文档内容
2022-2023 学年 江苏常州市高级中学
高三年级 1 月月考 数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥 的底面半径为3，母线长为5.若球 在圆锥 内，则球 的体积的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数 的图象关于原点对称，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知两个单位向量 ， 的夹角为60°，设 （其中x，y∈R），若| |＝
3，则xy的最大值（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点P是抛物线 上的一点，在点P处的切线恰好过点 ，则点P到
抛物线焦点的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件
为“两次记录的数字之和为奇数”，事件 为“第一次记录的数字为奇数”，事件
为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件 与事件 是对立事件 B．事件 与事件 不是相互独立事件
C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是
（ ）
A．改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变
B．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数
D．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小
10．下列式子的运算结果为 的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知A（4，2），B（0，4），圆 ，P为圆C上的动点，下
列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为
B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 最大时，
12．如图，点 是正四面体 底面 的中心，过点 且平行于平面 的直线
分别交 ， 于点 ， ， 是棱 上的点，平面 与棱 的延长线相交于点 ，与棱 的延长线相交于点 ，则（ ）
A．若 平面 ，则
B．存在点 与直线 ，使
C．存在点 与直线 ，使 平面
D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数 是定义在R上的增函数，且 ，则 的取值范围
是__________.
14．已知抛物线的方程为 ，且过点 ，则焦点坐标为______．
15．函数 的值域为_________.
16．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家
杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童
垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层
1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是 件.已知第一层货物单价1万元，从第
二层起，货物的单价是上一层单价的 ，第 层的货物的价格为______，若这堆货物总价是 万元，则 的值为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．对于数列 ，若存在正整数M，同时满足如下两个条件：①对任意 ，都
有 成立；②存在 ，使得 ．则称数列 为 数列．
(1)若 ， ，判断数列 和 是否为 数列，并说明理由；（5
分）
(2)若 数列 满足 ， ，求实数p的取值集合．（5分）
18．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商
这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后
都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主
播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为 ，且每局比赛都
分出了胜负．
(1)求比赛结束时乙获胜的概率；（6分）
(2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X，求随机变量X的分布列．（6分）
19．在① ，② ，③
．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三
角形存在，求出 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．（7分）问题：在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．如图，空间几何体 中，四边形 是梯形， ，四边形
是矩形，且平面 平面 ，M
是线段 上的动点.
（1）试确定点M的位置，使 平面 ，并说明理由；（7分）
（2）在（1）的条件下，平面 将几何体 分成两部分，求空间几何体
与空间几何体 的体积的比值.（7分）
21．已知圆 ，点 ，点 是圆 上的动点， 的垂直平分
线交直线 于点
（1）求点 的轨迹方程 ；（5分）（2）过点 的直线 交曲线 于 两点，在 轴上是否存在点 ，使得直线
和 的倾斜角互补，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.（6分）
22．设函数 ，其中 ．
(1)若 ，求 的单调区间；（5分）
(2)若 ，
（ⅰ）证明： 恰有一个极值点；（5分）
（ⅱ）设 为 的极值点，若 为 的零点，且 ，证明： ．（6
分）答案及解析：
1．A
【分析】化简集合 ，再结合交集运算求解即可
【解析】由题意可得 ，则 .
故选：A
2．C
【分析】利用复数代数形式的乘法运算对选项进行逐一化简可得答案．
【解析】对于A， 不是纯虚数；
对于B， 是实数；
对于C， 为纯虚数；
对于D， 不是纯虚数.
故选：C.
【注意】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．A
【分析】设圆锥 的轴截面为等腰△ ，则球 的体积最大时，球 的轴截面是△
的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积.
【解析】设圆锥 的轴截面为等腰△ ，则球 的体积最大时，球 的轴截面是△
的内切圆，所以 ，解得： ，所以球 的体积的
最大值为 .
故选：A
【注意】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力.
4．C
【分析】根据题意知函数为奇函数，化简可得 ，据此可求出 值.
【解析】因为函数 的图象关于原点对称，即 ，
所以可得 ，即 ，
，即 ，
， .
故选：C
5．C
【分析】根据 得到 ，再利用均值不等式计算得到答案。
【解析】 ，则，当 时等号成立。
故选：
【注意】本题考查了向量的运算和均值不等式，意在考查学生的综合应用能力。
6．D
【分析】先利用导数的几何意义求得 ，然后利用诱导公式、二倍角公式、同角三
角函数的关系将 化简为 ，再代值可得答案
【解析】解：依题意， ，所以 ，
所以
故选：D.
【注意】本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题.
7．B
【解析】设 坐标为 ，由导数求出线斜率，再由切线过点 ，可求得 ， ，
然后可求得焦半径．
【解析】抛物线方程为 ， ，设切点 坐标为 ，∴切线斜率为 ，
又切线过点 ，∴ ，
∴ ， ． ．即 或 ，
抛物线标准方程为 ， ，∴ 点到焦点的距离为 ．
故选：B．
【注意】本题考查直线与抛物线相切问题，考查导数的几何意义，考查抛物线的几何性
质．利用导数几何意义求出切点坐标，利用焦半径公式求出焦半径，本题难度一般．
8．C
【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.
【解析】对于A，事件 与事件 是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，对于事件 与事件 ， ,事件 与事件 是相互独
立事件,故B错误；
对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有 种，
其中，事件 发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有 种，所以，
因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以 ，
，
所以 ，故C正确；
对于D，事件 表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故
，故D错误.
故选：C．
9．BCD
【分析】根据平均数、中位数、频率分布直方图和方差的性质，逐一分析选项，即可得答
案.
【解析】对于A：例如数据1，3，5，将数据改成2，3，5，数据的中位数未改变，仍为
3，故A错误；
对于B：根据频率分布直方图中，中位数的求法，可得B正确；
对于C：根据频率直方图可得，左边“拖尾”，且不对称，则平均数变小，中位数变大，
所以平均数小于中位数，故C正确；
对于D：方差越小，数据越稳定，离散程度越小，故D正确.
故选：BCD
10．BC
【解析】利用两角和与差的正弦，余弦，正切公式化简及特殊角的三角函数求值，即可判
断选项.
【解析】对于A， ，不合
题意；
对于B， ，符合题
意；
对于C， ，符合题意；
对于D， ，不符合题意；
故选：BC11．AC
【分析】A.利用数形结合，转化为三点共线，即可求解；
B.首先取AB的中点为D，转化向量， ,再结合点与圆的位置关系，即可求
解；
C.利用直线 与圆相切，即可求 的最小值；
D.利用数形结合判断当 最大时，直线 与圆相切，即可求 .
【解析】对于A， ，A正确.
对于B，记AB的中点为D， ,
，故B错误；
对于C，令 ，当直线 与圆C相切时，b取到最值，
令 ， ，所以 最小值为 ，故C正确.
对于D，当PB与圆C相切时， 最大，此时 ，故D错误.故选：AC
12．ACD
【分析】根据线面平行的性质定理，可判断A；由空间向量数量积可判断B；当直线
平行于直线 ， 时，通过线面垂直的判定定理可判断C，由共面向量定理可判
断D.
【解析】对于A， 平面 ，平面 与棱 的延长线相交于点 ，与棱 的
延长线相交于点 ，
平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 ， ，
点 在面 上，过点 的直线交 ， 于点 ， ， 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ， ，
，故A正确；
对于B，设正四面体 的棱长为 ，
，故B错误；
对于C，当直线 平行于直线 ， 为线段 上靠近 的三等分点，即 ，
此时 平面 ，
以下给出证明：在正四面体 中，设各棱长为 ，
， ， ， 均为正三角形，
点 为 的中心， ，
由正三角形中的性质，易得 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得， ，，则 ，
同理， ，又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 存在点S与直线MN，使 平面 ，故C正确；
对于D，设 为 的中点，则
，
又∵ ， ， 三点共线，∴ ，
∵ ， ， 三点共线，∴ ，
∵ ， ， 三点共线，∴ ，
设 ， ， ，则 ，
∵ ， ， ， 四点共面，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，故D正确.
故选：ACD.
【注意】关键点注意：本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了空
间向量数量积和共面向量定理，解题的关键是熟悉利用空间向量的共面定理，考查了转化
能力与探究能力，属于难题.
13．
【分析】利用单调性将原不等式转化为 ，从而可得结论.
【解析】因为函数 是定义在R上的增函数，
且 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为 .【注意】本题主要考查函数单调性的应用，属于基础题.
14．
【解析】将点 代入抛物线方程可得 的值，即可求得抛物线方程进而得焦点坐标.
【解析】抛物线 过点 ，即有 ，解得 ，
则抛物线 ，即 的焦点坐标为 ，
故答案为： .
15．
【分析】先利用同角三角函数的基本关系化简得 令
,可得 , 利用导数求函数的值域即可.
【解析】由题意，可得 ，
令 ， ，即 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 为增函数，在 为减函数，
又 ， ， ，
故函数的值域为： .
故答案为:
【注意】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了利用导数求函数的最值问题,意在考查
计算能力,是基础题.
16． 6【解析】由题意可得第 层的货物的价格为 ，根据错位相减法求和即可求出.
【解析】解：由题意可得第n层的货物的价格为 ，
设这堆货物总价是 ，①，
则 ，②，
由①−②可得
，
，
∵这堆货物总价是 万元，
，
故答案为： ； .
【注意】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题和解决问题的能
力，属于中档题.
17．(1)数列 不是 数列， 是 数列，理由见解析；
(2) 或 .
【分析】(1)根据 数列的定义依次判定数列 、 即可；
(2)根据 数列的定义，结合正弦函数的性质和数列的增减性依次讨论当 、
、 、 时的情况.
(1)
不是 数列， 是 数列.
因为 ( N*)，所以 ，故 不是 数列；因为 ( N*)，所以 ，
又 ，所以 是 数列；
(2)
若数列 为 数列，则对于 成立，
且 ，有 .
当 时， ，即 ，
此时 最大， ，又 ，则 且 ；
当 时，设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，且 ，
所以 即 在 上恒成立，
所以 ，有 ，
此时 最大， ，又 ，故不存在满足题意的 ，舍去；
当 时， ，
由上述分析知， ，结合 ，故不存在满足题意的 ，舍去；
当 时， ，则 ，
所以 ，此时 最大， ， ，
又 ，故 且 .
综上，实数p的取值集合为 或 , .
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据三局两胜制可知，乙获胜则有三种情况，分类即可求解.（2）根据随机
变量所有取值的可能以及计算对应的概率，即可求解,
（1）
比赛结束时，乙获胜有三种情况：
①第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜，②第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜，③
第一局，第二局2胜，
∴比赛结束时乙获胜的概率 ；
（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
．
∴X的分布列为
X 0 1 2
19．答案不唯一，具体见解析．
【分析】若选①，则由正弦定理可得 ，化简后可求出角 或
，再由 求出 ，然后由 可求出 的值；
若选②，则由正弦定理得 ，即可得 ，再利用余弦定理可求
得 ，从而可求出角 ，再由 求出 ，然后由
可求出 的值；
若选③，由 结合辅助角公式和基本不等式可得 ，则可
求出 ，而利用基本不等式时有 ，从而可得三角形为等边三角形，与 相
矛盾，则可得问题中的三角形不存在
【解析】选①：因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，
又 ， ，所以 或 ，即 或 ．
因为 ， ，所以 ．
当 时，，
当 时，
，
因此 的值为 或 ．
选②：因为 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ，
所以
，
因此 的值 ．
选③：因为 ，所以 ，
因为 ，
于是 ，即 ；且 ，即 ，
注意到 ， ，
因此 ，即 ，
于是 为等边三角形，
因此 与 相矛盾，
故 不存在．
【注意】关键点注意：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用正弦定理进行边角互化，从而可求出角 的值，再结合三角函
数恒等变换公式求出 的值，考查计算能力，属于中档题
20．（1）当M是线段 的中点时， 平面 ，理由见解析；（2） .
【分析】（1）由线面平行的性质定理确定M是线段 的中点，然后根据线面平行的判定
定理证明．
（2）将几何体 补成三棱柱，由三棱柱和三棱锥体积得几何体 的体
积，再求得三棱锥 的体积后可得所求比值．
【解析】（1）当M是线段 的中点时， 平面 .
证明如下：连接 交 于点N，连接 ，如图，由于M、N分别是 的中点，
所以 ，又 在平面 内，且 不在平面 内，所以 平面 .
（2）∵四边形 是矩形，∴ .又 ，且 ，
∴ 平面 .
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
将几何体 补成三棱柱 ，
三棱柱 的体积 ，
则几何体 的体积 ，
又三棱锥 的体积 .
∴空间几何体 与空间几何体 的体积的比为 .
21．（1） ；（2）存在， .
【分析】（1）连接 ，则 ，即 ，则点 的轨迹是以
， 为左右焦点， 的双曲线，求解轨迹方程即可.（2）由题意可知 时直线 和 的倾斜角互补.分类讨论：当直线 斜率不存在
时， ， 关于 轴对称， 轴上的任意点 都有 .当直线 斜率存在时，设直线
的方程为： ，与双曲线方程联立，整理得
，设 ， ，则
， .根据 ，可知
，整理得 ，
将 ， 代入求解 ，即可.
【解析】（1）连接 ，则 ，即
点 的轨迹是以 ， 为左右焦点， ， 的双曲线.
即 ， ，
点 的轨迹方程 为：
（2）当直线 斜率不存在时，直线 的方程为： ，则 ， 关于 轴对称.
因为点 在 轴上
所以直线 和 关于 轴对称.
则 轴上的任意点 都有 ，即直线 和 的倾斜角互补
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为：
则 即
直线 交曲线 于 两点
即设 ，
则 ， 是方程 的两根.
即 ，
假设存在点 ，使得直线 和 的倾斜角互补.
则 即
即
，即
综上所述，存在点 ，使得直线 和 的倾斜角互补
【注意】本题考查求双曲线方程，以及直线与双曲线的位置关系.属于较难的题.
22．(1)增区间为 ，无减区间;
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求导，根据单调性与导数的关系求解即可；
（2）（ⅰ）由题知 ，进而构造函数 ，研究函数单调性，结
合零点存在性定理可得存在唯一 ，使得 ，进而得函数 的单调性
即可证明；
（ⅱ）结合题意得 ，再根据 得 ，再取对数后放缩即可得
.
（1）
解：当 时， ，定义域为 ，
所以， 在 恒成立，
所以， 在 上单调递增.
所以，函数 的增区间为 ，无减区间.（2）
解：（ⅰ）证明： ,定义域为
所以， ，
令 ，因为 ，
所以 在 恒成立，
所以， 在 上单调递减，
因为 ， ， ， ，
所以，存在唯一 ，使得 ， 即 ，
所以，当 时， ，即 ， 单调递增，
当 时， ，即 ， 单调递减，
所以，函数 在 处取得极大值， 为 的极大值点，无极小值点.
所以， 恰有一个极值点.
（ii）因为 为 的极值点，若 为 的零点，且 ，
所以 ，且 ，即 且 ， ，
所以， 且 ，
所以
令 ，则 在 时恒成立，
所以 为增函数， ，即 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .【注意】本题第二问解题的关键在于根据不等式 对 进行放缩得
，进而证明结论.
