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专题15.20 分式方程（直通中考）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·浙江湖州·统考中考真题）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）纳米是非常小的长度单位， ，把
用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算： （ ）
A． B． C．5 D．a
4．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·河南·统考中考真题）化简 的结果是（ ）
A．0 B．1 C．a D．
6．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2011上·江苏苏州·九年级统考期中）关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是
（ ）
A． B． 且 C． D． 且
8．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020上·重庆巴南·八年级统考期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译
文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为 天，则可列出正确
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程 去分母，两边同乘 后的式子为
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2018上·辽宁抚顺·八年级统考期末）若分式 的值为0，则 的值为 ．
12．（2023·山东·统考中考真题）计算： ．
13．（2023·湖南·统考中考真题）已知 ，则代数式 的值为 ．
14．（2022·四川成都·统考中考真题）已知 ，则代数式 的值为 ．
15．（2022·四川南充·中考真题）比较大小： ．（选填＞，＝，＜）
16．（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增
根是 ．
17．（2022·四川内江·统考中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝ ，若（2x﹣1）⊕2＝1，
则x的值为 ．
18．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）甲、乙两船从相距150km的 ， 两地同时匀速沿江出
发相向而行，甲船从 地顺流航行90km时与从 地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均
为30km/h，则江水的流速为 km/h．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·江苏徐州·统考中考真题）计算：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）
（1）计算： （2）解方程： ．
21．（10分）（2023·四川攀枝花·统考中考真题）已知 ，求 的值．
22．（10分）（2023·江苏盐城·统考中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知 ， ， ，试比较 与 的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较 与 的大小．
小华：∵ ，∴ ．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
（2）比较大小： __________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
23．（10分）（2023·湖南常德·统考中考真题）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B
型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型
玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，
要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
24．（12分）（2022·广西桂林·统考中考真题）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中
小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多
10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家
商店租用服装的费用较少，并说明理由．参考答案：
1．A
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
解：依题意得： 且 ，
解得 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
2．A
【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
解： ．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为 ，其中 ，
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 的个数所决定，确定 与 的值是解题的关键．
3．D
【分析】分子分解因式，再约分得到结果．
解：
，
故选：D．【点拨】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
4．A
【分析】根据单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法法则计算后再判断即可．
解：A. ，计算正确，故选项A符合题意；
B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意；
C. 与 不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法，解答的关键
是对相应的运算法则的掌握．
5．B
【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可．
解： ，
故选：B．
【点拨】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
6．D
【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂进行计算即可求解．
解： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂是解题的
关键．
7．D
【分析】先解关于 的分式方程，求得 的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求 的取值范围．
解：去分母得， ，
，
方程的解是正数，
即 ，又因为 ，
，
则 的取值范围是 且 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求 的取值范围，根据方程的解列出关于 的
不等式，另外，解答本题时，易漏掉 ，这是因为忽略了 这个隐含的条件而造成的，这应引
起同学们的足够重视．
8．C
【分析】方程两边同时乘以 ，化为整式方程即可求解．
解：
程两边同时乘以 得，
解得：
经检验， 是原方程的解，
故选：C．
【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
9．B
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为 天，
快马送到所需时间为 天，再利用速度 路程 时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于
的分式方程，此题得解．
解： 规定时间为 天，
慢马送到所需时间为 天，快马送到所需时间为 天，
又 快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．B
【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．解： ，
两边同乘 去分母，得 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
11．
【分析】根据分式 的值为0，得到 ，求解即可得到答案．
解： 分式 的值为0，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，还要注意分式的分母不
能为零．
12．
【分析】根据零次幂、负整数指数幂和立方根的性质化简，然后计算即可．
解：原式
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零次幂、负整数指数幂和立方根的性质是解题的关键．
13．
【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．
解：原式=故答案为：
【点拨】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．
14． /3.5/3
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到
最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
解：
＝
＝
＝
＝
＝ ．
，
移项得 ，
左边提取公因式得 ，
两边同除以2得 ，
∴原式＝ ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．<
【分析】先计算 ， ，然后比较大小即可．解： ， ，
，
∵
，
∴
故答案为： ．
【点拨】本<题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则
是解题关键．
16．
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
解：∵关于x的分式方程 （m为常数）有增根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
17．
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以 得，
，
解得： ，
经检验，x＝ 是原方程的根，
∴x＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．18．6
【分析】设江水的流速为 千米每小时，则甲速度为 ，乙速度为 ，根据行驶时间相等列出
方程解答即可．
解：设江水的流速为 千米每小时，根据题意得：
，
解得 ，
经检验符合题意，
答：江水的流速 ．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键．
19．（1）2022；（2）
【分析】（1）根据零次幂、负指数幂及算术平方根可进行求解；
（2）根据分式的运算可进行求解．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点拨】本题主要考查零次幂、负指数幂、分式的运算及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关
键．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）先计算零次幂与算术平方根，再合并即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
解：（1）
（2） ，去分母：
整理得：
经检验： 是原方程的根，
所以原方程的根为：
【点拨】本题考查的是零次幂的含义，求解一个数的算术平方根，分式方程的解法，掌握“以上基础
运算”是解本题的关键．
21．1
【分析】由 可知 ，然后对分式进行化简，进而问题可求解．
解：由 可知 ，
∴
．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
22．（1） ；（2）
【分析】（1）根据作差法求 的值即可得出答案；
（2）根据作差法求 的值即可得出答案．
（1）解： ，
，，
；
（2）解： ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
23．（1）A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个；（2）最多可购进A型玩具25个
【分析】（1）设 型玩具的单价为 元/件．依题意列出分式方程，进行求解；
（2）根据题意列出不等式进行求解即可．
解：（1）设 型玩具的单价为 元/件．
由题意得： ，
解得：
经检验， 是原方程的解
B型玩具的单价为 元/个
∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．
（2）设购进A型玩具 个．
解得：
∴最多可购进A型玩具25个．
【点拨】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程
或不等式．
24．（1）甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元；（2）乙商店租用服装的费用较少，理由
见分析
【分析】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由题意列
，解分式方程并检验即可得出答案．
（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得： ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10＝50，
∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元．
（2）解：乙商店租用服装的费用较少．
理由如下：
该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），乙商店的费用为：
40×20＝800（元），
∵900＞800，
∴乙商店租用服装的费用较少．
【点拨】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，
但要注意分式方程的解需要进行检验．
