文档内容
17.1 勾股定理（单元教学设计）
一、【单元目标】
1.本节首先让学生探索发现直角三角形三边之间的关系--两直角边的平方和等于斜边的平方，然后证明上述
关系成立，最后让学生运用勾股定理解决问题.
2. 让学生直接发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，有一定的难度,因此，教科书先让学生
发现以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积之间的关系.
3.从等腰直角三角形入手，容易发现数量关系，教科书结合毕达哥拉斯的传说故事，可以提高学生学习的
兴趣，另外其中的图案对学生发现规律也有一定的提示作用.
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
八年级学生的数学推理能力已经在学习完七年级的课程后有了一定的基础，有强烈的求知欲和表现欲，
希望独立解决问题，但是他们对于数学问题的理解还需要加以正确的引导，容易有挫败感，基于这种情况，
应该给他们创造探索与交流的空间，并加以正确的引导。启迪智慧，培养能力。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约3课时
教学重点：定理的探索证明
教学难点： 对勾股定理的理解与应用，教会学生运用勾股定理解决简单的实际问题。五、【教学问题诊断分析】
勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个特殊的结论,在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三
角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系，但要从等腰直角三角形过渡到网格中的
一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难.学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在
较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积，因此，在教学中
需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考去网格背景下的正方形的面积关系，再把
这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理.
17.1勾股定理(第1课时)
1.【情景引入】
前面我们共同学习了三角形以及等腰三角形的有关内容，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，
它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，它
有哪些特殊的性质呢?让我们一起研究吧!
图1
问题1国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，2002年
在北京召开了第24届国际数学家大会图1就是大会会徽的图案，你见过这个图案吗?它由哪些我们学习过
的基本图形组成?这个图案有什么特别的含义?师生活动:教师引导学生寻找图形中的直角三角形、正方形
等，并说明直角三角形的全等的关系，指出通过今天的学习，就能理解会徽图案的含义.
设计意图:本节课是本章的起始课，重视引言教学，从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入
课题
2.【探究勾股定理】
问题2看似平淡无奇的现象有时却隐含着深刻的数学道理。相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家
作客，发现朋友家用地砖铺成的地面(图2)反映了直角三角形三边的某种数量关系.三个正方形A，B，C的
面积有什么关系?图2
师生活动:学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的规律。通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用
割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得到结论:小正方形A，B的面积之和
等于大正方形C的面积.
追问:由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系?
师生活动:教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出:等腰直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
设计意图:从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化(等
腰三角形边长的一般化)
问题3在网格中的一般的直角三角形(图3)，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C是否也有类似的面
积关系?(在图3的方格纸中，每个小方格的面积均为1.)师生活动:分别求出A，B，C的面积并寻找它们之
间的关系.
追问:正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系?师生活动:学生独立思考后小组讨
论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，
如图4，图5所示,教师在学生回答的基础上归纳方法-割补法.可以求得C的面积为13，教师引导学生直接
由正方形的面积等于边长的平方归纳出:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
设计意图:网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数，
进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法.
问题4 通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系?
2 2 2
师生活动:教师引导学生得到猜想:如果直角三角形两直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a +b =c .设计意图:在网格背景下，通过观察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三边关系，为形成猜想提
供了典型特例，于是猜想的形成变得水到渠成.
问题5以上这些直角三角形的边长都是具体的数值.一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a，
6，斜边长为c，如图6所示，刚刚提出的猜想仍然正确吗?
师生活动 :学生通过独立思考，用 a，b 表示 c 的面积.如图 7，用“割”的方法可得
;如图 8，用“补”的方法可得 .经过整理都可以得到
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
设计意图:从网格验证到脱离网格，通过计算推导出一般结论.
问题6历史上所有的文明古国对勾股定理都有研究，下面我们看看历史上我国的数学家对勾股定理的研究，
并通过小组合作完成课本拼图法证明勾股定理.
师生活动:教师展示图9，并介绍:这个图案是3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们
称它为赵爽弦图，赵爽根据此图指出:四个全等的直角三角形(朱实)可以如图围成一个大正方形，中间的
部分是一个小正方形(黄实)，我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形，教师介绍勾股定理相关史料，
勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究.
图9
设计意图:通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维;使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想，通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数
学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，增强民族自豪感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学
习数学的自信心.
3. 【课本练习】
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
【答案】b=8
（2）已知a=5，b=12，求c；
【答案】c=13
（3）已知c=25，b=15，求a.
【答案】a=20
2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12，
16，9，12，求最大正方形E的面积.
解：根据图形正方形E 的边长为: ❑√122+162+92+122=25，
2
故E的面积为:25 =625
17.1勾股定理(第2课时)
1.【情景引入】
1．回顾勾股定理的概念．
2．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，∠C＝90°.
(1)已知a＝3，b＝4，则c＝__5__；
(2)已知c＝25，b＝15，则a＝__20__；
(3)已知c＝19，a＝13，则b＝__8__；(结果保留根号)
(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝__12__．
3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C偏离欲到达的点B200 m，结果他在
水中实际游了520 m，则该河流的宽度为__480__m.
2.【探究新知】教材P 例1.
25
提出问题：
(1)木板能横着通过门框吗？竖着呢？为什么？
(2)如果木板斜着拿，能否通过门框？
(3)要使木板能通过门框，需要比较哪些数据的大小？你是怎么想的？
学生完成并交流展示．
3.【知识归纳】
应用勾股定理的前提是在__直角__三角形中．如果三角形不是直角三角形，要先__构造直角三角形__，
再利用勾股定理求未知边的长．
注意：①在直角三角形中，已知两边长，利用勾股定理求第三边时，要弄清楚直角边和斜边，没有明
确规定时，要__分类讨论__，以免漏解；
②求几何体表面上两点间的最短距离的方法：把立体图形的表面展开成平面图形，根据“两点之间，
__线段__最短”确定路径，然后利用勾股定理进行计算；
③用勾股定理解决折叠问题时，能够重合的线段、角和面积__相等__．
4.【例题与练习】
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
D C
2m
A B
1m
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要
AC的长大于木板的宽就能通过.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
2 2 2 2 2
AC =AB +BC =1 +2 =5，
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿
墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?A
C
O B D
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
2 2 2 2 2
OB =AB -OA =2.6 -2.4 =1，
∴OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理得
2 2 2 2 2
OD =CD -OC =2.6 -(2.4-0.5) =3.15,
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
练习
1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B
两点间的距离（结果取整数）.
解：AB=❑√BC2-AC2=❑√602-202=40❑√2≈57m.
2.如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4）.求这两点之间的距离.解:由图可知两点之间的距离为AB的长.AB=❑√42+52=❑√41.
17.1勾股定理(第3课时)
1.【情景引入】
1．在等腰直角三角形中，直角边为1，斜边为多少？
2．若直角三角形的两直角边分别为，1，斜边为多少？
3．同学们，你们会在数轴上作出吗？
2.【探究新知】
教材P 内容．
26～27
提出问题：
(1)你能利用勾股定理证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
(2)我们知道实数都可以在数轴上表示出来，你能在数轴上画出表示的点吗？
(3)你还能在数轴上表示其他无理数吗？表示的依据是什么？
学生完成并交流展示．
3.【知识归纳】
1．用数轴上的点表示无理数：如图，过数轴上表示数a的点A作直线l与数轴垂直，在直线l上截取
AB＝b，连接OB(点O为原点)，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P.当点P在正半轴上时，
它表示数____；当点P在负半轴上时，它表示数__ － _ _．
2．实数与数轴上的点是一一对应的，要在数轴上直接标出无理数对应的点比较难，我们可以借助__
勾股定理__作出长为(n为大于1的正整数)的线段，进而在数轴上找到表示无理数的点．
4.【例题与练习】
练习
1.在数轴上作出表示的点．
解：∵＝＝，∴是以4，1为直角边的直角三角形斜边的长，如图，即点C表示.
2.如图，等边三角形的边长是6.求：
(1)高AD 的长；
(2)这个三角形的面积.六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
一、单选题
1．（2023上·重庆黔江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子
底端到左墙角的距离 为 ，梯子顶端到地面的距离 为 ．如果保持梯子底端位置不动，将梯
子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 为 ，则小巷的宽为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 是直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意可知， 是直角三角形，
在 中， ， ，
∴ ， ，在 中， ， ，则 ，
∴ ，
∴小巷的宽为 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．
2．（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，一架靠墙摆放的梯子长5米，底端离墙脚的距离为3米，
则梯子顶端离地面的距离为（ ）米．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：梯子顶端离地面的距离为 m．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
3．（2023上·四川成都·八年级统考期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与 方向成 角的 方向上
的点B处测得 ，则A，C之间的距离为( )
A．30m B．40m C．50m D．60m
【答案】A
【分析】利用勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
4．（2023下·湖北武汉·八年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）如图，一架 米长的梯子 ，斜靠在
一竖直的墙 上，这时梯足B到墙底端O的距离为 米，若梯子的顶端沿墙下滑 米，那么梯足将外
移（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在 中，根据勾股定理即可求 的长度，再求得 的长度，在 中，利用勾股
定理可求得 的长度，据此即可求解．
【详解】解；在 中，已知 米， 米，
则 (米)，
∵ 米，
∴ 米，
∵在 中， ，
∴ (米)，
∴ (米)，
∴梯足向外移动了 米．故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中
求 的长度是解题的关键．
5．（2023下·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图， 的顶点 、 、 在边长为 的正方形网格的
格点上， 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形和三角形的面积公式求出 的面积，根据勾股定理求出 ，根据三角形的面积公
式计算即可．
【详解】解：如图，
的面积 ，
由勾股定理得， ，
则 ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
6．（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）如图所示，在一张长为 ，宽为 的矩形纸片上，现要剪
下一个腰长为 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点
在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别画出能满足条件的等腰三角形，找到三角形的底和高，求解即可．
【详解】解：如图， ， ，
当 时， 一个腰长为6 的等腰三角形，
面积为： ，
如图，当 时，
，
，
面积为 ，
如图，当 时，，
，
面积为 ，
综上，剪下的等腰三角形的面积不可能是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理和三角形面积，利用勾股定理求解是解题的关键．
二、填空题
7．（2023下·福建福州·八年级统考期末）如图，一个圆桶底面直径为 ，高 ，则桶内所能容下的
最长木棒为 ．
【答案】
【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解，即可．
【详解】解：如图， 为圆桶底面直径， 为圆桶的高，
∵ ， ，
∴ ，
∴桶内所能容下的最长木棒为： ．
故答案为： ．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，灵活运用勾股定理．
8．（2022下·八年级单元测试）在直角三角形中，三个内角度数的比为 ，若斜边为 ，则两条直角
边的和为 .
【答案】 /
【分析】由三角形内角和定理求得三角形的三个内角分别是 、 、 ．由 角所对的直角边是斜
边的一半求得一直角边的长度，然后由勾股定理求得另一直角边的长度．
【详解】如图，
在直角 中， ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案是： ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，含 角的直角三角形，勾股定理．注意勾股定理适合于直角
三角形中．
9．（2023下·吉林·八年级校联考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图
所示的风筝高度 ，测得如下数据：①测得 的长度为 （ ）；②根据手中剩余线的长度计
算出风筝线 的长为 ；③松松身高 为 ．则风筝离地面高度 为 米．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出 的长，再加上 的长度，即可求出 的高度．
【详解】解：由题意可得： ，
在 中，
由勾股定理得， ，
∴ 米，
答：风筝的高度 为 米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
10．（2023下·广东深圳·八年级校考期中）如图，在 中， ， 的垂
直平分线分别交 于点D、E，则 的长是 ．
【答案】25
【分析】连接 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，设 ，知 ，在
中，由 列出关于 的方程，解之可得答案．
【详解】解：连接 ，∵ 垂直平分 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查勾股定理，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是构造直角三角形，根据勾股定
理列出方程．
11．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）已知 是直角三角形的两边，且满足 ，
则此直角三角形的第三边长为 ．
【答案】5或
【分析】首先利用非负数的性质求得 ，然后对 分类讨论：分 是直角边和 是斜边
两种情况，进行计算即可得到答案．
【详解】解： 是直角三角形的两边，且满足 ，
，
，
当 是直角边时，第三边为： ，
当 是斜边时，第三边为： ，
综上所述，此直角三角形的第三边长为：5或 ，故答案为：5或 ．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，非负数的性质为：几个非负数的和为零，则每个非负
数都为零，此时还要注意两边可能都是直角边，也可能是一个是直角边一个是斜边．
12．（2023上·八年级课前预习）如图，在 中， ，点D为 的中点，过点C作
交 的延长线于点E，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】 / /1.5
【分析】先根据 证明 ，推出 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据中点的
定义即可求 的长．
【详解】解： ，
，
点D为 的中点，
，
又 ，
，
，
中， ， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明 是解题的
关键．
13．（2023下·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在 中， ， 是 的平分线，于点 E， ， ，则
【答案】
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到 ，求解 ，再根据勾股定理解
答即可．
【详解】解： 于 ， ，
是角平分线， ， ，
，而 ，
．
在 中， ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质的综合运用，关键是根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得
到 ．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
一、单选题
1．（2024上·山西长治·八年级统考期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.
如图，这是一段楼梯的侧面，它的高 是3米，斜边 是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为
（ ）
A．8米 B．7米 C．6米 D．5米
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为 的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法；
先根据勾股定理求出 的长，进而可得出结论．
【详解】解： 是直角三角形， ，
，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为 ，
故选：B．
2．（2024上·河南周口·八年级校联考期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点 所表示的数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由作图可知： ，则 ，即可
得到答案．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵点 表示的数为1，点 表示的数为4，
∴ ，
由作图可知： ，则 ，
∴ 到原点的距离为 ，
则点 所表示的数是 ，
故选：A．
二、填空题
3．（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在四边形 中， ，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为 ， ， ， ．若 ， ， ，
则 的值为
【答案】20
【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接 ，构
造 和 ，然后在 中利用勾股定理求出 ，在 中求出 ，进而求得
的值．
【详解】解：如图，连接 ，
在 中， ，
．
在 中， ，
，
解得： ．
故答案为：20．
4．（2024上·福建漳州·八年级统考期末）如图， ，点 在线段 上， ，
，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题
的关键．
运用“ ”判定 ，可证 ，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（2024上·江苏泰州·八年级统考期末）如图，有一棵大树在离地面 处断裂，树的顶部落在离树的底
部 处，这棵树折断之前高度为 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出大树折断的部分长度，再加上 即可求解，掌
握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，大树折断的部分长为 ，
∴这棵树折断之前高度为 ，
故答案为： ．
6．（2024上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图， ， ，若 ，则 的面积为
．
【答案】
【分析】在线段 上取一点D，使得 ，证明 是等腰三角形，得到 ，则
，取 的中点E，连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ， ，勾股定
理求出 ，得到 ，作 于点H，根据等积法求出 ，则 ，
即可求出 的面积．
此题考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练添加辅助线构造直角三角形是
解题的关键．
【详解】解：在线段 上取一点D，使得 ，
∴ ,∵ ，
∴ ，
∵
∴ ,
∴ 是等腰三角形， ，
∴ ，
取 的中点E，连接 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
作 于点H，
则 ，
解得 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
故答案为：
三、解答题
7．（2024上·福建漳州·八年级统考期末）某医院为了方便病人进出，将门诊大厅的门改为自动感应门，感
应门上方装有一个感应范围 米的感应器 ．如图，一个身高 米的病人 走到离感应门 米处时，
感应门刚好自动打开，请求出感应器离地面的高度 ．【答案】 米．
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握运用辅助线构造直角三角形，运用勾股定理求线段长度的方
法是解题的关键．过点 作 交 于点 ，构造 ，利用勾股定理求得 的长度即可．
【详解】解：如图，过点 作 交 于点 ，
则 ， ， ，
在 中， ，
则 ，
∴ ，
答：感应器离地面的高度 为 米．
8．（2024上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ．
(1)在线段 上找一点 ，使 （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求线段 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查的知识点是三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、作等腰三角形(尺规作
图)、用勾股定理解三角形，解题关键是熟练掌握垂直平分线的作法．
（1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；
（2）根据垂直平分线的性质可得 ，然后运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 点即为所求：
分别在 、 两点上以大于 为半径，
在 两侧画圆弧，圆弧交点连接后与 的交点即为 ，
此时所做的虚线是线段 的垂直平分线，
，
，
是 的外角，
．
（2）解：设 ，
，
，
，
即 ，
解得 ，
．
9．（2024上·河南周口·八年级校联考期末）如图是人们喜爱的秋千，已知秋千 静止的时候，踏板 离
地高 为 ，将它往前推进 到 （即 的长为 ，且 ），此时踏板离地的高 为
．求秋千绳索 的长度．【答案】秋千绳索 的长度为 米
【分析】本题考查了勾股定理的运用，由题意易得 ，设 ，在 中，
由勾股定理建立方程 ，即可作答．理解题意，利用勾股定理建立方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵踏板A离地高 为 ， 为 ，
∴ ，
∵ 的长为 ，
设 ， ，
∴在 中， ，即
解得 ，
故秋千绳索 的长度为 米．
10．（2024上·江西抚州·八年级统考期末） 的 所对边分别是a，b，c，若满足
，则称 为类勾股三角形，边c称为该三角形的勾股边．
【特例感知】如图1，若 是类勾股三角形， 为勾股边，且 ， 是中线，求
的长；
【深入探究】如图2， 是 的中线，若 是以 为勾股边的类勾股三角形，①分别过A，B作 的垂线，垂足分别为E，F，求证
②试判断 与 的数量关系并证明；
【结论应用】如图3，在四边形 中， 与 都是以 为勾股边的类勾
股三角形，M，N分别为 的中点，求线段 的长．
【答案】【特例感知】CM的长为6；【深入探究】①证明见解析；②AB与CM相等，理由见解析；【结
论应用】MN的长为5．
【分析】（1）根据 是类勾股三角形， 为勾股边，有 ，得到 ，根据
， 是中线，可得 ，即可求解；
（2）①根据 ，得到 ，再根据 即可求
证；②根据 ，可得 ， ，再根据
，可得 ，进而得到 ，最后根据 ，
，可得 ；
（3）连接 ，由【深入探究】可得： ，进而得到 ，根据 为
的中点，可得 ，进而求解.
【详解】（1）解： 是类勾股三角形， 为勾股边，
，
，
，
，
， 是中线，，
（2）①证明： ，
，
，
．
② 与 相等，理由如下，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（3）解：连接 ，
与 都是以 为勾股边的类勾股三角形，
为 的中点，
由【深入探究】可得： ，
，
为 的中点，
，
，
【点睛】本题考查的是类勾股三角形的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理的
应用，正确理解类勾股三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．
11．（2024上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图1，点 为 的外角 的平分线上一点，
， 于 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，连接 ， ， ，求 的长度；
(3)如图2，若 ， 分别是边 ， 上的点，且 ，求证： ．
【答案】(1)见解析(2)
(3)见解析
【分析】（1）过 作 交于 ，根据角平分线性质得到 ，结合 ，得到
，即得 ；
（2）根据全等三角形性质得到 ， ，得到 ，推出四边形
是正方形，根据 ，得到 ，设 ，得到 ， ，根据勾股定
理得到 ，解得 ，即得 ；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 ，得到 ， ，
得到 ，根据 ，得到 ，得到 ，推出
，得到 ，即得 ；
本题主要考查了角平分线，全等三角形．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，是解题的
关键．
【详解】（1）如图1，过 作 交于 ，
∵点 为 的平分线上一点， 于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；（2）如图2，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；（3）如图3，在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．3．课后作业
设计意图：巩固提升.
一、单选题
1．（2023下·河南商丘·八年级统考期末）如图，一根长 的木条，斜靠在竖直的墙上，这时木条的底
端距墙底端 ．如果将木条底端向左滑动 ，那么木条的顶端将向上滑动（ ）
A． B．3cm C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理分别求出 的长，进而求出 的长即可得到答案．
【详解】解：如图，在 中， ，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题的关键．
2．（2023上·八年级课时练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ）
A．11 B．47 C．26 D．35
【答案】D
【分析】如图，根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可．
【详解】解：如图，
由勾股定理得，正方形F的面积 正方形A的面积 正方形B的面积 ，
同理，正方形G的面积 正方形C的面积 正方形D的面积 ，
∴正方形E的面积 正方形F的面积 正方形G的面积 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
3．（2023下·广东中山·八年级统考期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与 方向成 角的 方向上
的点B处测得 ， ，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方计算判断．
【详解】解：如图， 中，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理描述的三边关系是解题的关键．
4．（2023下·四川南充·八年级统考期末）如图，台风过境后，一根垂直于地面的大树在离地面6 处撕裂
折断，大树顶部落在离大树底部8 处，则大树折断之前的高度是（ ）．
A．10m B．14m C．16m D．18m
【答案】C
【分析】大树未折断部分，折断部分，和地面正好构成直角三角形，应用勾股定理求出线段 的长度，
再加上未折断的 即可求出树的高度．
【详解】解：如图：树的总高度为： ，
在 中，根据勾股定理得： ，，
，
．
故选： ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是求出折断部分的长度，注意一定要加上未折断部分的长
度，这是易错点．
5．（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内
壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出 的长度．然后求其差．
【详解】解：根据题意可得： ，
在 中∶ ，
所以
则这只铅笔在笔筒外面部分长度为 ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
二、填空题
6．（2023上·八年级课时练习）如图， 、 、 分别是以 的三边为直径所画半圆的面积，其
中 ， ，则 ．【答案】
【分析】先分别算出 、 、 的面积，然后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∵
∴ ．
∵ ， ，
∴
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的内容是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边
的平方．
7．（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统
数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几
何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处
离地面多高？设折断处离地面x尺，则根据题意列方程为： ．
【答案】
【分析】设折断处离地面x尺，根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：如图，设折断处离地面x尺，
根据题意可得： ，．
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（2023下·山东临沂·八年级统考期末）如图，在直角三角形纸片 中， ，
折叠纸片的一角，使点B与点A重合，展开得折痕 ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可求 ，根据勾股定理即可求 的长．
【详解】解：由折叠的性质得 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠问题，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，
如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么 ．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等
于斜边的平方．
9．（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线 ，在l
上取点B，使 ，以点O为圆心， 为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是
．【答案】
【分析】根据数轴上的点及勾股定理求解即可．
【详解】解：在直角三角形 中， ，
∴ ，
∴点C所表示的数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点，求出 的长度是解题关键．
10．（2023下·四川南充·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它
是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若
，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．
【答案】8
【分析】由直角三角形的面积可求出 ，再把 两边平方得 ，再结合勾股
定理可知 ，从而可求出结论．
【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
整理得， ，
又 ，
∴ ，
解得， 或 （负值舍去），
故答案为：8．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出 的值．
11．（2023上·八年级课时练习）如图，圆柱形玻璃容器高13cm，底面周长为24cm．在容器外壁距下底
1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底3cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所
爬行的最短距离为 cm．
【答案】15
【分析】根据题意得到圆柱体的侧面展开图，确定 ， 的位置，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：圆柱体侧面展开图如下：
由题意知： ， ， ，
过点 作 ，
，
，
底面周长为24，
，
在 中， ，根据勾股定理，得： ，，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理是解题的关键，同时还考
查了创造性思维．
三、解答题
12．（2023下·吉林·八年级统考期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，
水面是一个边长为10尺（ 尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P是 的中点)，它高出水
面1尺( 尺)． 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面( )．
水的深度 与这根芦苇 的长度分别是多少？
【答案】水的深度PN为12尺，芦苇MN的长度为13尺
【分析】在 中，根据勾股定理列出方程，求出 的长，即可求解．
【详解】解：∵ ，点P是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中，根据勾股定理，
．
∴ ．
解得 ，
∴ ．
答：水的深度 为12尺，芦苇 的长度为13尺．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．13．（2023上·八年级课时练习）小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称
图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示.经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，
，中间的多边形 是正八边形．
(1)求 的长度；
(2)求正八边形 的面积；
(3)已知小明家厨房的地面是边长为3.14m的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？
（地砖间缝隙的宽度忽略不计）
【答案】(1)
(2)
(3)最多形成1024个正八边形
【分析】（1）连接 和 ，由勾股定理可算出线段 的长度，即可求解；
（2） ，据此即可求解；
（3）计算出正方形地砖的边长，再结合小明家厨房的地面边长，即可求解．
【详解】（1）解：连接 和 ，两线的交点为 ，
四边形 是正方形，
， ，
，由勾股定理得 ，
，
；
（2）解：如图，作小正方形的对角线，组成正方形 ，则正方形的边长为 ，即为
，
所以正八边形 的面积为
；
（3）解：正方形地砖的边长为
，
，
，
，
用该地砖铺设完毕后，最多形成 个正八边形.
【点睛】本题考查了勾股定理、正八边形面积的求解等．正确的作出辅助线是解题关键．14．（2022上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在等腰 中， ，作射线 ，
是腰 的高线， 是 外射线 上一动点，连结 ．
(1)当 ， 时，求 的长；
(2)当 时；求证： ；
(3)设 的面积为 ， 的面积为 ，且 ，在点 的运动过程中，是否存在 为等腰
三角形，若存在，求出相应的 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；
(2)见解析；
(3)2或 ．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）证明 ，推出 ， ，利用三角形内角和定理，可得结论；
（3）由 ： ： ，推出 ： ： ，设 ， ，则 ，接下来
分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
；
（2） ， ，
，
， ，，
，
，
，
；
（3） ： ： ，
： ： ，
设 ， ，则 ，
， ，
，
当 时， ，
，
．
当 时， ，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积计算、等腰三角形的性质和判定，勾股定理,三角形
的内角和定理的应用等知识，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
七、【教学反思】
