文档内容
13.3.4 含30°角的直角三角形的性质
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．8
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵ED垂直平分BC，∴BE＝CE，∠EDB＝90°，∵∠B＝30°，ED＝3，∴BE＝2DE
＝6，∴CE＝6．故选A．
【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE＝CE，∠EDB＝90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边
是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．
2．如右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，
AB=7.4m，∠A=30°，DE的长为( )
A．7.4m B．3.7m C．1.85m D．2.85m
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在直角三角形ADE中，∵∠A=30°，AB=7.4，D为AB的中点
∴DE= AD= =1.85.
故答案为：C。
【分析】根据题意，由直角三角形中30°角所对的直角边的性质即可得到答案。
3．在 中， ， ，过点B作 ，交 于点D，若，则 的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
在 中， ， ，
∴∠A=∠C=（180º-120º）÷2=30º，
∵ ，
∴∠DBC =90º，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=120º-90º =30º，
∴BD=AD=1，
∵∠DBC =90º，∠C=30º，
∴CD=2BD=2，
故答案为：择：A．
【分析】由 ， ，得出∠A=∠C=30º，由 得出∠DBC =90º
利用角的差∠ABD=∠ABC-∠DBC =30º=∠A，得到等腰三角形，BD=AD=1，利用30º所对直角边等于
斜边的一半CD=2BD即可．
4．如图， 中， ， ， 平分 ，若 ，则点D到线段 的距离等于（ ）
A．6 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵ 平分 ，∠C=90°，
∴DC=DE，∠ABC=90°－∠BAC=30°
在Rt BDE中，BD=2DE
∵BD△＋DC=BC=15
∴2DE＋DE=15
解得：DE=5，即点D到线段 的距离等于5.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DC=DE，由余角的性质可得∠ABC=30°，
则BD=2DE，结合BD＋DC=BC=15可得DE的值，据此解答.
5．如图，在 中， 平分 交 于点M，过点M作 交
于点N，且 平分 ，若 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于
点N，且MN平分∠AMC， △
∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，
∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，
∴∠B＝30°，
∵AN＝1，
∴MN＝2，
∴AC＝AN＋NC＝3，
∴BC＝6，
故答案为：B．
【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可
以求得BC的长．
6．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F，则BE+CF=（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC是边长为20的等边三角形，所以BC=20 ，∠B=∠C=60〬，
又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以，∠BDE=30〬，∠CDF=30〬，
所以，BE= BD， CF= DC，
所以，BE+CF= BD+ DC= BC=10.
故答案为：B
【分析】根据等边三角形的性质得到边长，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，
求出BE、CF的值.
二、填空题：
7．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD等于 .
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】
【解答】如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠CPO，
∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，
又∵PC=6，∴PE等于PC的一半为3，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3．
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，利用三角形的一
个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边
等于斜边的一半.
8．如图，在Rt ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB上的高，若∠A=30°，BD=1cm，则AD=
△cm．
【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，
∴∠A=∠BCD=30°， △
∴BC=2BD，AB=2BC，
∴AB=4BD，
∴AD=AB﹣BD=3BD=3cm．
故答案为3．
【分析】要求AD的长度，需要先求得斜边AB的长度；根据“30度角所对的直角边等于斜边的一
半”易求BC=2BD=2cm，AB=2BC=4cm．
9．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若
∠F=30°，DE=1△，则BE的长是 ．
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，
∴∠ECF=∠EDB=90°，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠A=∠F=30°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴BE=AE，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴BE=2DE=2.故答案为：2.
【分析】 根据等角的余角相等，得出∠A=∠F=30°，根据线段垂直平分线的性质得出BE=AE，根据
等腰三角形的性质得出∠EBA=∠A=30°，根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”，即可得出
BE=2DE=2.
10．如图，在Rt ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC＝9，则AE的值
是 ． △
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC，
而AE+EC=AC=9，
∴AE=6．
故答案为：6
【分析】在△ACB中，可求得∠CBE=∠ABE=∠A=30°，再在Rt BCE中，∠CBE=30°可得BE=2EC，
最后根据AC＝9求得AE。 △
11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB=4 cm，则阴影部分的面积是 cm2
【答案】2【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意知，∠ACB=∠E= ，
∴BC∥DE，
∵∠B= ，AB=4，
∴AC= AB= 4=2，
∵∠D= ，
∴∠AFC=∠D=
∴CF=AC=2，
∴阴影部分的面积= =2.
【分析】根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AC的值，再根据同垂直于
一条直线的两条直线互相平行可得BC∥DE，由平行线的性质可得∠AFC=∠D= ，根据等腰直角三
角形的性质可得CF=AC，则阴影部分的面积= 可求解。
12．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=8，
∴在Rt DEG中，DG= DE=4，
△
∴DF=DG=4．
故答案为：4．
【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到
∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD
的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
三、解答题：
13．如图，△ABC中AB＝AC，∠C＝30°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，试探究
BM与CM之间的数量关系.
【答案】解：连接AM，∵AB=BC，∠C=30°， ∴∠B=30°，∵AB的垂直平分线是MN，∴∠MAC＝
90°，CM=2AM，∴AB=2BM，∴CM=2BM，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】连接AM，∵AB=BC，∠C=30°∴∠B=30°， ∵AB的垂直平分线是MN，，
∴∠MAC＝90°，CM=2AM， ∴AB=2BM，，∴CM=2BM.14．如图，已知，在△ABC中， ，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若
∠A=30°，CD=4cm，求AC的长.
【答案】解：∵ ，
∴∠ABC=60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=30°，
∵CD=4cm，
∴BD=2CD=8cm，
∴AD=8cm，
∴AC=CD+AD=12cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】由三角形的内角和定理得∠ABC=60°，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点
的距离相等得出AD=BD，根据等边对等角得出∠A=∠ABD=30°，根据角的和差得出∠CBD=30°，然
后根据含30°直角三角形的性质可得AD=BD=8cm，进而问题可求解.
15．如图，在 中，∠ °，∠ °， ⊥AB于点D， 交AC于点E，如
果 ，求 的长．
【答案】解：∵ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据三角形的内角和得出 ，根据含30度角的直角三角形的性质解答即可。
16．已知如图等边三角形△ABC，D，E分别是BC，AC上的点.AD、BE交于点N，BM⊥AD于M.若
AE=CD，求证：MN= BN.
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°.在△ABE和△CAD中 ，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，
∵BM⊥AD，即∠AMB=90°，
∵∠BNM=60°，
∴∠NBM=30°，
∴MN= BN.
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由等边三角形的性质可得AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，用边角边可证
△ABE≌△CAD，由全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内
角的和可得∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可
求解.
能力提升篇
一、单选题：
1．已知等腰三角形△ABC，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．90°或75°
C．90°或 75°或15° D．75°或15°或60°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】分三种情况：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，
由题意知，AD= BC= AB，∵∠ADB=90°，
∴∠B=30°，∠C= =75°，
∴∠BAC=∠C=75°；
②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由题意知，AD= BC= AC，
∵∠ADB=90°，
∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，
∵∠B=∠CAB，
∴∠BAC=15°；
③AC=AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的三线合一知点D为BC的中点，
由题意知，AD= BC=CD=BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，
故答案为：C.
【分析】本题要分情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部，②AD在三角形的外部以，③BC边为等腰三角形的底边三种情况.
2．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F， BH⊥AD
于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为( )
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠DCA=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，
∴∠BFH=∠ABF+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，
∴∠FBH=90°-∠BFH=30°，
∴BF=2FH=6，
∴BE=BF+EF=6+0.5=6.5，
∴AD=BE=6.5.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠DCA，然后利用SAS证明△ABE≌△CAD，
得出BE=AD，∠CAD=∠ABE，然后利用三角形外角的性质求出∠BFH=60°，则可根据含30°角的直角
三角形的性质求出BF，然后利用全等三角形的性质即可得出AD的长 .
3．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M，如果CM=4，FM=5，则BE等于( )
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵ BE⊥AC， CF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵ ∠A=60°，
∴∠ABE=∠ACF=30°，
在Rt FBM中，
∵ F△M=5，
∴BM=2FM=10，
在Rt EMC中，
∵ C△M=4，
∴EM= CM=2，
∴BE=BM+ME=10+2=12.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义可知∠AEB=∠AFC=90°，由三角形内角和定理得∠ABE=∠ACF=30°，在
Rt FBM、Rt EMC中，根据直角三角形的性质求得BM=10，EM=2，再由BE=BM+ME即可求得答案.
△ △
4．如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为
延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；
含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S ＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S ，
ACB 四边形AECP
△
∴S ＝S .故④正确.
四边形AECP ABC
△
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，
CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝
∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，
据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得
AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG
＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的
性质可得AF＝ AB＝AD，据此不难判断④.
二、填空题：
5．如图，在 中， ， ， ， 平分 ，点
E是 的动点，点F是 上的动点，则 的最小值为 .
【答案】12
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE.过点A作AH⊥BC于H.
在Rt ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，
△
∴AH＝ AC＝12，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠FBE′，
∵BE＝BE′，BF＝BF，
∴△FBE≌△FBE′（SAS），
∴FE＝FE′，∴AF＋FE＝AF＋FE′，
根据垂线段最短可知，当A，F，E′共线且与AH重合时，AF＋FE的值最小，最小值＝12，
故答案为：12.
【分析】在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE，过点A作AH⊥BC于H，根据含30°角的直角三角形
的性质可得AH＝ AC＝12，由角平分线的概念得∠FBE＝∠FBE′，证明△FBE≌△FBE′，得到FE＝
FE′，则AF＋FE＝AF＋FE′，根据垂线段最短可知：当A，F，E′共线且与AH重合时，AF＋FE的值
最小，据此求解.
6．如图，已知∠AOB=60°，点P是OA边上，OP=8cm，点M、N在边OB上，PM=PN，若
MN=2cm，则ON= cm．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过P作PD⊥OB于点D，
在Rt OPD中，∵∠ODP=90°，∠POD=60°，
∴∠O△PD=30°，
∴OD= OP= ×8=4cm，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2cm，
∴MD=ND= MN=1cm，
∴ON=OD+DN=4+1=5cm．
故答案为：5．【分析】过P作PD⊥OB于点D，在直角三角形POD中，利用含30度直角三角形的性质求出OD的
长，再由PM=PN，利用等腰三角形三线合一的性质得到D为MN中点，根据MN=2求出DN的长，由
OD+DN即可求出ON的长．
7．如图，△ABC中， ∠A=15°，AB是定长.点D，E分别在AB，AC上运动， 连结BE，ED．若
BE+ED的最小值是2， 则AB的长是
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，作∠CAF=15°，
∵AC是∠BAF的平分线，
∴DE=D´E，
∴当BE 、D´E在一条直线上时，即当E、D在如图位置上时，BE+ED最小，
∵∠F=90°， ∠FAB=30°，
∴AB=2BF=4.
故答案为：4.
【分析】作点B关于AC的对称点B'，过B作BF⊥AB'，BF即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角
三角形的性质解答即可．8.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC交于D，P、Q两点分别是AC、BC边上的两动点，且PQ∥AD，
当∠PDQ＝30°时，如果CQ＝0.5，那么AB＝ ．
【答案】4
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵∠PDQ＝30°，
∴∠PDQ+∠C＝90°，
∴∠DPC＝90°，
∵PQ∥AD，AD⊥BC，
∴PQ⊥CD，
∴∠PQC＝90°，
∴∠CPQ＝30°，
∴PC＝2PQ＝1，CD＝2PC＝2，
∴AB＝BC＝2CD＝4，
故答案为4．
【分析】首先证明∠DPC＝90°，利用直角三角形30度的性质求出PC、CD即可；
三、解答题：
9．如图所示，在等边 中，点D，E分别在边BC，AC上，且 ，过点E作
，交BC的延长线于点F．（1）求 的大小；
（2）若 ，求DF的长．
【答案】（1）解： 是等边三角形，
，
，
，
，
，
（2）解： ， ，
是等边三角形．
，
， ，
．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到∠B=60°，再由平行线和垂直的性质，求出∠F
的度数；（2）由（1）得到△EDC是等边三角形，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的
一半，求出DF的长．
10．如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC
运动，且它们的速度都为1cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t
（s）.（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说
明理由；若不变，请求出它的度数.
【答案】（1）解：设时间为t，则AP=BQ=t，PB=5-t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得5-t=2t，t= ；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（5-t），t= ；
∴当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形；
（2）解：∠CMQ=60°不变.
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）设时间为t，可得AP=BQ=t，PB=5-t，分两种情况讨论①当∠PQB=90°时，②当∠BPQ=90°时，分别求出t值即可；
（2）根据“SAS”可证△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ=∠ACP， 由∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ
+∠CAM=∠BAC ，从而求出结论.
