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专题 15.8 解分式方程 50 题（精选精练）（专项练习）
1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）解方程：
(1) (2)
2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）解方程：
(1) ； (2) ．
3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）解分式方程：
(1) ． (2) ．
4．（24-25八年级上·山东东营·期中）解方程：
(1) (2)
5．（24-25八年级上·山东泰安·期中）解方程：
(1) ； (2) ．
6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点 在数轴上，它们所表示的数分别是
，且点 到原点的距离相等．求 的值．7．（23-24八年级上·河北衡水·期中）下面是一道分式计算题，其中括号内的部分不小心被
墨水盖住了，已知该题的结果是 ．
计算： ．
(1)求被墨水盖住的式子；
(2)若 是方程 的解，求原分式的值．
8．（24-25八年级上·湖南常德·期中）关于x的方程 的解与方程 的解
相同，求a的值．
9．（23-24八年级上·广东云浮·阶段练习）解分式方程：
(1) ； (2) ．
10．（23-24八年级上·广东广州·期末）已知： ， ．
(1)求 与 的和；
(2)若 ，求 的值；(3)若关于 的方程 无解，实数 ，求 的值．
11．（2024八年级上·全国·专题练习）一般地，形如 （ 是已知数）的分式方程有两
个解，通常用 ， 表示．请你观察下列方程及其解的特征：
（1） 的解为 ；
（2） 的解为 ；
（3） 的解为 ；
猜想：方程 的解为 ， ___________；
关于 的方程 的解为 ___________； ___________．
12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）解方程：
(1) (2)
13．（24-25八年级上·全国·期末）解方程：
(1) (2)14．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）解下列分式方程：
(1) (2)
15．（24-25八年级上·重庆·期中）解方程：
(1) (2)
16．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动
的快慢》时，遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上
坡再下坡，上坡速度为 ，下坡速度为 ，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地
的平均速度为多少？马超经过计算得出平均速度为 ．聪明的马超对公式进行变形得
到 ，他马上联想到数学中也有类似变形，例如 ，
，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请你利用上述方
法，解决以下问题：
(1)计算： ______；(2)解方程： ；
(3)若分式方程 有增根，求m的值．
17．（2024八年级上·湖南·专题练习）解方程：
(1) (2) ．
18．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若分式方程 无解，求 的值．
19．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）解分式方程
(1) (2)
20．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）解分式方程
(1) ； (2)
21．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）解分式方程：(1) ； (2) ．
22．（23-24八年级下·全国·期末）解分式方程：
(1) ； (2) ．
23．（24-25八年级上·广西来宾·阶段练习）观察下面的变化规律，解答下列问题：
， ， ， ．
(1)若 为正整数，猜想 __________，并且验证你的猜想；
(2)解分式方程： ；
(3)利用上述规律计算： ．
24．（2024八年级上·湖南·专题练习）解方程：
(1) ； (2) ．
25．（24-25七年级上·重庆·开学考试）解方程：
26．（24-25七年级上·上海·期中）解方程：
(1) ； (2) ．
27．（22-23八年级下·江西抚州·阶段练习）（1）计算：
（2）解方程 ．
28．（21-22八年级下·上海·阶段练习）
解方程组
29．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）解方程：
(1) (2)30．（24-25八年级上·湖南常德·期中）解分式方程：
(1) ； (2) ．
31．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知关于x的分式方程 的解为负数，则
k的取值范围是多少？
32．（24-25八年级上·北京·期中）解分式方程：
(1) (2)
33．（24-25八年级上·山东威海·期中）解方程
(1) ； (2) ．
34．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程：
(1) (2)
35．（24-25八年级上·湖南常德·期中）解方程：(1) ； (2) ．
36．（24-25七年级上·上海·阶段练习）
（1）解分式方程： （2）解分式方程：
37．（24-25八年级上·北京顺义·期中）解方程
(1) (2)
38．（2024八年级上·湖北·专题练习）解分式方程．
(1) (2) ．
39．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程：
(1) (2)
40．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解分式方程
(1) ； (2) ．41．（24-25八年级上·全国·期末）解方程：
(1) ； (2) ．
42．（21-22八年级下·四川遂宁·期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；…
(1)观察猜想：关于x的方程 的解是 ；
(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程 ；
(3)实践运用：对关于x的方程 的解，小明观察得“ ”是该方程的一个解，
则方程的另一个解 = ，请利用上面的规律，求关于x的方程 的解．
43．（22-23八年级上·湖南娄底·阶段练习）用你发现的规律解答下列问题．
……
(1)计算 __________．(2)探究 __________．（用含有n的式子表示）
(3)若 的值为 ，求n的值．
44．（2023八年级上·全国·专题练习）化简下式：
(1)
(2)
(3)分式方程 的解是_________（请直接写出答案）
45．（23-24八年级上·全国·单元测试）解方程：
(1) ； (2) ．
46．（17-18八年级·山东济南·期末）探索发现：
……
根据你发现的规律，回答下列问题：（1） ＝ ， ＝ ；
（2）利用你发现的规律计算：
（3）利用规律解方程：
47．（22-23八年级上·山东淄博·期中）仔细观察下面的变形规律：
， ， ，……解答下面的问题：
(1)总结规律：已知 为正整数，请将 和 写成上面式子的形式；
(2)类比发现：
计算 与 的结果；
(3)知识迁移：解关于 （ 为正整数）的分式方程：
；
(4)规律应用：化简 ．
48．（2023八年级上·全国·专题练习）解方程： ．49．（2024八年级·全国·竞赛）观察： ；
；
；
(1)计算： ；
(2)若 的值是 ，求 的值．
50．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）
（1）解方程：
(2)关于x的方程 的解是正数，求a的取值范围．参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式方程的解法，理解分式方程的解法是解答关键，解分式方程一定要检验方程的
根．
（1）先变形，再去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化1，检验方程的根来求解；
（2）先利用因式分解变形，再去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化1，检验方程的根来
求解．
【详解】（1）解：原方程变形为 ，
去分母得
去括号得
移项并合并同类项得
解得 ，
经检验 是原分式方程的解，
所以原分式方程的解是 ．
（2）解：原方程变形为 ，
去分母得
去括号得
移项并合并同类项得
，
解得 ，
经检验 是原分式方程的解，
所以原分式方程的解是 ．2．(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程；
（1）方程两边同时乘 ，化为整式方程，解方程并检验，即可求解．
（2）方程两边同时乘 ，化为整式方程，解方程并检验，即可求解．
【详解】（1）解：方程两边同时乘 ，得 ，
解这个整式方程，得 ，
经检验， 是原分式方程的解；
（2）解：方程两边同时乘 得， ，
解这个整式方程，得 ，
经检验， 是原分式方程的解．
3．(1)
(2)
【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解： ，
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解；
（2）解：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
4．(1) ；
(2) ．
【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．（ ）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（ ）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
，
，
，
检验：当 时， ，
所以原分式方程的解为 ；
（2）解： ，
，
，
，
经检验： 是原分式方程的解．
5．(1)
(2)分式方程无解．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方
程的解．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解
分式方程一定注意要验根．
【详解】（1）解：
去分母得： ，
去括号得
移项合并得： ，
解得： ，经检验 是分式方程的解；
（2）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
经检验 是增根，分式方程无解．
6．
【分析】本题主要查了分式方程．根据列出方程，再解出方程，即可求解．
【详解】解：由题意，得 ．
去分母，得 ，
解得 ．
检验∶当 时， ，
∴ 是原方程的根，
的值是 ．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查分式的化简求值，分式方程的解法，掌握解分式方程需要验根是解题的关键．
（1）直接利用将分式的分子与分母分解因式，进而化简得出被墨水盖住的式子；
（2）首先解分式方程，进而得出a的值，再代入原式求出答案．
【详解】（1）解：设被墨水盖住的式子为 ，
则
，（2）解：∵a是方程 的解，
∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
∴原式 ．
8．
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检
验．
先将方程的解 求出，再将该解代入 ，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后
得出结论．
【详解】解：解方程 得 ；
经检验 是方程的解；
∵两方程的解相同；
∴将 代入方程 中得 ，
解得 ，
经检验 是方程的解
∴ ．
9．(1)原分式方程无解
(2)
【分析】本题主要考查了解分式方程，
对于（1），先去分母，再去括号，移项合并同类项，求出解，然后检验即可；
对于（2），仿照（1）解答即可．【详解】（1）解：两边同时乘 得： ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程无解；
（2）方程两边同时乘 得： ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项，得 ，
解得： ，
检验： 是原分式方程的解．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式方程的解法及方程无解的涵义，透彻理解方程解存在的意义是解题的关键．
（1）通过通分、合同同类项，得出结果；
（2）根据题意列方程，通分移项、合并同类项，解得答案；
（3）根据题意列方程求出关于x的方程 ，由于方程无解，即 ，解得答案．
【详解】（1）解：
故 ．
（2）若 ，
则 ，
解方程得： ．
检验：当 时，
．（3） ，
去分母整理得： ；
无解， ，
，
解得： （舍去）．
检验：当 时，
．
故 ．
11． ， ，
【分析】本题考查分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律
是解本题的关键．仿照方程解方程，归纳总结得到结果，方程变形后，利用得出的规律求解即可．
【详解】解：∵ 的解为 ；
的解为 ；
的解为 ；
∴ 的解为 ；
关于 的方程 ，两边同时减1，
得： ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
12．(1)无解
(2)【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解： ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得 ．
检验：当 时， ，
∴ 不是原分式方程的解，
即原分式方程无解．
（2）
方程两边同乘 ，得
解得 ．
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
（1）方程两边都乘 化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘 化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
∴原方程的根为： ．（2）解： ，
去分母得： ，
整理得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
∴原方程的根为： ．
14．(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，解答的关键是熟练掌握分式方程的解法，注意计算结果要检验．
（1）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后经过检验得结论；
（2）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后经过检验得结论．
【详解】（1）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
经检验， 是原分式方程的解；
（2）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
化系数为1，得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的增根，即原分式方程无解．
15．(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，注意要检验．【详解】（1）解：
方程两边乘以 ，得： ，
解得： ，
检验：把 代入 ，得： ，
∴分式方程的解是 ；
（2）解：
方程两边乘以 ，得：
，
解得： ，
检验：把 代入 ，得： ，
∴ 是分式方程的增根，
∴分式方程无解．
16．(1)
(2)
(3)4或8
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程：
（1）根据题意把所求式子裂项求解即可；
（2）把 裂项变成 ，再化简解分式方程即可；
（3）先把式子 ， 裂项变成 ， ，再化简得到 ，
再根据分式方程有增根进行讨论求解即可．【详解】（1）解：
；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解；
（3）解：∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵原方程有增根，
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， （舍去）
综上所述，m的值为4或8．
17．(1)
(2)原方程无解【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解；解分式方程一定注意要验根．
（1）观察可得最简公分母是 ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求
解，然后再检验即可；
（2）观察可得最简公分母是 ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然
后再检验即可．
【详解】（1）解： ，
方程两边同时乘以 ，
得： ，
解得： ．
检验：把 代入 ．
∴原方程的解为： ．
（2）解：
方程两边同时乘以 ，
得： ，
解得： ．
检验：把 代入 ．
∴原方程无解．
18．2或1
【分析】本题主要考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0
时，分式方程无解，求出x的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成 的形
式，如果 ，此时分式方程也无解．
根据分式方程无解分为有增根或去分母后的整式方程无解两种情况进行解答即可．
【详解】解：去分母得： ，
整理得： ，
∴当 或 时原方程无解，
当 时， ，
当 时，即 时， ，得 ，
∴当 或 时，原方程无解．
19．(1)
(2)原方程无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求
出方程的解，再检验方程的解是否会使分母为0即可得到答案．
【详解】（1）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解；
（2）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的增根，
∴原方程无解．20．(1)
(2)无解
【分析】此题考查了解分式方程.
（1）两边同乘以 得到整式方程，解方程并检验即可；
（2）两边同乘以 得到整式方程，解方程并检验即可.
【详解】（1）
方程两边同乘以 得， ，
解得，
当 时， ，
∴ 是分式方程的解；
（2）
两边同乘以 得， ，
解得
当 时， ，
∴ 是增根，分式方程无解.
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
（1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，，
，
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解；
（2）解： ，
，
，
，
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解；
22．(1)原方程无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程
求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以 得： ，整理得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
则 是增根，
∴原方程无解；
（2）解： ，
方程两边同时乘以 得： ，整理得： ，
解得： ，检验：当 时， ，
∴原方程的解为 ．
23．(1) ，见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解分式方程，关键是分式的加减运算．
（1）猜想 ，再根据异分母分式相加减计算，即可求解；
（2）根据（1）中的规律把原方程变形为 ，可化为 ，
解出即可；
（3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
验证：右边
左边，
猜想成立；
（2）解： ，
，，
去分母得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
原方程的根为 ；
（3）解：
．
24．(1)无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的解题步骤是解题关键．
（1）方程两边都乘 进行去分母运算，然后求解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘 进行去分母运算，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解： ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
检验， 时， ,
∴ 不是原分式方程的解，原分式方程无解；
（2）解： ，去分母得， ，
解得 ，
检验： 时， ，
∴原方程的解为 ．
25．
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把方程两边同时取倒数得到 ，进而得到
，再把方程两边继续取倒数得到 ，则 ，进一步把方程两边取倒数得
到 ，据此解方程即可．
【详解】解：，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
26．(1)无解
(2)
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）方程两边同乘最简公分母 ，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可；
（2）将各分母进行因式分解，找出各分母的最简公分母，方程两边同乘该最简公分母，将分式方程转化
为整式方程，求解后检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘 ，得 ，
化简，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 不是原分式方程的解，原分式方程无解．（2）解：
方程可化为 ，
方程两边同乘 ，得 ，
化简，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．
27．（1） ；（2）x=6
【分析】本题考查异分母分式加减法，解分式方程，灵活运算先利用“裂项法”对已知分式变形化简是
解题的关键．
（1）将原式变形为： 计算即可；
（2）将方程变形为： ，整理后再解分式方程即可．
【详解】解：（1）原式
；（2）
方程两边同时乘以 ，得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
原方程的解为：x=6．
28．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解分式方程， ，则原方程组可化为
，解方程组得到 ，进而得到 ，据此求解即可．
【详解】解：令 ，则原方程组可化为 ，
解得 ，∴ ，
∴ ，解得 ，
检验， ，
∴原方程组的解为 ．
29．(1)
(2)原分式方程无解．
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可
【详解】（1）解： ，
方程两边同乘以 ，得： ，
去括号，可得： ，
移项、合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ；
（2）
方程两边同乘以 ，
得： ，
去括号，可得： ，
移项、合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ，检验：当 时， ，
∴原分式方程无解．
30．(1)
(2)无解
【分析】（ ）按照解分式方程的步骤解答即可；
（ ）按照解分式方程的步骤解答即可；
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同时乘 得， ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ；
（2）解：方程两边同时乘 得， ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
31． 且
【分析】本题考查了分式方程的解，先去分母得到整式方程 ，再由整式方程的解为负数得
到 ，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到 ，即 且 ，然后求
出几个不等式的公共部分得到k的取值范围．
【详解】解：去分母得 ，
整理得 ，
因为方程 的解为负数，所以 且 ，即 且 ，
解得 且 ，
∴k的取值范围为 且 ．
32．(1)x=1
(2)无解
【分析】此题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决此题的关键.
（1）两边同乘以 )将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，然后进行验根即可解答；
（2）两边同乘以 将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，然后进行验根得出答案．
【详解】（1）解：两边同乘以 得
解得： ，
检验：当 时，
是原分式方程的解，
（2）解：两边同乘以 得：
，
解得： ，
检验：当 时， 为方程的增根，
∴ 是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
33．(1)
(2)无解
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：去分母得： ，去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
所以 是分式方程的解；
（2）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
经检验： 不是原方程的解，
原分式方程无解．
34．(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解
题的易错点．
（1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答；
（2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
检验，当 时， ，
所以该分式方程的解为： ；
（2）解： ，，
，
检验，当 时， ，
所以该分式方程无解
35．(1)
(2)方程无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，平方差公式分解因式等知识点，熟练掌握分式方程的解法并牢记
最终检验是解题的关键．
（1）首先去分母，方程两边同乘 ，可得 ，然后解方程即可，最后一定要检验；
（2）首先去分母，方程两边同乘 ，可得 ，然后解得 ，经检验 不是原
分式方程的解，因而原方程无解．
【详解】（1）解： ，
去分母，两边同乘 ，得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
；
（2）解： ，
即： ，
去分母，两边同乘 ，得： ，
解得： ，
检验：把 代入 ，得： ，
不是原分式方程的解，
原方程无解．36．（1）无解；（2）
【分析】本题主要考查解分式方程；
（1）两边同时乘 ，再进行检验即可；
（2）两边同时乘 ，再进行检验即可
【详解】解：（1）
检验，当 ， ，即x=1是增根，
∴分式方程无解．
（2）
两边同时乘检验，当 时，
∴
37．(1)无解
(2)
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握分式方程的运算法则是解题的关键．
（1）根据分式方程的运算法则进行运算即可；
（2）根据分式方程的运算法则进行运算即可；
【详解】（1）解：
解：整理可得： ，
所有项同乘 可得： ，
移项可得： ，
合并可得： ，
系数化为 可得： ，
检验：把 代入 可得： ，
∴此方程无解；
（2）
解：整理可得： ，
所有项同乘 可得： ，移项可得： ，
合并可得： ，
系数化为 可得： ，
检验：把 代入 可得： ，
∴ 是原方程的解．
38．(1)
(2)
【分析】本题考查了解可化为一元一次方程的分式方程，按照解分式方程的步骤进行即可，注意分式方
程最后要检验；
（1）方程两边同乘 ，化为整式方程，解整式方程，最后检验即可；
（1）方程两边同乘 ，化为整式方程，解整式方程，最后检验即可；
【详解】（1）解：原方程去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时 ，
故原分式方程的解为 ．
（2）解： ，
方程变形为： ，
，
，
，
，
．
检验：当 时， ，
∴原方程的解是 ．
39．(1)
(2)原分式方程无解【分析】本题考查了解分式方程．
（1）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可；
（2）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可．
【详解】（1）解：原分式方程整理得， ，
去分母得，
，
，
经检验： 是方程的解，原分式方程的解为 ．
（2）解：原分式方程整理得， ，
去分母得， ，
，
经检验： 是方程的增根，原分式方程无解．
40．(1) ；
(2)原方程无解．
【分析】本题主要考查了解分式方程.
（1）先用平方差公式将原方程变形，然后方程两边同乘 ，化成关于x的整式方程，求解并检
验即可.
（2）先用平方差公式将原方程变形，然后方程两边同乘 ，化成关于x的整式方程，求解并检验即
可.
【详解】（1）解：原方程可化为
方程两边同乘 ，得 ，
所以 ；
检验：当 时， ，所以 是原方程的根．
（2）解：原方程可化为
方程两边同乘 ，得
，
所以 ；
检验：当 时， ，
所以 是原方程的增根，
∴原方程无解.
41．(1) ；
(2) .
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步骤是解题关键．
（1）先把分式方程两边同乘 化为整式方程求解，然后检验即可；
（2）先把分式方程两边同乘 化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘 得： ，
解得 ，
检验：当 时，
所以原分式方程的解为 ；
（2）解：
方程两边同乘 得：
，
解得 ，经检验， 是原方程的解.
所以原分式方程的解是 .
42．(1) ，
(2) ，
(3) ； ，
【分析】（1）根据题意可知规律：方程的解等于右边的整数和分数，方程的形式要和等式右边给出数的
形式相同，按照此规律即可得出方程的解；
（2）根据（1）的规律，得出 ， ，解出即可得出方程的解；
（3）根据（1）中的规律，即可得出另一个解 ；首先对方程 进行整理，得出
，然后按照（1）中的规律，解出即可得出结果．
【详解】（1）解： ， ．
故答案为： ，
（2）解：
∵ ， ，
∴ ， ；
（3）解： ；
整理，得： ，整理，得： ，
∴ ， ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解本题的关键在正确理解题意找出方程与解之间的规律．
43．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案；
（2）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案；
（3）结合（2）中所求，进而分解各数，化简求得n的代数式,然后建立关于n的方程,即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：．
∴ ，
，
．
经检验： 为原方程的解．
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其
规律和拆分法的应用．
44．(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是根据题意找到规律进行化简，再利用分式方程的
解法求解．
（1）根据 ，然后根据此规律进行解答即可；
（2）根据规律 ，再把要求的式子进行整理即可得出答案；
（3）先把分母进行因式分解，再根据找出的规律对方程化简，然后求解即可．
【详解】（1）（2）
（3）∵
∴
∴
故
解得
经检验， 是原方程的解．
45．(1)原分式方程无解；
(2)原分式方程无解．
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）方程两边同乘 ，得 ，解得 ．
检验：当 时， ，
∴ 不是原分式方程的解，
即原分式方程无解．
（2）方程两边同乘 ，得 ，
解得 ．
检验：当 时， ，
∴ 不是原分式方程的解，
即原分式方程无解．
46．（1） ；（2） ；（3）见解析．
【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到 和
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得
它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
【详解】解：（1） ， ；
故答案为
（2）原式＝ ;
（3）已知等式整理得：
所以，原方程即： ，
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，∴原方程的解为：x＝3．
【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.
47．(1) ；
(2) ；
(3)
(4)
【分析】（1）根据题目中的规律，写出结果即可；
（2）利用解析（1）中得出的规律进行计算即可；
（3）先化简方程左边的式子，然后解分式方程即可；
（4）利用解析（1）中的规律进行变形计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
，……
∴ ，
；
（2）解：
；．
（3）解：方程变为 ，
即： ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：因为 为正整数，原方程分母不会为零；
所以原方程的根式 ．
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的规律题，解分式方程，解题的关键是根据题意找出题目中的规律，注
意解分式方程要进行检验．
48．
【分析】本题考查了解分式方程；本题不是直接去分母，而是先“裂项”，把方程左边化简，再去分母
解分式方程；首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本
题的关键在于充分利用运算规律计算．
【详解】解：
，
，，
，
，
，
，
，
，
检验： 是原分式方程的解，
∴原方程的解为 ．
49．(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）利用拆项法变形计算即可求解；
（ ）利用拆项法变形得到原式为 ，再根据值是 ，得到分式方程 ，
解方程即可求解；
本题考查了有理数的混合运算，解分式方程，掌握拆项法是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
，
，
；（2）解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，
∴ ．
50．（1）
（2） ，且
【分析】本题主要考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的方法步骤，注意验根，是解决问题的关键．
（1）运用去分母，移项，合并同类项，系数化成1，经检验，即得；
（2）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1求出x的表达式，根方程的根为正数且分母
不为0，即可求出m的取值范围．
【详解】（1） ，
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化成1，得 ，
经检验，是原分式方程的根，
故原分式方程的根为： ；
（2） ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
移项，得 ，
系数化成1，得 ；
∵方程 的解是正数，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ．
