文档内容
#&#$届高三考试
数学试题参考答案!理科"
!!(!#解析$本题考查集合的运算%考查数学运算的核心素养!
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#!+!#解析$本题考查复数的四则运算%考查数学运算的核心素养!
因为$)#%,"所以$$$)-"则$$$%#.#,)$.#,!
$!/!#解析$本题考查等比数列的通项公式及求和公式%考查数学运算的核心素养!
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*!2!#解析$本题考查函数的图象和性质%考查逻辑推理与直观想象的核心素养!
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-!(!#解析$本题考查三角函数的性质%考查数学运算与直观想象的核心素养!
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’!/!#解析$本题考查三视图%考查直观想象与数学运算的核心素养! #
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如图"这是所求多面体的直观图"它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成"所以体积
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0!2!#解析$本题考查统计的知识%考查数据分析与数学运算的核心素养! $ ! ! !
设女生身高频率分布直方图中的组距为")"由!&.!8-&.#&.#8-&.$&#"))!"得&"))&8!"所以女生身
高频率分布直方图中#层次频率为#&9".层次频率为$&9"/层次频率为#-9"0层次频率为!-9"1层
次频率为!&9!因为男’女生样本数未知"所以#层次中男’女生人数不能比较"即选项+错误(同理"0层次
女生在女生样本数中频率与1层次男生在男生样本数中频率相等"都是!-9"但因男’女生人数未知"所以
在整个样本中频率不一定相等"即(错误(设女生人数为2"男生人数为!&&&%2"但因男’女生人数可能不相
等"则.层次的学生数为&8$2.&8#-1!!&&&%2#)&8&-2.#-&"/层次的学生数为&8#-2.&8$1!!&&&%
2#)$&&%&8&-2"因为2不确定"所以&8&-2.#-&与$&&%&8&-2可能不相等"即/错误(女生#".两个层
次的频率之和为-&9"所以女生的样本身高中位数为."/层次的分界点"男生#".两个层次的频率之和为
$-9"显然中位数落在/层次内"所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大"2正确!
:!2!#解析$本题考查三棱锥中线面角的正弦值的计算%考查直观想象与数学建模的核心素养!
设#.)./)#"/0的中点为1"连接#1".1!图略#"易知).#1是直线#.与平面#/0所成的角"因为
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!&!/!#解析$本题考查排列组合的知识%考查数学抽象与数学建模的核心素养!
先选出#名志愿者安排到#社区"再把剩下的$名志愿者分成两组"分配到其他两个社区"则不同的安排方
法共有(#(#+#)"&种!
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!!!(!#解析$本题考查双曲线的性质%考查推理论证能力与数学运算的核心素养!
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$理科% "#$%&’("
书书书如图"设(#3 !()4"则(#3 #()4%#&!又(#.()#(#3 !("所以(.3 #()4.#&"所以 &
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!#!+!#解析$本题考查对数的大小比较%考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
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!$!0!!#解析$本题考查等差数列的通项公式%考查数学运算的核心素养!
因为&.&)#&)!*"所以&)’"又&)$"所以公差9)#"从而& )$.#1$:)0!!
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!*!!!#解析$本题考查平面向量的垂直以及求模%考查数学运算的核心素养!
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!-!+#)0)!#解析$本题考查抛物线的概念与性质%考查逻辑推理的核心素养! "
过点.作抛物线/准线的垂线"垂足为1"由抛物线的定义知"(.3()(.1("又(#.() (
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!"!槡##:!#解析$本题考查直线与圆%考查直观想象与数学抽象的核心素养!
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!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$理科% "#$%&’("评分细则)
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*!+第一问"写出!7%5#!7.5#)&!&.5#"得#分"写出345.) )% "累计得*分"第一问全部正确解
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出"累计得"分!
*#+第二问"用面积公式求出&5)*"累计得0分"最后求出正确答案"累计得!#分!
*$+其他情况根据评分标准按步骤给分!
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!0!解)!!#学生甲恰好答对两题的概率>)! ##1 .#1 1 1 ) !……………………………*分
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!##随机变量?的可能取值为&"!"#"$"……………………………………………………………………-分
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所以>!?)&#)! ##1 ) "…………………………………………………………………………"分
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*!+第一问"算出>) "得本步骤的*分!
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*#+第二问"写出随机变量?的可能取值得!分"每算出一个概率得!分"正确写出期望累计得!#分!
!:!!!#证明)因为10*平面#./0"所以/0*01!…………………………………………………………!分
因为.0*/0".0,01)0"所以/0*平面.01!………………………………………………………#分
因为01)#/3"且@为01的中点"所以/3)0@" ……………………………………………………$分
又因为/3-0@"所以四边形/0@3是平行四边形"则@3-0/"………………………………………*分
所以@3*平面.01!………………………………………………………………………………………-分
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!##解)以0为坐标原点"0."0/"01的方向分别为)"+"$轴的正方向"建立如图 +
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所示的空间直角坐标系0%)+$!…………………………………………………"分
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所以二面角.%>3%0的余弦值为 ! ………………………………………………………………!#分
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评分细则)
*!+第一问"证出/0*01"得!分"证出@3-0/"累计得*分"第一问全部证完累计得-分!若第一问就用
空间向量法证线面垂直"参考上述步骤给分#!
*#+第二问"建立空间直角坐标系得!分"写出相关点和相关向量的坐标"得!分"计算出平面.3>的法向
量得#分"写出平面>03的一个法向量得!分"直至正确求出二面角的余弦值累计得!#分!
*$+若用传统做法"作出二面角的平面角得!分"简单证明得#分"整个题完全正确得满分!
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#&!解)!!#由右顶点是A!#"&#得&)#"又离心率6) ) "所以5)!" …………………………………#分
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所以直线#0恒过点!!"&#! ………………………………………………………………………………!#分
评分细则)
!方法二#!!#同上!!#! ………………………………………………………………………………………*分
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!##设直线B的方程为))4+.*"联立方程组 消去)得!$4#.*#+#.#*4+.$")&"
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此时直线#0恒过点!!"&#" ………………………………………………………………………………!&分
当直线B的斜率为&时"直线B的方程为+)&"也过点!!"&#! …………………………………………!!分
综上"直线#0恒过点!!"&#!………………………………………………………………………………!#分
说明)第!##问还可以先猜想出定点在)轴上"写出直线#0的方程"令+)&"求出定点坐标为!!"&#后再加
以证明"也可以得满分!
#!!!!#解)由题意知"(!)#的定义域为!&".<#"………………………………………………………………!分
67).#
67)%4).#)&有两个根"等价于方程 )4有两个根!
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!高三数学"参考答案!第!!!!*页#共"页$理科% "#$%&’("67).# 67).#
设*!)#) "即*!)#) 的图象与直线+)4有两个交点! ………………………………#分
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因为*8!)#) "所以*!)#在!&" #上单调递增"在! ".<#上单调递减"…………………$分
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#);"当).&.时"*!)#.%<"当)..<时"*!)#.&"由图可知"4的取值范围是!&";#!
……………………………………………………………………………………………………………-分
!##证明)由!!#知方程 67).# )4的两个根分别为)")"则 67) ! .# ) 67) # .# !
) ! # ) )
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令C) "C) "则#C%C67C)#C%C67C" …………………………………………………………"分
! ) # ) ! ! ! # # #
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设C !’C
#
"D!C#)#C%C67C"则D8!C#)!%67C"易知D!C#在!&";#上单调递增"在!;".<#上单调递减"且D!C
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#"&’C !’;’C
#
!………………………………………………………………………………………’分
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因为@8!C#)!%67C.$!%67!#;%C#&)#%67!%C#.#;C#&#%67!%;#.#;##)&"
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所以@!C
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"所以#;%C !&;"
又D!C#在!;".<#上单调递减"所以C #&#;%C
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"即C
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! !
所以 . &#;!……………………………………………………………………………………………!#分
) )
! #
评分细则)
*!+第一问"写出(!)#的定义域为!&".<#"得!分"写出(!)#有两个零点的等价条件累计得#分"算出
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*8!)#) "并得出*!)#的单调区间累计得$分"求出参数4的取值范围"累计得-分!
)#
*#+第二问"写出#C
!
%C
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67C
!
)#C
#
%C
#
67C
#
"累计得"分"写出&’C !’;’C
#
"累计得’分"推出@!C#在!&";#
上单调递增"累计得:分"推出D!C
#
#’D!#;%C
!
#"累计得!&分"直到证出所要求证的不等式"累计得!#分!
*$+采用其他方法"参照本评分标准依步骤给分!
##!解)!!#曲线/的普通方程为!).!##.+#)*! ……………………………………………………………#分
! ! !
由#5,7!$. #)槡#"得#5,7$345 .#345$5,7 )槡#"即#5,7$.#345$)#"
* * *
因为))#345$"+)#5,7$"所以直线B的直角坐标方程为).+%#)&!…………………………………*分
$!
!##因为直线B的斜率为%!"所以B的倾斜角为 "
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1 ))%#% 槡# C"
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所以过点A!%#"!#且与直线B平行的直线B8的方程可设为0 !C为参数#!………………"分
槡#
2+)!.
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C
1 ))%#% 槡# C"
# 槡# 槡#
设点#".对应的参数分别为C
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"C
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"将0 代入!).!##.+#)*"可得!%!%
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C##.!!.
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C##
槡#
2+)!.
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C
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)%#槡#"C
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C
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)%#" ………………………………………0分
所以 ! . ! ) (A#(.(A.( ) (C ! %C #( ) 槡!%#槡###.*1# )#!……………………………!&分
(A#( (A.( (A#((A.( (C ! C #( #
评分细则)
*!+第一问"圆的方程没有写成标准方程"不扣分"累计得#分"写出直线B的方程"不管哪种形式"不扣分"
!高三数学"参考答案!第!!!!-页#共"页$理科% "#$%&’("累计得*分!
*#+第二问"写出直线B8的参数方程"累计得"分"联立方程组并写出C
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.C
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)%#槡#"C
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C
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)%#"累计得0分"
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求出 . )#"累计得!&分!
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#$!证明)!!#由已知可得$)*&#.7#.!"5#.!*&#.7##.!*&#.!"5##.!7#.!"5##3*&#.7#.!"5#.*&7.
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当且仅当#&)7)*5) 时"等号成立!……………………………………………………………………*分
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又&"7"5均为正数"所以#&.7.*54槡$! …………………………………………………………………-分
!##因为!#&##.7#.!*5##3$槡 $!#&##7#!*5##"
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当且仅当#&)7)*5) 时"等号成立"……………………………………………………………………’分
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所以$1*槡 $!&75##4!"整理得!&75##4! ! #$"……………………………………………………………0分
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所以 ! . ! . ! 3$槡! % ! % ! ) $槡! 3 $ 槡 $ !#$):"
*&# 7# !"5# *&# 7# !"5# * #5# *
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当且仅当#&)7)*5) 时"等号成立!……………………………………………………………………!&分
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评分细则)
!证法二#证明)!!#由柯西不等式得$!#&##.7#.!*5##&!!#.!#.!##3!#&.7.*5##" ………………$分
所以!#&.7.*5##4$!………………………………………………………………………………………*分
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因为&"7"5均为正数"所以#&.7.*54槡$!当且仅当#&)7)*5) 时"等号成立#!…………………-分
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当且仅当#&)7)*5) 时"等号成立!……………………………………………………………………!&分
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