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专题 18.4 矩形中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、矩形的性质
1．平行四边形的性质矩形都具有；
2．角：矩形的四个角都是直角；
3．边：邻边垂直；
4．对角线：矩形的对角线相等；
5．矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称
中心是两条对角线的交点．
二、矩形的判定方法
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2．有三个角是直角的四边形是矩形；
3．对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）．
◆ 典例分析【典例1】在矩形ABCD中，E是AD边上一点．
（1）若∠ABE=60°，EC平分∠BED，且AB=1，求△EDC的面积；
（2）若H是AE中点且AE=BH，EF⊥BH于F点，求证：BF=AH+❑√3EF；
（3）若∠ABE=60°，EF⊥AD于E点，连接AF并反向延长至G点使得AG=AF=3EF．点H在直线
AD上方，连接BH、HF，GB=BH，∠GBH+∠ABE=180°，请探究并请直接写出AF与FH的数量关
系．
【思路点拨】
（1）利用角平分线的性质，构造△CEF≌△CED，同时得到含30°角的特殊Rt△BCF，可求出BC，进
而求出ED，再求面积．
（2）将BF分割为AH、❑√3EF两段，过A点作BF的垂线，垂足恰好是分割点，分别证明．
（3）从∠GBH+∠ABE=180°，∠ABE=60°两个条件可发现∠GBH=120°=2∠ABE，联想到可以
构造手拉手模型，再通过“8”字全等模型找到了HF与EF的数量关系，进而找到了HF与AF的数量关
系．
【解题过程】
解：（1）在矩形ABCD中CD=AB，AD=BC，∠A=∠ABC=∠D=90°．
过C作CF⊥BE于F，如图1．
∵∠CFE=∠D=90°，∠BEC=∠DEC，CE=CE，
∴△BEC≌△DEC(AAS)．
∴CF=CD=AB=1．
∵∠EBC=∠ABC−∠ABE=90°−60°=30°，∠BFC=90°，1
∴FC= BC．即BC=2CF=2．
2
∵∠A=90°，∠ABE=60°，
∴∠AEB=30°，
∴BE=2AB=2．
．
∴AE=❑√BE2−AB2=❑√22−12=❑√3
∴ED=AD−AE=BC−AE=2−❑√3．
1 1 ❑√3
∴S = ED⋅DC= − ．
△EDC 2 2 2
（2）过A作AG⊥BF于G，过A作AI⊥EF延长线于I，如图2．
∴∠AIE=90°=∠BAH，
∵∠ABH+∠AHB=90°，∠FEH+∠FHE=90°，
∴∠ABH=∠FEH．
又∵AE=BH，
∴△ABH≌△AIE(AAS)．
∴AI=AH，AB=EI．
∵AI⊥EI，EF⊥BH，AG⊥BF，
∴四边形AGFI是矩形．
∴AG=FI，GF=AI．
∵∠AGH=∠EFH，∠AHG=∠EHF，AH=HE，
∴△AGH≌△EFH．
∴EF=AG．
∴AB=IE=2AG．
在 中， ．
Rt△ABG BG=❑√AB2−AG2=❑√(2AG) 2−AG2=❑√3AG=❑√3EF∴BF=GF+BG=AH+❑√3EF．
（3）作△EAB关于AB的对称△KAB，连接KG，EH，如图3．
∵△KAB≌△EAB，
∴KA=EA，∠KBA=∠ABE=60°．
∴∠KBE=∠KBA+∠EBA=60°+60°=120°．
∵∠GBH+∠ABE=180°，
∴∠GBH=180°−∠ABE=180°−60°=120°．
∴∠KBE=∠GBH，
∴∠KBE−∠KBH=∠GBH−∠KBH．
∴∠GBK=∠HBE．
又∵GB=BH，KB=BE，
∴△KGB≌△HBE(SAS)．
∴KG=HE，∠GKB=∠HEB．
∵KA=EA，∠KAG=∠EAF，AG=AF，
∴△AKG ≌△AEF(SAS)．
∴KG=EF，∠AKG=∠AEF=90°．
∴KG∥AB．
∴∠GKB=∠KBA=60°．
∵∠BAE=90°，∠ABE=60°，
∴∠BEA=30°．
∴∠HEF=∠BEF−∠HEB=∠BEA+∠AEF−∠HEB=30°+90°−60°=60°．
∴△HEF为等边三角形，
∴FH=EF，
∴AF=3EF=3FH．
◆ 学霸必刷1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结
AE,AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S,S ,S ，若要求出S−S −S 的值，只需知道( )
1 2 1 2
A．△ABE的面积 B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
2．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形A B C D 在矩形ABCD的内部，且B C ⊥BC，点
1 1 1 1 1 1
B ，D 在对角线BD的异侧．连结BB ，DB ，BD ，DD ，若矩形ABCD~矩形A B C D ，且两个
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形B BD D的面积（ ）
1 1
A．矩形ABCD的面积 B．∠B BD 的度数
1 1
C．四边形B BD D的周长 D．BB 的长度
1 1 1
3．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD
上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为H．若知道
△APE与△DPF的周长和，则一定能求出（ ）
A．△BOC的周长 B．△ADH的周长
C．△ABC的周长 D．四边形APFH的周长
4．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，点F在BC边上，AF平分∠BAD
且AD=AF，DE⊥AF垂足为点E，连接BE并延长交CD于点G，连接DF交BG于点H，连接EC交DF
于点I，有下列结论：①∠AFD=∠CFD；②DF垂直且平分EC；③△EFC≌△EHD；④AB=EG；⑤
∠EGC=67.5°．其中正确的结论有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
5．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，
BF=2AF，点E 是CB边的中点，连接E F，E D，得到△E FD；点E 是CE 的中点，连接
1 1 1 1 2 1
E F，E D得到△E FD；点E 是CE 的中点，连接E F，E D，得到△E FD；…按照此规律继续进
2 2 2 3 2 3 3 3
行下去，若矩形ABCD的面积等于6，则△E FD的面积是 ．
2023
6．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D，E是AB边的中
点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE，若CE=4，CF=5，则AF的值为 ．
7．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，E 为 BC 边上
一动点，作 EF⊥AE，且 EF=AE．连接 DF，AF．当 DF⊥EF 时，△ADF的面积为 ．
8．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，E为BC上一点，且BE=1，作EF⊥AE交边CD于F，将△CEF沿EF折叠后点C恰好落在AD边上的G处，则AD长＝ ．
9．（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且AB=3，AE=4，BC=14，点P
是线段BC上的一个动点，将点B沿PE翻折得点F，当BF=CF时，BP= ．
10．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连接
EF，将矩形沿EF对折，点A的对应点A′恰好落在边BC上，D的对应点为D′，A′D′恰好经过CD的中点
M．若AB=2A′B=8，则折痕EF的长度为 ．
11．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，AB=1，
∠BOA=60°，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点
3
F，与BD交于点M．给出下列四个结论：①BF=BO；②AC=CH；③BE=3DE；④S = S ；
△ACF 2 △BMF
⑤AH=❑√6+❑√2．其中正确的结论有 （填写正确的序号）．12．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，
A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运
动．
（1）△OPD的面积S=________；
（2）当t为何值时，CP=OD？
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）．
13．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形ABCD中，点E、F在对角线AC上，AE=CF，连接
BE、DF．
（1）如图1，求证：BE∥DF；（2）如图2，当AE=2EF时，连接BF，DE，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四个三角形，使
3
写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的 ．
10
14．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知如图，矩形ABCD中，AB=5，P为BC上一个动点，
BP=m，点B关于直线AP的对称点是点E．
（1）当m=2时，若直线PE恰好经过点D，求此时AD的长；
（2）若AD足够长，当点E到直线AD的距离不超过3时，求m的取值范围．
15．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图1，在长方形ABCD中，∠A=∠B=90°，含45°角的直角三
角板放置在长方形内，∠FEG=90°,EG=EF，顶点E、F、G分别在AB、BC、AD上．
（1）求证：△AEG≌△BFE；
（2）若P是斜边FG的中点．
①如图2，连接EP，请写出线段EP与AG、BF之间的数量关系，并说明理由；②如图3，连接BP，若AB=3❑√2，则BP的长等于
16．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，点E为AD中点，连接
BE，CE，点F为BE中点，点G为线段CE上一点，连接AF，FG．
（1）如图1，若点G为CE中点，求证：四边形AFGE为平行四边形；
（2）如图2，若点G使得∠FGE=2∠ECD，求四边形AFGE的面积；
（3）如图3，连接BG，若点G使得∠EBG=45°，求CG的长．
17．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在矩形ABCD中，E是AD延长线上一点，连接BE、CE．
（1）如图1，F、G分别为EC、AD的中点，连接BG、CG、FG．
①求证：BG=CG；
②探究并猜想线段BE和GF的数量关系为______，并证明你的结论；（2）如图2，若ED=CD，过点C作CH⊥BE于点H，若AD=4，∠ABE=4∠BEC，求线段EH的长
度．
18．（2023·贵州铜仁·三模）阅读材料：如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点E是边AD上动
点，将△AOE沿OE翻折得△FOE，连接AF并延长AF交边DC于点M，连接BF．
【发现问题】
（1）如图①，判断△ABF的形状是________三角形．
【探究发现】
（2）如图②，当E、F、C三点在一条直线上时，求证：M为边DC中点
【拓展迁移】
（3）如图③，延长OF交射线AD于点N，当AB=8，BC=6，DN=2时，求AE的长．19．（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是BC上一动点，将
△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G；
（1）如图1，当∠DAG=30°时，求BE的长；
（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长：
（3）如图3、在矩形ABCD中，E，G分别是BC、CD上的一点，AE⊥EG，将△EGC沿EG翻折得
△EGC′，连接AC′，若△AEC′是以AE为腰的等腰三角形，则求此时BE的值．20．（22-23八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，已知A(6,0)
，B(0,8)．
（1）如图1，点M是y轴上一点，将△AOM沿着AM折叠，使点O落在AB上的N处，求M点的坐标；
（2）如图2．四边形AOBC是矩形，D是AC边上一点（不与点A、C重合），将△BCD沿直线BD翻
折，使点C落在点E处，当以O，E，B三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求E点的坐标；
（3）如图3，在OA上一点G坐标为(2,0)，连接BG，点F与点O关于直线BG对称，在（2）的条件下，
当B，E，F三点共线时，求DG的长度．
