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专题22 一次函数与面积问题（解析版）
第一部分 题组训练
类型一 与三角形的面积有关
1．（2022秋•禅城区期末）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积
是 9 ．
【思路引领】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得
答案．
【解答】解：直线y＝2x向上平移6个单位长度得到：y＝2x+6，
令y＝0，即2x+6＝0，
解得x＝﹣3，
令x＝0，得y＝6，
所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：（﹣3，0）与（0，6），
1
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为： ×3×6=9．
2
故答案为：9．
【总结提升】本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握
“左加右减，上加下减”．
2．（2023春•明水县期中）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象经过点（0，﹣2），且与两坐标轴围成三
2 2
角形的面积为3，则此一次函数解析式为 y=− x ﹣ 2 或 y = x ﹣ 2 ．
3 3
【思路引领】设一次函数与x轴的交点是（a，0），根据三角形的面积公式即可求得a的值，然后利用
待定系数法即可求得函数解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，﹣2），
∴b＝﹣2，
设一次函数与x轴的交点是（a，0），
1
则 ×2×|a|＝3，
2
解得：a＝3或﹣3．
2 2
把（3，0）代入y＝kx﹣2，3k﹣2＝0，解得：k= ，则函数的解析式是y= x﹣2；
3 32 2
把（﹣3，0）代入y＝kx﹣2，﹣3k﹣2＝0，得k=− ，则函数的解析式是y=− x﹣2．
3 3
2 2
故答案是：y=− x﹣2或y= x﹣2．
3 3
【总结提升】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得与x轴的交点坐标是关键．
3．（2023秋•汝州市期中）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，x轴上有一点
P，且OP＝2OA，则△ABP的面积为 4 或 1 2 ．
【思路引领】由点A、B的坐标得出OA，OB的长，结合OP＝2OA可得出OP点坐标，进而求出AP的
长，再利用三角形的面积公式求出△ABP面积，
【解答】解：由y＝﹣2x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
当x＝0时，y＝4，
∴点B（0，4），
∴OB＝4；
当y＝0时，x＝2，
∴A（2，0），
OA＝2，
∵OP＝2OA，
∴OP＝4
∴①当P在A左侧时，AP＝6，
1
则△ABP的面积为 ×4×6=12，
2
②当P在A右侧时，AP＝2，
1
则△ABP的面积为 ×4×2=4，
2
故答案为：4或12．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b；利用三角形的面积计算公式，求出△ABP的面积．
类型二 与平行四边形你面积相关
4．（2023春•浑江区期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在y轴的正半轴上，点
1 1
B的坐标是（0，4），直线y=− x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度后得到直线y=− x+m，
2 2
1
若直线 y=− x+m将菱形OABC的面积二等分，则m的值是 2 ．
2
【思路引领】根据将菱形OABC的面积二等分的直线过OB的中点即可得到答案．
【解答】解：∵将菱形OABC的面积二等分的直线过OB的中点，点B的坐标是（0，4），
1
∴直线y=− x+m过（0，2），
2
∴2＝m，
∴m的值为2．
故答案为：2．
【总结提升】本题考查一次函数与几何变换，解题的关键是掌握将菱形 OABC的面积二等分的直线过
OB的中点．
5．（2023•枣庄二模）如图，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点， OCDE
的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则 OCDE的面积为 4 ． ▱
▱
【思路引领】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，根据题意以及平行四边形的性质得出DE、OD的长，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可．
【解答】解：∵直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵点D为OB的中点，
1
∴OD= OB=2，
2
∴点D的坐标为D（0，2），
∴把y＝2代入y＝x+4得：x＝﹣2，
∴点E的坐标为E（﹣2，2），
∴DE＝2，
∴S
OCDE
＝OD⋅DE＝2×2＝4；
故答▱案为：4．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数图象的性质以及平行四边形的性质，
根据题意得出图中各边的长是解本题的关键．
3
6．（2023春•开州区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x−1向上平移2个单位长度后与矩形
4
8
OABC的两边相交，已知OA＝3，OC＝4，则平移后的直线与矩形围成的三角形面积为 ．
3
【思路引领】求得平移后的直线解析式，即可求得直线与y轴的交点D为（0，1），与AB的交点E为
8 8
（ ，3），即可得出AD＝2，AE= ，然后利用三角形面积公式即可求得．
3 3
【解答】解：∵OA＝3，OC＝4，
∴A（0，3），B（4，3），C（4，0），3 3
直线y= x−1向上平移2个单位长度后得到y= x+1，
4 4
3
把x＝0代入y= x+1，得y＝1，则直线与y轴的交点D为（0，1），
4
3 8 8
把y＝3代入y= x+1，得x= ，则直线与AB轴的交点E为（ ，3），
4 3 3
8
∴OD＝1，AE= ，
3
∴AD＝3﹣1＝2，
1 8 8
∴S△ADE = ×2× = ．
2 3 3
8
故答案为： ．
3
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，矩形的性质，求得平移后直线与矩形的交点坐标是
解题的关键．
类型三 与一般四边形面积相关
2
7．（2023春•老城区期末）如图，直线y= x+8交坐标轴于点A，B，将△AOB向x轴负半轴平移9个单
3
位长度得到△CDE，则图中阴影部分面积为（ ）
A．36 B．45 C．48 D．54
2 1
【思路引领】在y= x+8中，可得A（﹣12，0），B（0，8），即得S△AOB = OA•OB＝48，由平移得
3 21 1
点D的横坐标为﹣9，即得F（﹣9，2），S△ADF = OD•DF= ×3×2=3，故S阴影 ＝48﹣3＝45．
2 2
2
【解答】解：在y= x+8中，令x＝0得y＝8，y＝0得x＝﹣12，
3
∴A（﹣12，0），B（0，8），
1 1
∴S△AOB = OA•OB= ×12×8=48＝S△CDE ，
2 2
∵将△AOB向x轴负半轴平移9个单位长度得到△CDE，
∴点D、F的横坐标为﹣9，
2
在y= x+8中，令x＝﹣9得y＝2，
3
∴F（﹣9，2），
∴DF＝2，AD＝OA﹣OD＝12﹣9＝3，
1 1
∴S△ADF = OD•DF= ×3×2=3，
2 2
∴S阴影 ＝48﹣3＝45，
故选：B．
【总结提升】本题考查一次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握平移的定义，求出S△ADF 的值．
第二部分 专题提优训练
一．选择题（共4小题）
1．（2024•子洲县校级二模）在平面直角坐标系中，直线 l ：y＝mx+m2（m是不等于0的常数）与x轴交
1
于点A，与y轴交于点B（0，9），若直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，则△ABA′
2 1 2
的面积是（ ）
A．18 B．27 C．54 D．81
【思路引领】利用 与y轴交于点B（0，9），算出m的值，得到直线解析式，算出l 与
l ：y=mx+m2 1
1
x轴的交点A，再根据直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，得到点A′的坐标，最后利
2 1 2
用三角形面积公式求解，即可解题．
【解答】解：∵ 与y轴交于点B（0，9），
l ：y=mx+m2
1
∴m2＝9，
解得m＝±3，当m＝3时，直线l ：y＝3x+9，
1
当y＝0时，x＝﹣3，如图1，
∴A（﹣3，0），
∵直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，
2 1 2
∴A′（3，0），
1 1
∴△ABA′的面积是 AA′⋅y = ×6×9=27，
2 b 2
当m＝﹣3时，直线l ：y＝﹣3x+9，
1
当y＝0时，x＝3，如图2，
∴A（3，0），
∵直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，
2 1 2
∴A′（﹣3，0），
1 1
∴△ABA′的面积是 AA′⋅y = ×6×9=27．
2 b 2
故答案为：B．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换待定系数法，求一次函数解析式，一次函数的坐标特
点，以及对称的性质，解答本题的关键是熟练掌握对称的性质．
2．（2023秋•宿松县期末）直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）A．3 B．4 C．6 D．12
【思路引领】首先求出直线y＝﹣2x﹣4与x轴、y轴的交点的坐标，然后根据三角形的面积公式，得出
结果．
【解答】解：令x＝0，则y＝﹣4，
令y＝0，则x＝﹣2，
故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴的交点分别为（0，﹣4）、（﹣2，0），
1
故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积= ×|﹣4|×|﹣2|＝4．
2
故选：B．
b
【总结提升】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数 y＝kx+b与x轴的交点为（− ，
k
0），与y轴的交点为（0，b）．
3．（2023秋•武功县期末）已知直线l 与x轴交于点A（﹣2，0），且直线l 与两坐标轴围成的三角形的
1 1
面积为4，将直线l 向下平移m（m＞0）个单位得到直线l ，直线l 交x轴于点B，若点A与点B关于y
1 2 2
轴对称，则m的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【思路引领】根据题意求得B（2，0），直线l 与y轴的交点为（0，4），求得求得直线l 为y＝
1 1
2x+4，进而求得直线l 为y＝2x+4﹣m，代入B点的坐标，即可求得m的值．
2
【解答】解：∵直线l 与x轴交于点A（﹣2，0），
1
∴OA＝2，
∵直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，
1
∴直线l 与y轴的交点为（0，4）或（0，﹣4），
1
∵将直线l 向下平移m（m＞0）个单位得到直线l ，直线l 交x轴于点B，若点A与点B关于y轴对称，
1 2 2
∴B（2，0），
∴直线l 与y轴的交点为（0，4），
1
∴直线l 为y＝2x+4，
1
∴直线l 为y＝2x+4﹣m，
2
代入B（2，0）得，0＝2×2+4﹣m，
解得m＝8．
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意求得直线l 与y轴的交点是解题的关键．
1
4．（2023秋•阜宁县期末）如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、
B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段
BC扫过的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
【思路引领】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平
移的路程．求当点C落在直线y＝2x﹣6上时的横坐标即可．
【解答】解：如图所示．
∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），
∴AB＝3．
∵∠CAB＝90°，BC＝5，
∴AC＝4．
∴A′C′＝4．
∵点C′在直线y＝2x﹣6上，
∴2x﹣6＝4，解得 x＝5．
即OA′＝5．
∴CC′＝5﹣1＝4．∴S
BCC′B′
＝4×4＝16 （面积单位）．
即线▱段BC扫过的面积为16面积单位．
故选：C．
【总结提升】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段BC扫过的面积
应为一平行四边形的面积．
二．填空题（共7小题）
5．（2023秋•驿城区期末）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在AB左侧作
等边三角形ABC，若平面内有一点P（m，1），使得△ABP与△ABC的面积相等，则m的值为 ﹣ 4
❑√3−3 或 4❑√3− 3 ．
【思路引领】利用直线解析式得到点AB的坐标，求出AB长，根据BC＝AC，OA＝OB得到OC垂直平
分线段AB，计算出点C坐标，设过点C平行于直线AB的解析式为y＝x+b，代入点C坐标可得y＝x+4
❑√3+4，令y＝1，可得m值，同理点C关于直线AB的对称的点的坐标为C′（2❑√3−2，2﹣2❑√3），
相对应的平行于AB的直线解析式为y＝x+4﹣4❑√3，可得m的又一个值．
【解答】解：连接CO，作CM⊥x轴，垂足为M，作CN⊥y轴，垂足为N，
∵直线AB的解析式为y＝x+4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，AB＝AC＝BC＝4❑√2，
∵AC＝BC，
∴CO是线段AB的垂直平分线，∠COM＝∠CON＝45°，
∴CO＝2❑√6+2❑√2，
∴CM＝CN＝2❑√3+2，
∴C（﹣2❑√3−2，2❑√3+2），
设过点C平行于直线AB的解析式为y＝x+b，代入点C坐标得，
2❑√3+2=−2❑√3−2+b，
∴b＝4❑√3+4，∴过点C平行于直线AB的解析式为y＝x+4❑√3+4，
令y＝1时，x＝﹣4❑√3−3，即m＝﹣4❑√3−3；
同理点C关于直线AB对称的点的坐标为C′（2❑√3−2，2﹣2❑√3）（由中点坐标公式得），
相对应的平行于AB的直线解析式为y＝x+4﹣4❑√3，
令y＝1时，x＝m＝4❑√3−3，
综上分析，满足条件的m值为：﹣4❑√3−3或4❑√3−3．
故答案为：﹣4❑√3−3或4❑√3−3．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数解析式的求法是解答本题的
关键．
6．（2023秋•海陵区校级期末）已知直线y＝kx+k（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线
的解析式为 y ＝﹣ 8 x ﹣ 8 ．
【思路引领】直线y＝kx+k（k＜0）与x轴的交点坐标是（，0），与y轴的交点坐标是（0，﹣b），根
据三角形的面积是4可得b值，从而求出直线解析式．
【解答】解：直线y＝kx+k（k＜0）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），与y轴的交点坐标是（0，k），
1
×1×|k|=4，
2
即|k|＝8，
解得：k＝8或﹣8，
∵k＜0，
∴k＝﹣8，
故直线解析式为：y＝﹣8x﹣8．
故答案为：y＝﹣8x﹣8．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，本题要注意利用三角形的面积，列出方程，求
出未知数，从而求出函数的解析式．
7．（2023秋•遂川县期末）在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx+b过点A（2，2），且与坐标轴交于1
点B，则当△OAB的面积为2，且直线l与y轴不平行时，直线l的表达式为 y ＝ 2 或 y= x+1 或 y ＝ 2 x
2
﹣ 2 ．
【思路引领】解分三种情况讨论，利用三角形面积公式求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得
直线l的表达式．
【解答】解：∵点A（2，2），△OAB的面积为2，且直线l与y轴不平行
1
∴ OB⋅2=2，
2
∴OB＝2，
∴B点的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（﹣2，0），
当直线l过点（0，2）时，直线l的表达式为y＝2；
{2k+b=2) { k=2 )
当直线l过点（0，﹣2）时，则 ，解得 ，
b=−2 b=−2
所以直线l的表达式为y＝2x﹣2；
{ 2k+b=2 ) { k= 1 )
当直线l过点（﹣2，0）时，则 解得 2 ，
−2k+b=0
b=1
1
所以直线l的表达式为y= x+1；
2
1
综上，直线l的表达式为y＝2或y= x+1或y＝2x﹣2．
2
1
故答案为：y＝2或y= x+1或y＝2x﹣2．
2
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面
积，分类讨论是解题的关键．
8．（2023秋•成都期末）定义：若实数a，b满足|2a﹣b|＝k（k为常数），则称点P（a，b）为“k倍幸福
点”．如点P（2，1）为“3倍幸福点”．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，6），点B为直线l：y2
＝x+m上两点，其中点B为“k倍幸福点”，且△AOB的面积为3k﹣1，则k的值为 ．
3
【思路引领】依据题意，由点A（3，6）在直线l：y＝x+m上，则6＝3+m，解得：m＝3，可得直线l的
函数解析式为y＝x+3，又B在直线l：y＝x+3上，从而可设B（n，n+3），又B为“k倍幸福点”，
|2n﹣n﹣3|＝k，即k＝|n﹣3|，故n＝3+k或n＝3﹣k．又设直线l：y＝x+3与y轴交于点C，令x＝0，则y
＝3，可得OC＝3，然后分情形讨论计算可以得解．
【解答】解：∵点A（3，6）在直线l：y＝x+m上，
∴6＝3+m，
解得：m＝3，
∴直线l的函数解析式为y＝x+3．
又B在直线l：y＝x+3上，
∴可设B（n，n+3）．
又B为“k倍幸福点”，
∴|2n﹣n﹣3|＝k，即k＝|n﹣3|．
∴n＝3+k或n＝3﹣k．
设直线l：y＝x+3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝3．
∴C（0，3）．
∴OC＝3．
①若B在A上方，
∴S△AOB ＝S△BOC ﹣S△AOC
1 1
= ×OC×（3+k）− ×OC×3
2 2
3
= k．
2
又S△AOB ＝3k﹣1，
2
∴k= ．
3
②若B在A下方，在C上方，
∴S△AOB ＝S△AOC ﹣S△BOC
1 1
= ×OC×3− ×OC×（3﹣k）
2 23
= k．
2
又S△AOB ＝3k﹣1，
2
∴k= ．
3
③若B在A下方，且在C下方，
∴S△AOB ＝S△AOC +S△BOC
1 1
= ×OC×3+ ×OC×（3﹣k）
2 2
3
= （6﹣k）．
2
又S△AOB ＝3k﹣1，
20
∴k= ＞0（不合题意）．
9
2
综上，k= ．
3
2
故答案为： ．
3
【总结提升】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
3
9．（2023秋•句容市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=− x+3分别为与x、y轴交于A、B
2
两点，将△AOB沿x轴正方向平移1个坐标单位，平移后的三角形为△A'O'B'，O′B′与AB交于点F，
9
则阴影部分的面积为 ．
4
3
【思路引领】根据直线y=− x+3，可以求得点A、B、F的坐标，然后根据图形可知阴影部分的面积
2
和四边形OBFO′的面积相等，从而可以求得阴影部分的面积．3
【解答】解：∵直线y=− x+3，
2
3
∴当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y= ；当y＝0时，x＝4；
2
3
∴点B的坐标为（0，3），点F的坐标为（1， ），点A的坐标为（4，0），
2
3
∴OB＝3，OO′＝1，O′F= ，
2
3 9
∴四边形OBFO′的面积为：（ +3）×1÷2= ，
2 4
由图可知：四边形OBFO′的面积和阴影部分的面积相等，
9
∴阴影部分的面积是 ，
4
9
故答案为： ．
4
【总结提升】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、图形的变换—平移，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
10．（2023秋•长兴县期末）已知△ABC的顶点坐标分别为A（﹣5，0），B（3，0），C（0，3），当过
点C的直线l将△ABC分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为 y ＝ 3 x +3 ．
【思路引领】根据题意，先求出线段AB的中点坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式即可．
【解答】解：线段AB的中点坐标为（﹣1，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
{ b=3 )
，
−k+b=0
{k=3)
解得 ，
b=3
∴直线l的解析式为：y＝3x+3．
故答案为：y＝3x+3．
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，中线均分三角形面积是解答本题的关键．
11．（2023秋•兴庆区校级期末）在平面直角坐标系中，将直线l ：y＝﹣2x+4沿y轴向上平移2个单位长
1度后，得到新直线l ，则l 直线与坐标轴围成的三角形面积是 9 ．
2 2
【思路引领】先根据图形平移的性质得出平移后的解析式，再求出此直线与 x、y轴的交点，利用三角
形的面积公式即可求解．
【解答】解：设直线l 与x轴的交点为A，与y轴交点为B，
2
将直线l ：y＝﹣2x+4的图象向上平移2个单位，得到直线l ：y＝﹣2x+6，
1 2
令x＝0，得y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，得x＝3，
∴A（3，0），
∴OA＝3，OB＝6，
1 1
∴S△AOB = OA•OB= ×3×6＝9，
2 2
故答案为：9．
【总结提升】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是求出直线AB平移后的解析
式及与两坐标轴的交点．
三．解答题（共4小题）
12．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，已知函数y ＝2x+b和y ＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这
1 2
两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
【思路引领】（1）把点P（﹣2，﹣5）分别代入函数y ＝2x+b和y ＝ax﹣3，求出a、b的值即可；
1 2
（2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论．【解答】解：（1）∵将点P （﹣2，﹣5）代入y ＝2x+b，得﹣5＝2×（﹣2）+b，解得b＝﹣1，将点P
1
（﹣2，﹣5）代入y ＝ax﹣3，得﹣5＝a×（﹣2）﹣3，解得a＝1，
2
∴这两个函数的解析式分别为y ＝2x﹣1和y ＝x﹣3；
1 2
1
（2）∵在y ＝2x﹣1中，令y ＝0，得x= ，
1 1
2
1
∴A（ ，0）．
2
∵在y ＝x﹣3中，令y ＝0，得x＝3，
2 2
∴B（3，0）．
1 1 5 25
∴S△ABP = AB×5= × ×5= ．
2 2 2 4
（3）由函数图象可知，当x＜﹣2时，2x+b＜ax﹣3．
【总结提升】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答
此题的关键．
13．（2024•裕华区一模）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b．现画出了它的图象为直线l，如图．
数学兴趣小组为观察k、b对图象的影响，将上面函数中的k、b交换位置后得另一个一次函数，设其图
象为直线l′．
x ﹣1 0
y ﹣2 1
（1）求直线l的解析式．
（2）请在图中画出直线l′（不要求列表计算），并求出直线l和l′的交点坐标．
（3）求出直线l和l′与y轴围成的三角形的面积．【思路引领】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）首先写出直线l′的解析式，再根据一次函数的性质画出直线l′，将两个函数的解析式联立组成
方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标；
（3）根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
{−k+b=−2) {k=3)
∴ ，解得 ，
b=1 b=1
∴直线l的解析式为y＝3x+1；
（2）依题意可得直线l′的解析式为y＝x+3，
图象如图所示，
{y=3x+1) {x=1)
由 ，解得 ，
y=x+3 y=4
所以直线l和l′的交点坐标为（1，4）；
1
（3）直线l和l′与y轴围成的三角形的面积是 ×（3﹣1）×1＝1．
2【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，两直线相交问题，
三角形的面积，求出直线l的解析式是解题的关键．
14．（2023秋•广陵区期末）已知一次函数y＝x+b，它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于2．
（1）求b的值；
（2）若函数y＝x+b的图象交y轴于正半轴，则当x取何值时，y的值是正数？
【思路引领】（1）分别将x＝0、y＝0代入一次函数解析式中求出与之对应的y、x的值，再根据三角形
的面积公式即可得出关于b的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）先根据函数y＝x+b的图象交y轴于正半轴得到一次函数解析式，再根据y的值是正数得到关于x
的不等式，解不等式即可求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝b，
∴一次函数图象与y轴的交点坐标为（0，b）；
当y＝x+b＝0时，x＝﹣b，
∴一次函数图象与y轴的交点坐标为（﹣b，0）．
1
∴ ×|b|×|﹣b|＝2，
2
解得：b＝±2．
（2）∵函数y＝x+b的图象交y轴于正半轴，
∴一次函数为y＝x+2，
∵y的值是正数，
∴x+2＞0，
解得x＞﹣2．
故当x＞﹣2时，y的值是正数．【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，分别将 x＝0、y＝0代入一
次函数解析式中求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
15．（2023秋•莱州市期末）如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为（﹣6，
0），点A的坐标为（﹣4，0）．点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式；
（3）当△OPA的面积是10时，求此时P点的坐标．
【思路引领】（1）根据点E的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k的值；
（2）利用三角形的面积计算公式即可找出S关于x的函数关系式；
（3）当S＝10时，2x+12＝10，求出x，因为y＝x+6，则y＝5，P点的坐标为P（﹣1，5）．
【解答】解：（1）因为点E（﹣6，0）在直线 y＝kx+6上，
所以 0＝﹣6k+6，
解得：k＝1，
（2）由（1）得：直线的解析式为 y＝x+6；
∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝4，
1 1
∴S= OA⋅|y|= ×4y＝2y，
2 2
∵y＝x+6，
∴S＝2（x+6）＝2x+12；
（3）当S＝10时，
2x+12＝10，
∴x＝﹣1，
∴y＝x+6，
∴y＝5，
P点的坐标为P（﹣1，5）．【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用
一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k的方程；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形
的面积计算公式，找出S关于x的函数关系式．
