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小题满分练 4
一、选择题
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 ∁U M＝{1,3}，则( )
A．2∈M B．3∈M
C．4∉M D．5∉M
答案 A
解析 由题意知M＝{2,4,5}，故选A.
2．(2022·衡水中学模拟)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)为纯虚数，那么b等于(
)
A．1 B．2 C．4 D．－4
答案 A
解析 ＝
＝
＝＋i，
因为复数为纯虚数，
所以＝0且≠0，解得b＝1.
3．“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行，
所以a≠0，且两直线的斜率相等，
即－＝－a，解得a＝±1，
而当a＝1时，直线x＋ay＝1为x＋y＝1，同时ax＋y＝1为x＋y＝1，两直线重合，不满足
题意；
当a＝－1时，x－y＝1与－x＋y＝1平行，满足题意，故a＝－1，
又“a2＝1”是“a＝－1”的必要不充分条件，
所以“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的必要不充分条件．
4．(2022·佛山模拟)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在
PCR扩增过程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X 与扩增次数n满足lg X ＝nlg (1＋p)＋lg X ，其中p为扩增
n n 0
效率，X 为DNA的初始数量．已知某个被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100
0
倍，那么该样本的扩增效率p约为( )
(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)
A．0.369 B．0.415
C．0.585 D．0.631
答案 C
解析 由题意知，lg(100X)＝10lg(1＋p)＋lg X，
0 0
即2＋lg X＝10lg (1＋p)＋lg X，
0 0
所以1＋p＝100.2≈1.585，
解得p≈0.585.
5．(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，
得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是( )
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
答案 C
解析 对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为＝7.4，A选项结论正确；
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为
×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝
8.506 25>8，B选项结论正确；
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.375<0.4，C选项结论错
误；
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.812 5>0.6，D选项结论
正确．
6．(2022·韶关模拟)已知10a＝2,102b＝5，则下列结论正确的是( )
A．a＋2b>1 B．ab>
C．ab>lg22 D．a>b答案 C
解析 由题可知a＝lg 2，b＝lg 5＝lg ，
又>2，所以a<b，D错误；
因为10a·102b＝10a＋2b＝10，
所以a＋2b＝1，A错误；
由基本不等式得a＋2b≥2，
所以ab≤，当且仅当a＝2b时取等号，
又因为a＝lg 2,2b＝lg 5，
所以a≠2b，故ab<，B错误；
由于a＝lg 2>0，b＝lg >lg 2，
所以ab>lg22，C正确．
7．(2022·常德模拟)已知在△ABC中，B＝，AB＝1，角A的角平分线AD＝，则AC等于(
)
A. B．2
C.＋1 D.＋3
答案 C
解析 在△ABD中，由正弦定理得
＝，
所以sin∠ADB＝＝＝，
因为B＝，
所以∠ADB＝，∠BAD＝，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
sin ＝sin
＝sin cos －cos sin
＝，
在△ABC中，由正弦定理得，＝，
所以AC＝＝
＝＝＋1.
8．在区间[0,1]上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设在[0,1]上取的两数为x，y，则|x－y|>，即x－y>，或x－y<－.画出可行域，如图阴
影部分所示，\
易求阴影部分的面积为，故所求概率P＝＝.
9．(2022·西宁模拟)已知S 为数列{a}的前n项和，a ＝1，a ＋2S ＝2n＋1，则S 等于(
n n 1 n＋1 n 2 022
)
A．2 020 B．2 021
C．2 022 D．2 024
答案 C
解析 当n＝1时， a＋2S＝2＋1⇒a＝1，
2 1 2
当n≥2时，由a ＋2S＝2n＋1得a＋2S ＝2n－1，
n＋1 n n n－1
两式相减可得a －a＋2a＝2，即a＋a ＝2，
n＋1 n n n n＋1
所以a＝1，可得S＝n，
n n
所以S ＝2 022.
2 022
10．(2022·湖南长郡中学模拟)已知f(x)＝x3－x，如果过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线
则下列结论中正确的是( )
A．－1<m<8 B．0<m<7
C．－3<m<5 D．－2<m<6
答案 D
解析 设切点为(x，x－x)，f′(x)＝3x2－1，
0 0
所以切线斜率为3x－1，
所以切线方程为y－(x－x)
0
＝(3x－1)(x－x)，
0
将(2，m)代入方程得m－(x－x)＝(3x－1)(2－x)，即2x－6x＋2＋m＝0，
0 0
由题设知该方程有3个不等实根．
令u(x)＝2x3－6x2＋2＋m，
u′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
当x<0时，u′(x)>0，
当0<x<2时，u′(x)<0，
当x>2时，u′(x)>0，
所以u(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以u(x)在x＝0时取得极大值u(0)＝2＋m，
在x＝2时取得极小值u(2)＝2×8－6×4＋2＋m＝m－6，由三次函数图象知
解得－2<m<6.
11.已知O 是正方体ABCD－ABC D 的中心O关于平面ABC D 的对称点，则下列说法中
1 1 1 1 1 1 1 1 1
正确的是( )
A．OC 与AC是异面直线
1 1 1
B．OC ∥平面ABCD
1 1 1 1
C．OC ⊥AD
1 1
D．OC ⊥平面BDD B
1 1 1 1
答案 B
解析 如图，连接AC，AC ，交于点O，连接AC ，BD，交于点P.
1 1 1 1 1 1
连接AC，BD，AB，DC，OO.
1 1 1
由题可知，O 在平面AC CA内，∴OC 与AC共面，故A错误；
1 1 1 1 1 1
在四边形OO C C中，OO∥C C且OO＝C C，∴四边形OO C C为平行四边形．
1 1 1 1 1 1 1 1
∴OC ∥OC.
1 1
∵OC⊂平面ABCD ，OC ⊄平面ABCD ，
1 1 1 1 1 1
∴OC ∥平面ABCD ，故B正确；
1 1 1 1
由正方体的性质可得AC ⊥BD，∵OB＝OD，点P为BD 的中点，∴OP⊥BD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又∵OP∩AC ＝P，
1 1 1
∴BD⊥平面OAC ∴BD⊥OC ，
1 1 1 1 1, 1 1 1 1
又∵BD∥BD，
1 1
∴BD⊥OC ，而AD与BD所成角为45°，
1 1
∴显然OC 与AD不垂直，故C错误；
1 1
显然OC 与OB 不垂直，而OB⊂平面BDD B，∴OC 与平面BDD B 不垂直，故D错误．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12．(2022·济宁模拟)等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则PA·PB
＋PB·PC的最大值为( )
A．4 B．7 C．8 D．11答案 C
解析 如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所
在直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为AO＝2，
所以A(0,2)，设等边三角形ABC的边长为a，
则＝＝2R＝4，
所以a＝2，
则B(－，－1)，C(，－1)．
又因为P是该圆上的动点，
所以设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π]，
PA＝(－2cos θ，2－2sin θ)，
PB＝(－－2cos θ，－1－2sin θ)，
PC＝(－2cos θ，－1－2sin θ)，
PA·PB＋PB·PC＝－2cos θ(－－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－－2cos θ)(－2cos θ)
＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)
＝4＋2sin θ＋2cos θ
＝4＋4sin，
因为θ∈[0,2π]，所以θ＋∈，
sin∈[－1,1]，
所以当sin＝1时，
PA·PB＋PB·PC取得最大值为8.
二、填空题
13．(2022·山东联考)a>0，b>0，若2是a与b＋1的等比中项，则a＋b的最小值为________．
答案 3
解析 由题可得a(b＋1)＝4，
则a＋b＝＋b＝b＋1＋－1
≥2－1＝2－1＝3，
当且仅当b＋1＝，即b＝1，a＝2时，等号成立．
故a＋b的最小值为3.
14．(2022·信阳模拟)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B＝________.答案 63
解析 当A＝1，B＝1时，第一次循环得A＝2，B＝3；第二次循环得A＝3，B＝7；第三次
循环得A＝4，B＝15；
第四次循环得A＝5，B＝31；第五次循环得A＝6，B＝63；循环结束，输出B＝63.
15．(2022·湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，若函数f(x)的图象在区
间(0，π)上恰有2个零点，则实数ω的取值范围为________．
答案
解析 f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin(ω>0)，
由x∈(0，π)，得ωx－∈，
要使函数f(x)的图象在区间(0，π)上恰有2个零点，则π<ωπ－≤2π，
所以ω∈.
16．(2022·中山统考)已知点M为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)在第一象限内一点，点F为双
曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，则双曲线C的离心率为________；
若MF，MO所在直线分别交双曲线C于点P，点Q，记直线QM与PQ的斜率分别为k ，
1
k，则k·k＝________.
2 1 2
答案 4 －15
解析 设M(x，y)，
0 0
因为4|MO|＝4|MF|＝7|OF|＝7c，
所以|MO|＝|MF|＝c.
所以x＝，y＝＝c，
0 0
即M.所以－＝1，
整理得4b2c2－45a2c2＝16a2b2，
4c4－65a2c2＋16a4＝0，
即4e4－65e2＋16＝0，
解得e2＝或e2＝16.
因为e>1，所以e2＝16，即e＝4.设P(x，y)，由题知，Q(－x，－y)，
1 1 0 0
因为|MO|＝|MF|，
所以k ＝－k ，即k＝－k ，
QM MP 1 MP
所以k·k＝－k ·k＝－·
1 2 MP 2
＝－.
又因为⇒(x－x)－(y－y)＝0，
所以＝＝＝e2－1＝15，
所以k·k＝－15.
1 2
