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专题 22.6 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长、线段最值问题
之三大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 利用二次函数求面积最值问题】....................................................................................................1
【考点二 利用二次函数求周长最值问题】..................................................................................................12
【考点三 利用二次函数求线段最值问题】..................................................................................................26
【典型例题】
【考点一 利用二次函数求面积最值问题】
例题：（2022春·九年级单元测试）如图，抛物线 经过点 ，与 轴的另一
个交点为 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为抛物线上一动点（与点 ， 不重合），设点 的横坐标为 ，连接 ， ，若点 在直线
的下方运动，当 的面积最大时，求 的值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线，求解即可得出其解析式；
（2）首先求出直线 解析式，然后设点 ，则点 ，利用 面积构建二次函数，
即可求出最值．
【详解】（1）由题意，得将 代入抛物线，得
解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）令 ， ，
解得： 或 ，即点 ，
过点P作 轴的平行线交 于点G，如图所示：
设直线 的解析式为 ，
将B、C的坐标代入一次函数表达式，得
，
解得 ，
直线 为 ，
设点 ，则点
则 ，∴
∴当 时，其最大值为 ．
【点睛】此题主要考查求二次函数解析式以及三角形面积的最值问题，要求熟练掌握二次函数的图象和性
质．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x
轴交于 ， 两点，与y轴交于C点，点P是直线 下方抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当动点P运动到什么位置时，使四边形 的面积最大，求出此时四边形 的面积最大值和P的
坐标．
【答案】(1) ；
(2)当 时，四边形ABCP的最大值是 ， ．
【分析】对于（1），直接将点A，B的坐标代入关系式，即可求出答案；
对于（2），分别求出各线段的长，再表示出点P的坐标，然后根据 列出二
次函数，整理为顶点式，再讨论极值即可得出答案．【详解】（1）∵二次函数 的图象与x轴交于 两点，
∴ ，
解得： ，
∴这个二次函数的表达式为： ；
（2）当 时， ，
∴点 ．
∵ ， ，
∴ ， ， ．
设点P的坐标为 ，
，
．
∵ ，∴当 时，四边形 的最大值是 ，
此时点P的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求特殊图形的面积，求二次函数的极值等，将不
规则图形的面积转化为规则图形的面积和是解题的关键．
2．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y
轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为 ．
(1)求D点的坐标；
(2)连接 ，说明 ；
(3)若点P是直线 下方抛物线上一动点，当点P位于何处时， 的面积最大？求出此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）将 代入求出抛物线表达式，化为顶点式可得结果；
（2）求出点B，点C坐标，分别求出 ， ， ，得到 ，即可证明结果；（3）过点P作 轴，垂足为R，与 交于点Q，求出 的解析式，设 ，则
，得到 ，表示出 的面积，再根据二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，
则 ，
解得： ，
，
；
（2）连接 ，如图，
∵ ，
令 ，则 ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图，过点P作 轴，垂足为R，与 交于点Q，设 的解析式为 ，将 ， 代入，
得 ，解得： ，
∴ 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
∵点P在 下方，
∴ ，
∴当 时， 的面积最大，
此时， ．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，三角形的面积，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，
正确表示出 的面积是解题关键．
3．（2023年辽宁省营口市中考模拟考试（一模）数学试卷）已知直线l与 轴、 轴分别相交于 、
两点，抛物线 经过点 ，交 轴正半轴于点 ．(1)求直线 的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点 ，连接 、 ，求 面积的最大值及点 的坐标．
(3)抛物线上是否存在点 使 为直角三角形，如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说
明理由．
【答案】(1)一次函数解析式为： ，二次函数解析式为：
(2) ，
(3)存在，点 的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）先利用待定系数法求得直线 的函数解析式，求得点B的坐标，从而可以求得抛物线的解析
式；
（2）根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含m的代数式表示出S，然后将其化为顶
点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；
（3）分三种情况讨论，分别当 为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解．
【详解】（1）解：设 ，
把 ， 代入得： ，
， ，
一次函数解析式为： ，
把 代入 ，
，，
二次函数解析式为： ；
（2）解：连接 ，
把 代入 得， ，
或3，
抛物线与 轴的交点横坐标为 和3，
设点 ，
在抛物线上，且在第一象限内，
，
的坐标为 ，
，
当 时， 取得最大值 ．
此时 的坐标为 ；
（3）解：设点 ，
则 ， ， ，
当 为斜边时，则 ，解得 （舍去）或 ，
∴点 ；
当 为斜边时，则 ，
解得 （舍去）或 ，
∴点 ；
当 为斜边时，则 ，
解得 （舍去）或 （舍去）或 或 ，
∴点 的坐标为 或 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，
解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化
的数学思想解答．
4．（2023·广东佛山·统考三模）如图，抛物线 交直线 于坐标轴上 两点，交
轴于另一点 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为线段 上一点，过点 作直线 ，交 轴于点 ．连接 ，求 面积的最大值；
(3)若在直线 上存在点 ，使得以点 为顶点的四边形为菱形，求点 的坐标．
【答案】(1)(2)
(3) 或
【分析】（1）根据直线 ，求出 ， ，再代入二次函数解析式即可．
（2）根据二次函数解析式，得到 ，从而得出 ，再根据直线 ，设 ，
将 代入得 ，得出 ，则 ，从而得出
，得出面积最大值．
（3）根据菱形的性质进行分类讨论，① ，根据 ， 得出 ，求
出 的值从而求解；② ， ， ，得出 ，求出 的值
从而求解．
【详解】（1） 直线 于坐标轴上 两点，
， ，
抛物线 的图象过 两点，代入得，
，
解得 ，
抛物线的解析式为： ；
（2）如图，
抛物线的解析式为： ，
当 时， ，解得： ，
，
，
，
直线 ，
设 ，
点 为线段 上一点，设 ，代入得， ，
，
，
，
，
当 时， 有最大值 ．
（3）存在，理由如下：
， ，
，
以点 为顶点的四边形为菱形，
① ，
， ，，
，
点 为线段 上一点，
，
直线 ，以点 为顶点的四边形为菱形，
，
，
②
， ，
，
，
当 时， 与点 重合，不符合题意，舍去，
当 时， ，
直线 ，以点 为顶点的四边形为菱形，
，
，
综上所述： 的坐标为 或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、面积最值、平面直角坐标系中两点之间的距离等相关
知识点，知晓两直线平行，斜率相等是解决本题的关键．
【考点二 利用二次函数求周长最值问题】
例题：（2023秋·河南周口·九年级统考期末）已知抛物线 的图象与 轴交于点A、B
（A在B的左侧），与 轴交于点 ，顶点为D．
(1)试确定 的值，并直接写出D点的坐标．
(2)试在 轴上求一点P，使得 的周长取最小值．
【答案】(1) ，
(2)点P的坐标为 ； 的周长最小值为 ．
【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，求出a，直接写成顶点坐标D，即可得出结论；
（2）利用对称性即可得出结论．【详解】（1）解：∵抛物线过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴顶点D的坐标为 ；
（2）解：如图，
∵ 是定值， 的周长要最小，
∴ 最小，
作点C关于x轴的对称点 连接 ，交x轴于P，
即：点P为所求作的点；
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点P的坐标为 ；
∵ ，∵ ，
，
∴ ．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，求出点P的坐标是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y
轴交于点 ，点D为抛物线的顶点．
(1)直接写出抛物线的函数表达式；
(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；
若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)存在， ；
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴 ，即可得出 ，设直线 的解析式为： ，求出解析式，
把 代入，求出 ，再求出 ， ， ，即可求出周长．
【详解】（1）将 ， ， 代入得: ,
解得:
所以抛物线的函数表达式：
（2）存在；∵抛物线的解析式为： ，
∴抛物线的对称轴 ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
∵ ，
∴ 解得 ，
∴ 直线 的解析式为： ，
把 代入直线 的解析式 ，得 ，
∴ ；
∴
∴【点睛】本题考查二次函数，利用待定系数法求出解析式是解题的关键，利用对称轴求出坐标是解（2）
题的关键．
2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，与 轴交于
点，且 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)判断 的形状，证明你的结论；
(3)点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 周长最小时，求点 的坐标及 的最小周长；
(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点 ，使得 的面积最大？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为： ；
(2) 是直角三角形
(3) ， 的最小周长为：
(4)存在，
【分析】（1）根据点 在抛物线 上，解出 ，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点 的坐标；
（2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点 的坐标，根据勾股定理的逆定理即可；
（3）当点 在 与对称轴的交点上，根据点 ，点 是对称点，连接 ，则 且 ， ，
三点在一条直线上，距离最短，设 的解析式为： ，求出 的解析式，则得到点
的坐标，即可；
（4）以 为底，则 ，当点 到 的距离最远时， 的面积最大如图所示，作直线
,当直线 与抛物线 仅有一个交点时， 最大，交点即为点 ．
【详解】（1）∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ；
∵顶点坐标公式为： ，
∴点 ．
∴抛物线的解析式为： ； ．
（2）∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵抛物线 与 轴交于点 ，点 ，
∴ ，
∴ ， ，∴点 ，
∴ ， ， ，
∵ ； ； ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
（3）∵点 ，点 是对称点，点 在 与对称轴的交点上，
∴
此时 ， ， 三点在一条直线上，距离最短，
；
设 的解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴
当 时， ，
∴点 ；
∴点 的坐标为 ， 的最小周长为： ．
（4）存在，理由如下：
∵以 为底，∴ ，
当点 到 的距离最远时， 的面积最大，作直线 ，且与 仅有一个交点，
设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵直线 与 仅有一个交点，
∴ 仅有一个实数根，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
由 ，解得 ，
∴点 ．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，
线段的距离．
3．（2022秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考阶段练习）如图，已知抛物线
的对称轴为直线 ，且抛物线经过 ， 两点，与x轴的另一个交点为
点B，其顶点为点D．(1)求抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴 上找一点M．使 的周长最小，求出点M的坐标．
(3)在（2）的条件下，连接 ，点E是直线 上的一个动点，过点E作 交抛物线于点F，以
M，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)能；E点坐标为 或 或
【分析】（1）由对称轴得到a、b的关系，再将 ， 代入 即可求解析式；
（2）作点C关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 交点M，当A、M、 三点共线时，
的周长最小，求出直线 解析式即可求M；
（3）求出直线 的解析式 ，设 ， ，只需 即可求E点坐标．
【详解】（1）∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 ，
将点 ， 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）令 ；则 ，
∴ ，
如图1，作C点关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 交点M，
∵
∴ ，
∴当A、M、 三点共线时， 的周长最小，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ；
（3）如图2，以M、D、E、F为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：∵ 的顶点为 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，以M、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
令 ，则 ，
∴ 或 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E是直线 上的一个动点，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 （舍）或 或 或 ，
∴ 或 或 ，
综上所述：以M、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，E点坐标为 或 或
．
【点睛】本题考查二次函数与四边形的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题
关键．
4．（2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习）如图，已知抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，
(1)求 的值及抛物线的顶点坐标
(2)点 是抛物线对称轴 上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标．
(3)点 为抛物线在第一象限上的一个点，连接 ， ，当 的面积最大时，求出 的最大面积
和点 的坐标；
【答案】(1) ， 抛物线的顶点坐标为 ；
(2) 点坐标为 ， ；
(3) 的最大面积为 ，点 的坐标为： ．
【分析】（1）将点 的坐标为 代入解析式中，即可求得 的值，然后利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据 、 关于抛物线的对称轴对称，先连接 交抛物线对称轴于点 ，则此时 的值
最小，然后利用待定系数法求得直线 的解析式，从而求出 点坐标；
（3）过 点作 轴交 与点 ，利用 、 所在的图像设出坐标，再利用“铅垂高水平宽”求出
面积与坐标的关系，最后利用顶点坐标求最值即可得解．
【详解】（1）解：将点 的坐标为 代入解析式 中得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
顶点坐标的横坐标为： ，代入解析式中得 ，
∴抛物线的顶点坐标为： ；
（2）解：将 代入到 中，得： ，∴
∴点 的坐标为 ， ，
令 中 ，得 ，
解得 ，或 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵根据 、 关于抛物线的对称轴对称，
∴连接 交抛物线对称轴于点 ，则此时 的值最小，即 的周长 最小，设直线 的解析式为： ，
将 、 的坐标分别代入得：
解得：
所以直线 的解析式为：
将 代入到 得：
∴ 点坐标为 ， ；
（3）解：过 点作 轴交 与点 ，设 的坐标为 ， 的坐标为 ， 到
的距离为 ， 到 的距离为 ，由图可知 ，
∴
∴ ，
∵
∴当 时， 的面积最大，最大面积为 ，
将 代入 中，得： ，
故当 的面积最大时点 的坐标为： ．
【点睛】此题考查的是①待定系数法求二次函数的解析式；②求两条线段之和最小时确定动点的位置问题；③利用“铅垂高水平宽”求面积最值问题．解决此题的关键是掌握如何确定两条线段之和最小时动点的位
置和把面积最值问题转化成二次函数最值问题．
5．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点 ， ，矩形 的边 在线段
上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 ，当 时， ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且
直线 平分矩形 的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】(1)
(2)当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为
(3)4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 ，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可
求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得 ，则 ，再得出 ，根据矩形的周长公式，
列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，根据矩形的性质和平移的性质推
出四边形 是平行四边形，则 ， ．求出 时，点A的坐标为 ，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 ．
∵当 时， ，
∴点C的坐标为 ．
将点C坐标代入表达式，得 ，
解得 ．
∴抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：由抛物线的对称性得： ，
∴ ．
当 时， ．
∴矩形 的周长为
．
∵ ，
∴当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ．
（3）解：连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ．∵直线 平分矩形 的面积，
∴直线 过点P．．
由平移的性质可知，四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴P是 的中点．
∴ ．
当 时，点A的坐标为 ，
∴ ．
∴抛物线平移的距离是4．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题
的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性
质，以及平移的性质．
【考点三 利用二次函数求线段最值问题】
例题：（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线 ： ，抛物线 与 关于点 中心
对称， 与 相交于A，B两点，点M在抛物线 上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线 上，也
位于点A和点B之间，且 轴．(1)求抛物线 的表达式；
(2)求线段 长度的最大值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）先求出抛物线 ： 的顶点坐标为 ，然后求出点 关于 对称后的点坐
标为 ，再抛物线 的解析式为： ；
（2）先求出A、B两点横坐标分别为 和 ，设 ， 其中 ，则
，求出最大值即可．
【详解】（1）解：抛物线 ： 的顶点坐标为 ，
点 关于 对称后的点坐标为 ，
∵抛物线 与抛物线 关于 成中心对称，
∴抛物线 的解析式为： ．
（2）解：∵抛物线 ： 与 ： 交于A、B，
∴令 ，解得： 或 ，
则A、B两点横坐标分别为 和 ，
设 ， ，其中 ，
则 ，
∴当 时， 最大为8．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，
利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值．
【变式训练】
1．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和
，其顶点的横坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线 与 轴交于点 ，在第一象限内与抛物线交于点 ，当 取何值时，使得 有最大
值，并求出最大值．
(3)若点 为抛物线 的对称轴上一动点，将抛物线向左平移 个单位长度后， 为平移
后抛物线上一动点．在（ ）的条件下求得的点 ，是否能与 、 、 构成平行四边形？若能构成，求
出 点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时， 有最大值为(3)能，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设 ，进而分别表示出 ，得出关于 的二次函数，根据二次函数的性质，
，即可求得最大值；
（3）由（1）知， 向左平移后的抛物线为 ，由（2）知 ，设
，假设存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可
求解，①当以 为对角线时，②当以 为对角线时，③当以 为对角线时．
【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为
对称轴为
与x轴另一交点为
∴设抛物线为
∴抛物线的表达式为
（2） 在抛物线上
∴设
在第一象限∴当 时， 有最大值为
（3）由（1）知， 向左平移后的抛物线为
由（2）知
设 ，假设存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形．
①当以 为对角线时，
平行四边形对角线互相平分
，即
在抛物线 上
的坐标为
②当以 为对角线时
同理可得 ，即
则的坐标为
③当以 为对角线时
，即
则
的坐标为
综上所述：存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形．
的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形
的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于
， 两点．与y轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过点P作y轴的平行线
交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求
出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在， 的最大值为 ，
(3) 或
【分析】（1）将 、 、 代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线 的解析式为 ，设 （ ），可求
，从而可求 ，即可求解；
（3）过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ，
设 ， 可求 ， ，由 ，可求 ，进而求出直线
的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）解：设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，直线 的解析式为 ；
设 （ ），
，
解得： ，
，
，
，
，
，
，
当 时， 的最大值为 ，
，
．故 的最大值为 ， ．
（3）解：存在，
如图，过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
设 ，
，
，
，
，
，
解得： ，
；
设直线 的解析式为 ，则有
，解得 ，
直线 解析式为 ，
，且经过 ，
直线 解析式为 ，
当 时， ，
；
综上所述：存在， 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理
等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
3．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，抛物线 与x轴交于点 和点
B，与y轴交于点 ，顶点为D，连接 ，P是第一象限内抛物线上的动点，连接
，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时， 的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线 上一点，求 的最小值；
(4)过P点作 轴，交 于E点．是否存在点P，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)当 时， 的面积最大，最大面积为32
(3)
(4)存在，P点的坐标为 ， ，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）利用抛物线的解析式求出点B的坐标，得到直线 的解析式，过点P作 轴，交x轴于点F，
交 于点G，利用 求出解析式，利用函数性质解答即可；
（3）作O关于直线 的对称点为 ，得到四边形 为正方形，则 ，则
，当A、M、 三点共线时， 最小，即为线段 的长，勾股定理求出
即可．
（4）分三种情况：当 时，当 时，当 时，分别求出点P的坐标
【详解】（1）解：由题意得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）当 时，得 或 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得
∴直线 的解析式为 ．
如图，过点P作 轴，交x轴于点F，交 于点G．设点 ， ．
∴ ．
∴ ，
∴当 时， 的面积最大，最大面积为32；
（3）作O关于直线 的对称点为 ，连接 ，如图，
∵ ， ，
∴四边形 为正方形，则 ，
则 ，
当A、M、 三点共线时， 最小，即为线段 的长，
∴ 最小值为 ．
（4）∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
，
，
当 时， ，解得 或 ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），∴ ，
综上，P点的坐标为 ， ， ．
【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问题，等腰三角形
的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键．
