文档内容
专题 12.12 三角形全等几何模型（一线三等角）（精选精练）
（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）王强同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与
地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ ， ），点C在
上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离 是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示， 三点在同一条直线上， ， ， ，则下列结论错误的
是（ ）
A． 与 互余 B．
C． D．
3．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则
BE的长是（ ）
A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm
4．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 为等腰直角三角形，．点 ，点 ．则点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，
与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接
住她．若妈妈与爸爸到 的水平距离 、 分别为 和 ， ．爸爸在C处接住小丽
时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会，会标中的
图案如图，其中的四边形 和 都是正方形，则 的理由是（ ）．
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在 和 中，点 ， ， 在同一条直线上，
， ，若 ， ，则 的长为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2
8．（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点 处有一激光发射器，激光照射到点
处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点 处的接收器上，若入射角 ，
，则点 处的接收器到 轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（17-18八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直
线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )
A．50 B．44 C．38 D．32
10．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图， ，且 ， ， 是 上两点，
， ．若 ， ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（21-22八年级上·山西吕梁·期中）如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝
90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是 cm．
12．（20-21八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系内，OA⊥OC ，OA=OC，若点A的坐标为
(4，1)，则点C的坐标为
13．（2022·四川成都·二模）如图所示， 中， ．直线l经过点A，过点B作
于点E，过点C作 于点F．若 ，则 ．
14．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图， ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC
＝45°，若AD＝12，则 ABD的面积为 ．△
△15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，两根旗杆间相距12米，某人从点B沿 走向点A，一段时
间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为 ，且 ．已知旗杆
的高为9米，该人的运动速度为1米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 秒．
16．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在 中， ， 为 边上的高， ，
，点 从点 出发，在直线 上以每秒 的速度移动，过点 作 的垂线交直线 于点 ，
当点 运动 时， ．
17．（19-20八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是
射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于
点M，则CM的长为 ．18．（22-23七年级下·四川成都·期末）在 中， ， ，点 在边 上，
，点 ， 在线段 上， 若 的面积为 ，则
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在 中， ， ， ，于点 于点 ．
与 全等吗？请说明理由．
20．（8分）如图， ， 于点A，D是线段AB上的点， ， ．
（1）判断 与 的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点D在线段 的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是
否成立，并说明理由．21．（10分）如图，在 中， ．
（1）如图1，直线 过点B， 于点M， 于点N，且 ，求证：
．
（2）如图2，直线 过点B， 交 于点M， 交 于点N，且 ，则
是否成立？请说明理由！
22．（10分）如图，在 中， ， ，点D在线段 上运动（D不与B、C
重合），连接 ，作 ， 交线段 于E．
（1）当 时， °， °；点D从B向C运动时， 逐渐变 （填
“大”或“小”）；
（2）当 等于多少时， ，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 的度数．若
不可以，请说明理由．23．（10分）（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于
点 ．由 ，得 ．又 ， ，可
以推理得到 ，进而得到 ＝______， ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模
型称为“ 字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）①如图， ， ， ，连接 、 ，且 于点 ，
与直线 交于点 ，求证：点 是 的中点；
②如图，若点 为 轴上一动点，点 为 轴上一动点，点 的坐标为 ，是否存在以 、 、 为
顶点且以 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在 中， ， 三点都在
直线m上，且 ．
（1）如图①，若 ，则 与 的数量关系为 ___________， 与 的数量关系为
___________；
（2）如图②，判断并说明线段 ， 与 的数量关系；
（3）如图③，若只保持 ，点A在线段 上以 的速度由点D向点E
运动，同时，点C在线段 上以 的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为 ．是否存在
x，使得 与 全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．参考答案：
1．C
【分析】由题意易得 ，则有 ，进而可证 ，然后根据全
等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ ；
∴ ， ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
2．D
【分析】利用同角的余角相等求出 ，再利用“角角边”证明 和 全等，根据全等三角
形对应边相等，对应角相等，即可解答.
【详解】∵ ,
∴ , ,
∵ ,
∴ , 故 错误；
∴ , 故 正确；
∴ , 故 正确；
在 和 中,
，
∴ , 故 正确；故选: .
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方
法并确定出全等的条件 是解题的关键.
3．C
【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为
∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD，BE=CD，因此只需求出
CD的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；
∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，
∴△ACD≌△CBE；
∴EC=AD，BE=DC；
∵DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是3cm．
故选C．
【点拨】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，
先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证
什么条件．
4．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
过C作直线 轴，过B作 于E，过A作 于D，于是得到 ，得
到 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据点 ，点 ，得到
，于是得到结论．
【详解】解：过C作直线 轴，过B作 于E，过A作 于D，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，点 ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
5．D
【分析】利用全等三角形判定 ，证得 与 全等，根据全等三角形性质可求出 和
的值，进而求出 的值，最后根据 ，即可求出问题答案．
【详解】解： ，
，
， ，
， ，
， ，
又 ，，
， ，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．
6．B
【分析】由正方形的性质知， ，由同角的余角相等知， ，又有
，故根据 证得 ．
【详解】证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
在 与 中，
，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题利用了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定，学生要以常用的几种判定方
法掌握并灵活运用．
7．C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明 ，由
即可求出结果．
【详解】解： ， ，，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
故选：C．
8．C
【分析】
本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C作 轴于点M，证明
得出 ，进一步得出 即可
【详解】解：过点C作 轴于点M，如图，
则
根据题意得
∴
∴
又
∴
∴
∴即点C处的接收器到 轴的距离为3，
故选：C
9．D
【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出
AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S -S -
梯形EFHD EFA
△
S -S 和面积公式代入求出即可．
ABC DHC
△ △
【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，
∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠FEA=∠BAM，
在△FEA和△MAB中
，
∴△FEA≌△MAB（AAS），
∴AM=EF=6，AF=BM=3，
同理CM=DH=2，BM=CH=3，
∴FH=3+6+2+3=14，
∴梯形EFHD的面积= = =56，
∴阴影部分的面积=S -S -S -S
梯形EFHD EFA ABC DHC
△ △ △
=
=32．
故选D．
【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则
图形的面积转化成规则图形的面积．10．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
由 可得 ，由 ， 可得 ， ，从
而 ，进而证得 ，可得 ， ，推出
，代入数据即可解答．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：B
11．28
【分析】作CD⊥OB于点D，依据AAS证明 ,GMF，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过点C作CD⊥OB于点D，如图，
∴
∵ 是等腰直角三角形
∴AB=CB，
∴又
∴
在 和 中，
∴
∴
故答案为：28．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等
三角形是解答本题的关键．
12．（-1，4）
【分析】过点A和点C作x轴的垂线，垂足为D，E，证明△COE≌△OAD，得到OE=AD，CE=OD，再根据点
A的坐标可得结果．
【详解】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足为D，E，
∵∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∠CEO=90°，
则∠COE+∠OCE=90°，
∴∠OCE=∠AOD，
在△COE与△OAD中，
，
∴△COE≌△OAD（AAS），
∴OE=AD，CE=OD，
∵点A的坐标为（4，1），
∴OD=4，AD=1，
∴CE=OD=4，OE=AD=1，
∴点C的坐标为（-1，4），
故答案为：（-1，4）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是利用已知条件，作出辅助线，
证明全等．
13．7
【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；
【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在 AEB和 CFA中
∵∠△AEB=∠C△FA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
∴EF=BE+CF．
∵ ，
∴ ；
故答案为：7．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确
的证明三角形全等．
14．36．
【分析】作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，则∠DEB=90°-∠ABD=45°，证出AE=DE=DB，通过证明
AEF≌ BCD，得出BC==AF= AD=6，由三角形面积公式即可得出答案．
△ △【详解】作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，如图所示：
则∠DEB=90°-∠ABD=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DB=DE，
∵∠ABD=2∠BAC=45°，
∴∠BAC=22.5°，
∴∠ADE=∠DEB-∠BAC=22.5°=∠BAC，
∴AE=DE=DB，
∵∠AFE=90°，
∴F是AD中点，AF=FD，
又∵∠C=90°，
∴∠CBD=90°-45°-22.5°=22.5°，
在Rt AEF和Rt BCD中
△ △
∴Rt AEF≌Rt BCD（AAS），
△ △
∴AF=BC= AD=6，
∴△ABD的面积S= AD×BC= ×12×6=36；
故答案为：36．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式的的计
算，熟记特殊三角形的判定和性质定理是解题关键．
15．3
【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得
．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ 米，
（米），
∵该人的运动速度 米/秒，
他到达点M时，运动时间为 （秒）．
故答案为：3．
16． 或
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分 当点 在射线 上移动时，
， 当点 在射线 上移动时， ，熟练正确全等
三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，如图，
当点 在射线 上移动时， ，
∵点 从点 出发，在直线 上以 的速度移动，
∴ 移动了： ；
当点 在射线 上移动时， ，
∵点 从点 出发，在直线 上以 的速度移动，
∴ 移动了： ；
综上所述，当点 在射线 上移动 或 时， ，
故答案为： 或
17．4cm.
【分析】过点E作EF⊥AN于F，先利用AAS证出△ABC≌△FCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用
AAS证出△DCM≌△EFM,从而求出CM的长.
【详解】解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示
∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，
∴∠ABC =∠FCE，
在△ABC和△FCE中
∴△ABC≌△FCE
∴AB=FC=8cm，AC=FE
∴CD= FE
在△DCM和△EFM中
∴△DCM≌△EFM
∴CM=FM= FC=4cm.
故答案为：4cm.
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键.
18．6
【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
证明 ≌ ，推出 与 面积相等，可得结论．
【详解】解：在等腰三角形 中， ， ，
与 等高，底边比值为 ，
与 的面积比为 ．
的面积为 ，
与 的面积分别为 和 ，
，
．
， ， ，
，
．
在 和 中，，
，
与 面积相等，
与 的面积之和为 的面积，
与 的面积之和为 ．
故答案为： ．
19．全等，理由见解析
【分析】首先证明 ，即可证明 ，即可解题．
【详解】全等，理由如下：
， ，
∴ ， ．
∴ ；
在 和 中，
∴ ．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关
键．
20．(1) ，
(2)成立，见解析
【分析】（1）根据题意可直接证明 ，即可得出结论；
（2）仿照（1）的证明过程推出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意， ，
在 与 中，，
， ，
在 中， ，
，
，
，
综上可知 ， ；
（2）解：成立，理由如下：
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，即 ，
；
（1）中结论仍然成立．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判
定定理是解题关键．
21．(1)见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导
，最后证明 ，直接可证．（2）利用 及 是 的外角，可以推出 ，再利用 可以判定
，再利用全等的性质导边即可证明．
【详解】（1）证明：∵ 于点M， 于点N；
∴ ；
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∴ ；
在 和 中，
∴ ；
∴ ， ；
∴ ．
（2） 成立．理由如下：
设 ；
∴ ；
∴ ；
在 和 中；
∴ ；
∴ ， ；
∴ ；
故 成立．
22．(1) ； ；小
(2)当 时，
(3)可以； 的度数为 或【分析】（1）由已知平角的性质可得 ，再利用三角形内角和定理进而求得
，即可判断点 从 向 运动过程中， 逐渐变小；
（2）当 时，由已知和三角形内角和定理可得 ， ，等量
代换得 ，又由 ，可得 ；
（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
点D从B向C运动时， 逐渐变小，
故答案为： ； ；小．
（2）解：当 时， ，
理由： ，
，
又 ，
∴ ，
，
又 ， ，
；
（3）解：当 的度数为 或 时， 的形状是等腰三角形；
理由： 时，
，
，
， ，
，
是等腰三角形；
时，
，
，
，
，的形状是等腰三角形．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．（1） ， ；（2）见解析；（3）存在， 或
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐
标与图形性质、直角三角形的性质等知识；
（1）由全等三角形的性质可得出答案；
（2）过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，证明 ，
得出 ；同理可得： ．得出 ，证明 ，由全等三角形
的性质可得出 ；
（3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可知 ，
， ，
故答案为： ， ；
（2）证明：如图1，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；同理可得： ．
，
，
在 和 中，
，
，
，
点 是 的中点．
（3）解：如图，当点 在 轴正半轴上时，由【模型呈现】可知 ，
， ，
，
，
；
当点 在 轴负半轴上时，同理可得 ．综上所述，点 的坐标为 或 ．
24．(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得 ，再利用 证明
得 ；
（2）由（1）同理可得 ，得 ，可得答案；
（3）分 或 两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，
由（1）同理可得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）存在，当 时，
∴ ，
∴ ，此时 ；
当 时，
∴
∴ ， ，
综上： 或 ．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
