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专题 18.6 菱形中的几何综合
◆ 典例分析
【典例1】问题背景：如图，在菱形ABCD中，连接AC，AB=5，AC=6．
初步探究：
（1）菱形ABCD的面积为 ．
（2）如图1，若E，F分别是AB，CD上的动点，且AE=DF，过点E作EG⊥AC，过点F作
FH⊥AC，垂足分别为点G，点H，求EG+FH的值．
拓展延伸：
（3）如图2，P是CD上的动点，连接AP．
①AP的最小值为 ；
②如图3，Q是AD上的动点，连接CQ，且AQ=DP，求AP+CQ的最小值．
【思路点拨】
1 1
（1）连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质得出BO=DO= BD，AO=CO= AC=3，AC⊥BD，
2 2
根据勾股定理求出 ，最后求出结果即可；
BO=❑√AB2−AO2=4
（2）连接BD，交AC于点O，过点E作EK⊥BD于点K，证明△BEK≌△FCH(AAS)，得出BK=FH，
即可得出EG+FH=EG+BK+OK+BK=OB=4，求出结果即可；
（3）①过点A作AP′⊥CD于点P′，根据垂线段最短，得出AP的最小值为AP′的长，根据菱形面积求出
结果即可；
②在BC的延长线上截取CR=CD，连接PR，AR．证明△CDQ≌△RCP(SAS)，得出CQ=PR，根据当
点A，点P，点R在同一条直线上时，AP+PR有最小值，即AP+PR的最小值为AR的长，过点A作AT⊥BR
于点T，根据勾股定理求出
AR=❑√AT2+T R2=❑
√ (24) 2
+
(43) 2
=❑√97
．
5 5
【解题过程】
解：（1）连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
1 1
∴BO=DO= BD，AO=CO= AC=3，AC⊥BD，
2 2
∴ ，
BO=❑√AB2−AO2=4
∴BD=2×4=8，
1
∴S = ×6×8=24；
菱形ABCD 2
（2）如图1，连接BD，交AC于点O，过点E作EK⊥BD于点K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EG⊥AO
∴四边形EKOG是矩形
∴EG=OK
1
∵OA= AC=3，EK∥AC，
2
∴ ，
OB=❑√AB2−OA2=❑√52−32=4
∵AE=DF，
∴AB−AE=CD−DF，即BE=CF．
∵EK∥AC，∴∠EAG=∠BEK．
又∵∠EAG=∠FCH，
∴∠BEK=∠FCH，
又∵∠EKB=∠FHC=90°，
∴△BEK≌△FCH(AAS)，
∴BK=FH，
∴EG+FH=EG+BK=OK+BK=OB=4，
∴EG+FH的值为4．
（3）①如图2，过点A作AP′⊥CD于点P′，
∵垂线段最短，
∴AP的最小值为AP′的长，
由（1）可知菱形ABCD的面积为24，
∴CD·AP′=24，
即5AP′=24，
24
解得： AP′= ，
5
24
∴AP的最小值为 ．
5
②如图3，在BC的延长线上截取CR=CD，连接PR，AR．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AD∥BC，
∴∠D=∠DCR，
∵AQ=DP，∴AD−AQ=CD−DP，即DQ=CP．
又∵CD=CR，
∴△CDQ≌△RCP(SAS)，
∴CQ=PR，
∴AP+CQ=AP+PR，
∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，AP+PR有最小值，
即AP+PR的最小值为AR的长，
∴AP+CQ的最小值为AR的长
过点A作AT⊥BR于点T，
24
由①易知AT= ，
5
∴
BT=❑√AB2−AT2=❑
√
52−
(24) 2
=
7，
5 5
7 18
∴CT=BC−BT=5− = ，
5 5
18 43
∴TR=CT+CR=5+ = ，
5 5
∴
AR=❑√AT2+T R2=❑
√ (24) 2
+
(43) 2
=❑√97
，
5 5
∴AP+CQ的最小值为❑√97．
◆ 学霸必刷
1．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°,BC=2❑√2,E,F分别是边
CD,BC上的动点，连接AE和EF,G,H分别为AE,EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（ ）
❑√6
A．❑√2 B． C．2 D．1
2
2．（2025·安徽合肥·二模）在菱形ABCD中，已知AB=5，BD=8，AC与BD相交于点O，点E为OD上一点，将△ADE沿着AE翻折得到△AFE，使点F落在边BC上，则DE的长为（ ）
12 25
A． B．2.5 C．3 D．
5 8
3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E,F为边AD，CD上的动点，
且AE=CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
4．（2025·福建漳州·二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连
接OE，若AC=6,BD=8，则下列结论错误的是（ ）
5
A．AB=5 B．OE=
2
24
C．菱形的面积为48 D．点A到BC的距离为
5
5．（24-25九年级下·浙江·期中）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BCD=60°，E为AD上一动点，
连接BE，以BE为腰作等腰三角形BEE'，使得∠EBE'=120°，连结AE'．当AE=3时，△ABE'的面积
为（ ）3
A．2❑√3 B． C．❑√3 D．3
2
6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=120°，点P在对角线BD上，点M在边
AD上，DM=1，点N为AB中点，则PM+PN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．❑√21 D．❑√5
7．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中点，
将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点H，有
❑√3
如下结论：①∠CFH=30°；②DE= AE；③CH=GH；④S :S =3:5，上述结论中，
3 △ABF 四边形AFCD
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
8．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，
∠ABD=70°．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分
别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为E ，E ；点F关于BC，CD的对称点为
1 2
F ，F ．在整个过程中，四边形E E F F 形状的变化依次是（ ）
1 2 1 2 1 2A．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
C．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
9．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，PE⊥BC于
点E，PF⊥CD于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为BD中点时，则PE=PF；②
PE+PF=
ℎ
；③∠EPF+∠A=180°；④若AB=2,∠EPF=60°，连接PC，则PE+PC有最小值为
❑√3
2；⑤若
ℎ
=2,∠EPF=60°，连接EF，则S
△PEF
的最大值为
2
．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形ABCD是菱形，AB=❑√3，∠ABC=60°，E，F分别是BC和
BD上的动点，且CE=DF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为 ．
11．（2025·山东枣庄·二模）如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=4，点E、F分别是边AB、AD
上的动点，且AE=DF，则EF的最小值是 ．12．（2025·山东济南·二模）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8．点E、F分别是BC、AB边上
的动点，且BF=2CE，以EF为边向右作等边△EFG，连接CF、CG、DG．当CG=EG时，DG的值为
．
13．（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°．点E、F、G、H分别是边
1
AB、BC、CD、DA的中点，在直线FG上方有一动点P，且满足S = S ．则△ADP周
△PFG 8 四边形EFGH
长的最小值为 ．
14．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，菱形ABCD边长为4，∠B=60°，F是BC的中点，E，G
分别是边AB，CD上的两个动点，且EG⊥AB，连接EF、AG，则EG= ，EF+AG的最小值是
．
15．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将
△ABD沿着射线BD的方向平移，得到△EFG，连接CE，ED，FC，则CE+CF的最小值为 ．16．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=8，点M是
AB中点，点N在BC边上，以MN为对角线作菱形MDNE，使∠DME=120°，连接DE，当DE与
△ABC的一条边平行时，菱形MDNE的边长为 ．
17．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，过点B作BC的垂线，过点D
作CD的垂线，两垂线相交于点E，F是DE延长线上一点，且EF=BG，连接BF，DG，DG交FB的延
长线于点H，连接AH．若BH=1，DH=3，则AH的长为 ．
18．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，过A作AE∥CD，
过D作DE∥AC分别交AB、AE于点O、E，连接BE．
（1）证明：四边形ADBE为菱形；（2）若AD=2,AC=3，求菱形面积．
19．（2024九年级下·浙江·学业考试） 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E,F分别在边
BC,CD上，∠EAF=60°．
（1）求证：CE=DF；
（2）若AB=4，求四边形AECF的面积．
20．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形ABCD中，点E是DC的中点，延长DC至点G，使
1
得CG= CD，连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接BG，FG．
2（1）求证：四边形BEFG是菱形；
（2）若EB平分∠AEG，AB=4，求菱形BEFG的面积．
21．（2025·云南楚雄·三模）在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接BF、DE，M、N分
别是DE、BF的中点，连接EN、FM．
（1）求证：四边形ENFM是菱形；
（2）若矩形ABCD的面积为48，BE+BC=11，求四边形ENFM的周长．
22．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以
线段AE为边作一个菱形AEFG，且∠DAB=∠EAG，连接EC,GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°,AB=2,AG=❑√3，求GD的长．
（3）连接DE、BG，若∠GAB=90°，BG2=10，DE2=10+4❑√3，求△AEB的面积．23．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知在菱形ABCD中，∠DAB=30°．
（1）如图1．过点B作BE⊥AD点E，连接CE，点F是线段CE的中点，连接BF，若AE=❑√3，求线段
BF的长度；
（2）如图2，连接AC．若AB=2❑√6，点Q是对角线AC上的一个动点，求QB+QC+QD的最小值．
24．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知AE∥BF，AB=6，C为射线BF上一动点（不与B重合）），
△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC．
（1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，点C为BG的中点，且BG=10，求DG的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，对角线AC，∠ABC=60°，P为BC的中点，当△APQ为等腰三角形时，
直接写出DQ的长．25．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知菱形ABCD中∠ADC=60∘，点F是射线DC上一动点（不与
C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．
1
（1）若点F在边CD上，且CF< CD，过点C按如图所示作∠HCG=60∘并交AE于点G.
2
①证明：∠DAH=∠DCH；
②猜想△GEC的形状并说明理由．
（2）若菱形ABCD边长为4，当△BCH为等腰三角形时，求BE的长．
26．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为边AB上一点（不与
点A、B重合），连接CE，点F在线段CE上满足∠BFE=60°，连接AC．
（1）求证：∠CBF=∠ACE；
（2）连接DF，点N是线段DF中点，连接CN．依题意补全图形，用等式表示线段BF、CF、CN之间
的数量关系，并证明．27．（24-25八年级下·上海·期中）如图，等腰△ABD中，AB=AD，O为边BD的中点，射线BC交AO的
延长线于点C，∠DBC=∠DBA．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若∠BAD=120°，点E、F分别在射线BC、射线CD上，且EA=EF，求证：∠AEF=60°；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若△AED为直角三角形，AB=2，直接写出DF的长．
28．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP
为边向右侧作等边△APE(A,P,E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连结CE，小明通过连接AC后证
明得到BP与CE的数量关系是______________；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予
以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在BD的延长线上时，其他条件不变，连接BE，若AB=2❑√3，BE=2❑√19，求PB的长．29．（24-25八年级下·天津·期中）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，G为边CD上一点，E为CA
延长线上一点，∠GBE=60°．
（1）求证：BE=BG；
（2）连接ED，若∠BED=90°，BE=❑√6，则S =________；
四边形EBCD
（3）如图2，EG交AD于点F，延长EG，交BC的延长线于点H，探究AE，AF与CH的数量关系．并
说明理由．30．（24-25八年级下·四川泸州·期中）体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，
1
对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接PA，利用△PAD与△PAB面积之和是菱形面积的 ，可求出
2
PE+PF的值．
（1）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6和8，点P为对角线BD上一动点（不与点B、
D重合），过点P分别作AD和AB的垂线，垂足为点E和F，求PE+PF的值，请你写出求解过程．
（2）如图2，若ABCD为矩形，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D
恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线
BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEGF，若DM=13，CN=5，求平行四边形的周长；
（3）如图3，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB，AC，BC的垂线，垂足分别为点H ，
1
H ，H ，若PH −PH +PH =3，请求出△ABC的面积，并写出推理过程．
2 3 1 2 3
