文档内容
专题 15 分式与分式方程中含参数问的六种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围.....................................................................................2
类型二、求使分式值为整数时未知数的整数值.................................................................................................3
类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母....................................................................................................5
类型四、根据分式方程增根问题求参数............................................................................................................6
类型五、根据分式方程无解问题求参数............................................................................................................8
类型六、已知分式方程的根的情况求参数，应舍去分母为0时参数的值......................................................10
压轴能力测评（20题）....................................................................................................................................12
解题知识必备
1.分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为
2.分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或
是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整
式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好
是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为 0，如果
为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．压轴题型讲练
类型一、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
例题：（2024·吉林·中考真题）当分式 的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ．
【答案】0（答案不唯一）
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得 ，则 ，据此可得答案．
【详解】解：∵分式 的值为正数，
∴ ，
∴ ，
∴满足题意的x的值可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【变式训练1】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】 或
【知识点】求不等式组的解集、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查了分式的值，解不等式组；根据题意得出（1） 或（2） ，解不等式
组，即可求解．
【详解】解：若分式 的值为正数，则（1） 或（2） ，
解不等式组（1）得：
解不等式组（2）得：
所以 的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式训练2】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若 的值为非负数，则 的取值范围是
．
【答案】 或
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集【分析】根据题意，列出不等式组，即可求解，
本题考查了，解一元一次不等式组，解题的关键是：根据题意列出不等式组．
【详解】解：根据题意得： 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
类型二、求使分式值为整数时未知数的整数值
例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期中）若分式 的值是整数，则满足条件的整数m的个数有
个．
【答案】4
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查分式，熟练掌握，即可解题.首先根据题意判断出分式的整数值，然后求出m的值即
可.
【详解】解：分式 的值是整数，
或 ，
解得 或 或 或 ，
∴满足条件的整数m的个数有4个，
故答案为：4.
【变式训练1】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式 的值为整数，则 的整数值为 ．
【答案】0或 / 或0
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定 的值是解题关键．根据
题意，若分式 的值为整数，则 或 或 ，
然后分别求解，即可确定 的整数值．
【详解】解：若分式 的值为整数，
则 或 或 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
若 取整数，
则 的整数值为0或 ．
故答案为：0或 ．
【变式训练2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式 的值为整数，则整数x的值为
．
【答案】 或 或 或
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为 ，分别代值计算，即
可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键．
【详解】解：
，
分式 的值为整数，且x是整数，
或
或 或 ，
解得： 或 或 或 ，
故答案： 或 或 或 ．
类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母
例题：（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若 （ ， 为有理数），那么
， ．
【答案】
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母【分析】本题考查分式的加法的应用，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算
，再利用待定系数法列式求解即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ； ．
【变式训练1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若 ， ， 为常数，则
的值为 ．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，
从而求得A、B的值，代入即可求出 的值．
【详解】
，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ．
故答案为：1．【变式训练2】（2023·山西吕梁·模拟预测）若 ，其中a，b为常数，则
．
【答案】1
【知识点】异分母分式加减法、已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】原等式整理变形后得： ，可得 ，求出a、b即可得到答案．
【详解】解：已知等式整理得： ，
∴ ，
可得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到 是解题的关键．
类型四、根据分式方程增根问题求参数
例题：（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值为
．
【答案】3
【分析】本题考查解分式方程，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的
可能值，让最简公分母 ，得到 ，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】解：方程两边都乘 ，得 ，
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ．
故答案为：3．
【变式训练1】（23-24八年级上·河北邢台·期末）若关于 的分式方程 有增根，则增根是
， 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 确定增根；
②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先确定最简公分母，令最简公分母为 ，求出 的值，然后把分式方程化为整式方程，再将 的值代入整式方程，解关于 的方程即可．
【详解】解：分式方程 的最简公分母为 ，
分式方程有增根，
，
解得： ，
增根是 ，
分式方程去分母得： ，
把 代入方程得： ，
解得： ，
故答案为： ， ．
【变式训练2】（24-25九年级上·甘肃天水·开学考试）若关于x的分式方程 （m为常数）有
增根，则m的值是 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了分式方程的增根，先去分母，可求出方程的根，再根据原方程有增根，得 ，
可求出m的值．
【详解】 ，
去分母，得 ，
解得 ．
∵原方程有增根，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
类型五、根据分式方程无解问题求参数
例题：（24-25八年级上·山东淄博·期中）关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 或1
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查的是分式方程无解问题．分式方程无解，即有增根，此时 ，整理分式方程得，则由 无解或者 的解是分式方程的增根求得 的值．
【详解】解： ，
去分母得， ，整理得 ，
∵分式方程无解，
∴ 无解或者 的解是分式方程的增根，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或1．
【变式训练1】（2024八年级·全国·竞赛）若关于 的分式方程 无解，则 的值为
．
【答案】 或1
【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
去分母，整理得 ，根据分式方程无解可知增根分别为 或 ，分别求解即可．
【详解】分式方程两边都乘以最简公分母 ，得： ，
整理得： ，
关于 的分式方程 无解，
当 时，得 ，解得 ，
当 时，得 ，解得 ．
∴ 的值为 或1．
故答案为： 或1．
【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知 是关于 的方程．
（1）若方程有增根，则 的值为 ，方程的增根为 ；
（2）若方程无解，则 的值为 ．
【答案】 0 0或2
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】题目主要考查根据分式方程解的情况确定参数，理解分式方程有增根与无解的情况是解题关键．
（1）根据分式方程有增根的情况求解即可；（2）根据分式方程无解的情况求解即可．
【详解】解：（1）去分母得， ，
方程有增根，
或 ，
当 时， ；当 时，整式方程无解，
方程的增根为 ， 的值为0，
故答案为：0； ；
（2） 关于 的方程 无解，
整式方程的解是分式方程的增根或整式方程无解．
， ，
当整式方程的解是分式方程的增根时， 或 ，
当 时， ，当 时，整式方程无解，
当整式方程无解时， ，
，故分式方程无解时 的值为0或2，
故答案为：0或2．
【变式训练3】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程 .
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2
【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；
（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；
（3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可.
试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝
－2.
(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.
点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的
解使最简公分母等于0或整式方程无解．类型六、已知分式方程的根的情况求参数，应舍去分母为0时参数的值
例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程 的解为正数，
则k的取值范固是 ．
【答案】 且
【分析】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相
关计算方法是解决本题的关键．根据题意，将分式方程的解 用含 的表达式进行表示，进而令 ，再
因分式方程要有意义则 ，进而计算出 的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，
根据题意 且
∴
∴
∴k的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
【变式训练1】（2024上·上海·八年级校考期末）若关于 的方程 的解为负数，则
的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了分式方程的解与解不等式，把 看作常数，根据分式方程的解法求出 的表达式，再
根据方程的解是负数列不等式组并求解即可，解题的关键是牢记分式有意义的条件，熟练掌握解方程的步
骤．
【详解】解： ，
，
，
，
，∵分式方程的解为负数，
∴ ，解得： ，
又∵ ，
∴ 且 ，解得： 且 ，
综上可知： 且 ，
故答案为： 且 ．
【变式训练2】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程 的解为
非负数，则a的取值范围 ．
【答案】 且
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为 ，再
根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∵关于x的分式方程 的解为非负数，
∴ ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
【变式训练3】（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程 的解为正
整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，利用分式方程的解求参数，先解分式方程，用a表示方程的解，根据方
程的解是正整数的要求得出a的值，即可得到答案．
【详解】分式两边都乘以 ，得 ，得 ，
∵该分式方程的解为正整数，
∴ 的值为1或2或3，
∴所有满足条件的整数a的值为2或 或 ，
所有满足条件的整数a的值之和是 ，
故答案为： ．
压轴能力测评（20题）
一、单选题
1．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式 有意义，下列说法错误的是（ ）．
A．当 时，分式的值为正数 B．当 时，分式无意义
C．当 时，分式的值为0 D．当 时，分式的值为1
【答案】A
【知识点】分式值为零的条件、分式的求值、分式无意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值
范围
【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是
解题的关键．
根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可．
【详解】解：A、当 时，分母 ，但 的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，
异号得负”可判定分式 的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意；
B、当 时，分母 ，所以当 时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意；
C、当 时，分母 ，分子 ， 当 时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意；
D、当 时，分母 ， ，当 时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意．
故选：A．2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若分式 的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于
（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
【答案】B
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式的值，根据分式 的值是整数得 或2或3或6，求得 的值即可求解，
根据题意得 或2或3或6是解题的关键．
【详解】解：∵分式 的值是整数，
是6的约数，即 或2或3或6，
解得： （舍去）或1或2或5，
则满足条件的所有正整数m的和为 ．
故选：B．
3．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、加减消元法
【分析】由条件可得 ，从而可得 ，再解方程组即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是
关键．
4．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）解关于x的分式方程 时会产生增根，则m的值
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要查了分式的增根问题．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到
，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母得： ，
∵分式方程有增根，
∴ ，即 ，
把 代入整式方程 得：
，
∴ ．
故选：B
5．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于 的分式方程 （ ，且 为整数）的解为整数，则
的可能取值的和为（ ）
A．15 B．17 C．22 D．28
【答案】B
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出 ，
结合 ，且 为整数， 为整数，得出 可取 ， ， ，即可得解．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
系数化为1得： ，
∵ ，且 为整数， 为整数，
∴
∴ 可取 ， ， ，
∴ 的可能取值的和为 ，
故选：B．
6．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）对于关于 的分式方程 ，以下说法错误的是
（ ）A．分式方程的增根是 或 B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则 或 D．分式方程的增根是
【答案】A
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关
键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得 值即可．
【详解】解：∵ 的公分母是
∴
∴
∴
方程两边同时乘上
得
把 分别代入
得出 （舍去）； ，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则
∴
则 或
故C是正确的；
故选：A
二、填空题7．（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式 的值为负数，则 的取值范围 ．
【答案】
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不
等式是解本题的关键．
【详解】解：∵ ，
要使分式 的值为负数，则 ，
解得 ，
故答案为： ．
8．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知 ，其中 ， ， ， 为常
数，则 ．
【答案】6
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】由于 ，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，
然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于 、 、 、 的方程组，解方
程组即可求解．
【详解】解： ，且 ，
当 时， ①
当 时， ②
当 时， ③
∵ ,
即
∴ ④
联立 解之得
、 、 ，．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出
关于 、 、 、 的方程组即可解决问题．
9．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围是
．
【答案】 且
【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式的应用．熟练掌握解分式方程是解题的关键．
将分式方程化为整式方程，然后解方程求出 ，根据题意得到 ，且 ，然后
求解作答即可．
【详解】解： ，
，
解得， ，
∵关于 的分式方程 的解是正数，
∴ ，且
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
10．（22-23八年级下·四川绵阳·开学考试）若关于x的分式方程 无解，则 的值为
．
【答案】 或10或
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，根据分式方程无解的两种情
况即可求出 的值．
【详解】解：
去分母得，
，
当增根为 或 时，
或
解得 或 ，即 或 时，分式方程无解，
当 时，即 时，整式方程无解，分式方程无解，
综上可知，当 的值为 或10或 ．
故答案为： 或10或 ．
11．（24-25九年级上·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组 有且仅有3个偶数解，且关
于y的分式方程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数、解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组．
先解不等式组得到 ，再由不等式组有3个偶数解得到 ，接着解分式方程得到
，利用分式方程的解为非负整数和 得到 ， ，从而得到结果．
【详解】解：解不等式
得
解得
一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，
解得 ，
解
解得 ，
关于 的分式方程的解为非负整数，
为非负整数，且
则
又
解得 ， ，整数 的值之和为： ．
故答案为： ．
12．（24-25八年级上·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分
式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
， ．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将 变形为满足以上结果要求的形式： ；
（2）若 为正整数，且 也为正整数，则 的值为 ．
【答案】 2或6
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是
解本题的关键．
（1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把 变形为满足要求的形式；
（2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把 变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求
解即可；
【详解】解：（1）由题意可得，
，
故答案为： ；
（2）由题意可得，
，
∵ 为正整数，且 也为正整数，
∴ 或5，
∴ 或6，
故答案为：2或6；
三、解答题
13．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于 的方程 ．(1)当 取何值时，此方程的解为 ；
(2)当 取何值时，此方程会产生增根；
(3)当此方程的解是正数时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 且
【知识点】解分式方程、求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键．
（1）把分式方程化为整式方程，解之得到 ，把 代入方程即可得出k的值；
（2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值；
（3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
方程的解为 ，
，解得 ，
当 时，此方程的解为 ；
（2）解： 方程会产生增根，
，
，解得 ，
当 时，此方程会产生增根；
（3）解： 方程的解是正数，
且 ，
解得 且 ．当此方程的解是正数时， 的取值范围是 且 ．
14．（23-24八年级上·全国·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题：
已知 求整式 A，B．
本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相
等，分母相等，则分子也相等，即： ，利用多项式相等则对应的系数相等可求
得A，B．
请你根据上面的思路解决下列问题：
已知 ，求 A，B 的值．
【答案】 ，
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出 、 的二元一次方程组是解答此题的关键．先把分
式右边通分，再根据题意得出关于 的方程组，求出 、 的值即可．
【详解】解： 原分式可化为 ，
，即 ，
，
解得 ．
15．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次
的分式变形，转化为整数新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
， ．参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将 变形为满足以上结果要求的形式： ；
(2)将 变形为满足以上结果要求的形式： ；
(3)若 为正整数，且 也为正整数，则 的值为 ；
(4)若分式 的值为整数，则满足条件的所有整数 的和为 ．
【答案】(1)(2)
(3)2或6
(4)8
【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的情况求值：
（1）根据题意变形即可；
（2）根据题意变形即可；
（3）根据（2）得到变形后的结果，然后根据是正整数可得到 的值；
（4）先把式子变形，然后根据题意可分别得到 的值，最后求和即可；
正确计算是解题的关键．
【详解】（1）解：由题可得 ，
故答案为： ；
（2）解：由题可得 ，
故答案为： ；
（3）解：由（2）可得 变形为 ，
∵ 为正整数，且 也为正整数，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为：2或6；
（4）解：先将 变形，
即 ，
∵分式 的值为整数，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴a的和为： ，
故答案为：8．
16．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 的分式方程 的解为正数，
求 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于 的方程，
得到方程的解为 ，由题目可得 ，所以 ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还
必须满足_______．
（1）请回答：横线填什么_____．
完成下列问题：
（2）已知关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围；
（3）若关于 的方程 无解，求 的值．
【答案】（1）分式的分母不能为0（a≠0）；（2） 且 ；（3） 或 ．
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数：
（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出 的取值范
围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即
可求出 的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）解：原方程可化为
去分母得：解得：
∵解为非负数
∴ ，即
又∵
∴ ，即
∴ 且
（3）解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴ 或者
①当 时，得：
②当 时， ，得：
综上：当 或 时原方程无解．
17．（23-24八年级下·四川成都·期中）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需
要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这
就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程
的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程．
(1)解分式方程 时产生了增根，这个增根是： ；
(2)若关于x的方程 有增根，求m的值： ；
(3)已知整数m使关于x的方程 有整数解，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分式方程无解问题
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为
整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
（1）解分式方程 时产生了增根，则 据此求出这个增根即可；
（2）首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到 或 据此求出
的值，代入整式方程求出 的值即可；（3）首先根据 用含 的式子表示出 ，然后根据关于 的方程 有整数解，
求出 的值即可.
【详解】（1）解：解分式方程 时产生了增根，
∴ ，
解得x=2，
故答案为：x=2；
（2） ，
，
．
将 代入方程得： ．不符合条件．
将 代入方程得： ．
．
综上所述， ．
（3） ，
，
．
∵ ．
∴ ．
∵ 为整数，
∴ ，
∴ ．
综上所述， ．
18．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”．
如： ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也
可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：
再如：
解决下列问题
(1)分式 是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
(2)把假分式 化为带分式的形式；
(3)如果分式 的值为整数，求整数x的值．
【答案】(1)真
(2)
(3) ， ， ， ．
【知识点】分式的判断、分式的求值、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算．
（1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断；
（2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可；
（3）把假分式化为带分式，然后根据 的值为整数即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，分式 是真分式；
故答案为：真．
（2）解：∵ ，
故答案为： ．
（3）解： ，
∵ 的值为整数， 的值也是整数，
故 的值为： ， ， ， ，
∴ 的值为： ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ．
