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专题 21.5 一元二次方程（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（22-23八年级下·浙江·开学考试）已知下面三个关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0, bx2+cx+a=0, cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根b，则a+b+c的值为
（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
5
2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若x=2是关于x的一元二次方程x2− ax−a2=0(a>0)的一个根，
2
下面对a的值估计正确的是（ ）
1 1 3 3
A．0
33
3 3 3 12
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形
菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）A．若a=16，S=196，则有一种围法
B．若a=20，S=198，则有一种围法
C．若a=24，S=198，则有两种围法
D．若a=24，S=200，则有一种围法
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 （ 均为常
x m(x−ℎ) 2−k=0 m,ℎ,k
数，且 ）的解是 ， ，则关于 的一元二次方程 的解是 ．
m≠0 x
1
=2 x
2
=5 x m(x−ℎ +3) 2=k
12．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前
面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒．
13．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如果关于 x的一元二次方程x2+4x+m+2=0有实数根，且关于y
my+1 2
的分式方程 =5+ 有正整数解，那么符合条件的所有整数m的和为 ．
y−3 3−y
14．（23-24九年级上·湖南湘西·阶段练习）已知关于x的一元二次方程
1 1
(2n−mn)x2+2(m−n)x−2m+mn=0有两个相等的实数根，那么 + 的值为 ．
m n
15．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)=m有实数根x ，x ，
1 2
且x ≠x ，有下列结论：
1 2
1
①m≥− ；
4
②若x =1，则x =4；
1 2
③关于x的方程(x−3)(x−4)=m的根为x −1，x −1；
1 2
④关于x的方程 的根为2，3．
(x−x )(x−x )+m=0
1 2其中正确结论的有 ．
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（6分）（22-23八年级上·上海青浦·期末）解方程：
（1）❑√x+2−❑√8−x=2；
2x 1
（2） − =1；
x2−2x−3 x−3
（3）
2x2−3❑√2x2−1+1=0
17．（6分）（22-23九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知关于x的方程(2m−1)x2−(2m+1)x+1=0．
（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根；
（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有求出m的值，若没有请说明理由．
18．（6分）（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方
法快速计算出1+2+3+⋯+100的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，n
，…的前n项和：
1 + 2 + ⋯ + n−1 + n
由 n + n−1 + ⋯ + 2 + 1
(n+1) + (n+1) + ⋯ + (n+1) + (n+1)(n+1)×n
可知1+2+3+⋯+n= ．
2
应用以上材料解决下面问题：
（1）有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第
n行有n个点，⋯．若该三角点阵前n行的点数和为325，求n的值．
（2）在第一问的三角点阵图形中，前n行的点数和能是900吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．
（3）如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，3n，…，前n行的点数和能是900吗？
如果能，求出n；如果不能，说明理由．
19．（6分）（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天
各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比
乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．
（1）分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；
1 1
（2）实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加 a万元，且每天多挖 a．乙每合格完成1米
6 24
1 1 ( 11 )
隧道施工成本增加 a万元，且每天多挖 a米．若最终每天实际总成本比计划多 24+ a 万元，求a的
3 8 2
值．
20．（6分）（22-23九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家
挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天
的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤
圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手
工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店
按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格
全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
21．（8分）（23-24九年级上·福建泉州·期中）阅读材料，解答问题：
已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，则m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的
实数根，由根与系数的关系可知m+n=1，mn=−1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
已知实数a，b满足：a2−5a+1=0，b2−5b+1=0且a≠b，则a+b=______，ab=______；
（2）间接应用：
2mn+2
已知实数m，n满足：2m2−7m+1=0，n2−7n+2=0，且mn≠1，求 的值．
mn+3n+1
（3）拓展应用：
1 1
已知实数p，q满足：p2−2p=3−t， q2−q= (3−t)且p≠q，求(q2+1)(2p+4−t)的取值范围．
2 222．（8分）（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动
点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，
当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t(s)．
（1）当t=2s时，四边形BCQP面积是______cm
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是4cm？
（3）当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．23．（9分）（23-24八年级上·四川成都·期末）已知平面直角坐标系中，直线 图象上有两点
AB A(2,2❑√3)
和点 ，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
B(5,❑√3)
（1）求直线AB的表达式；
（2）若在y轴上有一异于原点的点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；
（3）若将线段AB沿直线y=mx+n(m≠0)进行对折得到线段A B ，且点A 始终在直线OA上，当线段
1 1 1
A B 与x轴有交点时，求n的取值的最大值．
1 1
