −1 1−a a −1 1−a nn 第 18 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.行列式 B 类 一、选择题 1 设 第 19 页，共 368 页 A 为 n − 1 阶可逆矩阵, B 为 n + 1 阶矩阵,且 A = a , B = b , P 为(n +1)(n −1)矩阵, O A  C =  (n−1)(n+1) ,则 C = ( )   B BP   (A)ab. (B) − a b . (C) ( − 1 ) n − 1 a b . (D) ( − 1 ) n a b .李艳芳 900 · 1.行列式 二、填空题 2 多项式 第 20 页，共 368 页 f ( x ) = x − 2 1 x 1 + 1 x 2 − x 1 + 1 1 x − 2 1 x 1 + 1 x 2 − x 1 + 1 1 的常数项是_________ .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 1.行列式 3 设 5 阶矩阵 第 21 页，共 368 页 A 满足 ( 1 ) 2 ( a ) 3    E − A = + + ,且 A = 6 4 ,则 t r ( A ) = _________ .李艳芳 900 · 1.行列式  1 −1 4    4 设矩阵A = 2 3 −1 ,B 为 3 阶正交矩阵.若存在上三角矩阵     −1 1 0   第 22 页，共 368 页 P ,使得B= AP,则 P 的对角线上 各元素乘积的绝对值为_________ .李艳芳 900 · 1.行列式 5 设 3 阶矩阵 第 23 页，共 368 页 A 为上三角矩阵,向量 α = ( 1 , 1 , 1 ) T 满足 A α = 3 α , A T α = 3 α , A 的特征值之和为 3,则 A = _________ .李艳芳 900 · 1.行列式 6 设 第 24 页，共 368 页 A A α A α 为n阶矩阵, = x, = y ,且b  c,则 βT b βT c A = _________ .李艳芳 900 · 1.行列式 7 已知A,B 为 第 25 页，共 368 页 n 阶可逆矩阵, A − 1 + B − 1 = ( A + B ) − 1 ,则 A B − 1 + B A − 1 = _________ .李艳芳 900 · 1.行列式 C 类 解答题 设 3 阶矩阵 第 26 页，共 368 页 A = ( a ij ) , A ( x ) =  a a a 1 2 3 1 1 1 + + + x x x a a a 1 2 3 2 2 2 + + + x x x a a a 1 2 3 3 3 3 + + + x x x  A 的所有元素的代数余子式之和为 a , A ( x ) 的 所有元素的代数余子式之和为b(x) . (I)求 A ( x ) − A ; (II)求b(1)−a .李艳芳 900 · 2.矩阵 第二章 矩阵 A 类 一、选择题 1 已知矩阵A,B,C为n阶矩阵,且AB = BC ,则下列说法中,正确的是( ) (A)若A =E,且 第 27 页，共 368 页 B  O ,则 C = E . (B)若A =O ,且B  O ,则C = O . (C)若B可逆,则 A = C . (D)以上说法均不正确.李艳芳 900 · 2.矩阵 1 0 2 −1   2 下列矩阵中,与A = 2 1 3 1 等价的是     3 2 4 3   第 28 页，共 368 页 ( ) (A)  2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 3 4  . (B)  1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1  . (C)  0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0  . (D)  1 2 3 0 0 0 1 2 3 1 2 3  .李艳芳 900 · 2.矩阵 3 设 第 29 页，共 368 页 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,若 A 4 = O ,则 a E + b A , c E + d A 2 是否可逆( ) (A)仅与a,c 有关. (B)仅与 b , d 有关. (C)与a,b,c,d 均有关. (D)与 a , b , c , d 均无关.李艳芳 900 · 2.矩阵 4 设 第 30 页，共 368 页 A 为 3 阶矩阵, P 1 0 0   为 3 阶可逆矩阵,且P−1AP = 0 2 0 .若     0 0 3   ( α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 ) P = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , Q = ,则 Q − 1 A Q = ( ) (A)  1 0 0 0 2 0 0 0 3  . (B)  1 1 1 0 2 1 0 0 3  . (C)  − 1 1 1 0 2 1 0 0 3  . (D)  1 0 0 1 2 0 − 1 3 1  .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 2.矩阵 5 设 第 31 页，共 368 页 n 为大于等于 3 的奇数, n 阶非零矩阵 A 满足 A = A * ,则下列说法中,正确的是( ) (A)A = −A−1. (B) A T = − A * . (C) A − 1 = A * . (D) A = 0 .李艳芳 900 · 2.矩阵 6 设 第 32 页，共 368 页 A , B 为 4 阶可逆矩阵, A * , B * 分别为 A , B 的伴随矩阵,将 A * 的第 2 行乘以 3 加到第 1 行上得矩 阵 B * ,则 ( ) (A)将A 的第 1 列乘以 3 加到第 2 列上得 B . (B)将A 的第 1 行乘以 3 加到第 2 行上得 B . (C)将A 的第 1 列乘以-3 加到第 2 列上得B. (D)将A 的第 1 行乘以-3 加到第 2 行上得 B .李艳芳 900 · 2.矩阵 7 已知矩阵 第 33 页，共 368 页 A , B 均为 n  m 矩阵(n,m  2),则下列命题中,正确的是 ( ) (A)若ABT 可逆,则 r ( A ) + r ( B )  m . (B)若ABT = E ,则 n r ( A ) + r ( B )  m . (C)若ABT 不可逆,则r(A)+ r(B)  m. (D)若ABT = O ,则 r ( A ) + r ( B )  m .李艳芳 900 · 2.矩阵 8 设 第 34 页，共 368 页 A , B 均为 n ( n  2 ) 阶矩阵,满足 A − B − A B = k E ,则下列 k 值中,使r(A + E)+ r(B- E )最小的是 ( ) (A)-2. (B)-1. (C)1. (D)2.李艳芳 900 · 2.矩阵 9 设A,B 是 第 35 页，共 368 页 n 阶矩阵, A * 是 A 的伴随矩阵,若r(B) = 2 ,且 A B = O ,则r ( A* ) =( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.李艳芳 900 · 2.矩阵 10 已知矩阵 第 36 页，共 368 页 A 是 m  n 矩阵, B 是 n  m 矩阵,则下列说法中,正确的是( ) (A)若 AB  0,则A 行满秩, B 列满秩. (B) AB = BA . (C) A B  B A . (D) t r ( A B )  t r ( B A ) .李艳芳 900 · 2.矩阵 二、填空题 11 设矩阵 第 37 页，共 368 页 A =  1 1 1 1  , E 为 2 阶单位矩阵,矩阵 B 满足 B A = A + B − E ,则 B = ________.李艳芳 900 · 2.矩阵 12 已知 第 38 页，共 368 页 n 阶矩阵 A 满足 A = 1 n ,则 n A * − ( n A ) − 1 = ________.李艳芳 900 · 2.矩阵 13 设 第 39 页，共 368 页 n ( n  2 ) 阶矩阵 A ( )−1 ( )* 可逆,且 A* = AT ,若 A  0 ,则 A = ________.李艳芳 900 · 2.矩阵 0 1 0 0   0 0 1 0 14 设矩阵A =   ,则使得Ak =E成立的最小正整数为________. 0 0 0 1   1 0 0 0   第 40 页，共 368 页公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 2.矩阵 三、解答题 15 已知矩阵 第 41 页，共 368 页 A =  1 0 0 2 1 0 3 2 1  ,且 A 3 − A 2 B − A B + E = O ,其中 E 是 3 阶单位矩阵,求矩阵 B .李艳芳 900 · 2.矩阵 16 设矩阵 第 42 页，共 368 页 A =  1 1 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 1 − 0 0 0 1  ,矩阵 B −1  1  * 满足 A   BA−1 = 4AB+16E ,求矩阵   2   B .李艳芳 900 · 2.矩阵 17 设 第 43 页，共 368 页 A =  0 a b a 0 c b c 0  为可逆矩阵, E 1 0 0   为 3 阶单位矩阵,B = 0 4 0 .     0 0 0   (I)计算 E − A B ,并指出 A 中元素满足什么条件时, E − A B 为可逆矩阵; (II)当E−AB可逆时,证明 ( E − A B ) − 1 A =  ( A − 1 − B ) − 1  T .李艳芳 900 · 2.矩阵  1 2 4 1 0 0      18 设矩阵A = 0 −1 2 ,Λ = 0 1 0 .         −1 3 1 0 0 − A     (I)求 A ; (II)求下三角矩阵P 与上三角矩阵Q ,使得A = PΛQ. 第 44 页，共 368 页李艳芳 900 · 2.矩阵 19 已知 第 45 页，共 368 页 n 阶矩阵 A 满足等式 A 2 − 3 A + 2 E = O ,其中 E 为 n 阶单位矩阵.计算r(A)+ r(A- E ) + r ( A − 2 E ) .李艳芳 900 · 2.矩阵 B 类 一、选择题 1 设 第 46 页，共 368 页 A 为 m  n ( m  n ) 矩阵, r ( A ) = m ,则下列说法中,正确的是( ) ①若 P 为m阶矩阵,且PA=A,则P =E . m ②若 P 为 n 阶矩阵,且 A P = A ,则P = E . n ③ A 能通过一系列初等行变换化为形式 ( E m , O ) .第 ④A 能通过一系列初等列变换化为形式 ( E m , O ) . (A)①③. (B)①④. (C)②③. (D)②④.李艳芳 900 · 2.矩阵 2 设 3 阶矩阵 第 47 页，共 368 页 A =  0 b b a 0 0 a 0 0  ,则下列关于 A n ( n  2 ) 的说法中,正确的是 ( ) (A)An的各项元素仅与 a 有关. (B)An的各项元素仅与 b 有关. (C)若n为奇数,则An的各项元素仅与ab有关. (D)若n为偶数,则 A n 的各项元素仅与 a b 有关.李艳芳 900 · 2.矩阵 3 设 第 48 页，共 368 页 A , B 均为 2 阶矩阵, A * , B * 分别为A,B 的伴随矩阵.若 A = 3, B = −1,则分块矩阵  O B A E  * = ( ) −B*A* 3B* (A) . (B)   −A* 0    − A − A * B * * 3 B 0 *  . (C)  − B 3 * B A * * − A 0 *  . (D)  − A 3 B * B * * − A 0 *  .李艳芳 900 · 2.矩阵 4 设 第 49 页，共 368 页 A , B 为 n 阶矩阵,记 r ( X ) 为矩阵X 的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则下列说法中,不正确的是( ) (A) r ( A , A B )  r ( A , B ) . (B) r ( B A , B )  r ( A , B ) . (C)r(A,AB)  r(A,BA). (D) r ( A B , B )  r ( B A , B ) .李艳芳 900 · 2.矩阵 5 设 第 50 页，共 368 页 A 为 n ( n  3 ) 阶非零矩阵,则下列命题中,正确命题的个数是( ) ①当 r ( ( A * ) * ) = r ( A * ) 时, r ( A , A * )  n − 1 . ②当 r ( ( A * ) * ) = r ( A * ) 时, r ( A − A * )  n − 1 . ( ) ( )* ( ) ( ) ③当r A*  r A* 时,r A,A* = n. ④当 r ( ( A * ) * )  r ( A * ) 时, r ( A − A * ) = n . (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 2.矩阵 6 设 第 51 页，共 368 页 A 为 n ( n  2 ) 阶非零矩阵,且满足 a ij = A ij , i , j = 1 , 2 , , n ,其中 A ij 为 a ij 的代数余子式,则下列说法 中,正确的是( ) (A)A 为可逆矩阵. (B) A 为对称矩阵. (C) A  0 . (D) A 的所有元素的平方和为 n .李艳芳 900 · 2.矩阵 二、填空题 7 设 第 52 页，共 368 页 n 阶矩阵 A 满足方程 A 3 = A 2 + A ,则 ( A 2 + A + E ) − 1 = _________ .李艳芳 900 · 2.矩阵 8 设 第 53 页，共 368 页 α = ( 1 , 0 , 2 ) T , β = ( 4 , 1 , − 2 ) T .记 A = α β T ,则 ( E + A ) n = _________ .李艳芳 900 · 2.矩阵 9 设n维列向量 第 54 页，共 368 页 α =  1 4 , 0 , , 0 , 4 3  T ,矩阵 A = E − 2 α α T , B = E + 4 α α T ,其中 E 为n阶单位矩阵,则 E + A n B n = _________ .李艳芳 900 · 2.矩阵 1 0 0 1   0 1 0 1 10 设矩阵A =  ,则 0 0 1 1   1 1 1 1   第 55 页，共 368 页 A 的所有元素的代数余子式之和为_________ .李艳芳 900 · 2.矩阵 11 设 第 56 页，共 368 页 A , B 为 n A2 AB 阶矩阵,则 =_________ . BA B2李艳芳 900 · 2.矩阵 三、解答题 12 已知 第 57 页，共 368 页 A 为 3 阶可逆矩阵,将 A 的第 1 列与第 2 列互换得到矩阵 B ,再将 B 的第 1 列乘以-2 得到矩 阵 C .若矩阵 P 满足 P A * = C * ,求矩阵 P .李艳芳 900 · 2.矩阵  4 9 −3    13 设矩阵A = −a −2 a ,且满足     −a −3 a +1   第 58 页，共 368 页 A = − 2 ( A − 3 E ) − 1 . (I)确定a; (II)设矩阵 X 满足方程 A X A − 4 A X + X A − 4 X − 1 2 A = O ,求矩阵 X .李艳芳 900 · 2.矩阵 第 59 页，共 368 页 C 类 选择题 1 设矩阵 A 为 4  2 矩阵, B 为 2  4 矩阵,且满足 A B =  − 1 0 0 1 − 0 1 0 1 − 0 1 0 1 − 0 0 1 1  ,则 B A = ( ) (A)  1 0 0 3  . (B)  2 0 0 2  . (C)  4 0 0 0  . (D)由已知条件不能确定.李艳芳 900 · 2.矩阵 2 设 第 60 页，共 368 页 A = ( a ij ) 为n阶矩阵,其元素满足 a ij = − a ji , β 为n维非零列向量,矩阵 B =  A β T β 0  ,则( ) (A)若r(A) = n ,则 n 为奇数,且 r ( B ) = n . (B)若r(A) = n ,则 n 为奇数,且 r ( B ) = n + 1 . (C)若r(A) = n ,则 n 为偶数,且 r ( B ) = n . (D)若r(A) = n ,则 n 为偶数,且 r ( B ) = n + 1 .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 3.向量 第三章 向量 A 类 一、选择题 1 已知向量组 第 61 页，共 368 页 α 1 = ( 1 , 2 , 1 ) T , α 2 = ( 3 , 5 , 1 ) T , α 3 = ( 3 , 7 , 5 ) T , α 4 = ( − 1 , 1 , 1 ) T , α 5 = ( − 5 , 1 , 5 ) T ,则下列各选项中 的向量组线性相关的是 ( ) (A) α 1 , α 2 , α 3 . (B) α 1 , α 2 , α 5 . (C) α 2 , α 4 , α 5 . (D) α 3 , α 4 , α 5 .李艳芳 900 · 3.向量 2 下列关于向量组 第 62 页，共 368 页 α 1 , α 2 , α 3 的陈述中,不正确的是 ( ) (A)若存在实数 k ,使得 α 1 + k α 3 , α 2 线性相关,则α ,α ,α 必线性相关. 1 2 3 (B)若存在实数 k ,使得 α 1 + k α 3 , α 2 线性无关,则α ,α ,α 可能线性无关. 1 2 3 (C)若对任意实数 k ,均有 α 1 + k α 3 , α 2 线性相关,则α ,α ,α 必线性相关. 1 2 3 (D)若对任意实数k ,均有α +kα ,α 线性无关,则α ,α ,α 必线性无关. 1 3 2 1 2 3李艳芳 900 · 3.向量 3 已知向量组 第 63 页，共 368 页 I : α 1 = ( 0 , 1 , 2 , 3 ) T , α 2 = ( 3 , 0 , 1 , 2 ) T , α 3 = ( 2 , 3 , 0 , 1 ) T 和向量组 ( 2 , 1 , 1 , 2 ) T , β 2 = ( 0 , − 2 , 1 , 1 ) T , β 3 = ( 4 , 4 , 1 , 3 ) T I I : β 1 = ,则下列说法中,正确的是 ( ) (A)向量组 I 可由向量组 II 线性表示,但向量组 II 不能由向量组 I 线性表示. (B)向量组 II 可由向量组 I 线性表示,但向量组 I 不能由向量组 II 线性表示. (C)向量组 I 和向量组 II 可互相线性表示. (D)向量组 I 和向量组 II 均不可由对方线性表示.李艳芳 900 · 3.向量 4 设向量组 第 64 页，共 368 页 I : α 1 , α 2 , , α t 可由向量组 I I : β 1 , β 2 , , β s 线性表示, I 和 I I 的秩分别为r,r ,则 1 2 ( ) (A)若t = s,则r = r . (B)若 1 2 r 1 = t ,则 s  t . (C)若t  s ,则r  r . (D)若 1 2 r 2 = s ,则 s  t .李艳芳 900 · 3.向量 5 已知向量组 第 65 页，共 368 页 I : α 1 , α 2 , , α t 的秩为 r 1 , I I : β 1 , β 2 , , β s 的秩为 r 2 ,则下列命题中,正确的个数为 ( ) ①若向量组 I 能被向量组 II 线性表示,则 r 1  r 2 . ②若向量组 I 不能被向量组 II 线性表示,则 r 1  r 2 . ③若向量组 I 和向量组 II 等价,则 r 1 = r 2 . ④若向量组 I 和向量组 II 不等价,则 r 1  r 2 . (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 3.向量 6 设 第 66 页，共 368 页 A , B , C 均为 n 阶矩阵,则下列命题中,正确的是( ) (A)若矩阵 A 与 C 等价,则矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价. (B)若矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价,则矩阵 A 与 C 等价. (C)若 AB = C ,且矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价,则矩阵 B 可逆. (D)若 AB = C ,且矩阵 B 可逆,则矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价.李艳芳 900 · 3.向量 7 设向量组 第 67 页，共 368 页 I : α 1 , α 2 , α 3 可由向量组 I I : α 1 , α 2 , β 线性表示,则 ( ) (A)若α 与 3 β 线性无关,则 α 3 可由 α 1 , α 2 线性表示. (B)若α 与 3 β 线性无关,则向量组 I 与向量组 II 等价. (C)若向量组 I 与向量组 II 等价,则 α 3 与 β 线性相关. (D)若α 与β 线性相关但与α 线性无关,则向量组 I 与向量组 II 等价. 3 1李艳芳 900 · 3.向量 8 设 第 68 页，共 368 页 A , B 为 n 阶矩阵,则下列命题中,错误的是( ) (A)若B和 A B 都是正交矩阵,则 A 也是一个正交矩阵. (B)若B和 A + B 都是正交矩阵,则 A 也是一个正交矩阵. (C)若A 是正交矩阵, x 是 n 维列向量,则x和 A x 的长度相等. (D)若A 是正交矩阵,x,y 是相互正交的两个 n 维列向量,则 A x , A y 也相互正交.李艳芳 900 · 3.向量 二、填空题 9 设向量组 第 69 页，共 368 页 α 1 =  a 1 1  , α 2 =  − 1 a 1  , α 3 =  − 1 a 1  线性相关,但其中任意两个向量均线性无关,则 a = _________ .李艳芳 900 · 3.向量 10 若向量β =(0,1,−1,b)T 可以表示为 第 70 页，共 368 页 α 1 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T , α 2 = ( 1 , 3 , 2 , 3 ) T , α 3 = ( 1 , 4 , a , 2 ) T , α 4 = ( 1 , 4 , 1 , a + 1 ) T 的线性组合,且表示方法不唯一,则 a b = _________ .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 3.向量 三、解答题 11 已知向量组 第 71 页，共 368 页 α 1 =  0 1 2  , α 2 =  2 0 1  , α 3 =  a 2 1  与向量组 β 1 =  b 1 0  , β 2 =  − 1 0 1  , β 3 =  8 7 6  具有相同的秩,且β 1 不能由α ,α ,α 线性表示,求a,b的值. 1 2 3李艳芳 900 · 3.向量 12 设向量组 第 72 页，共 368 页 I : α 1 = ( 1 , 0 , − 1 ) T , α 2 = ( 0 , 1 , − 1 ) T , α 3 = ( 1 , 2 , 4 ) T 不能由向量组 ( 2 , 2 , 2 ) T , β 2 = ( 2 , 4 , 6 ) T , β 3 = ( 1 , 5 , a ) T I I : β 1 = 线性表示,求a的值,并将 β 1 , β 2 , β 3 用 α 1 , α 2 , α 3 线性表示.李艳芳 900 · 3.向量 13 确定常数 第 73 页，共 368 页 a ,使向量组α =(1,1,4)T ,α =(1,a,4)T ,α =(−1,−1,a)T 可由向量组 1 2 3 = ( a + 2 , 1 , 1 ) T , β 2 = ( 1 , a + 2 , 1 ) T , β 3 = ( 1 , 1 , a + 2 ) T β 1 线性表示,但向量组 β 1 , β 2 , β 3 不能由向量组 α 1 , α 2 , α 3 线 性表示.李艳芳 900 · 3.向量 14 已知 第 74 页，共 368 页 α 1 = ( 1 , 0 , − 1 , a ) T , α 2 = ( 0 , 1 , a , a ) T , α 3 = ( − a , a , a , 0 ) T , β = ( b , 0 , 1 , 2 ) T ,问: (I)a,b满足什么条件时, β 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示? (II) a , b 满足什么条件时, β 能由 α 1 , α 2 , α 3 唯一地线性表示?并写出此表示式(要求表示式中不含 b ).李艳芳 900 · 3.向量 B 类 一、选择题 1 设向量组 第 75 页，共 368 页 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,已知 β 1 = ( k + 1 ) α 1 + ( k − 1 ) α 2 − ( k + 1 ) α 3 , β 2 = α 1 + α +α , 2 3 β = α +(1− k)α +α ,当向量组β ,β ,β 线性无关时,参数k 满足的条件是( ) 3 1 2 3 1 2 3 (A)k  0或 k  − 1 . (B) k  0 且 k  − 1 . (C)k = 0. (D) k = − 1 .李艳芳 900 · 3.向量 2 设向量组 第 76 页，共 368 页 A : α 1 , α 2 , , α n 包含 n 个 m 维列向量 ( n  m ) ,则下列命题中,正确的是 ( ) (A)若α  0,则 1 α 1 必能由其他向量线性表示. (B)若α  0,则必存在2  k  n,使得 1 α k 能由 α 1 , α 2 , , α k − 1 线性表示. (C)矩阵A = (α ,α , ,α ) 必可经过初等行变换化为矩阵 1 2 n ( E , O ) 或  E O O O  的形式. (D)矩阵A = (α ,α , ,α ) 必可经过初等列变换化为矩阵 1 2 n ( E , O ) 或  E O O O  的形式.李艳芳 900 · 3.向量 3 设 第 77 页，共 368 页 α 1 , α 2 , α 3 与 β 1 , β 2 , β 3 为 3 维列向量组的两个不同的极大无关组,且(α ,α ,α ) = (β ,β ,β )A .向 1 2 3 1 2 3 量 ξ i ( i = 1 , 2 , 3 ) 满足ξ = x α + x α + x α = y β + y β + y β ,且 i 1i 1 2i 2 3i 3 1i 1 2i 2 3i 3 ( x 1 i , x 2 i , x 3 i ) = ( y 1 i , y 2 i , y 3 i ) B ,则( ) ( ) (A)若矩阵 y 可逆,则 ij B = A . (B)若矩阵 ( y ij ) 可逆,则 B = A − 1 . ( ) (C)若矩阵 y 可逆,则 ij B T = A ( ) . (D)若矩阵 y 可逆,则 ij B T = A − 1 .李艳芳 900 · 3.向量 4 设 第 78 页，共 368 页 n ( n  3 ) 阶矩阵 A = ( a ij ) 不可逆, A ij 是a 的代数余子式,其中 ij A 1 1  0 ,则下列行向量中,必为 A 的伴随矩阵A* 的行向量组的一个极大无关组的是( ) (A) ( A 1 1 , A 1 2 , , A 1 n ) . (B) ( A 1 1 , A 2 1 , , A n 1 ) . (C)(A ,A , ,A ) . (D)以上都不正确. 12 22 n2李艳芳 900 · 3.向量 5 已知 第 79 页，共 368 页 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是 3 维非零列向量,则下列命题中,正确命题的个数为 ( ) ①若 r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = 3 ,则 α 4 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. ②若 α 4 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示,则2  r(α ,α ,α )  3. 1 2 3 ③若r(α ,α ,α ) = 2 ,则α 必不能由α ,α ,α 线性表示. 1 2 3 4 1 2 3 ④若 α 4 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示,则 r ( α 1 , α 2 , α 3 )  2 . (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 3.向量 6 设向量 第 80 页，共 368 页 1 ( 1 , 1 , 0 , 0 ) T , 2 ( 1 , 0 , 1 , 0 ) T , 3 ( 1 , 0 , 0 , 1 ) T , 4 ( , 1 , x , x 2 ) T , 5  α = α = α = α = α = T  1 1  ,1, , .若对所有    x x2  x  0 ,向量组 I : α 1 , α 2 , α 3 , α 4 与向量组 I I : α 1 , α 2 , α 3 , α 5 恒等价,则的取值范围是( ) (A) 3 4   . (B) 3 4   或 1  = . (C) 5 4   . (D) 5 4   或 1  = .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 3.向量 二、填空题 7 设矩阵 第 81 页，共 368 页 A =  1 2 3 2 1 0 − 1 2 1  , α =  a b 1  ,若 A α 与 α 线性相关,则 a = = _________ .李艳芳 900 · 3.向量 8 已知向量组 第 82 页，共 368 页 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的秩为 2,且 α 1 + 2 α 2 + 3 α 3 = 0 , α 1 + 3 α 4 = 0 ,则该向量组中不同的极大无关 组的个数是_________ .李艳芳 900 · 3.向量 三、解答题 9 设 第 83 页，共 368 页 1 1 1 2 4 2 3 3 3 , 1 1 1 1  A =  − − − −  =  − −  . (I)求满足 A ξ 2 = 2 ξ 1 , A 2 ξ 3 = 6 ξ 1 的所有向量 ξ 2 , ξ 3 ; (II)对(I)中的任意向量, ,证明 2 3 1 , 2 , 3   线性无关.李艳芳 900 · 3.向量 10 设A 为 3 阶矩阵, 第 84 页，共 368 页 α 1 , α 2 分别为 A 的属于特征值 1,2 的特征向量,向量 α 3 满足 A α 3 = 2 α 1 + α 2 + 3 α 3 , 且 α 1 + α 2 + α 3  0 . (I)证明α ,α ,α 线性无关; 1 2 3 (II)令 P = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ,求 P − 1 A P .李艳芳 900 · 3.向量 11 设 第 85 页，共 368 页 n 维列向量组 α 1 , α 2 , , α s 是齐次线性方程组 A x = 0 的一个基础解系, β 是n维非零列向量,向 量组 β , β + α 1 , , β + α s 线性相关.证明: β 也是齐次线性方程组 A x = 0 的一个解.李艳芳 900 · 3.向量 第 86 页，共 368 页 C 类 选择题 设 A 为 3 阶正交矩阵且 A 3 = E .已知 α , β 均为 3 维非零列向量,且满足 α , A α 线性无关, α , A α , A 2 α 线性相关,βTα = βTAα = 0.下列命题中,错误的是( ) (A) α , A 2 α 线性无关. (B) β , A β 线性无关. (C) α , A α , β 线性无关. (D) β , A β , A 2 β 线性相关.李艳芳 900 · 4.线性方程组 第四章线性方程组 A 类 一、选择题 1 设 第 87 页，共 368 页 A 是 ( n + 1 )  n 矩阵, b 是 n + 1 维列向量,行列式 A,b  0 ,则非齐次线性方程组 A x = b ( ) (A)有唯一解. (B)有无穷多解. (C)无解. (D)不能确定解的情况.李艳芳 900 · 4.线性方程组 2 设 第 88 页，共 368 页 A 为 3 阶非零矩阵,下列命题中,是齐次线性方程组 A x = 0 有非零解的充分条件的个数为( ) ①非齐次线性方程组 A * x = b 有唯一解. ②非齐次线性方程组 A * x = b 有无穷多解. ③非齐次线性方程组 A A T x = b 有唯一解. ④非齐次线性方程组 A A T x = b 有无穷多解. (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 4.线性方程组 3 设矩阵 第 89 页，共 368 页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ,非齐次线性方程组 A x = b 的通解为 x = k 1  1 0 1 0  + k 2  − 0 2 1 1  + 3   1  ,其中 2   0   k 1 , k 2 为任意常数,则下列说法中,错误的是 ( ) (A)b 必可由 α 1 , α 2 线性表示. (B) b 必可由 α 2 , α 3 线性表示. (C)b 必可由 α 1 , α 3 , α 4 线性表示. (D) b 必可由 α 2 , α 3 , α 4 线性表示.李艳芳 900 · 4.线性方程组 4 设 第 90 页，共 368 页 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是齐次线性方程组 A x = 0 的一个基础解系,则下列各组向量中,仍为 A x = 0的基础 解系的是 ( ) (A)α +α ,α +α ,α +α ,α +α . 1 2 2 3 3 4 4 1 (B)α +α +α ,α +α +α ,α +α +α ,α +α +α . 1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 1 2 (C)α −α ,α −α ,α −α ,α −α . 1 2 2 3 3 4 4 1 (D) α 1 − 2 α 2 , 2 α 1 + α 3 , − 4 α 2 − α 4 , − α 3 + α 4 .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 4.线性方程组 二、填空题 5 已知方程组 第 91 页，共 368 页  x 2 x 1 x 1 + 1 + + 2 a x 3 x 2 x 2 + 2 − + x 2 3( x = a 3 + = 1 , 2 4 ) x 3 = 3 , 无解,则 a = ________ .李艳芳 900 · 4.线性方程组 6 设 第 92 页，共 368 页 A 为 m  n 矩阵, B 为 n  m 矩阵.已知 A B x = 0 只有零解,则方程组 A x = 0 的基础解系中的向量 个数为________ .李艳芳 900 · 4.线性方程组 x + 2x +3x + 4x = 0, 1 2 3 4  7 已知方程组 x + ( a2 +1 ) x +3x +(a+3)x = 0,的基础解系中恰有两个解向量,则 a = ________ . 1 2 3 4  −x +(a −3)x −3x +(a −5)x = 0  1 2 3 4 第 93 页，共 368 页李艳芳 900 · 4.线性方程组 8 设四元非齐次线性方程组 第 94 页，共 368 页 A x = b 的系数矩阵 A 的秩r(A) = 3,且它的三个解向量 α 1 , α 2 , α 3 满足 α 1 + 2 α 2 = ( 2 , 4 , 6 , − 2 ) T , α 1 + 2 α 3 = ( 0 , 2 , − 2 , 0 ) T ,则 A x = b 的通解为________ .李艳芳 900 · 4.线性方程组 9 设 第 95 页，共 368 页 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0,且其伴随矩阵 A * 为非零矩阵,则方程组 A x = 0 的通解为 ________ .李艳芳 900 · 4.线性方程组 10 已知线性方程组 第 96 页，共 368 页  2 x x 1 1 + + a x x 3 2 = + 1 x , 3 = 0 x + 2x + x = 0, 与  1 2 3 有公共解,则a =________ . ax + x = 2  1 2李艳芳 900 · 4.线性方程组 三、解答题 11 设矩阵 第 97 页，共 368 页 A =  2 1 0 a − a + 1 2 1 1 a  , b =  1 1 1  . (I)当a为何值时,方程组Ax =b无解,有唯一解,有无穷多解? (II)当方程组有无穷多解时,求其通解.李艳芳 900 · 4.线性方程组 12 设矩阵 第 98 页，共 368 页 A =  − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 1 − 3 6 4  , E 为 3 阶单位矩阵. (I)求方程组 A x = 0 的一个基础解系; (II)求满足 A B = E 的所有矩阵 B .李艳芳 900 · 4.线性方程组  2 3 3   1 2 2      13 设A,B,X均为 3 阶矩阵,其中A = 2 2 2 , B = 2 1 1 .问         a2 +5 a +9 2a2 +6 a2 +3 a +6 a2 + 4     第 99 页，共 368 页 a 为何 值时,矩阵方程 A X − B = B X 无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时,解此方程.李艳芳 900 · 4.线性方程组 1 2 1 b  14 设矩阵A = ,B = .     a 0 0 −1     (I)当a,b满足什么条件时,存在矩阵 第 100 页，共 368 页 C 使得 A C − C A = B ; (II)进一步,若 A = 1 2 ,求所有矩阵C .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 4.线性方程组 15 已知α =(1,2,3,4)T ,α =(2,3,4,1)T 都是方程组 1 2 第 101 页，共 368 页 A x = b 的解,β =(3,4,1,2)T 是方程组Ax = 0 的解, 且 r ( A ) = 2 .求方程组 A x = b 的通解.李艳芳 900 · 4.线性方程组 16 已知 第 102 页，共 368 页 n  m 矩阵 A = ( α 1 , α 2 , , α m ) 的秩为 m .若非零矩阵 B 的列向量组是方程组ATx = 0 的一个 基础解系,求方程组 B T y = 0 的通解.李艳芳 900 · 4.线性方程组 x + 2x +3x = 0, 1 2 3  17 已知齐次线性方程组(i) 2x +3x +5x = 0, 和(ii) 1 2 3  x + ax +bx = 0  1 2 3 第 103 页，共 368 页  x 2 1 x + 1 + x 2 b + 2 x c 2 x + 3 = ( c 0 + , 1 ) x 3 = 0 同解,求a,b,c 的值.李艳芳 900 · 4.线性方程组 x − x = 0 18 设四元齐次线性方程组(i) 1 2 (ii)  x + x = 0  2 4 第 104 页，共 368 页  − x 1 x 1 − + x x 3 2 + + x x 4 4 = = 0 0 . , (I)求方程组(i)与(ii)的基础解系; (II)求方程组(i)与(ii)的公共解.李艳芳 900 · 4.线性方程组 B 类 一、选择题 1 设 第 105 页，共 368 页 A 为 n ( n  2 ) 阶矩阵, B 为 n 阶可逆矩阵, b 为n维列向量,则下列命题中,错误的是( ) (A)若方程组 A x = b 有解,则方程组 A B x = b 有解. (B)若方程组Ax =b有解,则方程组BAx =b 有解. (C)若方程组 A x = 0 有非零解,则方程组 ABx = 0有非零解. (D)若方程组 A x = 0 有非零解,则方程组 B A x = 0 有非零解.李艳芳 900 · 4.线性方程组 2 设 第 106 页，共 368 页 A 为 n  m 矩阵,且 m  n .若 A A T = E n ,则 ( ) (A) A x = 0 只有零解. (B)Ax =b必有解. (C)ATx = b必有解. (D)若m 维列向量组 β 1 , β 2 , , β s 线性无关,则 A β 1 , A β 2 , , A β s 必线性无关.李艳芳 900 · 4.线性方程组 3 设 第 107 页，共 368 页 A 为 n ( n  2 ) 阶矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,则下列条件中,为方程组(E − A)x = 0只有零解的充分 条件的是( ) (A) A T A = E ,且 A = − 1 . (B) A T A = E ,且 A = 1 . (C) A T = − A . (D)存在某n维列向量α 使得A = ααT.李艳芳 900 · 4.线性方程组 4 设 3 阶实对称矩阵 第 108 页，共 368 页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , α 1 − α 2 + α 3 = ( 1 , − 1 , 1 ) T , A 3 + ( a 5 − 1 ) A 2 + 2 a 3 A +aE = O,且 t r ( A ) = 1 ,则方程组 A x = 0 的通解为 ( ) (A)k(1,1,0)T ,其中 k 为任意常数. (B)k(−1,0,1)T ,其中k 为任意常数. (C) k ( 1 , 1 , 0 ) T + l ( − 1 , 0 , 1 ) T ,其中 k , l 为任意常数. (D)k(1,−1,1)T +l(−1,0,1)T ,其中 k , l 为任意常数.李艳芳 900 · 4.线性方程组 2 + 2 5 7   5 设矩阵A = 1 3 +3 2 ,则下列条件中,不能使方程组Ax = 0 的任意两个解均线性相关的     1 1 2 3   是( ) (A) 第 109 页，共 368 页 2  = − . (B) 1  = − . (C) 0  = . (D) 1  = .李艳芳 900 · 4.线性方程组 b−1 −1 1−a   a  a +1       6 设 3 阶矩阵A = 2 b−2 a −2 ,α = 1 ,β = 2 均为方程组Ax =b的解,则下列命题中,             −a −− a b−1 b−1 b+1       错误的是( ) (A)b =(0,1,−1)T.研究 (B) 第 110 页，共 368 页 ( 0 , 0 , − 1 ) T 是方程组 A x = b 的解. (C)0 是 A 的一个特征值. (D) r ( A * ) = 0 .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 4.线性方程组  3 1 −   2 2 7 设矩阵A =  ,向量α 满足 1 1     2 2  第 111 页，共 368 页 A α =  1 1  + α ,则下列向量中可能为 A 1 1 α 的是( )  9  (A) . (B)   11    1 1 0 1  . (C)  1 9 1  . (D)  1 1 1 0  .李艳芳 900 · 4.线性方程组 8 设 第 112 页，共 368 页 A 为 n ( n  4 ) 阶矩阵,方程组 A T x = 0 与A*x = 0有非零公共解,则( ) (A) r ( A * ) = n − 1 . (B) 1  r ( A * )  n − 1 . (C) r ( A * ) = 1 . (D) r ( A * ) = 0 .李艳芳 900 · 4.线性方程组 二、填空题 9 已知函数 第 113 页，共 368 页 f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d 的图形过点 ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 9 ) , ( 4 , 3 1 ) ,则 f ( x ) = ________.李艳芳 900 · 4.线性方程组 10 若 3 阶矩阵 第 114 页，共 368 页 A 有三个特征值 0 , 3 , 5 , u , v , w 分别为属于 0 , 3 , 5 的一个特征向量,则方程组 A x = v + w 的通解为_______.李艳芳 900 · 4.线性方程组 ( ) 11 设A = a 是正交矩阵,且 ij 33 第 115 页，共 368 页 a 2 2 = 1 , b = ( 0 , 1 , 0 ) T ,则方程组 A x = b 的解是_______ .李艳芳 900 · 4.线性方程组 12 设 3 阶矩阵A = (α ,α ,α )满足 1 2 3 第 116 页，共 368 页 A α 1 = ( 1 , 0 , 1 ) T , A α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) T , A α 3 = ( 0 , 0 , 0 ) T , α 3  0 ,则方程组 A x = ( 1 , 1 , 1 ) T 的通解为__________.李艳芳 900 · 4.线性方程组 三、解答题 13 设矩阵 第 117 页，共 368 页 A =  1 1 0 − 1 0 1  . (I)求所有满足 B A = E 的矩阵 B ,并求 A B 的特征值; (II)在满足 B A = E 的基础上,找到一个矩阵 B ,使得 A B 有一个特征向量为 β = ( 1 , 2 , 3 ) T .李艳芳 900 · 4.线性方程组 14 设 4 维列向量 第 118 页，共 368 页 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 两两线性无关, α 1 + 2 α 2 + α 3 = 0 ,且α 不能由 4 α 1 , α 2 , α 3 线性表示.记矩 阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ,求非齐次线性方程组 A x = α 2 + α 4 的通解.李艳芳 900 · 4.线性方程组 15 设 3 阶矩阵A = (α ,α ,α )的列向量满足 1 2 3 第 119 页，共 368 页 α 3 = α 1 + 2 α 2 ,且存在非零列向量 v ,使得 ( A + E ) v  0 , ( A + E ) 2 v = 0 . (I)证明r(A) = 2 ; (II)设 β = α 1 + 2 α 2 + 3 α 3 ,求方程组 A x = β 的通解.李艳芳 900 · 4.线性方程组 16 设 第 120 页，共 368 页 n 维列向量 α i = ( a i1 , a i 2 , , a in ) T ,其中 i = 1 , 2 , , r , r  n ,且向量组 α 1 , α 2 , , α r 线性无关, β 为齐 次线性方程组  a a a 1 2 r 1 1 1 a a a 1 2 r 2 2 2 a a a 1 2 r n n n   x x x 1 2 n  =  0 0 0  的非零解,证明:向量组α ,α , ,α ,β 的秩为 1 2 r r + 1 .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 4.线性方程组 第 121 页，共 368 页 C 类 选择题 设 A 为 3 阶非零矩阵,则下列条件中,不是方程组 A x = 0 与 A * x = 0 有非零公共解的充分条件的个数 是( ) ① r  A A *   3 ( ) . ②r A,A* 3. ③ r ( A ) = 2 ,且 A * 是对称矩阵. ④ r ( A ) = 2 ,且 A * 不是对称矩阵. (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 第五章矩阵的特征值与特征向量 A 类 一、选择题 1 下列矩阵中,与矩阵 第 122 页，共 368 页  1 0 0 0 1 0 1 2 2  相似的是 ( ) (A)  1 0 0 0 1 2 0 0 2  . (B)  1 0 2 1 1 0 0 0 2  . (C)  1 0 0 1 1 0 0 2 2  . (D)  1 2 1 0 1 1 1 2 2  .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 二、填空题 2 设 3 阶矩阵 第 123 页，共 368 页 A 的特征值为 1 , ,   − .若行列式 3 2  A = − ,则 = _________.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 3 设矩阵 第 124 页，共 368 页 A =  a 4 1 − b 0 1 − 0 3 a  , A = − 3 .若=(1,1,−1)T 为 A * 的属于特征值的一个特征向量,则 = _________.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 4 设矩阵 第 125 页，共 368 页 A =  − 0 1 1 1 0 1 − 1 0 1  ,则 A 4 的最大特征值为________.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 1 4 −7    5 矩阵A = 2 8 −12 的最小特征值为________ .     3 12 −17   第 126 页，共 368 页李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 6 已知矩阵 第 127 页，共 368 页 A 与 B  2 1 1  8 20 10     相似,其中A = −2 x 2 ,B = y 2 1 ,将矩阵         1 2 2 −5 −15 −6     B 的特征值记成 1 , 2 , 3   , 则 ( 1 2 3 ) 2 1 2 3     + + − = _______ .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 1 0 0 1    0 1 t −2 2−t 7 设 4 阶矩阵A =  的特征值均为实数,且只有一个线性无关的特征向量.若 0 t +3 1 3−t   1 t2 1−t 1   第 128 页，共 368 页 t  0 ,则 t = ________.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 1 0 1   8 设矩阵B = 0 −1 0 ,已知矩阵A 与     1 0 1   第 129 页，共 368 页 B 相似,则秩r(E+ A)+ r(E− A) = ______ .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 9 设 第 130 页，共 368 页 α , β 为 3 维列向量, β T 为 β 的转置.若矩阵 α β T 1 1 1   相似于 1 1 1 ,则βTα = ______ .     1 1 1  公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 三、解答题 10 设矩阵 第 131 页，共 368 页 A =  0 1 1 1 0 1 1 1 0  , P =  0 0 1 1 2 0 0 1 3  , B = P − 1 A * P ,求 B + E 的特征值与特征向量,其中 A * 为 A 的 伴随矩阵, E 为 3 阶单位矩阵.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 5 3 0   11 若矩阵A = 1 3 0 相似于对角矩阵     0 a 2   第 132 页，共 368 页 Λ ,试确定常数 a 的值,并求一个可逆矩阵 P ,使得 P−1AP = Λ.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 2 0 1    12 设矩阵A = 1 1 1 有一个二重特征值,求a的值,并讨论     a 0 −1   第 133 页，共 368 页 A 是否可相似对角化.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 13 设 第 134 页，共 368 页 A 为 3 阶实对称矩阵, A * 为 A 的伴随矩阵.已知 A = − 1 2 , t r ( A ) = 1 ,且(1,0,−2)T 是方程组 ( A * − 4 E ) x = 0 的一个解,其中 E 为 3 阶单位矩阵.求一个正交矩阵 Q ,使得 Q T A Q 为对角矩阵.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 2 4 4   14 设矩阵A = 4 2 4 .     4 4 2   (I)求A 的特征值及其对应的特征向量; (II)计算 第 135 页，共 368 页 A 2 n  − − 1 1 3  .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 15 设 第 136 页，共 368 页 A 为 3 阶实对称矩阵,其特征值为 2 , 2 , .若 A = 4,且 ( 2 , 1 , 0 ) T , ( 0 , 1 , 2 ) T 为A 的两个特征向量, 求矩阵 A .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 16 设 3 阶实对称矩阵 第 137 页，共 368 页 A 的特征值 1 1 , 2 0 , 3 2    = = = ,且 α 1 = ( 1 , 1 , 1 ) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量. 记B= A2 −2A+2E ,其中 E 为 3 阶单位矩阵. (I)验证α 是矩阵 1 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量; (II)求矩阵 B .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 2 1 3 1 4 0     17 已知矩阵A = 1 x 3 与B = 0 2 0 相似.         0 0 2 0 0 y     (I)求 第 138 页，共 368 页 x , y ; (II)求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = B .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 0 0 0 0 0 0 0 2     0 1 1 0 0 0 0 2 18 证明矩阵A =   与B =   相似. 0 1 1 0 0 0 0 2     0 0 0 0 0 0 0 2     第 139 页，共 368 页李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 19 设 第 140 页，共 368 页 A 为 2 阶矩阵, α 和 β 为 2 维列向量,且 A α , A β 线性无关.矩阵P = (α,β). (I)证明: P 为可逆矩阵. (II)若 A , A 2     = = ,求 P − 1 A P ,并判断 A 是否相似于对角矩阵.B公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 B 类 一、选择题 1 设 第 141 页，共 368 页 A 为 n ( n  2 ) 阶矩阵,若 1 不是 A 的特征值,且 A = − 1 ,则下列命题中,正确的是( ) ①2 不是 A + A − 1 的特征值. ②2 不是 A + A * 的特征值. ③-1 不是 A + A T − A A T 的特征值. ④1 不是 A − A * + A A * 的特征值. (A)①②. (B)③④. (C)①④. (D)②③.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 2 设n(n  3)阶矩阵 第 142 页，共 368 页 A = E − k α α T ,其中k 0,α 0 .若 A 2 = E ,则下列命题中,错误的是( ) (A)n − tr(A)为偶数. (B) A = − 1 . (C)A 可相似对角化. (D) A 有 n − 1 个线性无关的属于特征值-1 的特征向量.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量    a 2a 1−3a   3 设矩阵A = 1 2 −2 ,且     a 2  a 1−a   3 3  第 143 页，共 368 页 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x ,则下列命题中,错误的是( ) (A)r(A) = 2 . (B) A = 0 . (C) f ( A ) = O . (D) r ( A ) , A , f ( A ) 至少有一个与 a 的取值有关.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量  1 a 1 a    1 0 −2 −2 4 设 4 阶矩阵A =   的四个特征值都为正数,且恰有两个不同的特征值,其中一个特 −1 a 3 a    0 0 0 2   征值为 2,则下列结论中,正确的个数为( ) ① 第 144 页，共 368 页 A = 4 a . ②2 是A 的单特征值. ③A 可相似对角化. ④ a 的值无法确定. (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 5 设 第 145 页，共 368 页 A 为 3 阶非零矩阵, A 的特征多项式为 f ( )  ,则下列命题中,错误的是( ) (A)若 f ( 1 ) = 0 ,则方程组 A 2 x = x 有非零解. (B)若 f ( 1 ) = 0 ,则方程组 A 2 x = A x 有非零解. (C)若方程组A3x=x 对所有 3 维列向量x均成立,则 f (1) = 0. (D)若方程组 A 3 x = A x 对所有 3 维列向量 x 均成立,则 f ( 1 ) = 0 .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 6 下列关于实对称矩阵的命题中,正确的是( ) (A)存在实对称矩阵 第 146 页，共 368 页 A ,使得 t r ( A 2 )  0 . (B)存在实对称矩阵 A ,使得 A 2 + E 不可逆. (C)不存在实对称矩阵 A ,使得 A 2 = A ,但tr(A)  r(A). (D)以上说法均不正确.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 7 设 第 147 页，共 368 页 A 为 3 阶实矩阵,并且满足 A 4 = E ,其中 E 为 3 阶单位矩阵,则下列结论中,正确的是( ) (A)必有A2 =E. (B)必有A2 = −E. (C)若A 相似于对角矩阵,则 t r ( A ) 必为奇数. (D)若A 不相似于对角矩阵,则 t r ( A ) 必为偶数.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 8 设 第 148 页，共 368 页 A 为 3 阶实对称矩阵, A 的各行元素之和均为 0,若 A 的全部非零特征值为 1,6,则下列命题中, 正确的个数为 ( ) ①A* 的全部元素均不为 0. ② ( A * ) *  0 . ③6 是 A * 的唯一非零特征值. ④ A * x = 0 与 A x = 0 有非零公共解. (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 二、填空题 9 设 第 149 页，共 368 页 A 为 3 阶矩阵, α 1 , α 2 , α 3 为线性无关的向量组.若 A α 1 = α 2 + α 3 , A α 2 = α 1 + α 3 , A α 3 = α 1 + α 2 ,则 A = ________ .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 10 设 3 阶实对称矩阵 第 150 页，共 368 页 A 1 1 1    仅有两个不同的特征值,μ ,且A* = a 1 1 ,则     b c d   2 2   + = ________ .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 11 设 第 151 页，共 368 页 A 为 3 阶实对称矩阵,特征值为 1 , 2 , 3 , α = ( 1 , − 1 , 0 ) T , β = ( 1 , 1 , − 2 ) T 分别为A 的属于特征值 1 和 2 的一个特征向量,则 A 的第一行元素之和为________ .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 12 设 第 152 页，共 368 页 A 为可相似对角化的 4 阶矩阵, α 为 4 维非零列向量.若 α , A α , A 2 α , A 3 α 线性无关,则 A 的不同 特征值的个数为________ .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 三、解答题 13 设 第 153 页，共 368 页 A , B , C 均为 3 阶矩阵,满足 A B = − 2 B , C A T = 2 C ,其中 B =  − 1 2 1 − 2 1 1 3 0 1   1 −2 1    ,C = −2 4 −2     1 −2 1   (I)求矩阵 A ; (II)证明:对于任意的 3 维列向量 x 0 , A 1 0 0 x 0 与 x 0 必线性相关.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 0 2 3   14 已知矩阵A = 1 1 0 .     0 0 0   (I)求An,n 为正偶数. (II)设 3 阶矩阵 第 154 页，共 368 页 B 满足 B 2 = B A .记 B 2 n = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , B 4 n = ( β 1 , β 2 , β 3 ) ,将 β 1 , β 2 , β 3 分别表示为 α 1 , α 2 , α 3 的线性组合.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 15 设 3 阶矩阵 第 155 页，共 368 页 A 有三个不同的特征值 0 , 1 , 2 , α 1 , α 2 , α 3 分别为属于0,1,2的一个特征向量.记 β = α 1 + α 2 + α 3 . (I)证明 β , A β , A 2 β 线性无关; (II)确定 a , b , c ,使得矩阵 B =  0 1 0 0 0 1 a b c  与矩阵 A 相似,并求可逆矩阵 P ,使得P−1AP =B,将结果用 A , β 表示; (III)求B900的各列元素之和.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 16 设 第 156 页，共 368 页 u , v , w 是三个 3 维列向量,其中 u , v 线性无关.3 阶矩阵 A 满足 A u = v , A v = u , A w = u + v + w . (I)证明: u + v , w , u − v 线性无关; (II)求 r ( A 5 0 − E ) .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 17 设 第 157 页，共 368 页 A 1   为 3 阶实对称矩阵,α = 0 为     1   A 的属于特征值 3 的一个特征向量. (I)若A 满足 r ( 3 E − A )  1 ,且A2 −4A +3E =O ,求A . (II) A 为第 ( I ) 问中所求矩阵, B =  3 0 0 0 1 0 0 1 1  .是否存在可逆矩阵 P 为矩阵方程 A X − X B = O 的解? 若存在,求 P ,若不存在,说明理由.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 18 设 第 158 页，共 368 页 α 1 , α 2 , α 3 1 2 2 2 2 是两两正交的 4 维单位列向量组,β = α + α − α ,β = α − α 1 3 1 3 2 3 3 2 3 1 3 2 − 1 3 α 3 , β 3 = 2 3 α 1 + 1 3 α 2 + 2 3 α 3 . (I)证明 β 1 , β 2 , β 3 也是两两正交的单位列向量组; (II)记矩阵 B = ( β 1 , β 2 , β 3 ) ,证明方程组 B T x = 0 有非零解; (III)设单位列向量 β 4 为方程组 B T x = 0 的一个非零解,且 C β i = ( − 1 ) i β i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) ,证明 C 为实对 称矩阵.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 19 设 第 159 页，共 368 页 A 为 3 阶实对称矩阵, B 为可相似对角化的 3 阶正交矩阵,满足 A = B , r ( E + B ) = r ( 2 E − A ) = 1 . (I)求A 的所有特征值; (II)若 A , B 所有的公共特征向量均与 ( 0 , 1 , 1 ) T 线性相关,且 ( 1 , 1 , − 1 ) T 与 ( 0 , 1 , 1 ) T 为 A 的属于不同特征 值的特征向量,求 A .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 第 160 页，共 368 页 C 类 一、选择题 1 若矩阵 A , B 为 n 阶正交矩阵,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ① A =  1 . :  1 . ②若 A 存在实特征值,则必为  1 . ③ A B 也是正交矩阵. ④若 A = − B ,则 A + B 必不可逆. (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 二、填空题 2 设 3 阶矩阵 第 161 页，共 368 页 A = ( a ij ) 满足各行元素之和均为 2,且 A = 1 2 .若矩阵 B ( t ) = ( a ij + t ) ,则 B ( 1 ) = _________ .李艳芳 900 · 5.矩阵的特征值与特征向量 三、解答题 3 设 3 阶矩阵 第 162 页，共 368 页 A 的各列元素之和均为 1. (I)若为各分量之和为 1 的 3 维列向量,求 A 的各分量之和; (II)若 k 为任意正整数,证明: A k 的各列元素之和均为 1,且 1 为 A k 的一个特征值; (III)记 α = ( 1 , 1 , 1 ) T ,若 β 为 A k 的属于特征值 ( 1 )    的特征向量,求 α T β .李艳芳 900 · 6.二次型 第六章二次型 A 类 一、选择题 1 设 第 163 页，共 368 页 α , β 均为 3 维列向量,二次型 f = x T α β T x ,则下列关于 f 的秩的说法中,正确的个数为( ) ①可能为 0. ②可能为 1. ③可能为 2. ④可能为 3. (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 6.二次型 2 设 第 164 页，共 368 页 A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵,若 A 2 − A = 2 0 E ,且 A = − 1 0 0 ,则二次型 x T A x 的规范 形为 ( ) (A) y2 + y2 − y2. (B) 1 2 3 − y 21 − y 22 − y 23 . (C) 5 y 21 + 5 y 22 − 4 y 23 . (D) 5 y 21 − 5 y 22 + 4 y 23 .李艳芳 900 · 6.二次型 3 已知二次型 第 165 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x T A x 的正惯性指数为 2,其中 A 为实对称矩阵, r ( A ) = 3 ,且 A 3 + 2 A 2 − 8 A = O ,则 ( ) (A) f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 在正交变换下的标准形为 4 y 21 + 2 y 22 − 2 y 23 . (B) f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 在正交变换下的标准形为 4 y 21 + 4 y 22 − 2 y 23 . (C) f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 的规范形为 y 21 + y 22 + y 23 . (D) f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 的规范形为 y 21 + y 22 − y 23 .李艳芳 900 · 6.二次型 4 二次型 第 166 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + 2 x 2 ) 2 + ( 2 x 3 − 3 x 2 ) 2 − ( x 1 − x 2 + 2 x 3 ) 2 的正惯性指数与负惯性指数依次为 ( ) (A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.李艳芳 900 · 6.二次型 5 设 第 167 页，共 368 页 A , B 为 n 阶正定矩阵, P 为 n 阶可逆矩阵,则下列矩阵中,不一定是正定矩阵的是( ) (A)A* +B*. (B) ( A + B ) * . (C) P T A P + B . (D) P T A P − B .李艳芳 900 · 6.二次型 6 设 第 168 页，共 368 页 n ( n  3 ) 1 a a a   a 1 a a   阶正定矩阵A =  ,则a不可能为   a a 1 a     a a a 1   ( ) 1 (A) . (B) n−1 1 n . (C) − n 1 − 1 . (D) − 1 n .李艳芳 900 · 6.二次型 7 现有两个命题:① 第 169 页，共 368 页 A * 对称当且仅当 A 对称;② A * 正定当且仅当 A 正定.下列说法中,正确的是( ) (A)①,②均正确. (B)①正确,②错误. (C)①错误,②正确. (D)①,②均错误.李艳芳 900 · 6.二次型  0 −1 1 −1 0 0     8 设矩阵A = −1 0 1 ,B = 0 2 0 ,则         1 1 0 0 0 3     第 170 页，共 368 页 A 与B( ) (A)合同且相似. (B)合同但不相似. (C)相似但不合同. (D)不相似且不合同.李艳芳 900 · 6.二次型 1 1 1 0 0 1  1 0 0       9 设矩阵A = 1 1 1 ,B = 0 0 2 ,C = 0 0 0 ,则必有             1 1 1 0 0 3 0 0 0       第 171 页，共 368 页 ( ) (A)A 与 B 相似,A 与 C 合同. (B) A 与 B 相似, B 与 C 合同. (C)A 与 C 相似,A 与B不合同. (D) A 与 C 不相似, A 与 C 不合同.李艳芳 900 · 6.二次型 10 设二次型 第 172 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + a x 22 + x 23 + 2 b x 1 x 3 经可逆线性变换 x = P y 可化为二次型 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = − y 21 − 3 y 22 + 3 y 23 + 8 y 2 y 3 ,则参数a,b的取值范围为 ( ) (A) a  0 , − 1  b  1 . (B) a  0 , − 1  b  1 . (C)a 0,b 1或 b  − 1 . (D) a  0 , b  1 或 b  − 1 .李艳芳 900 · 6.二次型 二、填空题 11 设二次型 第 173 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( x 1 + x 3 ) 2 + ( x 2 + a x 3 ) 2 ,当 a = ______时, f 的秩最小.李艳芳 900 · 6.二次型 12 设 第 174 页，共 368 页 A 为二次型 f ( x 1 , x 2 ) 对应的对称矩阵,且 A 的各列元素之和均为 1 , A = 0 ,则 f (x ,x ) 在正交 1 2 变换下的标准形为_______.李艳芳 900 · 6.二次型 13 设二次型 第 175 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 21 + 2 x 22 + 3 x 23 − 4 x 1 x 2 − 2 x 2 x 3 + 2 a x 1 x 3 的规范形为 y2 + y2 ,则 1 2 a = _______.李艳芳 900 · 6.二次型 14 设二次型 第 176 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 22 − 3 x 23 + 2 x 1 x 2 − 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 ,则 f 的正惯性指数为______.李艳芳 900 · 6.二次型 15 设二次型 第 177 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + a x 22 + x 23 + 2 x 1 x 2 + 2 a x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 的正、负惯性指数相同,则 a = _______.李艳芳 900 · 6.二次型 16 若二次型 第 178 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 2 x 22 + 2 x 23 + 4 t x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 是正定的,则 t 的取值范围是______.李艳芳 900 · 6.二次型 三、解答题 17 设二次型 第 179 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x ,其中 A 为实对称矩阵.已知 A 的各行元素之和均为 4,且存在 3 维 非零列向量 α , β ,使得 A = E + α β T . (I)求A 的特征值与特征向量; (II)求正交变换 x = Q y 将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形.李艳芳 900 · 6.二次型 1 1 0    a −1 0 18 已知矩阵A =  ,二次型 0 1 1    1 b −1   第 180 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A T A x 的秩为 2. (I)求a,b的值; (II)求正交变换x =Qy 将 f (x ,x ,x )化为标准形. 1 2 3李艳芳 900 · 6.二次型 19 已知二次型 第 181 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 3 x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 2 x 2 x 3 + 2 x 1 x 3 通过正交变换化为标准形 y 21 + 4 y 22 , 求参数 a 以及所用的正交变换.李艳芳 900 · 6.二次型 20 设二次型 第 182 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 ) = a x 21 − 4 x 1 x 2 + x 22 x   y  经过正交变换 1 = Q 1 化为二次型 g(y , y ) =     x y 1 2     2 2 b y 21 + 4 y 1 y 2 + 4 y 22 (I)求a,b的值; (II)求正交矩阵 Q .李艳芳 900 · 6.二次型  1 −2 1   ( ) 21 已知矩阵A = −2 1 1 ,B = A2 − kA + k2 −2k −1 E.若     1 1 0   第 183 页，共 368 页 B 为正定矩阵,求参数k 的取值范围.李艳芳 900 · 6.二次型 B 类 一、选择题 1 设二次型 第 184 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = i 3 = 1 ( x i − x ) 2 x + x + x ,其中 x = 1 2 3 ,记其对应的矩阵为A ,则( ) 3 (A)r(A)+ r(E− A) = 4. (B)r(A)+ r(E+ A) = 4 . (C)r(A)+ r(E− A) = 5. (D) r ( A ) + r ( E + A ) = 5 .李艳芳 900 · 6.二次型 2 设二次型 第 185 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + a x 3 ) 2 + ( x 1 + x 2 ) 2 −  x 1 + ( a + 2 ) x 2 − 2 x 3  2 的负惯性指数为 0,则 a = ( ) (A)1. (B)-1. (C)2. (D)-2.李艳芳 900 · 6.二次型 3 设 第 186 页，共 368 页 A 为 n 阶正定矩阵,特征值为 n n 1 1 1 ,     −    Q 为正交矩阵,则下列命题中,正确命题的个 数是( ) ① A + Q T A − 1 Q 是正定矩阵. ② A + Q T A − 1 Q 的最小特征值为 1 1 1   + . ③ A + Q T A − 1 Q 的最大特征值为 n 1 n   + . ④若 α 为 A 的特征向量,则 Q T α 为 Q T A − 1 Q 的特征向量. (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 6.二次型 4 设 第 187 页，共 368 页 A 为n阶实矩阵, A  A T , B =  A E T A O  ,则下列矩阵中,可能与 B 合同的是( ) E O  (A) n . (B)   O E   n  E O n O − E n  . E O  (C) p ,其中   O −E   q p  q . (D)  E O p − O E q  ,其中 p  q .李艳芳 900 · 6.二次型 5 设 第 188 页，共 368 页 A , B 均为 2 阶实对称矩阵,则下列条件中,不是 A B = B A 的充分条件的是( ) (A)AB与 B A 相似. (B) A 2 − A B 与 E 相似. (C) A 2 − A B 与 E 合同. (D)存在正交矩阵Q ,使得 Q T A Q , Q T B Q 均为对角矩阵.李艳芳 900 · 6.二次型 二、填空题 6 已知矩阵 第 189 页，共 368 页 A =  a 1 1 a  ,正定矩阵 C 满足 C 2 = ( a + 2 ) E − A ,则C 的所有元素之和为_______.李艳芳 900 · 6.二次型 7 设二次型 f (x ,x ,x ) = x2 + x2 + x2 +4x x +4x x +4x x ,记x = (x ,x ,x )T ,则在xTx 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 第 190 页，共 368 页 = 1 的条件下, f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的最大值为________.李艳芳 900 · 6.二次型 三、解答题 8 设二次型 第 191 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 4 a x 2 x 3 x  1   经过可逆线性变换 x =  2    x   3 P  y y y 1 2 3  化为二 次型 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = y 21 + y 22 + 2 y 23 + 2 y 1 y 2 + 2 y 1 y 3 + 2 y 2 y 3 . (I)求a的值; (II)求可逆矩阵 P .D李艳芳 900 · 6.二次型 9 已知二次型 f (x ,x ,x ) = cx2 − ( b2 +1 ) x2 +cx2 + 2x x 可通过可逆线性变换化为 1 2 3 1 2 3 1 3 第 192 页，共 368 页 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = ( 2 c 2 − 1 ) y 21 + ( c 2 + 1 ) y 22 + ( c 2 − 2 ) y 23 + 2 ( c 2 + 1 ) y 1 y 2 − 2 ( c 2 − 2 ) y 1 y 3 .求可逆线性变换 y = P z 将二次型 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) 化为规范形.李艳芳 900 · 6.二次型 10 设 第 193 页，共 368 页 A 为 m 阶实对称矩阵, B = ( β 1 , β 2 , , β n ) 为 m  n 矩阵.已知 B T A B 是正定矩阵,其中 B T 是 B 的 转置.证明: (I)mn; (II)若存在 m 维非零列向量 ξ ,使得 ξ T A ξ = 0 ,则 r ( B )  r ( B , ξ ) .李艳芳 900 · 6.二次型 11 设实对称矩阵 第 194 页，共 368 页 A 满足 r ( A − E ) = 1 ,二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x 在正交变换 x = Q y 下化为标准形. 已知 f ( 1 , 0 , − 1 ) = 0 ,且对任意 ( x 1 , x 2 , x 3 ) , f ( x 1 , x 2 , x 3 )  0 . (I)求二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的规范形; (II)求矩阵 A ,并证明对于任意正数 a , A + a E 均为正定矩阵.李艳芳 900 · 6.二次型 12 设二次型 f (x ,x ,x ) =(x +ax −2x )2 +(2x +3x )2 + x +(a+2)x +ax  2 ,且a 1.记   1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 第 195 页，共 368 页 A 为该 二次型对应的对称矩阵.已知 α 1 , α 2 , α 3 为 3 维非零列向量,且满足 α Ti ( A * + A − 1 ) α j = 0 ( i  j ) .证明: α 1 , α 2 , α 3 线性无关.李艳芳 900 · 6.二次型 13 设矩阵 第 196 页，共 368 页 A 为二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x 对应的实对称矩阵,满足 r ( E + A ) = 1 .若当 x2 + 1 x 22 + x 23 = 1 时, f (x ,x ,x )的最大值为 2,且 1 2 3 f ( 1 , − 1 , 1 ) = 6 ,求矩阵 A .李艳芳 900 · 6.二次型 C 类 解答题 1 设二次型 第 197 页，共 368 页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x ,其中 A 为实对称矩阵,且 A 2 − 2 A − 3 E = O .若 f 的正惯性指数为 2, 且 f ( 1 , 1 , 1 ) = − 3 ,求 f ( 1 , 2 , − 3 ) .李艳芳 900 · 6.二次型 2 设 第 198 页，共 368 页 D =  Q A T Q A  为正定矩阵,其中 A 为n阶正定矩阵,特征值依次为 0 1 n      , Q 为n阶正交 矩阵. (I)证明:A−QTA−1Q为正定矩阵. (II)又若 ( 1 , , n ) , ( 1 1 , , n n )   Q = α α A Q = α α ,证明: A  1 .李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 第一章随机事件及其概率 A 类 一、选择题 1 将 S,T,A,T,I,S,T,I,C,S 等十个字母随机地排成一行,记恰好排成 STATISTICS 的概率为 第 199 页，共 368 页 p 1 ,从这 十个字母中随机抽取六个排成一行,记恰好排成 STATIC 的概率为 p 2 ,则 p p 1 2 等于( ) 1 (A) . (B) 3 1 6 . (C) 1 1 2 . (D) 2 1 4 .李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 2 设随机事件 第 200 页，共 368 页 A , B 和 C 的概率均不为 0.若 P  ( A  B )∣ C  = 1 ,则下列命题中,正确的是( ) (A) P ( AB∣C ) =1. (B) P ( A B ∣ C ) = 1 . (C) P ( A  B ∣ C ) = 0 . (D) P  ( A  B )∣ C  = 0 .李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 3 将一枚骰子先后投掷 2 次,事件 第 201 页，共 368 页 A 表示两次出现的点数之和为 8,事件 B 表示第 1 次出现的点数大 于第 2 次出现的点数,则下列命题中,正确的是( ) ① P ( A )  P ( ∣A B ) . ② P ( A )  P ( ∣A B ) . ③ P ( B )  P ( B ∣ A ) . ④ P ( B )  P ( B ∣ A ) . (A)①③. (B)①④. (C)②③. (D)②④.李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 4 设 第 202 页，共 368 页 A , B 为两随机事件, 0  P ( A )  1 , 0  P ( B )  1 ,则事件 A 与事件 B 相互独立的充分必要条件为 ( ) (A) P ( B ) = P ( B ∣ A ) . (B) P ( A ) + P ( B ∣ A ) = 1 . (C) P ( B∣A ) + P ( B∣A ) =1. (D)P ( B∣A ) + P ( B∣A ) =1.李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 二、填空题 5 设有三个外观相同的盒子,盒子中分别装有 10 个,15 个与 25 个球,这些球非黑即白,三个盒子中 的白球数分别为 3,7,10.随机选取一个盒子,并从中先后抽取两个球,已知第二个抽到的是黑球,则 抽到的第一个球是白球的概率为________. 第 203 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 6 某人忘记了电话号码的后两位,已知倒数第一位是奇数,倒数第二位能被 3 整除,且这两位数字不 同,他按这些条件随意地进行拨号且不会重复拨号,他拨号不超过三次就能拨号成功的概率为 _______. 第 204 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 7 在区间 第 205 页，共 368 页 ( 0 , 1 ) 中随机地取两个数 X , Y ,两次抽取相互独立,则事件“ X , Y , 1 能构成一个钝角三角形 的三条边”的概率为_______.李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 8 小明与小天参加投篮游戏,每次游戏共投 10 球,投进 8 球及以上者可获得小礼物.若小明的投篮命 中率为 0.8,小天的投篮命中率为 0.5,则小明参加该游戏并未获得小礼物的概率为______,小天参 加该游戏并获得了小礼物的概率为_______.(结果精确到小数点后第三位,0. 第 206 页，共 368 页 0 . 1 6 7 8 , 0 . 5 1 0  0 . 0 0 1 8 8  .)李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 9 小明与小白参加同一场数学考试,本次考试由 5 道选择题组成,每道题目均有 4 个选项.假设两人 在答题时,若会此题,便能选出正确答案,若不会此题,则随机地选择一个选项.考试开始后,两人独 立答题,小明发现自己会做 2 道题,小白发现自己会做 3 道题,则小明的最终考试成绩高于小白的概 率为_______. 第 207 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 ( ) ( ) 10 设 A,B 为相互独立的随机事件,且P A = P(B) = 0.4 ,则 P B∣A B =_______. 第 208 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 11 设随机事件 第 209 页，共 368 页 A 和 B 相互独立, A 和 C 互不相容,且 P ( A ) = 0 . 3 , P ( B ) = 0 . 4 ,则 P ( ∣A A  B  C ) = _______..李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 12 设 第 210 页，共 368 页 A , B , C 为相互独立的三个随机事件, P 1 ( A ) + P 1 ( B ) + P 1 ( C ) = P ( A 1 B C ) .若 P(ABC) = 1 9 ,则 P ( A B C ∣ A B  B C  C A ) = _______.李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 13 已知事件 A,B,C 两两独立,且 第 211 页，共 368 页 P ( A ) = 0 . 4 , P ( B ) = 0 . 5 , P ( C ) = 0 . 6 .若在 A 发生的条件下, B 和 C 至 少有一个发生的概率为 0.9,则 A , B , C 至少有一个发生的概率为_______.李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 14 设 第 212 页，共 368 页 A , B , C 为随机事件, P ( A ) = 1 2 , P ( B ) = 1 3 , P ( C ) = 1 4 ,且 A与 B 相互独立, P ( A C ) = 0 , P ( ∣B B  C ) = 2 3 ,则 A , B , C 中恰有两个事件发生的概率为_______.李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 B 类 一、选择题 1 一袋棋子中有 第 213 页，共 368 页 m 枚黑色棋子, n 枚白色棋子,对其进行如下两种抽样:第一种,普通有放回抽样;第 二种,若抽到某色的棋子,则放回该棋子,同时向袋中放入 1 枚同色棋子.若记第 i 种抽样方法下,事 件“第二次抽样抽到黑色棋子”发生的概率为 p i ( i = 1 , 2 ) ,则 ( ) (A) p  p . (B) 1 2 p 1 = p 2 . (C) p  p . (D) 1 2 p 1 , p 2 的大小关系与 m , n 的取值有关.李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 2 设 第 214 页，共 368 页 A , B 为两个随机事件, 0  P ( A ) = p  1 , 0  P ( B ) = q  1 ,则下列结论中,错误的是( ) p (A) P ( A∣B )  . (B) q P ( ∣A B )  p q . p −1 (C) P ( A∣B ) 1+ . (D) q P ( ∣A B )  1 − p q .李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 3 设试验 第 215 页，共 368 页 E 的样本空间为 S , A 是概率非 0 的事件, B 1 , B 2 , B 3 为 S 的一个划分,且P(B )  0, i C i = A  B i ( i = 1 , 2 , 3 ) ,则下列结论中,错误的是 ( ) (A) P ( C 1 ) P ( C ∣2 P C ( 1 A ) P ) ( C ∣3 C 1 C 2 ) = 1 . (B) P(C )+ P(C )+ P(C )−2P(A) =1. 1 2 3 (C) i P 3 = 1 ( P ∣A ( ∣A C 1 B ) i P ) ( P C ( 1 B ) i ) = 1 . (D) P ( B ∣1 C 1 ) + P ( B ∣2 C 2 ) + P ( B ∣3 C 3 ) = 1 .李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 4 设 第 216 页，共 368 页 A , B , C 为三个随机事件,且 P ( A ) = 1 2 , P ( B ) = 1 3 , P ( C ) = 1 4 , P ( A B C ) = 0 ,则 A,B , C 一个都不发生 的概率最大可取到( ) 5 (A) . (B) 12 1 2 1 4 . (C) 1 2 . (D) 1 2 3 4 .李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 二、填空题 5 设袋中有 3 个白球,3 个红球,每次从袋中取出一球,若是白球,则将此球放回,并且再向袋中放入 一白球,若是红球,则不再放回.取球 4 次后,可将袋中的红球取完的概率为______ . 第 217 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 6 某玩具商店推出一种卡通人物盲盒,3 种不同的卡通人物为一套,开盒必得其中一种卡通人物,各 种人物出现的概率相等.若小明购买了 5 盒,则他集齐一套卡通人物的概率为______ . 第 218 页，共 368 页李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 7 设某盒中有 第 219 页，共 368 页 n 个球,其中 1 个白球, n − 1 个黑球.现从盒中不放回地取球,记 p 为事件“取球 n − 2 次,取到白球”的概率, q 为事件“取球 n − 2 次,没有取到白球”的概率.若方程 x2 − px + q = 0有解, 则 n 至少为______ .李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 8 已知区域 第 220 页，共 368 页 D 由 x 轴, y 轴和直线l :ax + y = a(a  0)所围成,二维随机变量(X,Y)服从区域 D 上的均 匀分布.圆 C 是圆心在原点并与直线 l 相切的圆.进行 2 次独立试验,则点 ( X , Y ) 至少有 1 次落在圆 C 之外的概率为______ .李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 9 设随机事件 第 221 页，共 368 页 A , B 满足  P ( A )  2 +  P ( B )  2 + 1 2 = P ( A B ) + P ( B ) ,则 P ( ∣A A  B ) = ______ .李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 第 222 页，共 368 页 C 类 一、选择题 1 用 6 个点将一个圆周分成 6 等份,从中随机选取两点连线,再从剩余各点中随机选取两点连线,如 此得到的两条弦相交的概率是( ) (A) 1 2 . (B) 1 3 . (C) 1 4 . (D) 1 6 .李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 二、填空题 2 设有 第 223 页，共 368 页 n ( n  4 ) 个人参加一次宴席,围绕一张圆桌坐下,则甲乙两人隔座入座的概率为_______.李艳芳 900 · 1.随机事件及其概率 3 设 第 224 页，共 368 页 X , Y , Z 为相互独立的随机变量,其中 X , Y 服从0,1上的均匀分布, Z 服从0,2上的均匀分布, 则 X , Y , Z 三者中 Z 严格最大的概率是_______ .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 第二章随机变量及其分布 A 类 一、选择题 1 设随机变量 第 225 页，共 368 页 X , Y 的分布函数分别为 F 1 ( x ) , F 2 ( x ) ,则下列各组数中能够使得 F(x) = a F 1 ( x ) F 2 ( x ) + b F 1 ( x ) + c F 2 ( x ) + d 为分布函数的是 ( ) 1 1 1 1 (A)a = ,b = ,c = ,d = . (B) 2 4 20 5 a = 1 3 , b = 1 3 , c = 1 3 , d = 1 3 . 1 1 1 (C)a = ,b = ,c = ,d = 0. (D) 2 4 4 a = 1 3 , b = 1 4 , c = 1 4 , d = 0 .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 2 若随机变量 X 的函数 第 226 页，共 368 页 ( X − 1 ) 2 服从参数为 1 2 的 0-1 分布,则下列说法中,正确的是( ) (A) X 的分布是唯一确定的. (B) X 可能的取值只有 2 个. (C) X =1的概率必为 1 2 . (D) X 可能取负数值.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 3 若一台机器相继两次故障之间的时间间隔 第 227 页，共 368 页 X 服从参数为 1 的指数分布,该机器在长度为 x 的时间 段内出现故障的次数 Y ( x ) 服从参数为 2 x  的泊松分布,则( ) 1 (A) = . (B) = . (C) 1  1 2 2 1 2   = . (D) 1 22   = .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 4 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) ,则下列函数中,是随机变量 第 228 页，共 368 页 X 2 的概率密度的是( ) (A) 1 2 f  x 2  . (B) 1 2 f ( 2 x ) . (C) 2 f  x 2  . (D) 2 f ( 2 x ) .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 5 设随机变量 第 229 页，共 368 页 X 3e−3x, x  0, 的概率密度为 f (x) =  则随机变量 X 0, x  0,  Y = − 3 X 的概率密度为( ) (A) f Y ( y ) =  3 0 e , − 3 y , y y   0 0 , . (B) f Y ( y ) =  e 0 − , y , y y   0 0 , . 0, y  0, (C) f (y) =  (D) Y ey, y  0.  f Y ( y ) =  0 3 , e 3 y , y y   0 0 , .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 6 设随机变量 第 230 页，共 368 页 X 服从均值为 1 的指数分布,  D ( X ) 为 X X 的方差,记随机变量Y = eD(X) ,则 P  Y  2  = ( ) 1 (A) . (B) 2 2  . (C) 1 1 2  − . (D) 1 2  − .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 7 设随机变量 第 231 页，共 368 页 X N ( , 2 )   ,且P{− X +}= 0.6826 .已知 P { X 2 2 }  P { X 1 2 } 0 . 1 5 8 7  − =   + = ,则 ( ) (A) 3 2 , 1 2   = = . (B) 3 2 , 1   = = . (C) 3 2  = ,但的取值无法确定. (D) , 的取值均无法确定.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 二、填空题 8 已知随机变量 第 232 页，共 368 页 X 的概率密度为 f ( x ) =  1 n 0 , x − n − n 1 , 0 其  他 x ,  1 , 则当 y  ( 0 , 1 ) 时, Y = n X 的概率密度 f Y ( y ) = _______ .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 9 已知随机变量 第 233 页，共 368 页 X 服从  − 1 2 , 1 2  上的均匀分布.若 Y t a n X  = ,则 Y 的概率密度 f Y ( y ) = _______ .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 10 已知某厂产品的次品率为 第 234 页，共 368 页 1 % ,一箱中的产品数为 100.若检查该箱中的 100 件产品,所得次品数 不超过 x 的概率大于 0.96,则由泊松定理估计可得 x 的最小值为_______ . ( e − 1  0 . 3 6 8 )李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 11 已知一批电子元件的寿命小于等于 200 的概率为 0.05.设有 80 只新的电子元件同时开始独立工 作,则由泊松定理估计,200 小时后至少有 78 只电子元件仍正常工作的概率的近似值为 _______ .(要求精确到小数点后第三位.) [附表] 第 235 页，共 368 页李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 三、解答题 12 设袋中有三枚硬币,一枚是双正面的硬币,一枚是均匀的正反面硬币,一枚是正面出现概率为 第 236 页，共 368 页 3 4 的 灌铅硬币,先后三次从袋中随机选取一枚硬币抛掷,令 X 为这三次中出现正面的次数,求有放回的模 式下 X 的分布律.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 13 设袋中有 第 237 页，共 368 页 m 个白球和 n 个黑球,现从袋中逐个取球,记 X 表示第一次取到白球所需的取球次数,分 别在无放回和有放回的模式下计算 X 的分布律.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 14 设有若干箱产品,每箱中有 10 件.已知每箱中不合格品的件数 第 238 页，共 368 页 M 的分布律如下: 随机选 1 箱并从中随机抽取 2 件产品,求抽到的不合格品件数 X 的分布函数.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 15 设随机变量 第 239 页，共 368 页 X 服从(−d,d)上的均匀分布,求 X 的概率密度.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 16 设随机变量 第 240 页，共 368 页 X N ( , 2 ) ( 0 )     ,求 X 的概率密度.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 17 设随机变量 第 241 页，共 368 页 X 服从参数为的指数分布,求 Y = a X + b ( a  0 ) 的概率密度.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 B 类 一、选择题 1 设函数 第 242 页，共 368 页 f ( x ) 为某随机变量 X 的概率密度,则下列函数中,不可能为概率密度的是( ) (A) f (x) = f (x −1) . (B) f (x) = f (2x). 1 2  f (x)  , x  0, (C) f (x) =  x (D) 3  0, x = 0.  f 4 ( x ) =  e 0 x , f ( x ) , f f (( x x ))  = 0 0 , .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 2 设随机变量 第 243 页，共 368 页 X ex−, x ,  的概率密度为 f (x) = +− x,  x ,其中 0 .下列说法中,错误的是  e−x, x ,  ( ) (A) 1 2   . (B) 1   . (C) 1   +  . (D)可取大于的任意值.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 3 设随机变量 第 244 页，共 368 页 X 的分布函数与概率密度分别为 F(x), f (x) ,且对于任意实数 x,F(x) 1,则下列反常 积分中,发散的反常积分的个数是 ( ) ① 0 1 f ( F x 2 ) ( x ) d x   + + . ② 0 1 f ( F x 2 ) ( x ) d x   + − . ③ 0 1 f F ( x 2 ) ( x ) d x   + + . ④ 0 1 f F ( x 2 ) ( x ) d x   + − . (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 4 设随机变量 第 245 页，共 368 页 X 的分布函数为 F ( x ) ,概率密度为 f ( x ) ,则下列说法中,正确的是( ) (A) f (−x)必不为某个随机变量的概率密度. (B) F (−x)必为某个随机变量的分布函数. x+1 (C) f (t)dt 必不为某个随机变量的概率密度. x (D)  x x + 1 F ( t ) d t 必为某个随机变量的分布函数.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 5 设相互独立的随机变量 第 246 页，共 368 页 X 和 Y 的分布函数分别为F (x) 和 X F Y ( y ) .若这两个函数各有 2 个间断点, 则随机变量 X Y 的分布函数的间断点的个数不可能是( ) (A)0. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 6 设随机变量 第 247 页，共 368 页 X 与 Y 相互独立,其中 X 为连续型随机变量,其分布函数为 F X ( x ) , Y 为离散型随机变 量,其分布函数 F Y ( y ) 共有 4 个间断点.记 F Z ( z ) 为随机变量 Z = X Y 的分布函数,则函数 F Z ( z ) 的间 断点个数至多为 ( ) (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 7 设随机变量 X ,X 相互独立且均服从参数为 1 2 第 248 页，共 368 页 ( 0 )    的泊松分布.若 k 为非负整数,则下列结论中, 正确的是( ) e−2(2)k (A) PX + X = 2k= . (B) 1 2 k! P  X 1 X 2 k  e 2 ( k 2 ! ) k   + = = − . e−k (C) PX + X = 2k = . (D) 1 2 k! P  X 1 X 2 k  e k ! k  + = = − .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 8 设随机变量 第 249 页，共 368 页 X 服从正态分布 N ( 0 , 1 ) , Y 服从正态分布 N (1,4),对给定的(0 1),数u 满足  P  Y u     = .若 P { X x }   = ,则 x 等于 ( ) (A) u 2 . (B)  u 1 2  − . (C) 1 2 u 2 1   −  . (D) 1 2 u 1 2 1   − −  .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 9 设随机变量 第 250 页，共 368 页 Y 服从 ( 0 , 1 ) 上的均匀分布, F ( x ) =  1 e , − x , x x   0 0 , , 随机变量 X 满足 F(X ) =Y ,则 X 的分 布函数为 ( ) (A) F(x). (B) 1 − F ( x ) . (C) F − 1 ( x ) . (D) 1 − F − 1 ( x ) .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 10 设随机变量 第 251 页，共 368 页 X    cos x, x(0,1), 的概率密度为 f (x) = 2 2 则下列随机变量中,不服从均匀分布的  0, 其他,  是( )   (A)Y =sin X . (B)Y =1−sin X . 2 2 (C) Y c o s 2 X  = . (D) Y 2 s i n 2 X   = .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 11 设随机变量 第 252 页，共 368 页 Y 服从(0,1) 上的均匀分布,随机变量 X 满足 X2 =Y ,则下列说法中,正确的是( ) (A) X 可能服从 ( − 1 , 1 ) 上的均匀分布. (B) X 的概率密度可能为奇函数. (C) X 的概率密度可能为偶函数. (D)以上说法均不正确.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 二、填空题 12 通过点 第 253 页，共 368 页 ( 1 , 0 ) 随机作直线与 x   轴正向成角,−  .记该直线在 y 轴上的截距为 2 2 Y ,则Y 的 概率密度 f Y ( y ) = _______.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 13 甲、乙两人每个月都到银行去办理两次业务,服务窗口的等待时长 X 满足参数为 第 254 页，共 368 页 1 1 0 的指数分布. 每次去银行时,甲排在乙前面.若 10 分钟内,甲能得到服务,则将自己的业务与乙的业务一起办理. 若甲在 10 分钟内没能得到服务,则甲会离开,而乙会继续等待 10 分钟.若在这 10 分钟内乙能等到 服务,则会办理自己的业务,否则 10 分钟后,乙也会离开窗口.一个月内,乙恰好能够比甲多办理一 次业务的概率为________.(结果保留两位小数, e − 1 − e − 2  0 . 2 3 .)李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 三、解答题 14 设随机变量 第 255 页，共 368 页 X 服从 ( a , b ) 上的均匀分布,其中a  0b,且 a b,求 X 的概率密度.李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 15 已知随机变量 第 256 页，共 368 页 X  1 x −  e 2, x  0, 的概率密度为 f (x) =  2x 求Y = e X 的概率密度  0, x  0.  f Y ( y ) .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 C 类 一、选择题 1 设随机变量 第 257 页，共 368 页 X 服从参数为的指数分布,则 X 的个位数字为 1 的概率是( ) (A) e 1 e e 1 0 2    − − − − − . (B) e 1 e e 2 2    − − − − − . (C) e 1 e e 1 0 1 0    − − − − − . (D) e 1 e e 2 1 0    − − − − − .李艳芳 900 · 2.随机变量及其分布 二、解答题 2 假设某咖啡店在任何长为 第 258 页，共 368 页 t 的时间内卖出的咖啡杯数 N ( t ) 服从参数为t 的泊松分布.当一天内卖 出至少 100 杯咖啡时,当天该店的净利润大于 0. (I)求相继卖出两杯咖啡之间的时间间隔 T 1 的概率密度; (II)记一天中,从开始营业到开始盈利的时间为 T 2 ,求 T 2 的概率密度.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 第三章多维随机变量及其分布 A 类 一、选择题 1 设随机变量 第 259 页，共 368 页 X , Y 相互独立, X 1 服从参数为 的 0-1 分布, 2 Y 是取值为 0,1,2 的离散型随机变量,且 P P   Y Y = = 1 2   = 2 3 , P  X = 0 , Y = 0  = 1 1 2 ,则方程 1 4 t 2 + X t + Y = 0 有实根的概率为( ) (A) 1 2 . (B) 1 3 . (C) 1 6 . (D) 1 1 2 .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 2 设随机变量 第 260 页，共 368 页 X , Y 相互独立, X  B ( 1 , p ) , Y  B ( 1 , q ) ,且 p + q =1( p,q  0).令事件 A 为 X = 0 , B 为 X + Y = 1 , C 为 X + Y  1 ,则 ( ) (A) A与 B 可能相互独立, A 与C 可能相互独立.’ (B) A与 B 可能相互独立, A 与C 不可能相互独立. (C) A与 B 不可能相互独立, A与C 可能相互独立. (D) A与 B 不可能相互独立, A 与C 不可能相互独立.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 3 设随机变量 第 261 页，共 368 页 X , Y , Z ( ) ( ) ( ) 相互独立,且 X  N 2,2 ,Y  N ,2 ,Z  N ,2 ,则概率 1 2 2 P  X Y Z ( 1 2 ) 21 2 22  ( )     − −  + + (A)随着 + 的增加而增加. (B)随着 1 2 1 2   + 的增加而减少. (C)随着 /的增加而增加. (D)随着 2 1 2 / 1  的增加而减少.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 4 设 第 262 页，共 368 页 X 1 , X 2 , , X n 是独立同分布的 n 个连续型随机变量,其分布函数和概率密度分别为 F ( x ) 和 f ( x ) , 则 Z = m i n  X 1 , X 2 , , X n  的概率密度为 ( ) (A)nF(z) n−1 f (z) . (B)   n  1 − F ( z )  n − 1 f ( z ) .   (C)n 1− 1− F(z) n−1 f (z). (D)    1 − F ( z )  n − 1 f ( z ) .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 5 设 第 263 页，共 368 页 0  p  1 ,随机变量 X  N (0,1),Y 的分布律为 P  Y = − 1  = p , P  Y = 1  = 1 − p , X , Y 相互独立.令 Z = X Y ,则 ( ) (A)无论 p 如何取值,都有 Z  N ( 0 , 1 ) . 1 (B)当 p = 时,Z  N(0,1). 2 1 (C)当 p  时, 2 Z  N ( 0 , 1 ) . (D)无论 p 如何取值,都不能使得 Z  N ( 0 , 1 ) .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 6 设随机变量Y 的分布律为 第 264 页，共 368 页 P  Y = − 1  = P  Y = 1  = 1 2 ,当 Y = 1 时, X  N ( 0 , 1 ) ,当Y =−1时, − X  N ( 0 , 1 ) .记 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x , y ) ,则下列说法中,正确的是 ( ) 1 (A) F(0,−1) = . (B) 2 F ( 0 , 1 ) = 1 2 . (C) lx i m F ( x , 1 ) 1  → + − = . (D) lx i m F ( x , 0 ) 1  → + = .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 二、填空题 7 设二维随机变量 第 265 页，共 368 页 ( X , Y )  x y  的联合分布函数为 F(x, y) = A B +arctan C +arctan ,则     2 3  ( X , Y ) 的联 合概率密度 f ( x , y ) = ________ .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 8 设随机变量 第 266 页，共 368 页 X , Y 均服从同一两点分布, U = m a x  X , Y  , V = m i n  X , Y  ,且(U,V ) 的联合分布律为 令 Z = X − Y ,则 Z 的分布律为_________.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 9 在区间(0,1) 中随机地取两个数 第 267 页，共 368 页 X , Y ,两次抽取相互独立.如下定义随机变量 Z Y, X2 Y :Z =  X, X2 Y  则当 0  z  1 时, Z 的概率密度 f (z) = _________. Z李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 三、解答题 10 已知二维随机变量 第 268 页，共 368 页 ( X , Y ) 的联合分布律为 且 a  0 .若 X − Y 的值等概率取遍−2,−1,0,1,2,且随机变量 M = m a x  X , Y  与 N = m i n  X , Y  相互独 立,求(X,Y)的联合分布律中的所有未知参数.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 11 设二维随机变量 第 269 页，共 368 页 ( X , Y ) e−x, 0  y  x, 的联合概率密度为 f (x, y) =  求 0, 其他,  ( X , Y ) 的联合分布函数 F ( x , y ) .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 12 已知二维随机变量 第 270 页，共 368 页 ( X , Y ) 服从矩形区域 D 上的均匀分布,其中D = (x,y∣) 0 x  2a,0 y a  .设 随机变量 Z = m a x  X , Y  ,求 Z 的概率密度 f Z ( z ) .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 13 已知连续型随机变量 第 271 页，共 368 页 X 与 Y  1 x −  e 2, x  0, 独立同分布,概率密度均为 f (x) =  2x 求随机变量  0, x  0.  Z = X + Y 的概率密度 f Z ( z ) .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 14 设区域 第 272 页，共 368 页 D ( x , y ) x 2 y 2 2 , x 0 , y 0  =  +     ,二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度 f ( x , y ) =  A 0 , x y c o s ( x 2 + y 2 ) , ( 其 x , 他 y ) ,  D ,   求在Y = y0  y   的条件下,   2   X 的条件概率密度 f X ∣ Y ( ∣x y ) .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 15 设随机变量 第 273 页，共 368 页 Y 的概率密度 f Y ( y ) =  2 3 0 , ( 1 + y ) , 0 其  他 y .  1 , 在Y = y(0  y 1) 的条件下,随机变量 X 服从 ( 1 − y , 2 ) 上的均匀分布,求 X 的分布函数 F X ( x ) .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 16 设随机变量 第 274 页，共 368 页 X 服从 ( 0 , 1 ) 上的均匀分布,当 X = x(0  x 1) 时,随机变量 Y 的条件概率密度为 f ∣Y X ( ∣y x ) =  2 0 x , y e − x y 2 , y 其  他 0 , . (I)求Y 的边缘概率密度; (II)求 Z = X Y 2 的概率密度.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 17 设随机变量 第 275 页，共 368 页 X 服从 ( 1 , 2 ) 上的均匀分布,在 X = x(1 x  2) 的条件下,随机变量 Y 服从参数为 x 的 指数分布. (I)求(X,Y)的联合概率密度; (II)求 Z = X Y 的概率密度.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 18 设(X,Y)是二维随机变量, 第 276 页，共 368 页 X 3 3  x2 − x3, 0 x  2, 的边缘概率密度为 f (x) = 2 4 在给定 X  0, 其他.  X = x ( 0  x  2 ) 的条件下 Y 的条件概率密度为 f ∣Y X ( ∣y x ) =  2 0 x , 2 − y x 2 , x 其  他 y .  2 x , (I)求(X,Y)的联合概率密度 f ( x , y ) ; (II)求 Y 的边缘概率密度 f (y) ; Y (III)求P  maxX,Y1 .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 B 类 一、选择题 1 设 第 277 页，共 368 页 a , b , c , d , e 为常数,某二维随机变量的联合分布函数 F ( x , y ) 满足 F(a + x,b + y) + F ( c − x , d − y ) + F ( c − x , b + y ) + F ( a + x , d − y ) = e ,  a +c b + d  则 F , = ( )    2 2  (A)等于 1. (B)等于 1 2 . (C)等于 1 4 . (D)由已知条件不能确定.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 2 设随机变量 第 278 页，共 368 页 X , Y 独立同分布, P  X = 0  = p , P  X = 1  = 1 − p = q , 0  p  1 .令Z =  1 0 , , X X + + Y Y 为 为 偶 奇 数 数 , . 记 p 0 = P  Z = 0  , p 1 = P  Z = 1  , 则 下 列 命 题 中 , 正 确 的 是 ( ) (A)若 X,Z 不独立,则 p 0  p 1 . (B)若 X,Z 不独立,则 p 0 = p 1 . (C)若 X,Z 不独立,则 p 0  p 1 . (D) X,Z 是否独立与 p 0 , p 1 的大小关系无关.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 3 甲、乙两人进行射击比赛,两人独立地向各自的靶子射击,已知甲命中靶心的概率为 0.5,乙命中 靶心的概率为 0.8,首次命中靶心时,射击次数少者胜出.记甲胜出的概率为 p ,乙胜出的概率为 1 第 279 页，共 368 页 p 2 , 则 ( ) 1 (A) p   p . (B) 1 2 2 p 1  p 2 = 1 2 . (C) p 1  p 2  1 2 . (D) p 1 = p 2 = 1 2 .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 4 设随机变量 第 280 页，共 368 页 X 的概率密度为 f ( x ) , X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本. X = (1) m i n  X 1 , X 2 , , X n  , X ( n ) = m a x  X 1 , X 2 , , X n  .若常数 c 满足 c f ( x ) d x 1 2   − = ,则 X ( n )  = ( ) P  X (1 )  c  1 1 1 1 (A)1− . (B)1− . (C) . (D) . 2n−1 2n 2n 2n−1李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 5 记区域 第 281 页，共 368 页 D { ( x , y ) 0 x , 0 y }   = ∣   +   + ,设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f ( x , y ) 2 0 , e x 2 2 y 2 , ( x , y ) . D ,  =  − + 其 他  记 p = P  m a x  X , Y   1  , q = P  m i n  X , Y   1  ,则下列说法中,错误 的是( ) (A)0 p + q 1. (B) p q  e − e . (C) 1 − e − 1 2  p  1 − e − 1 .(D) e − 1  q  e − 1 2 .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 二、填空题 6 已知二维随机变量 第 282 页，共 368 页 ( X , Y ) 服从正态分布 N(0,0;1,1;0),随机变量 U = X 2 + Y 2 , V = X − Y .若 F ( u , v ) 为二维随机变量 ( U , V ) 的联合分布函数,则 F ( 1 , 0 ) = ________ .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 7 已知连续型随机变量 第 283 页，共 368 页 X 1 , X 2 , , X n 独立同分布,均服从参数为 2 的指数分布.记随机变量 M = m a x  X 1 , X 2 , , X n  的概率密度为 f m a x ( x ) , N = m i n  X 1 , X 2 , , X n  的概率密度为 f m in ( x ) .若 f m a x ( a ) = f m in ( a ) ,且 a  0 ,则a =________ .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 8 设随机变量 第 284 页，共 368 页 X 在  0 , 2  上服从均匀分布,当 0  X  1 时,随机变量 Y 服从均值为 1 的指数分布,当 1  X  2 时,随机变量 Y 服从均值为 1 2 的指数分布,则当 y  0 时, Y 的概率密度 f Y ( y ) = ________ .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 三、解答题 9 设 第 285 页，共 368 页 1 2 1    ,随机变量 X 服从  0 ,   上的均匀分布,随机变量 Y 服从,1上的均匀分布, X 与 Y 相 互独立.令 Z = Y − X .求 Z 的概率密度.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 10 设区域 第 286 页，共 368 页 D =  ( x , y )∣ 0  x  y , 0  y  1  ,二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x , y ) =  6 0 x , y , ( 其 x , 他 y ) .  D , (I)判断 X,Y 是否相互独立; (II)求Z = X2 +Y 的分布函数.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 11 向一个边长为 2 的正方形靶子上射击,假设子弹随机命中靶子,以靶心(正方形的两条对角线的交 点)作为原点,过靶心且与正方形的一边平行的直线作为 x轴建立直角坐标系,求子弹落点与靶心的 距离 第 287 页，共 368 页 Z 的概率密度.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 12 设 第 288 页，共 368 页 X , Y 是非负的相互独立的连续型随机变量. (I)证明: P { X Y } 0 F X ( x ) f Y ( x ) d x ,   =  + 其中 F X ( x ) 是 X 的分布函数, f Y ( y ) 是 Y 的概率密度. (II)设 X , Y  e− 1 x, x  0, e− 2 y, y  0, 的概率密度分别为 f (x) =  1 f (y) =  2 ，求 X  0, 其他, Y  0, 其他. P { X  Y } .李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 13 设区域 第 289 页，共 368 页 D 由直线 y = x , y = 1 和 x = e 围成,二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f ( x , y ) =  2 x y 0 , , ( 其 x , 他 y ) .  D , (I)求当 1  y  e 时,随机变量 X 在 Y = y 的条件下的条件概率密度 f X ∣ Y ( ∣x y ) . (II)设 a   1 , 2 ) ,记 p 1 ( a ) 2 f X Y ( x a ) d x , p 2 ( a )  =  − ∣ ∣ 为当 Y  a 时,事件  X  2  发生的概率,请问 p 1 ( a ) 和 p (a)是否存在最大值?若均存在,则这两个最大值是否相等? 2李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 14 将长度为 第 290 页，共 368 页 l 的细棒随机分成 3 段,记第 1 段细棒的长度为 X ,第 2 段细棒的长度为Y . (I)计算在 X = x(0  x  l) 的条件下, Y 的条件概率密度 f ∣Y X ( ∣y x ) ; (II)求这 3 段细棒恰好能构成一个三角形的三条边的概率.李艳芳 900 · 3.多维随机变量及其分布 第 291 页，共 368 页 C 类 解答题 向半径为 1 的圆周内随机投掷一点 P ,并以该点为中心作长为 l ( l  2 ) 的水平直线段,求该直线段与 圆周相交的概率.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 第四章随机变量的数字特征 A 类 一、选择题 1 设箱中有 3 个相同的球,编号为1,2,3.从中随机抽取 2 个, 第 292 页，共 368 页 X 表示所取球中的最小编号, Y 表示所 取球中的最大编号,则下列命题中,正确的是( ) (A) E(X )  E(Y),D(X )  D(Y) . (B) E ( X )  E ( Y ) , D ( X )  D ( Y ) . (C) E(X )  E(Y),D(X ) = D(Y) . (D) E ( X )  E ( Y ) , D ( X ) = D ( Y ) .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 2 设随机变量 第 293 页，共 368 页 X 满足 X 服从参数为 ( 0 )    的泊松分布,且对 n = 0 , 1 , 2 , , P  X = n  = PX = −n , 则 X 的数学期望 E(X ) = ( ) (A)0. (B) 2  . (C). (D) 2 .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征  x , 0  x  a,  a2  2a − x 3 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) =  a  x  2a,记 E(X )为 X 的数学期望, D(X )为 X 的方 a2  0,其他.   差,则( ) (A) 第 294 页，共 368 页 E ( X )  D ( X ) . (B) E ( X )  D ( X ) . (C) D(X )随着 E ( X ) 增加而增加. (D) D ( X ) 随着 E ( X ) 增加而减少.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 4 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 则下列关于随机变量 第 295 页，共 368 页 X , Y 以及Y2 的关系的命题中,正确的是( ) (A) X 与 Y 相关, X 与 Y 2 不相关且独立. (B) X 与 Y 不相关, X 与 Y 2 相关. (C) X 与 Y 独立, X 与 Y 2 独立. (D) X 与 Y 不独立, X 与 Y 2 不相关但不独立.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 5 设 第 296 页，共 368 页 X , Y 为相互独立的随机变量, 0  p , q  1 ,且 p + q =1,PX = 0 = p,PX =1 = q , P  Y = 0  = q , P  Y = − 1  = p ,则 ( ) (A) X + Y 与 X − Y 的相关性与 p,q的取值有关. (B) X + Y 与 X − Y 的独立性与 p,q的取值有关. (C) X +Y 与 X −Y 的相关性、独立性与 p,q的取值均无关,且 X +Y 与 X −Y 相关,不独立. (D) X + Y 与 X − Y 的相关性、独立性与 p , q 的取值均无关,且 X + Y 与 X − Y 不相关,不独立.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征  8 , x2 + y2 1,  6 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f (x, y) = 3 ( 1+ x2 + y2 )3 则  0, 其他,  第 297 页，共 368 页 X 与Y 的相 关系数为( ) (A)-1. (B)0. (C) 1 2 . (D)1.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 7 设二维随机变量 第 298 页，共 368 页 ( X , Y ) ( ) 服从二维正态分布 N ,;2,1; ,则随机变量 1 2 X + Y 与 X − Y 是否相关 ( ) (A)仅取决于的值. (B)仅取决于 2  的值. (C)取决于,2的值. (D)以上说法均不正确.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 二、填空题 8 箱子中装有 5 个相同的球,编号分别为 第 299 页，共 368 页 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,从中随机取出 3 个, X 表示所取出球的最大编号, 则 E ( X ) = _________ .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 9 设随机变量 第 300 页，共 368 页 X 3x2  , 0  x , 的概率密度为 f (x) = 3 若 E(X ) = D(X ),则= _________ .  0, 其他. 李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 e−(x+y) , x  0, y  0, 10 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f (x, y) =  记  0, 其他. 第 301 页，共 368 页 Z = X + Y ,则 Z 的数学期 望 E ( Z ) = _________ .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 11 设随机变量 第 302 页，共 368 页 ( X , Y )  N ( 0 , 1 ; 1 , 2 ; 0 ) ,则 X 2 Y ( ) 的方差 D X2Y = _________ .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 12 设随机变量 第 303 页，共 368 页 X , Y 1 1 同分布, X,Y 的协方差Cov(X,Y) = 4 ,且U = 2X + Y +1,V = X − 2 2 2 Y ,则 U , V 的协方差 C o v ( U , V ) = _________ .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 13 设随机变量 第 304 页，共 368 页 X 2  1   xarctanx +  , −1 x 1, 的概率密度 f (x) =  2 随机变量  0, 其他,  Y = l n ( 1 + X 2 ) ,则 C o v ( 3 X + Y , X ) = _________ .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 三、解答题 14 已知随机变量 第 305 页，共 368 页 X , Y 的数学期望与方差均存在,且 D ( Y )  0 .证明: E  ( X − Y ) 2   [ E ( X ) − E ( Y )  2 , 等号成立当且仅当 D ( X ) = D ( Y ) ,且 X , Y 的相关系数 1  = .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 15 设随机变量 第 306 页，共 368 页 X 与 Y 相互独立,且都服从参数为 1 的指数分布.记 U = m a x  X , Y  , V = m i n  X , Y  , 求 E  ( U + 1 ) ( V − 2 )  .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 16 设随机变量 第 307 页，共 368 页 X 2x  , 0  x , 的概率密度为 f (x) = 2 令Y = sinX ,  0, 其他.  (I)求Cov(X,Y); (II)求 Y 的概率密度.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 17 设随机变量 第 308 页，共 368 页 ( X , Y ) 在椭圆域 x a 2 2 + y b 2 2  1 ( a , b  0 ) 上服从均匀分布.问: (I) X,Y 是否相关? (II) X , Y 是否独立?李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 B 类 一、选择题 1 设随机变量 第 309 页，共 368 页 X 的分布律为 P  X = n  = a p n , n = 1 , 2 , .若 X 的数学期望 E(X ) = b,则( ) (A)ap = b. (B) = . (C) a b = p . (D) a b p = 1 .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 2 设 第 310 页，共 368 页 a  0 ,随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布 N  0 , 0 ; a , a 2 ; − 1 2  .已知 a X + Y 与 X 不相关,则下列随 机变量中,服从标准正态分布且与 X 独立的是( ) 1 (A) X +Y . (B) 4 2 3 3 X + 8 3 3 Y . 1 (C) X +Y . (D) 2 2 X + 4 Y .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 3 设随机变量 第 311 页，共 368 页 X 和 Y 独立同分布, X g(x), x  0, 的概率密度为 f (x) =  其中 0, x  0,  g ( x ) 满足对任意 x  0 , g ( x )  0 ,则下列说法中,正确的是 ( ) (A) X + Y 与 X − Y 相关. (B) X + Y 与 X − Y 不相关,不独立. (C) X + Y 与 X − Y 不相关,独立. (D) X + Y 与 X − Y 不相关,是否独立与 g ( x ) 的表达式有关.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 4 已知甲、乙两人将于某日在某地会面,他们均等可能地在 9 点到 10 点之间的任意时间到达约定地 点,并事先约定先到者等待后到者.若甲的等待时间为 第 312 页，共 368 页 X , 乙 的等待时间为 Y ,则 X 与 Y 的相关系数 X Y  为 ( ) (A)-1. (B) − 1 2 . (C)0. (D) 1 2 .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 二、填空题 5 设随机变量 第 313 页，共 368 页 X 的概率密度为 f ( x ) s 0 i n , x , 0 x . 2 ,  =  其  他  若 F ( x ) 为 X 的分布函数,E(X )为 X 的数 学期望,则 P  F ( X )  1 2 E ( X )  = ________.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 6 设随机变量 第 314 页，共 368 页 X 2sinxcosx   的概率密度为 f (x) =   2k , x   2k,2k+ 2   ,k为非负整数, 其中2sinx  0, 其他,  表示不超过 2 s i n x 的最大整数,则 s i n X 的数学期望 E ( s i n X ) = _______ .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 7 记半圆盘 第 315 页，共 368 页 x 2 + y 2  4 ( y  0 ) 中到 x 轴的距离不超过 2 的点所构成的区域为 D .向区域 D 中随机投 掷一点,以该点为圆心,该点到 x 轴的距离为半径作圆 C .记圆 C 的面积为 S ,则 S 的数学期望 E ( S ) = ________.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 8 从圆心位于原点的上半单位圆盘中随机独立地选取两点 第 316 页，共 368 页 A , B ,记圆心角 A O B 的大小为 X ,则 X 的 数学期望 E ( X ) = ________ .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 9 设点 第 317 页，共 368 页 P 的坐标 ( X , Y ) 服从单位圆盘 D: x2 + y2 1上的均匀分布,以点 P 为圆心,作能够包含于 D 的 最大圆,记此圆的最高点的纵坐标为 H ,则 H 的数学期望 E ( H ) = _________.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 10 已知某盒中装有三个形状相同的球,三个球的颜色分别是红、黄、蓝,有放回地从盒中随机取球 3 次,令 第 318 页，共 368 页 X 表示取到红球的次数, Y 表示取到黄球的次数,则 X,Y 的相关系数 X Y  = _________.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 11 设二维随机变量 第 319 页，共 368 页 ( X , Y ) 服从区域 D =  ( x , y )∣ x  0 , y  0 , 2 x + y  2  上的均匀分布,令 U =  1 0 , , X X   Y Y , , V =  1 0 , , 2 2 X X   Y Y , , 则 U 和 B 的相关系数 U V  =___________.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 12 设点 第 320 页，共 368 页 A 的坐标为 ( 1 , 0 ) , B 为圆弧 x 2 + y 2 = 1 ( x  0 , y  0 ) 上的一点,为 A O B  的度数,且在 0 , 2    内随机取值,扇形 A O B 的面积记为 U ,过点 A 作直线 O B 的垂线,垂线段的长度记为 V ,则 U 和 V 的相关系数 =________. UV李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 三、解答题 13 设随机变量 第 321 页，共 368 页 X , Y 均服从 N ( 0 , 2 )  ,且 X , Y 相互独立,令随机变量 Z = X 2 + Y 2 ,计算 E ( Z ) , D ( Z ) .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 14 设连续型随机变量 X 在 第 322 页，共 368 页  0 , 2  1 上取值, F(x)为它的分布函数,且 F(1) = ,随机变量Y 2 =  X X + − 1 1 , , 0 1   X X   1 2 , . 证 明 : E ( X ) = E ( Y ) .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 15 将一根 第 323 页，共 368 页 4 m 长的木棍随机折成不等长的两段,其中较短一段的长度记为 X ,再次将较长的一段木 棍折成不等长的两段,其中较短一段的长度记为 Y . (I)求 X 的概率密度; (II)求 X , Y 的相关系数.李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 C 类 一、选择题 1 设某题库中共有 1000 道不同的题,编号 第 324 页，共 368 页 1  1 0 0 0 ,每次上机,系统随机从题库中无重复地抽取 20 道 题作为练习, X 为小明上机练习 10 次后所做过的不同题目的数量,则 E ( X ) = ( ) (A)10000.9810. (B) 1 0 0 0  ( 1 − 0 . 9 8 1 0 ) . ( ) (C)10000.9910. (D)1000 1−0.9910 .李艳芳 900 · 4.随机变量的数字特征 二、解答题 2 设随机变量 第 325 页，共 368 页 X 满足 X 服从参数为 ( 0 )    的泊松分布,且对正整数n,PX = n = PX = −n ,随 机变量 Y 满足 P  Y = 0  = 1 − p , P  Y = 1  = p , 0  p  1 .已知 X , Y 相互独立,求 E ( X − Y ) .李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 第五章大数定律与中心极限定理 A 类 一、选择题 1 设随机变量 第 326 页，共 368 页 X 满足 E ( X ) = E ( X 3 ) = 0 , E ( X 2 ) = 1 , D ( X 2 ) = 2 ,则根据切比雪夫不等式, P  X 2 + 2 X − 1  5   ( ) 3 (A) . (B) 25 2 4 5 . (C) 1 5 . (D) 2 6 5 .李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 2 设总体 第 327 页，共 368 页 X 的数学期望为 0,方差为 2 ( 0 ) , X 1 , X 2 , , X n ( n 2 )     为来自总体 X 的简单随机样本, 为非负实数, p P 1 n i n 1 X i   =   =   ,则下列说法中,正确的是( )  (A)若 ,则 n p 1 4   . (B)若 n    ,则 p 1 4   . 2 (C)若 ,则 n p 1 4   . (D)若 2 n    ,则 p 1 4   .李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 3 设随机变量序列 第 328 页，共 368 页 X 1 , X 2 , , X n , 独立同分布,其中 X i ( i = 1 , 2 , ) 服从参数为 2 , 1 2 的二项分布 B  2 , 1 2  .若当 n  → 时, 1 n i n = 1 X ki 依概率收敛于 a k ( k = 1 , 2 , 3 ) ,则 a 1 + a 2 + a 3 = ( ) (A)1. (B)3. (C)5. (D)7.李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 4 设随机变量 第 329 页，共 368 页 X 服从 ( 1 , 7 ) 上的均匀分布, X 1 , X 2 , , X n , 为与 X 同分布的且相互独立的随机变量 序列.记 X n = 1 n i n = 1 X i ,  ( x ) 为标准正态分布的分布函数,则下列说法中,正确的是( ) (A) ln i m P i n 1 X i 3 4 x ( x )  →   = −   =  . (B) ln i m P X n 3 n 4 x ( x )  →  −   =  . (C) ln i m P i n 1 X i 3 n x 4 n ( x )  →   =  −  =  . (D) ln i m P i n 1 X i 3 n x 4 n ( x )  →   =  +  =  .李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 5 设 第 330 页，共 368 页  X i  i 1  = 为独立同分布的随机变量序列,且均服从参数为 p ( 0  p  1 ) 的几何分布,记  ( x ) 为标准 正态分布的分布函数,则 ( ) (A) ln i m P p i n 1 X n i p n x ( x )  →   = −   =  . (B) ln i m P p n i n 1 ( X 1 i p n ) x ( x )  →   = − −   =  .  n  (1− p) X − n    i  (C)limP i=1  x = (x). (D) n→  n(1− p)      ln i m P ( 1 p ) n i n 1 p X i n x ( x )  →  −  = −   =  .李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 二、填空题 6 设随机变量 第 331 页，共 368 页 X  N ( 1 , 4 ) , Y  B ( 1 0 , 0 . 3 ) ,且 X , Y 相互独立,则根据切比雪夫不等式, P  2 X + Y − 5  2 1 8 . 1   ________ .李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 7 设 第 332 页，共 368 页 X 1 , X 2 , , X 1 0 0 为来自总体 X 的简单随机样本,总体 X 的分布律为 已知利用中心极限定理可得 P  1i 0 = 0 1 X i  1 5 0  的近似值为  ( 1 0 2 ) ,其中  ( x ) 为标准正态分布的分布 函数,则 p = ________.李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 B 类 一、选择题 1 设 第 333 页，共 368 页 X 1 , X 2 , , X k , 为一列独立同分布的随机变量序列,且  X k  的分布律满足 PX = k  2n−alnn = 2−n,n =1,2, ,则下列命题中,一定成立的是( ) 1 (A)当0 a  时,存在 ln2 0   ,对于任意 0   ,有 ln i m P 1 n k n 1 X k 1    →   = −   = . 1 (B)当a  时,存在 ln2 0   ,对于任意 0   ,有 ln i m P 1 n k n 1 X k 1    →   = −   = . (C)当 0  a  1 时,存在 0   ,对于任意 0   ,有 ln i m P 1 n k n 1 X k 1    →   = −   = .  1 n  (D)当a 1时,存在 0 ,对于任意 0,有limP X − =1. n→  n k  k=1李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 2 用中心极限定理估计,投掷一百万次均匀骰子,所得点数的平均值最有可能出现的区间是( ) (A)4.5,5.5. (B) 第 334 页，共 368 页  4 , 5  . (C)  3 . 5 , 4 . 5  . (D)  3 , 4  .李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 二、填空题 3 某保险公司经调查发现,在索赔的用户中有 第 335 页，共 368 页 2 0 % 患有恶性肿瘤,以 X 表示在随意抽查的 10000 个 索赔户中患有恶性肿瘤的户数.根据中心极限定理, X 在 2106 与 2110 之间的概率约为 ________.(参考值:(2.75)  0.997,(2.65)  0.996 .)李艳芳 900 · 5.大数定律与中心极限定理 4 设一批灯泡的寿命服从均值为的指数分布,且各个灯泡的寿命相互独立,现随机抽取 10000 只灯 泡,根据中心极限定理,该批灯泡的总寿命大于 10196的概率约为_________.(参考值: 第 336 页，共 368 页  ( 1 . 9 6 )  0 . 9 7 5 .)李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 第六章数理统计的基本概念 A 类 一、选择题 1 设二维随机变量 第 337 页，共 368 页 ( X , Y ) N ( , ; 1 , 1 ; 0 )   ,则下列说法中,错误的是 ( ) (A) ( X − 2 Y ) 2 服从 2  分布. (B) ( X 2 Y 5 ) 2  − + 服从 2  分布. (C) ( X ) 2 ( Y ) 2   − + − 服从 2  分布. (D) ( X ) 2 1 2 ( X Y 2 ) 2   − + + − 服从 2  分布.李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 2 设总体 第 338 页，共 368 页 X  N ( μ , 1 ) , X 1 , X 2 , , X 1 0 为来自该总体的简单随机样本.记 X = 1 1 0 1 0 i = 1 X i ,则下列统计量中, 服从参数为 9 的 t 分布的是( ) (A) 1 9 i X 9 1 1 ( 0 X i ) 2    = − − . (B) 1 9 i 9 X 1 ( X i ) 2    = − − . X − (C) 10 . (D) 1 10 ( )2  X − X 9 i i=1 1 9 1 i X 0 1 ( X i X ) 2   = − − .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 3 设总体 第 339 页，共 368 页 X N ( , 2 ) , X 1 , X 2 , , X n   是来自该总体的简单随机样本.记 n 1 − 1 i n = 1 ( X i − X ) 2 X = 1 n i n = 1 X i , S 2 = ,则 n ( X S 2 ) 2  − 服从的分布为( ) (A) F ( n − 1 , 1 ) . (B) F ( 1 , n − 1 ) . (C) F ( n , 1 ) . (D) F ( 1 , n ) .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 4 设总体 第 340 页，共 368 页 X N ( , 2 ) ( 0 ) , X 1 , X 2 , , X 2 n ( n 2 )      为来自该总体的简单随机样本.记 X 1 = 1 n i n = 1 X i , X 2 = 1 n 2 j = n n + 1 X j ,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) X 1 X 2 N ( 0 , 1 )  −  . (B) i n 1 ( X i X 2 n i ) 2 2 ( n )    = − +  . ( ) n X − 2 (C) t(n). (D) n (X −)2 i i=1 n i = 2 n j = n 1 + 1 ( ( X X i j − − X X 1 ) 2 2 ) 2  F ( n , n ) .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 5 设 第 341 页，共 368 页 X 1 , X 2 是来自非负值总体 X 的简单随机样本, E ( X ) , E ( X ) , D ( X ) ( ) 均存在,且D X 0.定 义统计量 Y 1 = 1 2 ( X 1 + X 2 ) , Y 2 = X 1 X 2 ,则下列关于 E ( Y 1 ) 和 E ( Y 2 ) 的说法中,正确的是( ) (A)对于任意符合题设条件的总体 X ,都有 E ( Y 1 ) = E ( Y 2 ) . (B)存在符合题设条件的总体 X ,使得 E ( Y 1 ) = E ( Y 2 ) . (C)对于任意符合题设条件的总体 X ,都有 E ( Y 1 )  E ( Y 2 ) . (D)存在符合题设条件的总体 X ,使得 E ( Y 1 )  E ( Y 2 ) .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 6 设总体 第 342 页，共 368 页 X N ( , 2 ) ( , 0 ) , X 1 , X 2 , , X n     为来自该总体的简单随机样本,则样本均值 X 与总体  均值的误差不超过 的概率 p( ) n (A)随着增加而增加. (B)随着增加而减少. (C)随着n增加而增加. (D)随着 n 增加而减少.李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 7 设总体 X  N ( 0,2 )( 0),X ,X , ,X (n  2)为来自该总体的简单随机样本, 与 满足 1 2 n   第 343 页，共 368 页 P  X  P 1 n i n 1 X i      =  =   =   ,则 ( ) (A) n     = . (B) n     = . (C) n     = . (D) n     = .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 二、填空题 8 设总体 第 344 页，共 368 页 X N ( 0 , 2 ) ( 0 ) , X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 , X 7 , X 8     为来自该总体的简单随机样本,且 Y = ( X 3 + X 4 + c X ( X 5 ) 1 2 + + X ( X 2 ) 6 + X 7 + X 8 ) 2 服从 t 分布,则 c = ________ .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 三、解答题 9 设总体 第 345 页，共 368 页 X N ( , 2 ) , X 1 , X 2 , , X n   是来自该总体的简单随机样本,其中  n i = 1 ( n X − i − 1 X ) 2 X = 1 n i n = 1 X i , S = .若 E ( c S 4 ) 4  = ,求 c .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 B 类 一、选择题 1 设随机变量 第 346 页，共 368 页 X  N ( 0 , 1 ) ,以 X 为半径作圆,独立重复操作 10000 次,所得各圆的面积和为 S ,则 S 服从( ) (A)正态分布. (B) t 分布. (C) 2  分布. (D)三者都不对.李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 2 设总体 第 347 页，共 368 页 X 服从正态分布, X 1 , X 2 , , X n 1 是来自该总体的简单随机样本,Y = (X + + 1 n 1 1 X n 1 ) , Y 2 = n 1 − n 1 ( X n 1 + 1 + X n 1 + 2 + + X n ) , S 2 = n 1 1 − 1 n 1 i = 1 ( X i − Y 1 ) 2 ,若存在 k ,使得 Z = k ( Y 1 S − Y 2 ) 服从 自由度为 k 的 t 分布,则 n 1 , n 分别可能为 ( ) (A)2,6. (B)3,9. (C)4,12. (D)6,18.李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 3 设 第 348 页，共 368 页 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X  N ( ,2 )(  0)的简单随机样本,Y ,Y , ,Y 为来自总体 1 1 1 1 2 m Y N ( 2 , 22 ) ( 2 0 )      的简单随机样本,样本方差分别为 S 21 , S 22 ,则下列命题中,正确的是( ) ( ) ( ) (A)若E S2 = E S2 ,则 1 2 m = n . (B)若 D ( S 21 ) 4 41 9 , D ( S 22 ) 5 42 0   = = ,则 n = 4 9 , m = 5 0 . ( ) n X − (C)若2 =2 ,则 1 t(n−1) . 1 2 S 2 (D)若2 =2 ,则 1 2 S S 2122  F ( n − 1 , m − 1 ) .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 4 下列关于上分位数的结论中,错误的是( ) (A) 第 349 页，共 368 页 z 表示标准正态分布的上分位数,则  z 1 z   − = − . (B) 2 ( n )  表示  2 ( n )  的上分位数,则 21 ( n ) 2 ( n )     − = − . (C)t (n) 表示  t ( n ) 的上分位数,则 t 1 ( n ) t ( n )   − = − . (D) F ( n 1 , n 2 ) 表示  F ( n 1 , n 2 ) 分布的上分位数,则 F ( n 1 , n 2 ) F 1 ( n 2 , n 1 ) 1   − = .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 5 设总体 第 350 页，共 368 页 X N ( , 2 ) ( 0 ) , X 1 , X 2 , , X 2 n ( n 2 )      为来自该总体的简单随机样本,其样本均值为 X = 2 1 n 2 n i = 1 X i .记统计 Y 1 = 2 n i = 1 ( X i − X ) 2 , Y 2 = i n = 1 ( X i − X n + i ) 2 , Y 3 = i n = 1 ( X i + X n + i − 2 X ) 2 ,则这 3 个统计 量的数学期望 E ( Y 1 ) , E ( Y 2 ) , E ( Y 3 ) 的大小关系为 ( ) (A)E(Y )  E(Y )  E(Y ). (B)E(Y )  E(Y )  E(Y ) . 1 2 3 1 3 2 (C) E ( Y 3 )  E ( Y 1 )  E ( Y 2 ) . (D) E ( Y 2 )  E ( Y 1 )  E ( Y 3 ) .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 二、填空题 6 设随机变量 第 351 页，共 368 页 U  F ( 1 , 2 ) , X  N ( 0 , 1 ) , Y  N ( 0 , 2 ) , Z  N ( 0 , 2 ) ,且 X , Y , Z 相互独立, P  U c 2  ( c 0 )   =  ,则 P  X 2 Z + 1 2 Y 2  − c  = ________ .李艳芳 900 · 6.数理统计的基本概念 C 类 解答题 设 第 352 页，共 368 页 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的简单随机样本, X n , S 2n 分别表示样本均值和样本方差,现增加 X n + 1 , X n + 1 , S 2n + 1 分别表示加入 X 后新样本的样本均值与样本方差,证明: n+1 (I) n 2 ( X 2n + X 2n + 1 ) = ( 2 n 2 + 2 n + 1 ) X 2n + 1 + X n + 1  X n + 1 − 2 ( n + 1 ) X n + 1  ; (II) S 2n + 1 = n − n 1 S 2n + n 1 + 1 ( X n + 1 − X n ) 2 .李艳芳 900 · 7.参数估计 第七章参数估计 A 类 一、选择题 1 设总体 第 353 页，共 368 页 Z = X c o s Y ,其中 X E ( ) , Y U ( 0 , a ) , X    与 Y 相互独立, a 为已知参数,为未知参数.若 要利用 Z 的一阶矩对参数进行矩估计,则下列 a 的四种取值中,使得矩估计法可行的是( ) (A) a 2  = . (B) a  = . (C) a 2  = . (D) a 4  = .李艳芳 900 · 7.参数估计 2 设总体 第 354 页，共 368 页 X 服从二项分布 B ( n , p ) ,其中 n , p 为未知参数. X 1 , X 2 , , X 1 0 0 为样本容量等于 100 的简单 随机样本.已知样本均值 X = 5 0 ,样本方差 S 2 = 2 0 ,则 p 的矩估计值 ˆp = ( ) (A)0.4. (B)0.396. (C)0.6. (D)0.604.李艳芳 900 · 7.参数估计 3 设 第 355 页，共 368 页 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的容量为n的简单随机样本,记 E ( X ) , D ( X ) 2 , X   1 n i n = 1 X i , S 21 = n 1 − 1 i n = 1 ( X i − X ) 2 , S 22 = 1 n i n = 1 ( X i − X ) 2 = = = ,则下列说法中,正确的是 ( ) (A) S 21 是 2  的矩估计量. (B) S 21 是 2  的最大似然估计量. (C) S 22 是 2  的矩估计量. (D) S 22 是 2  的最大似然估计量.李艳芳 900 · 7.参数估计 4 设总体 第 356 页，共 368 页 X 服从参数为 p 的几何分布, x 1 , x 2 , , x n 为来自该总体的一组样本值, x 为其均值,则参数 p 的矩估计值 ˆp 1 和最大似然估计值 ˆp 2 满足( ) 1 (A) pˆ =  pˆ . (B) 1 2 x ˆp 1 = 1 x  ˆp 2 . 1 1 (C) pˆ = pˆ = . (D) pˆ  pˆ  . 1 2 1 2 x x李艳芳 900 · 7.参数估计 5 设总体 第 357 页，共 368 页 X 服从参数为的泊松分布, X 1 , X 2 , , X n 为来自该总体的简单随机样本,记 ˆ 1 为的矩估 计量, ˆ 2 为的最大似然估计量,则下列说法中,正确的是( ) (A) E ( ˆ 1 ) E ( ˆ 2 )    = = . (B) E ( ˆ 1 ) , E ( ˆ 2 )     =  . (C) E ( ˆ 1 ) , E ( ˆ 2 )      = . (D) E ( ˆ 1 ) , E ( ˆ 2 )       .李艳芳 900 · 7.参数估计 二、填空题 6 设总体 第 358 页，共 368 页 X 的分布律为 其中 p(0  p 1)是未知参数,利用来自该总体的样本值 0 , 1 , 1 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 可得 p 的矩估计值与最大似然 估计值之和为________.李艳芳 900 · 7.参数估计 7 设 第 359 页，共 368 页 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的一个简单随机样本, X 的概率密度为 f ( x ; ) 1 0 , e x , x , ,      =  − − 其  他 其 中为已知正参数,记 X = 1 n i n = 1 X i ,则的矩估计量 ˆ  = _______.李艳芳 900 · 7.参数估计 三、解答题 8 设总体 第 360 页，共 368 页 X 的概率密度为 f ( x ; ) 2 ( 0 2 1 , , ( 1 ) 2 , ) , 0 1 2 x x x , 1 2 3 , , ,      =  − − 其    他    其中为未知参数 ( 0 1 ) ,  X 1 , X 2 , , X n   为来自 X 的简单随机样本,记 N 1 为样本值 x 1 , x 2 , , x n 中小于 1 的个数, N 2 为样本值 x 1 , x 2 , , x n 中大于等于 1 且小于 2 的个数. (I)求的最大似然估计量; (II)若给定样本值如下表,则的最大似然估计值 ˆ1 与矩估计值 ˆ 2  分别为多少?李艳芳 900 · 7.参数估计 9 设总体 第 361 页，共 368 页 X 服从均匀分布U (,a),a 为已知参数, X 1 , X 2 , , X n 为来自该总体的一个简单随机样本. (I)求的矩估计量 ˆ1 与最大似然估计量 ˆ 2  ; (II)求 E ( ˆ1 )  与 E ( ˆ 2 )  .李艳芳 900 · 7.参数估计 10 设 第 362 页，共 368 页 X 1 , X 2 , , X n 是来自均值为 0,方差为 2  的正态分布总体 X 的简单随机样本, Y 1 , Y 2 , , Y n 是来 自均值为 0,方差为 2 2  的正态分布总体 Y 的简单随机样本,且两样本相互独立,其中 ( 0 )    是未 知参数. (I)利用样本 X 1 , X 2 , , X n , Y 1 , Y 2 , , Y n ,求 2  的最大似然估计量 ˆ 2  ; (II)求 E 2 2       .李艳芳 900 · 7.参数估计 11 设总体 第 363 页，共 368 页 X e−(x−) , x , 的概率密度为 f (x) =  其中为已知正常数,为未知正参数,  0, 其他, X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的简单随机样本. (I)求的最大似然估计量 ˆ ; ( ˆ) (II)判断E  与的大小关系.李艳芳 900 · 7.参数估计 12 设相互独立的随机变量 第 364 页，共 368 页 X , Y 均服从参数为的指数分布,为未知参数.令 Z = X + Y . (I)求Z 的概率密度; (II)设 Z 1 , Z 2 , , Z n 是来自于总体 Z 的简单随机样本,求的最大似然估计量 ˆ ,并计算 E 1 ˆ   李艳芳 900 · 7.参数估计 B 类 一、选择题 1 设总体 第 365 页，共 368 页 X N ( 0 , 2 ) ( 0 ) , X 1 , X 2 , , X n     为来自该总体的简单随机样本,利用这个样本估计 2  和  .记2 为2的最大似然估计量, ˆ 为的最大似然估计量,则下列结论中,错误的是( ) (A) E 2 2      = . (B) E 2 2      = .    4 (C) D 2 = . (D)     n D 2 2 n 4      = .李艳芳 900 · 7.参数估计 二、填空题 2 设总体 第 366 页，共 368 页 X 的分布律为 P  X = ( − 1 ) n n + p  = n ( n 1 + 1 ) , n = 1 , 2 , ,其中 p 为未知参数, X 1 , X 2 , , X n 为 来自该总体的简单随机样本, X 为样本均值,则 p 的矩估计量 ˆp = _______.李艳芳 900 · 7.参数估计 三、解答题 3 设随机变量 第 367 页，共 368 页 X 的概率密度为 f X ( x ) 0 x , 2 e 2 x 2 2 , x x 0 0 , ,   =  −   其中 0 为未知参数, X 1 , X 2 , , X n 为来 自于总体 X 的一个简单随机样本. (I)求2的矩估计量 1 2   ,并求 E 1 2     ; (II)求 2   的最大似然估计量2 ,并求 2 E 2 2     .李艳芳 900 · 7.参数估计 4 已知某独立重复试验中,试验成功的概率为 第 368 页，共 368 页 p .记随机变量 X 为直到试验失败r 次时,试验成功的 次数. (I)求 X 的数学期望 E ( X ) ; (II)若 r 为已知参数, p 为未知参数,求 p 的矩估计量 ˆp 1 与最大似然估计量 ˆp 2 .