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专题10 一次函数实际应用汇编（四大题型）
重难点题型归纳
【题型1：分配方案问题】
【题型2：最大利润问题】
【题型3：行程问题】
【题型4：情景问题】
【题型1：分配方案问题】
1．灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是
生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的
标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商
店所需费用为y 元，且y =7x+100；乙商店所需费用为y 元．
1 1 2
甲商店 乙商店
购买一张会员卡， 不购买会员卡，
享受会员价， 每个灯彩可按标价的九折
每个灯彩可按标价的七折 卖．
卖；
(1)甲商店一张会员卡的价格为______元；
(2)求y 的函数表达式；
2
(3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由．
【答案】(1)100
(2)y =9x
2
(3)选乙商店比较合算，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键．
（1）代入x=0到y =7x+100，得到相应y 的值，即可得出甲商店一张会员卡的价格；
1 1（2）根据乙商店的售卖方式，即可求出y 的函数表达式；
2
（3）分别代入x=40到y =7x+100和y =9x，比较相应y 与y 的大小，即可得出结
1 2 1 2
论．
【详解】（1）解：由题意得，y =7x+100，
1
∴当x=0时，y =100，
1
即甲商店一张会员卡的价格为100元．
故答案为：100．
（2）依照乙商店的售卖方式可得：y =10×0.9x=9x，
2
∴y 的函数表达式为y =9x．
2 2
（3）选乙商店比较合算，理由如下：
代入x=40，则y =7x+100=7×40+100=380；
1
代入x=40，则y =9x=9×40=360；
2
∵380>360，
∴选乙商店比较合算．
2．峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会
针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经
销商可以1600元/kg的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可
以1800元/kg的价格购买．某竹叶青二级经销商此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶
叶的总费用为y 元，按方式二购买茶叶的总费用为y 元．
1 2
(1)请直接写出y ，y 关于x的函数解析式；
1 2
(2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商
此次购买茶叶的质量；
(3)此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶
叶？
【答案】(1)y =1600x+5000,y =1800x+2000
1 2
(2)15kg
(3)按方式一购买可以获得更多的茶叶
【分析】本题考查的是列函数关系式，一次函数的应用，理解题意，确定函数关系式与
相等关系建立方程是解本题的关键．
（1）根据两种方式分别求出购买茶叶的总费用即可；
（2）令y = y 求解即可；
1 2（3）令两种总费用为65000元，分别求出购买茶叶质量，再比较大小即可．
【详解】（1）解：根据题意，得y =1600x+5000,y =1800x+2000；
1 2
（2）解：当y = y 时，1600x+5000=1800x+2000，
1 2
解得：x=15，
∴若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，该二级经销商此次
购买茶叶的质量为15kg；
（3）解：当y =65000时，即1600x+5000=65000，
1
解得：x=37.5，
当y =65000时，即1800x+2000=65000，
2
解得：x=35，
∵37.5>35，
∴按方式一购买可以获得更多的茶叶．
3．为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、
严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因
而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和
公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约700人，经过研究，学校决定
租用A、B两种型号共30辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供
给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载
该校师生的人数）
型
载客量 租金单价
号
A 34人/辆 850元/辆
B 19人/辆 500元/辆
(1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式及自变量x的取值
范围；
(2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用．
2
【答案】(1)y=350x+15000（8 ≤x≤30，且x为整数）
3
(2)当租用A型号客车9辆，B型号客车21辆时，租车费用最低，最低费用为18150元
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次一不等式组，根据题意列出函数关系
式以及熟练掌握一次函数增减性是解题的关键，{ x≥0 )
（1）根据题意，可得函数关系式，根据 30−x≥0 ，即可求自变量取值
34x+19(30−x)≥700
范围；
（2）在自变量取值范围内根据一次函数增减性即可求出最低费用及其方案．
【详解】（1）解：设租用A型号客车x辆，则租用B型号客车(30−x)辆，
由题意得：y=850x+500(30−x)=350x+15000，
即y与x的函数解析式为：y=350x+15000，
{ x≥0 ) 2
由题意得： 30−x≥0 ，解得：8 ≤x≤30，
3
34x+19(30−x)≥700
2
即自变量x的取值范围为8 ≤x≤30，且x为整数；
3
2
（2）解：由（1）得：费用为y=350x+15000（8 ≤x≤30，且x为整数）
3
∵k=350>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=9时，费用y最小，
最低为y=350×9+15000=18150（元），
答：当租用A型号客车9辆，B型号客车21辆时，租车费用最低，最低费用18150元．
4．为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以
租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数
一样多．
(1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？
(2)已知该年级共有600名学生．
①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？
②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？
【答案】(1)A、B两种客车分别坐45，30人
(2)①7种方案，见解析；②租车最少花费2060元
【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列
出方程和方程组解决问题．{2a+2b=150)
（1）设A、B分别坐a、b人，可得 ，即可解得A、B两种客车分别坐
2a=3b
45，30人；
600−45x 3x
（2）①设租用A客车x辆，则B需： =(20− )辆， 求出正整数x的值
30 2
即可；②根据花费：W =−45x+2600．根据一次函数的性质可得结论
【详解】（1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人．
{2a+2b=150)
，
2a=3b
{a=45)
解得 ，
b=30
∴A、B两种客车分别坐45，30人．
600−45x 3x
（2）①设租用A客车x辆，则B需： =(20− )辆
30 2
3x
∵x为正整数且20− 为正整数，
2
∴x=0，2，4，6，8，10，12．
故一共有7种方案：
0辆A客车和20辆B客车；
2辆A客车和17辆B客车；
4辆A客车和14辆B客车；
6辆A客车和11辆B客车；
8辆A客车和8辆B客车；
10辆A客车和5辆B客车；
12辆A客车和2辆B客车；
3x
②花费：W =150x+130×(20− )=−45x+2600．
2
∵−5<0，W随x增大而减小．
故当x=12时，W =−45×12+2600=2060元．
min
答：租车最少花费2060元．
5．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A
地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运
往A地的有x台设备（x为整数）．A地 B地
甲厂 7 10
乙厂 10 15
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，
乙厂运往B地__________台．
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
【答案】(1)(60−x)，(70−x)，(x−30)
(2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费
用为91000元．
【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意、根据已知列出函数关系式、掌握并
能运用一次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题目中的数量关系列代数式即可；
（2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数
增减性求解即可．
【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地(60−x)台；乙厂运
往A地(70−x)台；乙厂运往B地40−(70−x)=(x−30)台．
故答案为：(60−x)，(70−x)，(x−30)．
（2）解：设运输费为y百元，依题意得：
y=7x+10(60−x)+10(70−x)+15(x−30)=2x+850，
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小，
∵60−x≥0；70−x≥0；x−30≥0
∴30≤x≤60．
∴当x=30时，y=2×30+850=910，即y有最小值910．
∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费
用为91000元．
6．从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大、小货车共15辆，则恰好能一次性运
完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、
B两村的运费如下表：
目的地车型 A村（元/辆） B村（元/辆）大货车 800 900
小货车 400 600
(1)这15辆车中，大、小货车各多少辆？
(2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为m辆，
前往A、B两村总费用为W元，试求出W与m的函数解析式，并写出自变量m的取值
范围．
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用7辆；
(2)W =100m+9400（3≤m≤8且m为整数）
【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应
用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．
（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，
列方程组求解；
（2）设前往A村的大货车为m辆，则前往B村的大货车为(8−m)辆，前往A村的小货
车为(10−m)辆，前往B村的小货车为[7−(10−m)]辆，根据表格所给运费，求出求
出W与m的函数解析式，列不等式组求出m的取值范围即可；
【详解】（1）解：设大货车a辆，小货车b辆，
{ a+b=15 )
根据题意得： ，
12a+8b=152
{a=8)
解得： ，
b=7
∴大货车用8辆，小货车用7辆；
（2）解：设前往A村的大货车为m辆，则前往B村的大货车为(8−m)辆，前往A村的
小货车为(10−m)辆，前往B村的小货车为[7−(10−m)]辆，
根据题意得：
W =800m+900(8−m)+400(10−m)+600[7−(10−m)]=100m+9400，
∴W与m的函数解析式为W =100m+9400，
{ 10−m≥0 )
由题意可得， 8−m≥0 且m为整数，
7−(10−m)≥0
解得3≤m≤8且m为整数，
∴W =100m+9400（3≤m≤8且m为整数）7．鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场日交易鲜花达500至600万枝，成为
全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上荣
获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．某位游客来昆明旅游，购买了鲜
花饼、火腿月饼，火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，用63元购买火腿月饼的数
量和用42元购买鲜花饼的数量相同．
(1)求鲜花饼和火腿月饼的单价各是多少元？
(2)根据实际情况，这位游客需一次性购买鲜花饼和火腿月饼共80个，且要求火腿月饼
1
数量不低于鲜花饼数量的 ，应怎样购买，费用最少为多少元？
3
【答案】(1)鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元；
(2)这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解
题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，
正确列出函数解析式．
（1）设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是(x+3)元，根据题意列出分式方程
求解即可；
（2）设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼(80−m)个，购买总费用为w元，
根据题意列出函数关系式，再由题意确定不等式得出m≤60，根据一次函数的基本性质
求解即可．
【详解】（1）解：设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是(x+3)元，
42 63
根据题意，得 = ，
x x+3
解得x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
∴x+3=9，
答：鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元；
（2）解：设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼(80−m)个，购买总费用为w
元，
则w=6m+9(80−m)=−3m+720，
1
∵购买火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的 ，
31
∴80−m≥ m，
3
解得m≤60，
∵k=−3<0，
∴当m=60时，w有最小值为−3×60+720=540，
此时80−m=20，
答：这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元．
8．为了全面开展校园足球，学校决定购买甲、乙两种型号的足球，体育用品商店甲型号足
球售价为60元/个，乙型号足球购买x个与需要付款y元之间的函数图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)学校准备购买甲、乙两种型号的足球共60个，其中乙型号足球a个，且20≤a≤40，
学校付款总金额为w元，学校如何分配购买甲、乙两种型号足球的数量，才能使付款总
金额w最小，最小值是多少？
【答案】(1)当050时，y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，
但又不超过60千克．
①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水
果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量x的取值范围．
【答案】(1)y=¿(2)①购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w (元)
最少 ②5050时, 设y=kx+b，
{50k+b=1500) {k=24
)
根据题意得 解得 ，
70k+b=1980 b=300
∴y=24x+300，
∴y=¿；
（2）①设购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果(100−x)千克
∴40≤x≤60，
当40≤x≤50时,
w =30x+25(100−x)=5x+2500，
1
当x=40时. w =2700元；
小
当502700
∴当x=40时, 总费用最少, 最少总费用为2700元此时乙种水果100−40=60(千克)，
答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w (元)
最少．
②当40≤x≤50时,(41−30)x>(36−25)(100−x)，解得x>50，不符合题意；
当50(36−25)(100−x)，解得：x>50，
∴甲种水果购进量的取值范围为：500，
∴y随x的增大而增大；
（2）解：∵总费用4000元的限额内，
∴120x+2800≤4000，
解得：x≤10，
∵租用10辆汽车送400名师生集体外出活动，
∴45x+30(10−x)≥400，
2
解得：x≥6 ，
3
又∵应避免空车，
∴45x<400，
8
解得：x<8 ，
9
2 8
∴6 ≤x<8 ，
3 9
∵x为正整数，
∴x=7，则10−x=3，
或x=8，则10−x=2，
∴有“租用7辆甲种客车和3辆乙种客车”或“租用8辆甲种客车和2辆乙种客车”两种
租车方案，
∵y随x的增大而增大，7<8，
∴“租用7辆甲种客车和3辆乙种客车”租车费用最少，
答：有“租用7辆甲种客车和3辆乙种客车”或“租用8辆甲种客车和2辆乙种客车”两
种租车方案，“租用7辆甲种客车和3辆乙种客车”租车费用最少．
12．“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下：方案 促销方案
方案 所有服装全场六折
一
方案 “满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买200元服装，
二 赠200元购物券）
方案 “满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200元服装，只需
三 付100元）
（注：一人只能选择一种方案）
(1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若
按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同．
①求裤子的标价；
②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由；
(2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价y（元）可以看成标价x（元）的函
数，请你写出，当00.6x，
∴ 用方案一购买更合算；
当100≤x<200时，方案一购买需花费0.6x元，方案三需花费(x−50)元，
当0.6x=x−50时，解得x=125，
∴当100≤x<125时，用方案三购买更合算；
当x=125时，两种方案购买花费一样多；
当1250，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=60时，w取得最大值，最大值为4×60+600=840，此时100−60=40，
∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，购进乙种水果40件，最大利润为840
元．
16．深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销
售部现有A和B两种配件，它们的进价和售价如表．用17600元可购进A产品60件和B
产品25件．(利润=售价−进价)
A种配 B种配
种类
件 件
进价(元/件) a 80
售价(元/件) 300 100
(1)求A种配件进价a的值．
(2)若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，据市场销售分析，B种配件进货
件数不低于A种配件件数的3倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)a的值为260
(2)当购进A种配件75件，B种配件225件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是
7500元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，
理解题意并正确列式是解题关键．
（1）根据“用17600元可购进A产品60件和B产品25件”列方程求解即可；
（2）设购进A种配件x件，则购进B种配件(300−x)件，根据“B种配件进货件数不
低于A种配件件数的3倍”列不等式，得出1≤x≤75（x为正整数），再设两种配件全
部售出后获得的总利润为w元，根据“利润=售价−进价”列函数关系式，根据一次函
数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：依题意得：60a+80×25=17600，
解得：a=260，
答：a的值为260；
（2）设购进A种配件x件，则购进B种配件(300−x)件，
依题意得：300−x≥3x，
解得：x≤75，
∴1≤x≤75(x为正整数)，
设两种配件全部售出后获得的总利润为w元，
∴w=(300−260)x+(100−80)(300−x)=20x+6000，
∵20>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=75时，w取得最大值，最大值为：20×75+6000=7500，
此时300−x=300−75=225，
答：当购进A种配件75件，B种配件225件时，本次销售获得的利润最大，最大利润
是7500元．
17．某校口琴社团准备购买A，B两种型号的口琴，通过市场调研发现：买2支A型口琴和
1支B型口琴共需100元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需110元．
(1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？
(2)若该校口琴社团需购买A，B两种型号的口琴共30支，其中A型口琴不超过16支，
购买口琴的总费用是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)每支A型口琴的价格是30元，每支B型口琴的价格是40元；
(2)购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为1040元；
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及一次函数的利润问题：
（1）设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元，根据费用列方程组
求解即可得到答案；
（2）设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，根据费用等于单价乘以数量
列函数，结合函数的性质求解即可得到答案．
【详解】（1）
解：设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元，
{2x+ y=100)
根据题意得： ，
x+2y=110
{x=30)
解得： ，
y=40
答：每支A型口琴的价格是30元，每支B型口琴的价格是40元；
（2）解：设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，则购买(30−m)支B型
口琴，
根据题意得：w=30m+40(30−m)，
∴w=−10m+1200，
∵−10<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤16，
∴当m=16时，w取得最小值，最小值为−10m+1200=−10×16+1200=1040，
答：购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为1040元．
18．某店准备购进甲、乙两种笔记本进行销售，这两种笔记本的进价和售价如下表所示．
甲
乙种
种
进价/（元/本） 3 5
售价/（元/本） 4.5 7
(1)该店第一次用2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本，求这两种笔记本分别购进
多少本；
(2)某校准备在该店购买这两种笔记本共800本，且乙种笔记本的数量不少于甲种笔记1
本的 ．该店给出了优惠方案：甲种笔记本打九折，乙种笔记本打八折．该校如何购
3
买最省钱？
(3)请判断在（2）的条件下，学校购买笔记本的最省钱方案是不是该店出售笔记本的
利润最大方案，并说明理由．
【答案】(1)甲种笔记本购进550本，乙种笔记本购进250本
(2)该校购买甲种笔记本600本，乙种笔记本200本时最省钱
(3)是，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用
（1）设甲种笔记本购进a本，则乙种笔记本购进(800−a)本，根据“该店第一次用
2900元购进了甲、乙两种笔记本共800本”，列出方程求解即可；
（2）设该校购进甲种笔记本x本，所需费用为y元，则购进乙种笔记本(800−x)本，
根据题意构建一次函数，再列出关于x的不等式得x的取值范围，再根据一次函数的
的性质求最值即可；
（3）设该店销售甲、乙两种笔记本的利润和为W元，得出关于W的一次函数，再利
用一次函数的性质解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲种笔记本购进a本，则乙种笔记本购进(800−a)本，由题意得：
3a+5(800−a)=2900，
解得：a=550，800−a=250，
答：甲种笔记本购进550本，乙种笔记本购进250本；
（2）解：设该校购进甲种笔记本x本，所需费用为y元，则购进乙种笔记本(800−x)
本，
则y=4.5x×0.9+7(800−x)×0.8=−1.55x+4480，
1
由题意得800−x≥ x，
3
解得x≤600，
∵−1.55<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=600时，费用y最少，
即该校购买甲种笔记本600本，乙种笔记本200本时最省钱；
（3）解：学校购买笔记本的最省钱方案是该店出售笔记本的利润最大方案．理由如下：
设该店销售甲、乙两种笔记本的利润和为W元，则：W =(4.5×0.9−3)x+(7×0.8−5)(800−x)=0.45x+480，
∵0.45>0，
∴W随x的增大而增大，
又∵x≤600，
∴当x=600时，利润W最大，
即学校购买笔记本的最省钱方案是该店出售笔记本的利润最大方案．
19．根据以下素材，完成“问题解决”中的任务1和“问题拓广”中的任务2．
怎样知道某文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个
素 某校数学兴趣小组在学习了“分式与分式方程”的内容后进行“综合与实践”
材 活动．
调 1
查
活 素 该数学兴趣小组成员小明同学收集到如下信息：
动 材 ①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元；
2
②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同．
交 小明同学把收集到的信息和组内同学交流后，小刚同学表达了自己的看法，他认为小
流 明同学没有收集到“A、B两种商品具体的购进数量”这一重要信息，没法进行系统
质 研究．
疑
问 任 你对此有何看法？请你根据上述信息，就“该文具店A、B两种商品的进价分
题 务 别是多少元/个”这一问题，提出一个解决该问题的方案，并写出解答的过程．
解 1 （只写出解答的过程即可）
决
问 任 该文具店计划购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商
题 务 品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20
拓 2 元/个．要使这批A、B两种商品全部售完后，该文具店获取的利润最大，应怎
广 样安排A、B两种商品的购进数量？并求出最大利润是多少元？
【答案】任务1：文具店A种商品的进价为20元/个，B种商品的进价为16元/个；任
务2：购进A种商品105个，购进B种商品95个时，最大利润是1010元，
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
任务1：找准等量关系，正确列出分式方程；任务2：找准关系，正确列出一元一次不
等式组．
任务1：设文具店A种商品的进价为x元/个，B种商品的进价为(x−4)元/个，根据
“①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元；②用300元购进A商品的数量与
用240元购进B商品的数量相同”，列出分式方程求解即可；任务2：设购进A种商品a个，购进B种商品(200−a)个，根据“购进A、B两种商品
共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价
为26元/个，B商品的售价为20元/个”，列出不等式组，再求解即可．
【详解】解：任务1：设文具店A种商品的进价为x元/个，B种商品的进价为(x−4)
元/个，
300 240
依题意可得： = ，
x x−4
解得x=20
经检验x=20是方程的解，
∴x−4=16，
答：文具店A种商品的进价为20元/个，B种商品的进价为16元/个；
任务2：设购进A种商品a个，购进B种商品(200−a)个，
由题意得¿，
解得¿，
∴100≤a≤105，
利润为：(26−20)a+(20−16)(200−a)=2a+800，
∵a>0，
∴利润随着a的增大而增大，
∴当a=105时，利润的最大值为1010元，
答：购进A种商品105个，购进B种商品95个时，最大利润是1010元
20．成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化
内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，
现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需
190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元．
(1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格；
(2)小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件(4≤m≤10)，购
买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？
【答案】(1)每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元；
(2)总费用为W与数量m之间的函数关系式为W =30m+400，总费用最少为520元．
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性
和二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意
列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的
价格×购买B款吉祥物数量”写出W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性
和m的取值范围，求出W的最小值即可．
【详解】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元．
{a+3b=190)
根据题意，得 ，
2a+b=180
{a=70)
解得 ．
b=40
答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元；
（2）解：W =70m+40(10−m)=30m+400，
∵30>0，
∴W随m的减小而减小，
∵4≤m≤10，
∴当m=4时，W值最小，W =30×4+400=520．
最小
答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为W =30m+400，总费用最少为520元．
21．【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的
阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放
书籍．
【素材呈现】
素材一：有A, B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多7个；
1
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ．
3
【问题解决】
(1)求出A, B两种书架的单价；(2)设购买A种书架a个，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并写出费用最少
时的购买方案．
【答案】(1)B种书架的单价为1000元，则A种书架的单价为1200元
(2)W =200a+20000，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟
练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键．
（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为1.2x元，依题意得，
18000 8000
− =7，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可；
1.2x x
1
（2）购买a个A种书架，则购买(20−a)个B种书架，由题意知，a≥ (20−a)，可
3
求得a≥5；W =1200a+1000(20−a)=200a+20000，即W =200a+20000，由
200>0，可知当a=5时，w最少，然后作答即可．
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为1.2x元，依题意得．
18000 8000
− =7，
1.2x x
解得：x=1000，
经检验，x=1000是原分式方程的解
∴1.2x=1200元．
答：B种书架的单价为1000元，则A种书架的单价为1200元．
（2）解：购买a个A种书架，则购买(20−a)个B种书架，依题意得．
1
a≥ (20−a)，
3
解得：a≥5．
∵W =1200a+1000(20−a)=200a+20000，
∴W =200a+20000，
∵200>0，W随着a增大而增大，
又∵a≥5，且a正整数，
∴．当a=5时，W有最小值，此时20−a=15．
答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架．
22．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．
已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多40元，用2000元购买航空模型2
的数量是用1800元购买航海模型数量的 ．
3
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“双十二”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模
1
型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的 ，请问分别购买多少个航空和
2
航海模型，学校花费最少？
【答案】(1)航空模型的单价为100元，航海模型的单价为60元；
(2)购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少
【分析】此题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用等知
识．
（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为(x−40)元，，用2000元购买航
2
空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的 ，据此列方程，解方程并检验即可；
3
（2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型(120−m)个，由航空模
1
型数量不少于航海模型数量的 得到m≥40，根据题意得W =20m+7200，根据一次
2
函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为(x−40)元，
2000 1800 2
根据题意得： = × ，
x x−40 3
解得x=100，
经检验，x=100是方程的解，也符合题意，
∴x−40=100−40=60，
∴航空模型的单价为100元，航海模型的单价为60元；
（2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型(120−m)个，
1
∵航空模型数量不少于航海模型数量的 ，
2
1
∴m≥ (120−m)，
2
解得m≥40，
根据题意得：W =100×0．8m+60(120−m)=20m+7200，∵20>0，
∴当m=40时，W取最小值，最小值为20×40+7200=8000，
此时120−m=120−40=80，
∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少。
23．东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据
整理如下：
购买的数量（单位：瓶） 总费用（元）
甲消毒液 乙消毒液
17 13 64
13 17 56
(1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液
的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买
才能使总费用W最少？并求出最少费用．
{x=3)
【答案】(1)
y=1
(2)当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的
应用，解题的关键是：单价与单价和数量的关系，正确列出二元一次方程组；列出w
关于a的函数关系式．
（1）设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，根据题意列二元一
次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再
根据所需资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可
得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的增减性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是x元，每瓶乙消毒液的价格是y元，
{17x+13 y=64)
根据题意得： ，
13x+17 y=56
{x=3)
解这个方程组得：
y=1
（2）根据题意，得W =3a+1×(30−a)=2a+30由已知，得¿，
解得：17.5≤a≤20．
∵a是正整数，
∴a可取18，19，20．
∵2>0，
∴W随a的增大而增大，
∴当a取最小值18，30−a=12时，W取得最小值，
即W =2×18+30=66．
最小
答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元．
【题型3：行程问题】
24．小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地
走去，如图所示，y ，y 分别表示小东、小明离B地的距离（km）与所用时间（h）
1 2
的关系．
(1)试求y ,y 的函数表达式；
1 2
(2)在什么时间范围内，两人至少相距10km？
【答案】(1)y =−6x+30，y =4x；
1 2
(2)在出发后2h内（包括2h）及出发4h后（包括4h），两人至少相距10km．
【分析】本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式，掌握一次函数的图象与实际
问题的联系是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题意得，−6x+30−4x≥10或4x−(−6x+30)≥10，求解即可．
【详解】（1）解：设y =k x+b(k ≠0)，
1 1 1
∵函数y =k x+b的图象经过点(3,12)，(5,0)，
1 1{3k +b=12)
∴ 1 ，
5k +b=0
1
{k =−6)
解得： 1 ，
b=30
∴y 的函数表达式为y =−6x+30，
1 1
直线y 经过原点，设y =k x(k ≠0)，
2 2 2 2
∵函数y =k x的图象经过点(3,12)，
2 2
∴3k =12，
2
解得：k =4，
2
∴y 的函数表达式为y =4x；
2 2
（2）解：由题意得，
−6x+30−4x≥10或4x−(−6x+30)≥10，
解得：x≤2或x≥4，
答：在出发后2h内（包括2h）及出发4h后（包括4h），两人至少相距10km．
25．小明开车去某地旅游，在高速公路上以100千米/小时的速度匀速行驶．已知汽车出发
前油箱有油30L，汽车每小时耗油约8L．当油箱的油少于10L时，汽车就会提醒加油．
小明行驶了2小时后，在加油站加油至50L，油箱内剩余油量关于行驶时间的函数图
象如图所示（加油时间忽略不计）．
(1)小明在加油站加了多少升油？
(2)求图中CD所在直线的函数解析式；
(3)小明加了油后，想在汽车提醒加油之前到达下一加油站，可供选择的有：加油站
P，距离450千米；加油站Q，距离550千米．请通过计算帮小明选择下一加油站．
【答案】(1)小明在加油站加油36L
(2)y=−8x+66
(3)选择450千米远的加油站P【分析】本题考查了一次函数的实际应用，包括根据实际问题计算加油量，求一次函
数解析式以及利用函数解决行程规划问题．解题的关键是理解题目中油量，时间，行
程之间的关系，通过分析这些关系来建立数学模型并求解．
（1）先根据每小时耗油量和行驶时间算出已耗油量，再结合出发前油量和加油后油量
求出加油量．
（2）设出CD所在直线的函数解析式，利用已知点坐标代入求解．
（3）先算出汽车提醒加油时行驶的时间，进而得到行驶路程，与两个加油站距离比较，
选择合适的加油站．
【详解】（1）行驶了2小时后耗油16L，油箱内剩余油量30−16=14L，
50−14=36L，
所以小明在加油站加油36L；
（2）设CD段的函数解析式为y=kx+b，k≠0
∵汽车每小时耗油8L，
∴k=−8，
把(2,50)代入y=−8x+b，
得b=66，
∴CD所在直线图象的解析式为y=−8x+66；
（3）把y=10代入y=−8x+66，
得x=7，
则50L的油行驶5小时后汽车提醒加油，此时行驶了500千米，
∴选择450千米远的加油站P．
26．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段
OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示
轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问
题：(1)求货车的平均速度？
(2)轿车到达乙地时，货车距乙地多少千米？
(3)若BC的解析式为：y=80x−120，则货车行驶多长时间轿车开始行驶？
(4)轿车追上货车时，货车从甲地出发多少小时？
【答案】(1)60千米／小时
(2)30千米
(3)1.5小时
(4)3.9小时
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
（1）根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）根据“甲、乙两地之间的距离-轿车到达乙地时货车距甲地的距离”列式计算即
可；
（3）将y=0代入BC的解析式，求出对应x的值即可；
（4）设货车从甲地出发t小时轿车追上货车，根据“轿车追上货车时两车与甲地的距
离相等”列关于t的方程并求解即可．
300
【详解】（1）解：根据图象信息：货车的速度V = =60（千米／小时）．
货 5
答：货车的平均速度是60千米／小时；
（2）解：Q轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60=270（千米），
可得到货车距乙地的路程为：300−270=30（千米）．
答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米；
（3）解：当y=0时，80x−120=0，
解得：x=1.5，
答：货车行驶1.5小时轿车开始行驶；
（4）解：轿车加速后的速度为(300−80)÷(4.5−2.5)=110（千米／小时）
设货车出发x小时时，轿车追上货车
80+110(x−2.5)=60x
解得：x=3.9
答：轿车追上货车时，货车从甲地出发3.9小时．
27．【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，
某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间t（分钟）的关
系数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 15 40
增加的电量y(%) 0 20 30 80
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e(%)与行驶里s（千
米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 160 200 280
显示电量e(%) 100 60 50 30
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函
数表达式及e关于s的函数表达式．
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若
电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，
且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
1
【答案】（1）y=2t，e=− s+100；（2）电动汽车在服务区充电25分钟
4
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式
是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出行驶300千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电t分钟后增加的电量，
从而计算出充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶
完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，
再根据“充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量−到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量=消耗的电量”列方程，求出t的值即可．
【详解】解：（1）设y关于t的函数表达式为y=k t（k 为常数，且k ≠0），
1 1 1
将t=10，y=20代入y=k t，
1
得10k =20，
1
解得k =2，
1
∴y关于t的函数表达式为y=2t．
设e关于s的函数表达式为e=k s+b（k 、b为常数，且k ≠0），
2 2 2
将s=160，e=60和s=200，e=50分别代入e=k s+b，
2
{160k +b=60)
2
得 ，
200k +b=50
2
{ k =− 1 )
解得 2 4 ，
b=100
1
∴e关于s的函数表达式为e=− s+100．
4
1
（2）当s=300时，e=− ×300+100=25，
4
∴行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25，
充电t分钟后，增加的电量为y=2t，
∴充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为(25+2t)，
若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为
1
− ×(560−300)+100=35，
4
∴行驶完剩余的路程消耗的电量为100−35=65，
∴25+2t−10=65，
∴t=25．
答：电动汽车在服务区充电25分钟．
28．已知甲、乙两地相距150km，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车
从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速
前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离y(km)与两车行驶的时间x(h)之间的函
数图象如图所示．(1)求客车返回时y与x之间的函数关系式；
(2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距100km？
【答案】(1)y=−100x+400
2
(2)
h，2h
3
【分析】本题考查一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键．
（1）求出点C的坐标，再利用待定系数法解答即可求解；
（2）设两车第一次相遇后，再经过ah两车之间相距100km，分两种情况：①客车到
达乙地前两车相距100km；②客车到达乙地后两车相距100km列出方程解答即可求解；
【详解】（1）解：由图象可知，客车从甲地开往乙地的速度为60÷1=60(km/h)，
货车的速度为(150−60)÷1=90(km/h)
客车从甲地开往乙地需要的时间为150÷60=2.5(h)，
∴点C的坐标为(2.5,150)，
设为y=kx+b，把C(2.5,150)、D(4,0)代入得，
{150=2.5k+b)
，
0=4k+b
{k=−100)
解得 ，
b=400
∴客车返回时y与x之间的函数关系式为y=−100x+400；
（2）解：设两车第一次相遇后，再经过ah两车之间相距100km，
①客车到达乙地前两车相距100km，
由题意得，60a+90a=100，
2
解得a= ；
3
( 2)
此时：150−90× 1+ =0，即火车恰好到达终点符合题意，
3
②客车到达乙地后两车相距100km，此时货车已到达甲地，由题意可得，100=−100(a+1)+400，
解得a=2；
2
答：两车第一次相遇后，再经过 h或2h两车之间相距100km．
3
29．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙
两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分
钟）之间的函数关系如图所示．
(1)根据图象信息，学校与图书馆相距_________________米
(2)求A点坐标，并说出A点的实际意义．
(3)求y与t的函数关系式．
(4)当甲乙两人出发多少分钟时，两人之间的距离为300米．
【答案】(1)2400
(2)A(40，1600)，甲乙两人出发40分钟后乙到达学校，此时两人相距1600米
{−100t+2400(0≤t≤24)
)
(3) y= 100t−2400(240，
∴w随a的增大而增大，
∵a≤30，
∴当a=30时，w的值最大，
100−30=70(棵).
答：购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
40．根据以下素材，探索完成任务．
探索市场的供给量和需求量与价格之间的关系
在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市
场的供给量和需求量与价格之间的关系，帮助我们分析和解决与经济相关的问题．
如图1为市场均衡模型，q 为需求量，q 为供给量，p
1 2
为商品价格．当商品价格p上涨时需求量q 会随之减
1
素
少，而供给量q 却随之增加，当需求等于供给(q =q )
2 1 2
材
时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市
1 场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品
AIAI
供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格
就会下降．
根据市场调查，某种商品在市场上的需求量q （单位：
1
素
万件）与价格p（单位：元）之间的关系可以看做是一
材 次函数，其中q 与p的几组对应数据如图2．
1
2该商品的市场供给量 q 2 （单位：万件）与价
格 p （单位：元）之间的关系可看作是一次函数 q 2 =
7 p + 5 ．
素
材3
AI
问题解决
任
务1
求出市场需求量q1与价格p的函数表达式.
任
务2
试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格.
任
务3
依据以上信息和函数图象分析，求出该商品供大于求时，价格p的取值范围.
【答案】（1）q =−2p+32；（2）p=3；（3）3q ，结合q ≥0即可求得该商品供大于求时，价格p的取值
1 2 1
范围．
【详解】解：任务1：设q =kp+b，
1
{9k+b=14
)
{k=−2)
则 ，解得： ，
10k+b=12 b=32
∴q=-2p+32；
1
任务2：∵q =q ，
1 2
∴7p+5=−2p+32，解得：p=3．
答：达到市场供需均衡时该商品的均衡价格为3元．{7p+5>−2p+32)
任务3：由题意可得： ，解得：3u 时，y >y ，和当
1 2 1 2 1 2 1 2
u
