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专题 17.1 勾股定理之六大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 用勾股定理解三角形】....................................................................................................................1
【考点二 以直角三角形三边为边长的图形面积】........................................................................................3
【考点三 已知两点坐标求两点距离】............................................................................................................5
【考点四 勾股定理与网格问题】....................................................................................................................6
【考点五 勾股定理与折叠问题】....................................................................................................................8
【考点六 勾股定理的证明方法】..................................................................................................................11
【过关检测】............................................................................................................................................................17
【考点一 用勾股定理解三角形】
例题：（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，长方形 中， ， ， ，则
______．
【变式训练】
1.（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，求BC边上的
高AD的长．2.（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，
于 ．求：
(1) 的长和 的面积；
(2) 的长．
【考点二 以直角三角形三边为边长的图形面积】
例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形
B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（ ）
A． B． C．12 D．24
【变式训练】
1.（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图， 中， ，以 的三边为边向外
作正方形，其面积分别是 ， ， ，且 ， ，则 （ ）A．20 B．12 C． D．
2．（2023春·贵州黔东南·八年级校联考期中）如图，以 的三边为直径分别向外作半圆，若斜边
，则图中阴影部分的面积为______．
【考点三 已知两点坐标求两点距离】
例题：（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是 ，则 的长
为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
【变式训练】
1.（2023春·广东中山·八年级中山市华侨中学校考期中）平面直角坐标系中，点 到原点的距离是
（ ）
A．4 B．3 C．7 D．5
2.（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 与点 之间的距
离为______【考点四 勾股定理与网格问题】
例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则 边上的高为
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.（2023·全国·八年级假期作业）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三
个小格点，可得 ，则 边上的高是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023春·全国·八年级期中）如图，在 的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求：
(1) 的长；
(2) 边上的高．
【考点五 勾股定理与折叠问题】
例题：（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕 折叠，使点A与点B重合，则 ___________．
【变式训练】
1.（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片， ，将
斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长是
____________________．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在 中， ．
(1)如图（1），把 沿直线 折叠，使点A与点B重合，求 的长；
(2)如图（2），把 沿直线 折叠，使点C落在 边上G点处，请直接写出 的长．
【考点六 勾股定理的证明方法】
例题：（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公
式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
A．分类讨论思想 B．整体思想 C．数形结合思想 D．转化思想（2）如图2， ， ，且 在同一直线上．求证： ；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年
4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
【变式训练】
1.（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕
达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽
为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明
该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2
的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足 的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为 、 ，直角三角形面积为 ，请判断 、 、 的关系______．
一、单选题
1．（2023上·甘肃酒泉·八年级统考期末）已知在 中， ， ， ，则
的长为（ ）
A． B．4 C．2 D．
2．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点 ， 都在格点上，则线
段 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在数轴上，点 表示实数3， 垂直数轴于点 ，连接 ，以 为圆心， 为半径作弧，交数轴于点 ，则点 表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）若 的两边a，b满足
，则第三条边c的值是（ ）
A．5 B． 或 C．5或 D．5或
5．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，阴影部分表示以 的各边为直径向上作三个半圆
所组成的两个新月形，面积分别记作 和 ．若 ，则 长是（ ）
A． B． C．4 D．5
二、填空题
6．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为
.
7．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图， 中， ， 的垂直平分线交 于点 ．
若 ， ，则 的面积为 ．
8．（2023上·山东威海·七年级文登区实验中学校联考期中）如图，在 中， 是 的角平分线， 于点 ，则 的长是 ．
9．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 是 边
上一动点，连接 将 沿着线 翻折后得 ，当 时， 的长是
．
10．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，长方形 中， 为 边上一点，
．点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边 向终点 运动，连接 ．设点 运动的
时间为 秒．当 为 时， 是等腰三角形．
三、解答题
11．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在 中， ， 是 的平分线，
．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，则 ________．12．（2023上·河南周口·八年级校考期中）如图，在 中， ，a，b，c分别是 ， ，
的对边长，且 ， ，求 的面积．
13．（2023上·四川达州·八年级校考期中）如图网格中，每个小正方形的边长为1，规定顶点在小正方形的
顶点的图形叫网格图形，图中 是网格三角形．
(1)求 的长
(2)求 的面积
(3)在网格中画一个面积为10的网格正方形
14．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，点 从点
出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动．设点 的运动时间为 秒 ．(1) ．
(2)若点 在 的角平分线上，求 的面积．
(3)当 时，求 的值．
(4)当 是等腰三角形时，直接写出 的值．
15．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可
以得到一个数学等式．因此，我们可以通过这种方式来研究某些公式或者定理．
(1)如图 所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法
计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是_______________；
(2)如图 所示，四边形 是由两个全等的直角三角形 和直角三角形 以及另外一个 无
缝拼成．若 ， ， ， ， ．试通过上述方法探究 三者
之间的等量关系；
(3)如图 所示，四边形 中， ， ．若以 为边的正方形的面积为 ，以 为
边的正方形的面积为 ，利用上述方法或者结论，求以 为边的正方形的面积．16．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以
下探究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片 中， ， ，将 沿 折叠，使点A与点B重合，折痕和
交于点E， ，求 的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点C落在 处， 交 于E，若 ，
，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片 中， ， ，点E为射线 上一个动点，把 沿直线 折
叠，当点A的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)．
