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专题第 02 讲 二次函数的实际应用（30 题）
1．（2022秋•泰兴市期末）一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以
12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每
天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x≥8），试求出水果店每天利润W与单价x
的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．
2．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于
19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，
部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量 … 36 34 32 …
y/件
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
3．（2023•海淀区校级开学）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如
图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角
坐标系，如图所示．经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D两点的铅直高度差）．
结合上面信息，回答问题：
（1）若以1米为一个单位长度，则D点坐标为 ，下垂电缆的抛物线表达式为 ．
（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 13.5米时，符合安全
要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面
的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
4．（2023春•江岸区校级月考）如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）
的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．
当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水
平地面的距离为2米．
①记水流的高度为y ，斜坡的高度为y ，求y ﹣y 的最大值（斜坡可视作直线OM）；
1 2 1 2
②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点 N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多
少米？
5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷
出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形
DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上
边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
6．（2022秋•华容区期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千
克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x≥6且为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并
求w的最大值和最小值；
（3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还
是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a的值．
7．（2023春•蔡甸区月考）如图，抛物线AB，AC是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线AB由抛物线AC
向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝ 米，DG＝2米，OA＝h米，抛物线AC
表达式为y＝a（x﹣2）2+h+ ，h＝ ，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上．
（1）求抛物线AC表达式．
（2）求点B的坐标．
（3）要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记OD长为d米，直
接写出d的取值范围．
8．（2022秋•华容区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在
y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球
第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高
度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取 ， ）
9．（2023•淮安一模）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单
价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少
元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？10．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万
元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成
本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获
得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
11．（2023春•江都区月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段 AB表示该
产品每千克生产成本y （单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售
1
价y （单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．
2
（1）求线段AB所表示的y 与x之间的函数表达式；
1
（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
12．（2023•梁溪区模拟）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄
时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的
株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．
（1）求平均单株产量y（千克）与每平方米种植的株数x（x为整数，且2≤x＜10）之间的函数关系式；
（2）已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学
校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？13．（2023春•仓山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其
上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．
素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔 1m，苗木
顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．
（1）任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数关系式；
（2）任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的
取值范围．
14．（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为
商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件 10元的日用商品，经调查发现，该
商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为 W
（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．15．（2022秋•蜀山区校级期末）某超市经销甲、乙两种商品．商品甲每千克成本为 20元，经试销发现，
该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系，商品乙的成本
为4元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有80千克，且能当天销售完．为了让利消费
者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙．
（1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式 ；
（2）设这两种商品的每天销售总额为S元，求出S（元）与x（元/千克）的函数关系式；（注：商品的
销售额＝销售单价×销售量）
（3）设这两种商品销售总利润为W，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的150%，当销售单价定
为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（注：销售总利润＝两种商品的销售总额
﹣两种商品的总成本）
16．（2023春•莲池区校级期中）为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，
某校举办了学生趣味运动会．该校计划用不超过5900元购买足球和篮球共36个，分别作为运动会团体
一、二等奖的奖品．已知足球单价170元，篮球单价160元．
（1）学校至多可购买多少个足球？
（2）受卡塔尔世界杯的影响，学校商议决定按（1）问的结果购买足球作为一等奖奖品，以鼓励更多学
生热爱足球，同时商场也对足球和篮球的价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了 ，
最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了155元，求a的值．17．（2023春•宜都市期末）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y
（万元）与产品数量x（件）之间具有一次函数关系：y＝ax+b．当x＝5时，y＝40；当x＝30时，y＝
140．B城生产产品的每件成本为7万元．
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时，求A，B两城各生产产品多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D
两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，若A，B
两城总运费之和的最小值为150万元，求m的值．18．（2023•海淀区校级四模）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端
安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标
系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为
y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：
水平距离x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
竖直高度y/m 2.25 2.8125 3 2.8125 2.25 1.3125 0
根据表格中的数据，解答下列问题：
①水管的长度是 m；
②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d ；
1
②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中
心的距离为d ．
2
则比较d 与d 的大小关系是：d d （填“＞”或“＝”或“＜”）
1 2 1 2
19．（2023•罗山县三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以
看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面 1.8m，实心球
运动至最高点时距地面 3.4m，距出手点的水平距离为 4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为 y
（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴
建立平面直角坐标系．
（1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．
（2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到 12.4m为满分，请判断小军第一次投掷
实心球能否得满分．
（3）第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.08（x﹣5）2+3.8
记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d ，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d ，
1 2
则d d ．（填“＞”“＜”“＝”）
1 220．（2023•花溪区校级一模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程中能够亲身体
验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过
山车滑道所抽象出来的函数图象，线段AB是一段直线滑道，且AB长为 米，点A到地面距离OA＝
6米，点B到地面距离BE＝3米，滑道B﹣C﹣D可以看作一段抛物线，最高点为C（8，4）．
（1）求滑道B﹣C﹣D部分抛物线的函数表达式；
（2）当小车（看成点）沿滑道从A运动到D的过程中，小车距离x轴的垂直距离为2.5米时，它到出发
点A的水平距离是多少？
（3）现在需要对滑道C﹣D部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架CF，PH，PG．已知这种
材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金．21．（2022秋•丰都县期末）抛实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，
实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出
时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.5m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等
于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．22．（2022秋•建昌县期末）2022年11月，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功，弘扬茶文化，
倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚．某茶商经销某品牌茶，成本为50元/千克，经市场调查发现，
每周的销量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据列表如下：
销售单价x 56 65 75 …
（元/千克）
销量y（千克） 128 110 90 …（1）求y与x的一次函数关系式；
（2）求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值．
23．（2023•锦州二模）近年来国家出台政策要求电动车上牌照，“保安全、戴头盔”出行．某头盔专卖
店购进一批单价为36元的头盔．在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价
x（元/个）（42≤x≤72）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
售价x（元/个） … 50 55 …
月销售量y（个） … 100 90 …
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为 6元的头盔面罩．请问这种头盔的售价定为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少元？
24．（2023•金湖县三模）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元：购
进3件甲商品和4件乙商品，需90元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当12≤x≤18时，甲商品的日销
售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件） 12 18
日销售量y（件） 16 4
请写出当12≤x≤18时，y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，
日销售利润最大？最大利润是多少？
25．（2022秋•新抚区期末）疫情防控常态化，全国人民同心抗疫．某商家决定将一个月获得的利润全部
捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售，
市场调查发现，线下的月销量y（件）与线下售价x（元/件，且12≤x≤16）之间满足一次函数关系，
部分数据如下表：
x（元/件） 12 13 14 15
y（件） 1000 900 800 700
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为600件．当x为何值时，线上和线
下销售月利润总和W达到最大？最大利润是多少？（3）要使（2）中月利润总和W不低于4400元，请直接写出x的取值范围．
26．（2023•嘉鱼县模拟）为巩固扶贫攻坚成果，我县政府督查各部门和单位对口扶贫情况．某单位的帮
扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函
数关系为p＝ ，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和x的取值范围；
（2）求该农产品的销售量有几天不超过60千克？
（3）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）27．（2023•云梦县校级三模）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．
已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每
天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．
（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；
（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？28．（2023•卧龙区二模）如图，在斜坡底部点 O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点 A）的高度
（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷
射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的
直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到
水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点 N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？
29．（2023•竞秀区二模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了
一款大型过山车．如图所示，A→B→C为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一
段抛物线，其中OA＝16.9米，OB＝13米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线A→B→C的函数表达式；
（2）在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E
（接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全
相同，E点坐标为（33，0），求n的值；
（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架 GD、GM、HI、HN，且要求MN＝2OM，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算OM多长时，造价最低？最低造价为
多少元？
30．（2023•利辛县模拟）如图，某小区的景观池中安装一雕塑 OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，
喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的 C ，C ）的部分图象，
1 2
两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线 C 的最高点（顶点）C距离水池面
2
2.5米，且与OA的水平距离为2米．
（1）求抛物线C 的解析式；
2
（2）求抛物线C 与x轴的交点B的坐标；
1
（3）小明同学打算操控微型无人机在C ，C 之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上
1 2
的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．
