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25.3 用频率估计概率（第一课时） 分层作业
基础训练
1．某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P ，则下列说法正确
的是( )
A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近
【答案】D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做此事件概率的估计
值，从而可得答案．
【详解】解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近，
故选：D．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发
生．
2．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符
合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
【答案】D
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.17左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是 ，不符合题意；
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ，不符合题意；
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率是 ，不符合题意；
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6的概率是 ，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就
是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相
等时，一般通过统计频率来估计概率．
3．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）.
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
【答案】B
【详解】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故
A错误；
B、正确；
C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相
同．
故选：B．
4．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的【答案】A
【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也
不一定发生．
【详解】A.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，
故此选项错误；
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．
故选A．
【点睛】本题考查了概率的意义，解题的关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．
5．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向
上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是( )
A．① B．② C．①② D．①③
【答案】B
【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计
“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．
【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定
是0.47，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向
上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确概率的定义是解题的关键．
6．小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”
中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的
频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（ ）
A．抽出的是“朝”字 B．抽出的是“长”字
C．抽出的是独体字 D．抽出的是带“氵”的字
【答案】D
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.2左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判
断．
【详解】根据拆线图知：概率在0.2左右，
A：抽出的是“朝”字的概率是 ，不符合题意；
B：抽出的是“长”字的概率是 ，不符合题意；
C：抽出的是独体字的概率是 ，不符合题意；
D：抽出的是带“氵”的字的概率为 ，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就
是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相
等时，一般通过统计频率来估计概率．
7．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图
如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）A．朝上的点数是5的概率
B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数大于2的概率
D．朝上的点数是3的倍数的概率
【答案】D
【分析】计算出各个选项中事件的概率，根据概率即可作出判断．
【详解】A、朝上的点数是5的概率为 ，不符合试验的结果；
B、朝上的点数是奇数的概率为 ，不符合试验的结果；
C、朝上的点数大于2的概率 ，不符合试验的结果；
D、朝上的点数是3的倍数的概率是 ，基本符合试验的结果．
故选：D．
【点睛】本题考查了频率估计概率，当试验的次数较多时，频率稳定在某一固定值附近，这个固定值即为概
率．
8．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【答案】D
【详解】因为大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，
可以用这个常数估计这个事件发生的概率,
所以D选项说法正确,
故选D．
9．下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大
C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比
D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度
【答案】A
【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案．
【详解】A、随着试验次数的增多，某一事件发生的频率不会改变，故原说法错误，符合题意；
B、一个事件A试验中出现的次数越多，频数就越大，正确，不合题意；
C、试验的总次数一定时，频率与频数成正比，正确，不合题意；
D、频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度，正确，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键．
10．（2023春·八年级课时练习）投掷一枚质地均匀的硬币 次，正面向上 次，下列表达正确的是
（ ）
A． 的值一定是 B． 的值一定不是
C． 越大， 的值越接近 D．随着 的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的
稳定性
【答案】D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是 ，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事
件， 是它的频率，随着 的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选： ．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是有可能发
生的事件．
11． 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，
在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1）
【答案】0.9
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个
频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
12．当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀
的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是
．
【答案】0.5/
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．
【详解】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本
题的关键．
13．质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000
合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904
合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） ．
【答案】0.9
【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率．
【详解】解：根据题意得：该产品的合格率大约为0.9，
∴恰好是合格产品的概率约是0.9．
故答案为：0.9【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用样本估计总体的
思想．
14．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的
黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过
程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒
子里个数比较多的是 （填“黑球”或“白球”）．
【答案】白球
【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案．
【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，
根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，
∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，
故答案为：白球．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键．
15．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
优等品的频率
0.960 0.950 ______ 0.942 0.946 0.951 ______
（精确到0.001）
(1)填写完成表格中的空格；
(2)画出该批乒乓球优等品频率的折线统计图；
(3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是___________（精确到0.01）
【答案】(1)见详解
(2)见详解(3)0.95
【分析】（1）用频数除以对应的乒乓球数即可得；
（2）用横轴表示乒乓球数，纵轴表示频率，再结合表格描点，连线即可得；
（3）由折线统计图最后趋于0.95可得答案．
【详解】（1）解：补全表格如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
优等品的频率
0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（精确到0.001）
（2）解：折线图如下：
（3）解：从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95．
故答案为：0.95；
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就
是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了频率分
布折线图．
16在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球
搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
58 96 116 295 484 601
摸到白球的次数摸到白球的频率
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近____；(精确到0.01)
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是____，摸到黑球的概率是____；
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】(1)0.60
(2)0.6，0.4
(3)白球12只，黑球8只
【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．
（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．
（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率，即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
【详解】（1）解：根据题意可得当 很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
故答案为：0.60；
（2）解：因为当 很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.6，0.4；
（3）解：因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有：
白球是 只，
黑球是 只．
答：估计口袋中白色的球有12只，黑色的球有8只．
【点睛】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
