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小题满分练 4
一、选择题
1．(2022·中山模拟)设全集U与集合M，N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合
是( )
A．M∩N B．M∪N
C．(∁ M)∪N D．(∁ M)∩N
U U
答案 D
解析 由Venn图知，元素属于N但不属于M，
即阴影部分对应的集合为(∁ M)∩N.
U
2．(2022·衡水中学模拟)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)为纯虚数，那么b等于(
)
A．1 B．2 C．4 D．－4
答案 A
解析 ＝
＝
＝＋i，
因为复数为纯虚数，
所以＝0且≠0，解得b＝1.
3．“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行，
所以a≠0，且两直线的斜率相等，
即－＝－a，解得a＝±1，
而当a＝1时，直线x＋ay＝1为x＋y＝1，同时ax＋y＝1为x＋y＝1，两直线重合，不满足
题意；
当a＝－1时，x－y＝1与－x＋y＝1平行，满足题意，故a＝－1，又“a2＝1”是“a＝－1”的必要不充分条件，
所以“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的必要不充分条件．
4．(2022·佛山模拟)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在
PCR扩增过程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强
度达到阈值时，DNA的数量X 与扩增次数n满足lg X ＝nlg (1＋p)＋lg X ，其中p为扩增
n n 0
效率，X 为DNA的初始数量．已知某个被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100
0
倍，那么该样本的扩增效率p约为( )
(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)
A．0.369 B．0.415
C．0.585 D．0.631
答案 C
解析 由题意知，lg(100X)＝10lg(1＋p)＋lg X，
0 0
即2＋lg X＝10lg (1＋p)＋lg X，
0 0
所以1＋p＝100.2≈1.585，
解得p≈0.585.
5．(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，
得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是( )
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
答案 C
解析 对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为＝7.4，A选项结论正确；
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为
×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝
8.506 25>8，B选项结论正确；
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.375<0.4，C选项结论错
误；
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.812 5>0.6，D选项结论正确．
6．(2022·韶关模拟)已知10a＝2,102b＝5，则下列结论正确的是( )
A．a＋2b>1 B．ab>
C．ab>lg22 D．a>b
答案 C
解析 由题可知a＝lg 2，b＝lg 5＝lg ，
又>2，所以a<b，D错误；
因为10a·102b＝10a＋2b＝10，
所以a＋2b＝1，A错误；
由基本不等式得a＋2b≥2，
所以ab≤，当且仅当a＝2b时取等号，
又因为a＝lg 2,2b＝lg 5，
所以a≠2b，故ab<，B错误；
由于a＝lg 2>0，b＝lg >lg 2，
所以ab>lg22，C正确．
7．(2022·常德模拟)已知在△ABC中，B＝，AB＝1，角A的角平分线AD＝，则AC等于(
)
A. B．2
C.＋1 D.＋3
答案 C
解析 在△ABD中，由正弦定理得
＝，
所以sin∠ADB＝＝＝，
因为B＝，
所以∠ADB＝，∠BAD＝，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
sin ＝sin
＝sin cos －cos sin
＝，
在△ABC中，由正弦定理得，＝，
所以AC＝＝
＝＝＋1.
8．(2022·重庆育才中学模拟)已知一个盒子中装有10个乒乓球，其中有7个新球，3个旧球
(使用过的球都称旧球)．在第一次比赛时任意取出2个使用，比赛后放回原盒；在第二次比赛时同样任意取出2个球使用．记事件A为第一次取出的2个球中恰有i个新球(i＝0,1,2)，
i
事件B为第二次取出的球均为新球．则下列结论中不正确的是( )
A．事件A，A，A 两两互斥
0 1 2
B．P(B|A)＝
1
C．P(B)＝
D．事件B与事件A 相互独立
1
答案 D
解析 根据互斥事件的定义，得事件A，A，A 两两互斥，故A正确；
0 1 2
由P(A)＝＝，P(AB)＝＝，得P(B|A)＝＝，故B正确；
1 1 1
P(B)＝＋＋＝，故C正确；
由P(B)P(A)＝×≠P(AB)，得事件B与事件A 不相互独立，故D错误．
1 1 1
9．(2022·西宁模拟)已知S 为数列{a}的前n项和，a ＝1，a ＋2S ＝2n＋1，则S 等于(
n n 1 n＋1 n 2 022
)
A．2 020 B．2 021
C．2 022 D．2 024
答案 C
解析 当n＝1时， a＋2S＝2＋1⇒a＝1，
2 1 2
当n≥2时，由a ＋2S＝2n＋1得a＋2S ＝2n－1，
n＋1 n n n－1
两式相减可得a －a＋2a＝2，即a＋a ＝2，
n＋1 n n n n＋1
所以a＝1，可得S＝n，
n n
所以S ＝2 022.
2 022
10．(2022·湖南长郡中学模拟)已知f(x)＝x3－x，如果过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线
则下列结论中正确的是( )
A．－1<m<8 B．0<m<7
C．－3<m<5 D．－2<m<6
答案 D
解析 设切点为(x，x－x)，f′(x)＝3x2－1，
0 0
所以切线斜率为3x－1，
所以切线方程为y－(x－x)
0
＝(3x－1)(x－x)，
0
将(2，m)代入方程得m－(x－x)＝(3x－1)(2－x)，即2x－6x＋2＋m＝0，
0 0
由题设知该方程有3个不等实根．
令u(x)＝2x3－6x2＋2＋m，
u′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
当x<0时，u′(x)>0，当0<x<2时，u′(x)<0，
当x>2时，u′(x)>0，
所以u(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以u(x)在x＝0时取得极大值u(0)＝2＋m，
在x＝2时取得极小值u(2)＝2×8－6×4＋2＋m＝m－6，
由三次函数图象知
解得－2<m<6.
11．(2022·十堰统考)如图，正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，E，F分别为棱AA ，CC
1 1 1 1 1 1
的中点，则下列结论正确的是( )
①直线AC与平面AFD 垂直；
1 1
②直线BE与平面AFD 平行；
1
③三棱锥A－AFD 的体积等于；
1 1
④平面AFD 截正方体所得的截面面积为.
1
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 D
解析 以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD 所在直线为z轴
1
建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(2,0,2)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，F(0,2,1)，
1 1
则A1C·D1F＝(－2,2，－2)·(0,2，－1)＝6≠0，
显然AC与DF不垂直，故直线AC与平面AFD 不垂直，①不正确；
1 1 1 1
因为E，F分别为棱AA，CC 的中点，
1 1
所以BE∥DF.
1
又BE⊄平面AFD ，DF⊂平面AFD ，
1 1 1
所以直线BE与平面AFD 平行，②正确；
1＝××2×2×2＝，
③不正确；
如图，取棱BC的中点G，连接AG，FG，
因为F为棱CC 的中点，所以FG∥AD，
1 1
则四边形AGFD 为平面AFD 截正方体所得的截面，该四边形AGFD 的面积为×(＋2)×＝，
1 1 1
④正确．
12．(2022·济宁模拟)等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则PA·PB
＋PB·PC的最大值为( )
A．4 B．7 C．8 D．11
答案 C
解析 如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所
在直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为AO＝2，
所以A(0,2)，设等边三角形ABC的边长为a，
则＝＝2R＝4，
所以a＝2，
则B(－，－1)，C(，－1)．
又因为P是该圆上的动点，
所以设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π]，
PA＝(－2cos θ，2－2sin θ)，
PB＝(－－2cos θ，－1－2sin θ)，
PC＝(－2cos θ，－1－2sin θ)，
PA·PB＋PB·PC＝－2cos θ(－－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－－2cos θ)(－2cos θ)
＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)
＝4＋2sin θ＋2cos θ
＝4＋4sin，
因为θ∈[0,2π]，所以θ＋∈，
sin∈[－1,1]，
所以当sin＝1时，
PA·PB＋PB·PC取得最大值为8.二、填空题
13．(2022·山东联考)a>0，b>0，若2是a与b＋1的等比中项，则a＋b的最小值为________．
答案 3
解析 由题可得a(b＋1)＝4，
则a＋b＝＋b＝b＋1＋－1
≥2－1＝2－1＝3，
当且仅当b＋1＝，即b＝1，a＝2时，等号成立．
故a＋b的最小值为3.
14．(2022·衡水中学调研)某班级上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各
一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的
种数为________．
答案 16
解析 根据题意，可分三步进行分析：
(1)要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2(种)情况；
(2)将这个整体与英语全排列，有A＝2(种)顺序，排好后，有3个空位；
(3)数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种
情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，所以不同的排课方法的种数是2×2×4＝
16.
15．(2022·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)＝2sin，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，
再将得到的图象关于x轴翻折，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0,2π]上的单调递增区间
为________．
答案
解析 将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，可得f(x)＝2sin，
再将f(x)＝2sin的图象关于x轴翻折，
可得g(x)＝－2sin.
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
当k＝－1时，得－≤x≤－，
当k＝1时，得≤x≤，
当k＝0时，得≤x≤，
即y＝2sin在上单调递减．
所以g(x)在[0,2π]上的单调递增区间为.
16．(2022·中山统考)已知点M为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)在第一象限内一点，点F为双
曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，则双曲线C的离心率为________；
若MF，MO所在直线分别交双曲线C于点P，点Q，记直线QM与PQ的斜率分别为k ，
1k，则k·k＝________.
2 1 2
答案 4 －15
解析 设M(x，y)，
0 0
因为4|MO|＝4|MF|＝7|OF|＝7c，
所以|MO|＝|MF|＝c.
所以x＝，y＝＝c，
0 0
即M.所以－＝1，
整理得4b2c2－45a2c2＝16a2b2，
4c4－65a2c2＋16a4＝0，
即4e4－65e2＋16＝0，
解得e2＝或e2＝16.
因为e>1，所以e2＝16，即e＝4.
设P(x，y)，由题知，Q(－x，－y)，
1 1 0 0
因为|MO|＝|MF|，
所以k ＝－k ，即k＝－k ，
QM MP 1 MP
所以k·k＝－k ·k＝－·
1 2 MP 2
＝－.
又因为⇒(x－x)－(y－y)＝0，
所以＝＝＝e2－1＝15，
所以k·k＝－15.
1 2
