文档内容
专题08 二次函数应用（六大类型）
【题型1 运动类（1）落地模型】
【题型2 运动类（2）最值模型】
【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】
【题型5 面积类】
【题型6 拱桥类】
【题型1 运动类（1）落地模型】
1.（2022秋•西岗区校级期末）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度 y
（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数 ，则
小强此次成绩为（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
【答案】B
【解答】解：在函数 中，当y＝0时，﹣ x2+ x+3＝0，
解得x ＝﹣1（舍去），x ＝9，
1 2
即小强此次成绩为9米，
故选：B．
2.（2022秋•呈贡区期末）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所
示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为 ，其中y
是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球的成绩
（即OA的长度）是（ ）A．3m B．5m C．8m D．9m
【答案】C
【解答】解：在y＝﹣ （x﹣3）2+ 中，令y＝0得：
﹣ （x﹣3）2+ ＝0，
解得x ＝8，x ＝﹣2（不符合题意，舍去），
1 2
∴小明此次掷球的成绩（即OA的长度）是8m，
故选：C．
3．（2023•普兰店区一模）在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅
球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数关系式为y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8，则
此运动员的成绩是（ ）
A．10m B．4m C．5m D．9m
【答案】D
【解答】解：由题意可知，把y＝0代入解析式得：
y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8＝0，
解得x ＝9，x ＝﹣1（舍去），
1 2
即该运动员的成绩是9米．
故选：D．
4．（2023•阿城区一模）一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：米）关于
水平距离x（单位：米）的函数解析式是 y＝﹣ x2 x ，则该男生铅球
推出的距离是 1 0 米．
【答案】10．
【解答】解：当y＝0时，﹣ x2 x ＝0，解之得x ＝10，x ＝﹣2（不合题意，舍去），
1 2
所以推铅球的水平距离是10米，
故答案为：10．
5．（2022秋•未央区期末）体育老师将小华实心球训练的录像进行分析，发现
实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+9x+10，
由此可知小华此次实心球训练的成绩为 1 0 米．
【答案】10．
【解答】解：令y＝0，即0＝﹣x2+9x+10，
解得：x ＝10，x ＝﹣1（舍）．
1 2
故小华此次实心球训练的成绩为10米．
故答案为：10．
【题型2 运动类（2）最值模型】
6.（2022秋•越秀区校级期末）一种礼炮的升空高度 h（m）与飞行时间t（s）
的关系式是h＝﹣ t2+8t+2．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火
升空到引爆需要的时间为 6 s．
【答案】6．
【解答】解：h＝﹣ t2+8t+2＝﹣ （t﹣6）2+26，
∵﹣ ＜0
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当t＝6时，升到最高点．
故答案为：6．
7.（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10米/秒，经过t（秒）
时球距离地面的高度 h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地
面所花的时间t（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，
解得：t＝0或t＝2，∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；
故选：D．
8．（2022秋•鄞州区期末）某型号无人机着陆后的滑行距离 y（米）与滑行时
间t（秒）的函数关系式满足y＝﹣ t2+60t，则无人机着陆后滑行的最大距离
是 120 0 米．
【答案】1200．
【解答】解：∵y＝﹣ t2+60t＝﹣ （t﹣40）2+1200，
∴当t＝40时，y有最大值，最大值为1200，
∴无人机着陆后滑行1200m才能停下来，
故答案为：1200．
9．（2022秋•交口县期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平
地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是
抛物线是抛物线y＝﹣x2+6x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是
9 米．
【答案】9．
【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+6x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+6x的顶点坐标的纵坐
标，
∴y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
∴顶点坐标为：（3，9），
∴喷水的最大高度为9米，
故答案为：9．
10．（2022秋•江门校级期末）汽车刹车后行驶的距离 s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣12t2，汽车刹车后到停下来所用的
时间t是（ ）
A．2.5s B．1.5s C．1.25s D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵s＝30t﹣12t2＝﹣12（t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 时，S取得最大值 ，
即汽车刹车后到停下来前进了1.25秒，
故选：C．
11．（2022秋•栖霞市期末）烟花厂某种礼炮的升空高度 h（m）与飞行时间t
（s）间的关系是h＝﹣2t2+20t+1．若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从
点升空到引爆需要的时间为 5 s
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，
∴当t＝5时，礼炮升到最高点．
故答案为：5．
12．（2022秋•黄冈期末）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离 s（m）
与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，
则汽车最多要滑行 4 5 m，才能停下来．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意，该函数关系式化简为s＝﹣5（t﹣3）2+45，
当t＝3时，汽车停下来，滑行了45m．
故滑行的时间为3秒，最大的滑行距离45m．
故答案为45．
【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】
13．（2023•鲁甸县二模）某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：
该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售
量y的部分对应值如表：
售价x/（元/件） 30 45 50
月销售是y/件 300 150 100（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若该商品的进价为24元，当售价是多少元时，月销售利润W（元）最
大？并求出最大利润．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）]
【答案】（1）y＝﹣10x+600；
（2）当该商品的售价是42元/件时，月销售利润最大，最大利润是3240元．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意，
得 ，
解得 ，
∴y＝﹣10x+600；
（2）设当该商品的售价是x元/件时，月销售利润为W元，
根据题意，得W＝y（x﹣24）＝（x﹣24）（﹣10x+600）
＝﹣10x2+840x﹣14400
＝﹣10（x﹣42）2+3240，
∴当x＝42时W有最大值，最大值为3240．
答：当该商品的售价是42元/件时，月销售利润最大，最大利润是3240元．
14．（2023•安庆二模）“龙池香尖”是怀宁县一款中国国家地理标志产品，素
有：“扬子江心水，蒙山顶上茶”的美誉．某茶庄以600元/kg的价格收购一
批龙池香尖，为保护消费者的合法权益，物价部门规定每千克茶叶的利润不
低于0元，且不超过进价的60%，经过试销发现，日销量y（kg）与销售单
价x（元/kg）满足一次函数关系，部分数据统计如表：
x（元/kg） 700 900 …
y（kg） 90 70 …
（1）根据表格提供的数据，求出y关于x的函数关系式．
（2）在销售过程中，每日还需支付其他费用9000元，当销售单价为多少时，
该茶庄日利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1） （600≤x≤960）；
（2）当销售单价是960元时，该茶庄利润最大，最大利润为14040元．【解答】解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
把（700，90）和（900，70）代入得，
，
解得 ，
，
∵600×（1+60%）＝960（元/kg），
∴y关于x的函数关系式 （600≤x≤960）；
（2）根据题意，设茶庄日利润为W，
W＝（x﹣600）y﹣9000，
＝
＝ ，
＝ ，
∵ ，600≤x≤960，
∴x＝960时，W最大，最大值为 （元），
答：当销售单价是960元时，该茶庄利润最大，最大利润为14040元．
15．（2023•天山区校级二模）某商场销售每件进价为 50元的一种商品，物价
部门规定每件售价不得高于80元，经市场调查，发现每月的销售量y（件）
与每件的售价x（元）满足y＝﹣2x+240．
（1）商场每月想从这种商品销售中获利2250元，该如何给这种商品定价？
（2）请问售价定为多少元时可获得月最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）商场每月想从这种商品销售中获利2250元，此时这种商品的
定价为75元；
（2）售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元．
【解答】解：（1）由题意可得，（x﹣50）（﹣2x+240）＝2250，
解得x ＝75，x ＝95（不符题意，舍去），
1 2
答：商场每月想从这种商品销售中获利2250元，此时这种商品的定价为75
元；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（x﹣50）（﹣2x+240）＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∴当x＜85时，w随x的增大而增大，
∵物价部门规定每件售价不得高于80元，
∴x≤80，
∴当x＝80时，w取得最大值，此时w＝2400，
答：售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元．
16.（2023•禹会区模拟）某公司经销一种商品，每千克成本为 50元．市场调查
发现，在一段时间内，销售量 y（千克）随销售价x（元/千克）的变化而变
化，具体关系式为 y＝﹣2x+240．设这种商品在这段时间内的销售利润为 w
（元），请解答下列问题：
（1）求销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的关系式．
（2）如果物价部门规定这种商品的销售价不得高于90元/千克，该公司想要
在这段时间内获得2250元的销售利润，那么应将销售价定为多少？
（3）当销售价x取何值时，销售利润w的值最大？最大值为多少？
【答案】（1）w＝﹣2x2+340x﹣12000；
（2）应将销售价定为75元/千克；
（3）当销售单价x＝85时，销售利润w的值最大，最大值为2450元．
【解答】解：（1）根据题意，得w＝（x﹣50）⋅y＝（x﹣50）（﹣2x+240）
＝﹣2x2+340x﹣12000；
∴w与x之间的关系式为w＝﹣2x2+340x﹣12000；
（2）当w＝2520时，﹣2x2+340x﹣12000＝2250，
解得：x ＝75，x ＝95，
1 2
∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，
∴x＝75，
∴应将销售价定为75元/千克；（3）w＝﹣2x2+340x﹣12000＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴当销售单价x＝85时，销售利润w的值最大，最大值为2450元．
17.（2022秋•莱州市期末）望谟火龙果是望谟县的特产之一，为铺开销售渠道，
当地政府引导果农进行网络销售．在试销售期间发现，该种火龙果的月销售
量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元）成一次函数关系，函数图象如
图所示，已知该种火龙果的销售成本为5元/千克．
（1）求y关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）求销售该种火龙果每月可获得的最大利润；
（3）在销售过程中发现，该种火龙果每千克还需要支付1元的保鲜成本，若
月销售量y与销售单价x保持（1）中的函数关系不变，当该种火龙果的月销
售利润是105000元时，在最大限度减少库存的条件下，求x的值．
【答案】（1）y与x的函数解析式是y＝﹣20000x+220000；（2）最大利润
是180000元；（3）在最大限度减少库存的条件下，x＝7.5．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得， ，
解得 ，
即y与x的函数解析式是y＝﹣20000x+220000；
（2）设销售火龙果的月利润为W元，由题意可得，
W＝（x﹣5）（﹣20000x+220000）
＝﹣20000x2+320000x﹣1100000＝﹣20000（x﹣8）2+180000，
∵﹣20000＜0，
∴当x＝8时，W最大是180000，
∴最大利润是180000元；
（3）由题意得，（x﹣5﹣1）（﹣20000x+220000）＝105000，
解得x ＝7.5，x ＝9.5．
1 2
∵单价最低销量最大，
∴在最大限度减少库存的条件下，x＝7.5．
18．（2023•东莞市校级一模）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是
20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量 y（个）与销售单价x（元）之
间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售
单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能
使每天的销售利润最大？
【答案】（1）y＝﹣10x+540；
（2）当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大．
【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得： ，
解得： ，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣
37）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大．
19．（2023•青州市二模）某超市购进了一种商品，进价为每件 8元，销售过程
中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在某种函数
关系（其中8≤x≤15，且x为整数），且当x＝8时，y＝110；当x＝10时，y＝100；当x＝12时，y＝90；…，设超市销售这种消毒用品每天获利为 w
（元）．
（1）请判断y与x符合哪种函数关系，并求y与x的函数表达式；
（2）若该商店销售这种商品每天获润480元，则每件商品的售价为多少元；
（3）当每件商品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多
少元？
【答案】（1）y与x符合一次函数关系，y＝﹣5x+150．
（2）每件商品的售价为14元．
（3）当每件商品的售价为 15元时，每天的销售利润最大，最大利润是 525
元．
【解答】解：（1）y与x符合一次函数关系，
设y与x的函数表达式为y＝kx+b（8≤x≤15），
将（8，110），（10，100）代入得， ，
解得， ，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣5x+150．
（2）由题意得：
（x﹣8）（﹣5x+150）＝480，
解得，x ＝14，x ＝24（不合题意，舍去），
1 2
答：该商店销售这种商品每天获润480元，则每件商品的售价为14元．
（3）设利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣8）（﹣5x+150）
＝﹣5（x﹣19）2+605（8≤x≤15），
∵﹣5＜0，
∴当8≤x≤15时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w ＝﹣5×（15﹣19）2+605＝525，
最大值
答：当每件商品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】
20．（2023•黄冈二模）某商品市场销售抢手，其进价为每件 80元，售价为每
件130元，每个月可卖出 500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上
涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是
多少元？
（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为41800元？根据以上结论，
请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于41800元？
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值
范围为0＜x≤110，且x为正整数；
（2）每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是
45000元；
（3）每件商品的涨价为 60 元时，每个月的利润恰为 41800 元；当
60≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．
【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销
售利润为y元，由题意得：
y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）
＝﹣2x2+400x+25000，
∵每件售价不能高于240元，
∴130+x≤240，
∴x≤110，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜
x≤110，且x为正整数；
（2）∵y＝﹣2x2+400x+25000
＝﹣2（x﹣100）2+45000，
∴当x＝100时，y有最大值45000元．
∴每件商品的涨价 100 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是
45000元；
（3）令y＝41800，得：﹣2x2+400x+25000＝41800，
解得：x ＝60，x ＝140，
1 2
∵0＜x≤110，∴x＝60，即每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；
由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当60≤x≤110，且x为正整数时，
每个月的利润不低于41800元．
∴每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；当60≤x≤110，
且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．
21.（2023•坪山区一模）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特
产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销
售．已知苹果的成本价为 6元/千克，如果按 10元/千克销售，每天可卖出
160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多
少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
【答案】（1）售价为11元；
（2）售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
【解答】解：（1）设每千克售价x元时，所得日均总利润为700元，
由题意可得：（x﹣6）[160﹣20×（x﹣10）]＝700，
解得x ＝11，x ＝13，
1 2
当x ＝11时，160﹣20×（x﹣10）＝160﹣20×（11﹣10）＝140，
1
当x ＝13时，160﹣20×（x﹣10）＝160﹣20×（13﹣10）＝100，
2
∵为了尽快减少库存，
∴售价为11元；
（2）解：设利润为W元，
由题意可得：W＝（x﹣6）[160﹣20（x﹣10）]＝（x﹣6）（360﹣20x）＝﹣
20x2+480x﹣2160，
∵﹣20＜0，
∴当 时，利润W取得最大值，此时W＝720，
答：售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
22．（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区
的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，
根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；
若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家计划在2023年春节
期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？
【答案】（1）y＝﹣30x+1050；（2）x＝20时，能让店家获得最大利润额，
最大利润额为6750元．
【解答】解：（1）由题意得：y＝300+30（25﹣x）＝﹣30x+1050；
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+1050；
（2）设最大利润额为W，
由题意得：W＝（x﹣5）（﹣30x+1050）
＝﹣30x2+1200x﹣5250
＝﹣30（x﹣20）2+6750，
∴x＝20时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．
答：x＝20时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．
23.（2023•宿城区校级开学）某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20元，
试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价
每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x
（元）之间的函数关系式．
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多
少？
【答案】（1）w＝﹣10x2+700x﹣10000（25≤x≤50）；（2）商场要每天获
得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；（3）当单价为35元时，
该文具每天的利润最大，最大利润为2250元．
【解答】解：（1）w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000，∵﹣10x+500≥0，
∴x≤50，
∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（25≤x≤50）；
（2）当w＝2000时，
得﹣10x2+700x﹣10000＝2000，
解得：x ＝30，x ＝40，
1 2
∴销售单价应定为30元或40元，
答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；
（3）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，w ＝2250，
max
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元，
答：当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元．
24．（2022•都安县校级二模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音
上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每
天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量
增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少
元？
（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）50元；
（2）每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润450元．
【解答】解：（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）
元，日销售量为20+ ×10＝（140﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x ＝50，x ＝60（不合题意，舍去）．
1 2
答：每件售价应定为50元；（2）（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
x2﹣110x+3000＝0，
（x﹣55）2﹣3025+3000＝0，
（x﹣55）2＝25，
每件售价定为55元时，每件的销售利润为55﹣40＝15（元），日销售利润
＝15×（140﹣2×55）＝450（元）．
25．（2022秋•和平区校级期末）某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价 40
元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单
价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10
个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；
（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润 w
元最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+740；
（2）当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；
（3）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w
元最大，最大利润是2640元．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝300﹣（x﹣44）×10＝﹣10x+740，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x+740；
（2）由题意可得，
（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，
解得x ＝50，x ＝64（不合题意，舍去），
1 2
答：当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w取得最大值，此时w＝2640，
答：将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
26．（2023•昭阳区模拟）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价 100元，
销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库
存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价 1元，平均每天可多售出 2套．
设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大
利润为多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x2+20x+400；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为120元；
（3）当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为
1250元．
【解答】解：（1）由题意可得：销售量＝（20+2x）套，
则y＝（20+2x）（140﹣x﹣100）
＝（2x+20）（40﹣x）
＝﹣2x2+60x+800，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x2+60x+800；
（2）由题意可得：当y＝1200时，即﹣2x2+60x+800＝1200，
解得：x ＝10（舍去），x ＝20，
1 2
∴140﹣20＝120（元），
答：若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为120元；
（3）由（1）可知：y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
此时，售价＝140﹣15＝125（元），
答：当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为
1250元．
【题型5 面积类】
27．（2022秋•仙游县期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设矩形花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）当花圃的面积为54m2时，求AB的长；
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
【答案】（1）S＝﹣2x2+24x，7≤x＜12；（2）9；（3）x＝7m，最大面积＝
70m2．
【解答】解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣2x），
即所求的函数解析式为：S＝﹣2x2+24x，
又∵0＜24﹣2x≤10，
∴7≤x＜12；
（2）由S＝54得，
﹣2x2+24x＝54，
整理，得
x2﹣12x+27＝0，
解得x ＝9，x ＝3，
1 2
∵7≤x＜12，
∴x＝9，
∴AB＝9；
（3）S＝24x﹣2x2＝﹣2（x﹣6）2+72，
∵﹣2＜0，
当7≤x＜12，S随x的增大而减小，
∴x＝7m，最大面积＝70m2．
28.（2023•高明区二模）如图，计划利用长为 a米的篱笆，再借助外墙围成一
个矩形栅栏．设矩形ABCD的边AB长为x米，面积为y平方米．
（1）若a＝80，墙长为50米，求出y与x之间的关系，并指出x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，矩形ABCD的面积能达到800平方米吗？说明理由；
（3）当x与a满足什么关系时，栅栏围出的面积最大？最大值是多少？【答案】（1）y与x之间的关系为y＝﹣2x2+80x （15≤x＜40）；
（2）能，当x＝20米时，矩形ABCD的面积为800平方米；
（3）当x＝ 时，栅栏围出的面积最大，最大面积为 平方米．
【解答】解：（1）当a＝80时，根据题意知AB＝x米，BC＝（80﹣2x）米，
∴y＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，
又∵x＞0，0＜80﹣2x≤50，
解得15≤x＜40，
∴y与x之间的关系为y＝﹣2x2+80x （15≤x＜40）；
（2）能，理由：
令y＝800，则﹣2x2+80x＝800，
解得x ＝x ＝20，
1 2
又∵15≤x＜40，
∴当x＝20米时，矩形ABCD的面积为800平方米；
（3）根据题意得：y＝x（a﹣2x）＝﹣2x2+ax＝﹣2（x﹣ ）2+ ，
∵﹣2＜0，
∴当x＝ 时，y有最大值，最大值为 ，
∴当x＝ 时，栅栏围出的面积最大，最大面积为 平方米．
29．（2023•武汉模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计
划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其
中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是 10m．
A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉 A的种植
面积是 （ x 2 ﹣ 6 0 x +800 ） m2，花卉 B 的种植面积是 （﹣ x 2 +3 0 x ）
m2，花卉C的种植面积是 （﹣ x 2 +2 0 x ） m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的
总产值之和的最大值．
【答案】（1）（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）10m；
（3）168000元．
【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2，
花卉B的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2，
花卉C的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2，
故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）
百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），
∴x2﹣42x+320＝0，
解方程得x＝32（舍去）或x＝10，
∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）∵花卉 A 与 B 的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，
∴﹣30x+800≤560，
∴x≥8，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），
∴y＝﹣5x2+50x+1600，
∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，
∴当x≥8时，y随x的增加而减小，
∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
【题型6 拱桥类】
30．（2023•工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离
水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为 6
米．（结果保留根号）
【答案】6 ．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：则抛物线顶点的坐标为（0，3），
设抛物线的解析式为y＝ax2+3，
将A点坐标（﹣3，0）代入，
可得：0＝9a+3，
解得：a＝﹣ ，
故抛物线的解析式为y＝﹣ x2+3，
将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣ x2+3，
解得：x＝±3 ，
所以水面宽度为6 米，
故答案为：6 ．
31．（2022秋•江岸区校级期末）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），
桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱
MN的高度为 3. 5 米．
【答案】3.5．
【解答】解：建直角坐标系，如图：
根据题目条件，A、B、C 的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y＝ax2+c，得：
，解得：a＝﹣ ，c＝6．
∴抛物线的表达式是y＝﹣ x2+6（﹣10≤x≤10）；
在y＝﹣ x2+6（﹣10≤x≤10）中，令x＝5得y＝﹣ ×52+6＝4.5，
∴支柱MN的长度是8﹣4.5＝3.5（米）；
故答案为：3.5．
32.（2023•阎良区一模）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小
相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．
如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥
面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建
立平面直角坐标系．
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
【答案】（1）桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y＝﹣0.01x2+0.6x；
（2）桥拱最高点到水面的距离是16米．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
由题意可得，点B（﹣10，﹣7），顶点的横坐标为30，
∴ ，解得 ，
即桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y＝﹣0.01x2+0.6x；
（2）∵y＝﹣0.01x2+0.6x＝﹣0.01（x﹣30）2+9，
∴当x＝30时，y取得最大值9，
∵9+7＝16（米），
∴桥拱最高点到水面的距离是16米．
33．（2023•阎良区一模）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大
小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建
筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度 OA＝60米，在水面的跨度
BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，
OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
【答案】（1）桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y＝﹣0.01x2+0.6x；
（2）桥拱最高点到水面的距离是16米．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
由题意可得，点B（﹣10，﹣7），顶点的横坐标为30，
∴ ，
解得 ，
即桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y＝﹣0.01x2+0.6x；
（2）∵y＝﹣0.01x2+0.6x＝﹣0.01（x﹣30）2+9，∴当x＝30时，y取得最大值9，
∵9+7＝16（米），
∴桥拱最高点到水面的距离是16米．
34．（2023•信阳二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南
路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想
把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽 AB为16cm，入口最高处OC
为12.8米．
（1）求抛物线解析式；
（2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，
将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；
（3）双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？
【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣0.2x2+12.8；
（2）抛物线解析式为y＝﹣0.2x2﹣0.8x+9；
（3）（2）中的建议不符合要求．
【解答】解：（1）由图知，此抛物线对称轴为 y 轴，顶点坐标 C（0，
12.8），A（﹣8，0），
故设抛物线解析式为 y＝ax2+12.8，
把A点坐标代入解析式得：64a+12.8＝0，
解得a＝﹣0.2，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.2x2+12.8；
（2）由题意可知，抛物线向左平移2m，向下平移使最高点降为9.8m，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.2（x+2）2+9.8＝﹣0.2x2﹣0.8x+9；
（3）（2）中的建议不符合要求，理由：
令y＝﹣0.2x2﹣0.8x+9中的y＝0，
则﹣0.2x2﹣0.8x+9＝0，
整理得x2+4x﹣45＝0，
解得x ＝5，x ＝﹣9，
1 2∴|x ﹣x |＝9+5＝14，
2 1
∵14＜15，
∴（2）中的建议不符合要求．
35．（2023•新城区校级二模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如
图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高
点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x
轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中 x（m）是桥拱截面上
一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船
正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳
棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【答案】（1）此桥拱截面所在抛物线的表达式为 ；
（2）此船不能通过桥洞．理由见解析．
【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6，
把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，
解得 ，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为 ；
（2）此船不能通过，理由：
当y＝2+3＝5时， ，
解得x＝5或x＝15，∵15﹣5＝10＜12，
∴此船不能通过桥洞．
36．（2023•西华县三模）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使
用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射
战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩
洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是
一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．以点O为坐标原点，
建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）此时，葡萄牙队的守门员在球门前方距离球门线1米处，原地起跳后双
手能达到的最大高度为2.8米，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，那么他能
否在空中截住这次吊射？请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）能，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意可得，足球距离点 O（30﹣14）＝16米时，足球
达到最大高度8米，
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣16）2+8，
把（0，0）代入解析式得：0＝a（0﹣16）2+8，
解得： ，
故抛物线解析式为： ，
（2）由（1）知抛物线的解析式为 ，
∵守门员在球门前方距离球门线1米处，∴x＝30﹣1＝29（米），
当x＝29时， ，
∵
∴葡萄牙队的守门员能在空中截住这次吊射．
37．（2023•宝安区三模）如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面 1米高的
P处大力开球，一运动员在离守门员 6米的A处发现球在自己头上的正上方
距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在
空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形
状相同，最大高度为1米．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点 B与
守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点
O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）
【答案】（1）y＝﹣ （x﹣6）2+4，第一次落地点 B与守门员（点O）的
距离为4 +6；
（2）8 米．
【解答】解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式为y＝a
（x﹣6）2+4，
∵点（0，1）在该函数图象上，
∴a（0﹣6）2+4＝1，
解得a＝﹣ ，即足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式为y＝﹣ （x﹣6）2+4，
当y＝0时，0＝﹣ （x﹣6）2+4，
解得x ＝4 +6，x ＝﹣4 +6（不符合题意，舍去），
1 2
∴第一次落地点B与守门员（点O）的距离为4 +6；
（2）将y＝3代入y＝﹣ （x﹣6）2+4，得x ＝2 +6，x ＝﹣2 +6，
3 4
∴BC＝（2 +6）﹣（﹣2 +6）＝4 ，
∴AC＝AB+BC＝（4 +6﹣6）+4 ＝8 ，
即他应再向前跑8 米．
38．（2023•金华三模）如图所示，取某一位置的水平线为x轴，建立了平面坐
标系后，小山坡AB可以近似看成抛物线l ：y＝ ．小明在离A
1
点3m的楼顶C抛出一球，其运动轨迹为抛物线 l ：y＝ ，落在山
2
坡的点D处，测得点D离y轴的距离为12m．
（1）求点D的坐标；
（2）求小球飞行过程中，离山坡的最大高度．
【答案】（1）D的坐标是（12，3）；
（2）小球飞行过程中，离山坡的最大高度是 m．【解答】解：（1）∵点D离y轴的距离为12m，
∴x ＝12，
D
在y＝ 中，令x＝12得：
y＝﹣ ×122+ ×12+1＝3，
∴D的坐标是（12，3）；
（2）在y＝ 中，令x＝0得y＝1，
∴A（0，1），
∴OA＝1，
∵AC＝3，
∴OC＝4，
∴C（0，4），
把C（0，4），D（12，3）代入y＝ 得：
，
解得 ，
∴抛物线l 解析式为y＝﹣ x2+ x+4；
2
∵﹣ x2+ x+4﹣（﹣ x2+ x+1）＝﹣ x2+ x+3＝﹣ （x﹣3）2+ ，
∴当x＝3时，小球离山坡的最大高度是 m．
