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压轴题突破练 3
1．(2022·菏泽模拟)已知函数f(x)＝ex－1－ax.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)－x2≥对于任意x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝ex－1－a，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
②当a>0时，
令f′(x)＝ex－1－a＝0，x＝1＋ln a，
当x∈(－∞，1＋ln a)时，
f′(x)<0，f(x)在(－∞，1＋ln a)上单调递减；
当x∈(1＋ln a，＋∞)时，
f′(x)>0，f(x)在(1＋ln a，＋∞)上单调递增．
(2)由f(x)－x2≥，
得ex－1≥x2＋ax＋＝2，对于任意x≥0恒成立，因此－x－ ≤≤－x＋ ，
记h(x)＝－x＋ ，
由h′(x)＝－1＋ ＝0，得x＝1＋2ln 2，
当x∈[0,1＋2ln 2]时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈[1＋2ln 2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x) ＝1－2ln 2，因此a≤2－4ln 2；
min
记t(x)＝－x－ ，易知t(x)单调递减，
所以t(x) ＝t(0)＝－ ，所以a≥－2 ，
max
综上，实数a的取值范围为 .
2．(2022·石家庄模拟)如图，已知双曲线C：－y2＝1，过点P(1,1)向双曲线C作两条切线，
切点分别为A(x，y)，B(x，y)，且x<0，x>0.
1 1 2 2 1 2(1)证明：直线PA的方程为－yy＝1.
1
(2)设F为双曲线C的左焦点，证明：∠AFP＋∠BFP＝π.
证明 (1)显然直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y－1＝k(x－1)，
联立
消去y得(3k2－1)x2－6k(k－1)x＋3(k－1)2＋3＝0，
则Δ＝36k2(k－1)2－4(3k2－1)×3(k2－2k＋2)＝0，化简得k2＋k－1＝0.
因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标
x＝－＝，
1
得y＝，则＝3k，
1
故直线PA的方程为y＝(x－x)＋y，
1 1
则yy＝－＋y，即－yy＝1.
1 1
(2)由(1)同理可得l ：－yy＝1，
PB 2
又l 与l 均过点P(1,1)，
PA PB
所以－y＝1，－y＝1.
1 2
故l ：－y＝1，F(－2,0)，
AB
FP·FA＝(3,1)·(x＋2，y)＝3x＋6＋y，
1 1 1 1
FP·FB＝(3,1)·(x＋2，y)＝3x＋6＋y，
2 2 2 2
又因为x<0，x>0，所以x≤－，x≥，
1 2 1 2
则cos〈FP，FA〉＝
＝＝－，
cos〈FP，FB〉＝
＝＝，
故cos〈FP，FA〉＝－cos〈FP，FB〉，
故∠AFP＋∠BFP＝π.
