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专题 23.2 中心对称【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别中心对称图形】..................................................................................................................................1
【题型2 由中心对称的性质判断结论正误】.........................................................................................................4
【题型3 补全图形使之成为中心对称图形】.........................................................................................................8
【题型4 关于原点对称的点的坐标】....................................................................................................................11
【题型5 由中心对称的性质求线段长度】...........................................................................................................13
【题型6 由中心对称的性质求面积】....................................................................................................................18
【题型7 由中心对称的性质求坐标】....................................................................................................................22
【题型8 画某个图形的中心对称图形】................................................................................................................26
【题型9 中心对称图形的规律问题】....................................................................................................................31
【题型10 由平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】...................................................................................35
知识点1：中心对称图形
如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的
对称中心。
【题型1 辨别中心对称图形】
【例1】（23-24九年级·甘肃陇南·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图象重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【变式1-1】（23-24九年级·上海杨浦·期末）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如
果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 种．
【答案】2
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形
绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这
个点就是它的对称中心，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，去掉一个小正方形后能组成中心对称图形的情况如下，
∴去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有2种，
故答案为：2．
【变式1-2】（23-24九年级·陕西延安·期末）有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方
形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是 ．（填序号）
【答案】②
【分析】此题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋
转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论．
【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，在①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆中，
是中心对称图形的是①线段，③平行四边形，④正方形，⑤圆，不是中心对称图形的是②三角形，故答案为：②．
【变式1-3】（23-24九年级·江西上饶·期末）如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们
的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为α(0°<α<360°)，当a=
时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形.
【答案】60°或180°或300°
【分析】本题考查了利用旋转设计图案的知识，首先根据图示，可得原来的图案是一个正三角形；然后要
使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形是正六边形；最后根据正六边形的中心角
是60°，可得它至少旋转60°，据此解答即可．
【详解】解：要使两张图案构成的图形是中心对称图形，
则两张图案构成的图形至少是正六边形，
∵正六边形的中心角是60°，
∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它旋转角度需是60°的整数倍，且旋转后三角形不能与原
三角形重合，
所以旋转角可以是60°或180°或300°．
故答案为：60°或180°或300°．
知识点2：中心对称的性质
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对
称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②
中心对称的两个图形是全等图形。
【题型2 由中心对称的性质判断结论正误】
【例2】（23-24九年级·福建漳州·期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结
论错误的是（ ）
A．AD=CD B．∠C=∠E C．AE=CB D．S =S
△ADE △ADB【答案】B
【分析】根据中心对称图形的性质可得结论．
【详解】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，
∴AD=CD，AE=CB，BD=ED
∴S =S
△ADE △ADB
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
【变式2-1】（2024九年级·全国·竞赛）如果△ABC与△≝¿关于点O对称，且点A、B、C的对应点依次
为点D、E、F，那么下列说法不一定正确的是（ ）．
A．OA=OD B．AB∥DE C．∠BAC=∠EDF D．AD⊥BE
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称的知识，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质．根据“中心对称
的对称点的连线被对称中心平分，对应线段相等，对应角相等”，可以判断选项A、B、C；由△ABC与
△≝¿关于点O对称，无法证明AD⊥BE，即可判断选项D．
【详解】解：如下图，
A.因为△ABC与△≝¿关于点O对称，点A与点D是对称点，所以OA=OD，故本选项说法正确，不符合题
意；
B.因为△ABC与△≝¿关于点O对称，所以OA=OD，OB=OE，所以四边形ABDE为平行四边形，所以
AB∥DE，故本选项说法正确，不符合题意；
C. 因为△ABC与△≝¿关于点O对称，可知∠BAC与∠EDF是对应角，所以∠BAC=∠EDF，故本选项
说法正确，不符合题意；
D. 由△ABC与△≝¿关于点O对称，无法证明AD⊥BE，故该说法错误，符合题意．
故选：D．
【变式2-2】（23-24九年级·河北邢台·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，下列说法不一定正确的是（ ）
A．平行四边形ABCD是中心对称图形
B．将△ABD绕点O旋转180°后可与△CDB重合
C．△OAD与△OCB关于点O对称
D．△AOD绕点O旋转一定角度后可与△DOC重合
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形知识、平行四边形的性质，把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原
图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据平行四边形的性质以及中心对称图形的概念逐项分析
即可得到答案，理解平行四边形是中心对称图形是解此题的关键．
【详解】解：A、绕点O旋转180°后，能够与原图形重合，故平行四边形ABCD是中心对称图形，故原说
法正确，不符合题意；
B、平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，故将△ABD绕点O旋转180°后可与△CDB重
合，故原说法正确，不符合题意；
C、平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，故△OAD与△OCB关于点O对称，故原说法正
确，不符合题意；
D、平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，故△AOD绕点O旋转一定角度后可与△COB重
合，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式2-3】（23-24九年级·北京海淀·期中）如图，分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，
连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①
和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AH M′G′和AF′N′E，延长M′G′，N′F′相交于点K，得到四边
形M M′K N′．下列说法中正确的是（ ）
①FN=HM
②∠K=∠C
③S =S
四边形MM′KN′ 四边形ABCD
④四边形M M′K N′是平行四边形A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，中心对称及其性质，全等形的判定和性质等知识，解决问
题的关键是掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．
顺次连接EFGH，连接HF交EG于点O，得▱EFGH，于是OH=OF，证明△NOF≌△MOH，即可判
断①；由对称性可得：∠M′=∠HMG，则M N′∥K M′，由N′F′∥NF∥HM，即可判定四边形
M M′K N′是平行四边形，即可判断④；四边形M M′K N′是平行四边形，则∠K=∠HMN，无法证明
∠K=∠HMN=∠C，即可判断②；四边形CGNF ≌四边形AG′K F′，四边形AEN′F′≌四边形BFNE
，四边形GDHM≌四边形G′ AH M′，得到S =S ，则S =S ，即
四边形CFNF 四边形AG′KF′ 四边形MM′KN′ 四边形ABCD
可判断③．
【详解】解：如图，
顺次连接EFGH，连接BD，连接HF交EG于点O，
∵分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，
1 1
∴EH∥BD,EH= BD,FG∥BD,FG= BD，
2 2
∴EH∥FG,EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，∴OH=OF，∠NOF=∠MOH，
∵FN∥HM，
∴∠ONF=∠OMH，
∴△NOF≌△MOH(AAS)，
∴FN=HM，
故①正确；
由对称性可得：∠M′=∠HMG，
∴M N′∥K M′，
∵N′F′∥NF∥HM，
∴四边形M M′K N′是平行四边形，
故④正确；
∵四边形M M′K N′是平行四边形，
∴∠K=∠HMN，
无法证明∠K=∠HMN=∠C，
故②不正确；
依题意，四边形AEN′F′≌四边形BFNE，四边形GDHM≌四边形G′ AH M′，
由题意得，四边形G′ AH M′是由GDHM移动得到的，
∵AH=HD，
∴四边形G′ AH M′可以看成是四边形G′ AH M′以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转180°得到的，
∴∠AH M′=∠MHD，
即M′,H,M在同一条直线上，∠G′ AH=∠D，∠G′M′H=∠HMG,AG′=DG，
∴AG′∥DG,GM∥G′M′，
又∵四边形AEN′F′是由四边形BENF移动后得到的，
∴N′F′∥NF,BF∥AF′，N′F′=NF,BF=AF′，
∵NF∥N′F′,GM∥G′M′，
∴∠G′K F′=∠GNF，
同理可得，∠CGN=∠AG′K,∠CFN=∠AF′K，CF=BF=AF′,CG=DG=AG′，
∵∠CGN=∠AG′K，∠CFN=∠AF′K，∠G′K F′=∠GNF，
∴四边形GDHM≌四边形G′ AH M′，
∴S =S ，
四边形CFNF 四边形AG′KF′∴S =S ，
四边形MM′KN′ 四边形ABCD
故③正确；
故答案为：B．
【题型3 补全图形使之成为中心对称图形】
【例3】（2024·江苏泰州·二模）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A B C
1 1 1
与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△A B C 有 个．
1 1 1
【答案】2
【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能
与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答．
【详解】解：△A B C 如图所示：
1 1 1
则这样的△A B C 有2个
1 1 1
故答案为：2．
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的
白色小方格有 个．
【答案】3
【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形
的小方格即可．
【详解】如图所示，
∴这样的白色小方格有3个．
故答案为：3．
【变式3-2】（23-24九年级·河南洛阳·期末）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图
2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，则这个位置是 ．
【答案】③
【分析】如果一个图形绕着某一点旋转180°后，能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称
图形，根据中心对称图形的定义和性质思考判断即可．
【详解】当放置在①位置时，构成的图形不是中心对称图形，
∴①不符合题意；当放置在②位置时，构成的图形不是中心对称图形，
∴②不符合题意
当放置在③位置时，构成的图形是中心对称图形，
∴③符合题意
当放置在④位置时，构成的图形不是中心对称图形，
∴④不符合题意
故答案为：③．
【点睛】本题考查了拼图中的中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，在5×5的方格中，每个小正方形的边长为1，请按下
列要求画出格点四边形ABCD（顶点均为小正方形的顶点）．
(1)在图1中画一个以AB为边的四边形ABCD，且该四边形为中心对称图形；
(2)在图2中画一个以AB为边，面积为8的菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了中心对称图形、菱形、勾股定理与网格问题，熟练掌握中心对称图形和菱形是解题关
键．
（1）结合网格和勾股定理，画出正方形ABCD即可得；
（2）结合网格和勾股定理，画出菱形ABCD即可得．
【详解】（1）解：如图，四边形ABCD即为所作．
（2）解：如图，菱形ABCD即为所作．【题型4 关于原点对称的点的坐标】
【例4】（23-24九年级·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，若点P(m，m−n)与点Q(2，1)关于原点
对称，则点M(m，n)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得m,n的值，即可求解．
【详解】解：∵点P(m，m−n)与点Q(2，1)关于原点对称，
∴m=−2,m−n=−1,
∴n=−1,
∴M(−2,−1)在第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，判断点所在的象限，掌握
关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
【变式4-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A(−3,2)与点B(3,−2)是关于
某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为
【答案】(0,0)
【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可．
【详解】解：∵A(−3,2)，B(3,−2)，两个点的横纵坐标均为相反数，
∴点A,B关于原点对称，
∴对称中心的坐标为：(0,0)；
故答案为：(0,0)．
【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数．
【变式4-2】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为
(4,m)，点D的坐标为(n,2)，则m+n的值为 ．【答案】−6
【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称的性质，根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点
成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，且对角线交于原点O，
∴点D(n,2)与点B(4,m)关于原点成中心对称，
∴n=−4，m=−2，
∴m+n=−6．
故答案为：−6．
【变式4-3】（23-24九年级·山东烟台·期末）已知点A(−1,3a−1)与点B(2b+1,−2)关于x轴对称，点
C(a+2,b)与点D关于原点对称，则D点坐标是（ ）
A．(−3,1) B．(−3,2) C．(3,−1) D．(−3,−1)
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而
求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标．
【详解】∵点A(−1,3a−1)与点B(2b+1,−2)关于x轴对称，
∴2b+1=−1，3a−1=2，
解得a=1，b=−1，
∴点A(−1,2)，B(−1,−2)，C(3,−1)，
∵点C(a+2,b)与点D关于原点对称，
∴点D(−3,1)；
故选：A．
【点睛】本题考查的是轴对称变换，熟知关于x、y轴对称及原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
【题型5 由中心对称的性质求线段长度】
【例5】（23-24九年级·安徽阜阳·期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交
点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）A．2+2❑√3 B．2+❑√3 C．3+❑√3 D．1+2❑√3
【答案】C
【分析】过点A作AM垂直CD交CD于M点，可得AM=EG=FH，AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中，可
得AD=2,AM=EG=FH=❑√3，推出四边形EFGH是矩形即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AM垂直CD交CD于M点，
∵FG、FH垂直菱形ABCD的边AB, BC
∴AM=EG=FH
∵AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中
∴AD=2,AM=EG=FH=❑√3,
∵FG、FH过菱形ABCD的对称中心O,
∴四边形EFGH是矩形，由∠A= 120°，∠AEO=∠AHO=90°
∴∠EOH=60°∠GEF =30°
❑√3 3
∴FG= ,EF=
2 2
∴四边形EFGH的周长为3+❑√3
故选：C
【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，矩形判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问
题，属于中考常考题型．
【变式5-1】（2024·河北邯郸·三模）如图是由5个边长为1，且一个内角为60°的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平
行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两
部分，则剪痕的长度是（ ）
❑√13 2❑√7
A．❑√3 B．❑√13 C． D．
3 3
【答案】B
【分析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的
关键．根据中心对称的性质即可作出剪痕，由三角形全等的性质即可证得QF=AP，利用勾股定理即可求
得．
【详解】解：如图，连接最左侧菱形的对角线交于点O，作直线OP，交CB延长线于点A，交最左侧菱形
对边分别于点Q,N，交最右侧上方菱形一边于点F，过点P作PG⊥CD，垂足为G，
∵
菱形是中心对称图形，
∴经过P、O的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由中心对称图形可知△MNP≌△EFP,△MNO≌△BQO，
∴BQ=MN，
∵MP∥AC，
∴∠A=∠MPN，
∵∠ABQ=∠PMN=180°−60°=120°，
∴ △MNP≌△BQA，
∴ △MNP≌△BQA≌△EFP，
∴AQ=PF,AB=PE=1，
∴QF=AP，
∵ ∠CPG=90°−∠PCD=30°，
1 1
∴CG= CP= ，
2 2❑√3 7
∴PG=❑√CP2−CG2= ，AG=
2 2
∴ AP=❑√AG2+PG2=❑
√ (7) 2
+
(❑√3) 2
=❑√13，
2 2
∴QF=❑√13，
故选：B．
【变式5-2】（23-24九年级·山东德州·期中）如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC=2，AB=4
，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是 ．
【答案】2❑√6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，勾股定理，根据等腰三角形的性质可得OB⊥AQ
1
，AO=CO= AC=1，根据△PQC与△BOC关于点C中心对称，可得CQ=CO=1，
2
∠Q=∠BOC=90°，PQ=BO=❑√15，再根据勾股定理可得AP的长．理解相关图形的性质是解决问题
的关键．
【详解】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，
1
∴AO=CO= AC=1，OB⊥AQ，
2
∴BO=❑√AB2−AO2=❑√42−12=❑√15，
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴CQ=CO=1，∠Q=∠BOC=90°，PQ=BO=❑√AB2−AO2=❑√15，
∴AQ=AO+CO+CQ=3，
∴AP=❑√AQ2+PQ2=❑√32+(❑√15) 2=2❑√6．
故答案为：2❑√6．
【变式5-3】（23-24九年级·河南信阳·期末）在一次数学探究活动中，小强只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分．
（1）在如图所示的三个矩形中，请你大胆尝试，画出符合上述要求的直线（注：①所画直线经过的特殊
点必须标注清楚，②一个矩形只画一种）．
（2）根据你的分割法：只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分，你认为这样的直线有 条？
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的这条直线的特征是 ；
（4）经验迁移：如图④，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，并
将该正方形的面积平分，与正方形的BC边交于点F，求线段EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）无数；（3）经过对角线的交点（矩形的对称中心）；（4）2❑√10
【分析】（1）分割线可以分别是，经过对角线所在直线，经过一组对边所在直线，任意经过对角线交点
的直线．
（2）只要经过矩形的对称中心均满足题意，所有有无数条．
（3）所画直线都经过了对称中心．
（4）由上面的研究可得，连接E和对称中心O的直线与BC边的交点便是F，求解即可．
【详解】解：（1）①直线经过矩形对角线，如图，
，
②直线经过一组对边中点，如图，
，
③直线经过矩形对称中心，如图，，
此处可借助△OAE≌△OCF，证面积被平分．
（2）只要经过矩形的对称中心，便可以平分矩形面积，所以有无数条，
故答案为无数，
（3）分析图形得到平分矩形面积的直线都经过了矩形的对称中心（对角线的交点），
故答案为经过对角线的交点（矩形的对称中心）．
（4）根据题意，连接AC，BD交于点O，过E，O的直线交BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G．如图，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝6．OA＝OC，∠FCO＝∠OAE＝45°，
∵∠FOC＝∠AOE，
∴△FOC≌△AOE（ASA），
∴AE＝CF＝2，
∴GF＝6﹣2﹣2＝2，
在Rt△EFG中，EG＝AB＝6，GF＝2，
∴EF=❑√62+22＝2❑√10．
【点睛】本题主要探究将矩形面积平分线的特点，经过三次探究发现都经过了对称中心，体现了数学思维
的由特殊到一般，接着借助将矩形的特性推至正方形，依照发现的规律解决正方形平分面积线相关的长
度，本题解题的关键是是数学规律的探究和归纳总结，并加以推广应用．
【题型6 由中心对称的性质求面积】
【例6】（23-24九年级·安徽芜湖·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2，放入三个小正方形后
形成一个中心对称图形，则放入的三个小正方形的面积之和为 ．【答案】1
【分析】此题考查中心对称图形，正方形的性质、全等三角形的判定和性质，设以A为顶点的正方形为正
方形AMFN，延长MF交BC于点O，证明△FOG≌△GPH(AAS)，则FO=GP=BN，GO=PH，由中
心对称可知AN=CQ，设AN=CQ=x，则BN=1−x=GP，由题意可知，
1
BO=NF=AM=HQ=CP=HP=OG=x，由BO+OG+GP+PC=2，则x+x+1−x+x=2，解得x=
2
1 ❑√2
，则AN=CQ= ，勾股定理求出GH=❑√GP2+H P2= ，即可得到答案．
2 2
【详解】解：
如图，设以A为顶点的正方形为正方形AMFN，延长MF交BC于点O，则∠FOG=∠GPH=90°，
∵∠FGO+∠HGP=∠FGO+∠OFG=90°，
∴∠HGP=∠OFG，
∵FG=HG
∴△FOG≌△GPH(AAS)
∴FO=GP=BN，GO=PH
由题意可知， AN=CQ，
设AN=CQ=x，则BN=1−x=GP，
由中心对称可知，BO=NF=AM=HQ=CP=HP=OG=x，
∵BC=2，
∴BO+OG+GP+PC=2，
∴x+x+1−x+x=2，
1
解得x= ，
21
∴AN=CQ= ，
2
❑√2
GH=❑√GP2+H P2=
，
2
(1) 2 (❑√2) 2 1 1
∴三个小正方形的面积之和为： ×2+ = + =1，
2 2 2 2
故答案为：1
【变式6-1】（23-24九年级·山东济宁·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中
心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB=4，OD=3，则阴影部分的面
积之和为 ．
【答案】12
【分析】此题考查了中心对称的性质、矩形的判定和性质等知识，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作
AE⊥b于点E，证明四边形A′DOF是矩形，则A′F=OD=3，同理可知，四边形ABOE是矩形，则
AE=OB=4,由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，则AE=A′D=OB=4,
AB=A′F=3，图形①与图形②面积相等，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E，
∵A′D⊥b于点D．
∠A′FO=∠FOD=∠A′DO=90°，
∴四边形A′DOF是矩形，
∴A′F=OD=3，同理可知，四边形ABOE是矩形，
∴AE=OB=4,
∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，
∴AE=A′D=OB=4, AB=A′F=3，图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积=3×4=12．
故答案为：12．
【变式6-2】（23-24九年级·河南三门峡·期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点
O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】1.25
【分析】本题考查了中心对称，连接AF，BG，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差
的四分之一．
【详解】连接AF，BG，
∵
正方形的边长分别为3和2，
∴面积分别为9和4，
∵正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，
1
∴S = (9−4)=1.25．
阴影 4
故答案为：1.25．
【变式6-3】（23-24九年级·山东烟台·期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实
线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方
形ABCD．则正方形ABCD的面积为 ．【答案】11
1
【分析】连接DK，DN，证明S DMNT=S DKN= 大正方形的面积，即可解决问题．
四边形 △ 4
【详解】解：如图，连接DK，DN，
∵∠KDN=∠MDT=90°，
∴∠KDM=∠NDT，
∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S DKM=S DNT，
△ △
1
∴S DMNT=S DKN= 大正方形的面积，
四边形 △ 4
1
∴正方形ABCD的面积=4× ×9+2=11．
4
故答案为：11．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，
构造全等三角形解决问题．
【题型7 由中心对称的性质求坐标】
【例7】（23-24九年级·河北·单元测试）如图，将等边三角形AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为
(0,4)，点B在第一象限，将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是 ．【答案】(−2❑√3,−2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和
图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
过点B作BH⊥y轴于点H，根据点A的坐标得出OH=AH=2，进而得出BH=❑√OH2+BH2=2❑√3，则
点B的坐标为(2❑√3,2)，再根据关于原点对称的点的坐标特征，即可解答．
【详解】解：过点B作BH⊥y轴于点H，如图．
∵△OAB为等边三角形，BH⊥y轴，
1
∴∠HBO= ∠ABO=30°，∠BOA=60°，
2
∵A(0,4)，
∴OA=OB=4，
∴OH=AH=2，
∴BH=❑√OB2−OH2=2❑√3，
∴点B的坐标为(2❑√3,2)．
∵将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，
∴点B′的坐标是(−2❑√3,−2)．
故答案为：(−2❑√3,−2)．【变式7-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为
(−3，−5)，点B的坐标为(10，m)，点D的坐标为(n，6)，则边CD= ．
【答案】❑√170
【分析】根据轴对称的性质得到C(3，5)，点D的坐标为(−10，6)，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴点A与点C，点B与点D关于原点对称，
∴C(3，5)，
∵点B的坐标为(10，m)，点D的坐标为(−10，−m)，
又D(n，6)
∴n=−10，m=−6
∴点D的坐标为(−10，6)，
∴CD=❑√(3+10) 2+(5−6) 2=❑√170，
故答案为：❑√170．
【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，两点间的距离公式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关
键．
【变式7-2】（2024·河南商丘·二模）如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，
∠AOC=60°，OA=2，把菱形OABC绕点O逆时针旋转，使点C落在y轴上，则旋转后点B的对应点B′
的坐标为（）．A．(❑√3,3) B．(−❑√3,−3)
C．(❑√3,−3)和(❑√3,3) D．(❑√3,3)和(−❑√3,−3)
【答案】D
【分析】根据题意，可分两种情况，点C在y轴正半轴或负半轴，画出图形，根据直角三角形的性质，求
出点B"的坐标，点B"与B'关于原点对称．
【详解】解：如图：过B"点向y轴作垂线交点为E，
∵∠AOC=60°，把菱形ABCO绕点O逆时针旋转，使点C落在y轴上，B"E⊥y轴，
∴∠B"EC"=90°，
∵∠EC"B"=60°，
∴∠EB"C"=30°，
∵OA=2，四边形ABCO为菱形，
∴C"E=1，EB"=❑√3，
∴OE=3，
∴B"的坐标为（❑√3，3），
由题意可得，点C旋转后在y轴正半轴或负半轴，即当点C旋转至y轴的负半轴时所得到的菱形A'B'C'O
与点C位于y轴正半轴时得到的菱形A"B"C"O中心对称，
∴点B"与B'关于原点对称，∴B'的坐标为（-❑√3，-3），
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换——旋转的性质，中心对称图形的识别以及勾股定理的应用，是掌
握知识点是解题关键．
【变式7-3】（23-24九年级·山东东营·期末）已知▱ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐
标原点，一边AB与x轴平行且AB=2．若点A的坐标为(−2,−3)，则点D的坐标为 ．
【答案】(0,3)或(4,3)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征．根据平行四
边形的性质得到CD=AB=2，根据已知条件得到B(−2+2,−3)或B(−2−2,−3)，由于点D与点B关于
原点对称，即可得到结论．
【详解】解：当B点在A点的右边时，如图1，
∵AB与x轴平行且AB=2，A(−2,−3)，
∴B(−2+2,−3)，
∵对角线AC的中点在坐标原点，
∴点A、C关于原点对称，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点B、D关于原点对称，
∴D(−(−2)−2，−(−3))即(0,3)；
当B点在A点的左边，如图2，同理可得B(−2−2,−3)，则D(−(−2)+2，−(−3))即(4,3)．
故点D的坐标为(0,3)或(4,3)．
故答案为：(0,3)或(4,3)．
【题型8 画某个图形的中心对称图形】
【例8】（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）如图，平面直角坐标系中， △ABC三个顶点的坐标分别为
A(−3,5)，B(−5,3)，C(−2,2)．
(1)平移△ABC到△A B C ，其中点A的对应点A 的坐标为(3,3)，请在图中画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1 1
(2)以点O为旋转中心，将△A B C 按顺时针方向旋转180°得△A B C ，请在图中画出△A B C ；
1 1 1 2 2 2 2 2 2
(3)△A B C 与△ABC关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________．
2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)（－3，1）【分析】（1）利用点A和点A 的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到B 、C 的坐标，
1 1 1
然后顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称点的性质分别得到A 、B 、C 的坐标，然后顺次连接即可；
2 2 2
（3）如图，连接A A 、BB 、CC ，则A A 、BB 、CC 都经过点P，故可知点P为对称中心，再根据
2 2 2 2 2 2
坐标系写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）解：如图，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）解：如图，可知△A B C 与△ABC关于点P(−3，1)成中心对称，
2 2 2
故答案为：（－3，1）．
【点睛】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关
键．
【变式8-1】（23-24九年级·甘肃武威·期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，
C(3，4)．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC ；
1 1 1
（2）请画出△ABC关于原点对称的△ABC ；
2 2 2
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析
【分析】（1）作出点A，点B，点C这三个点向左平移5个单位长度后的点A，点B，点C ，再顺次连接
1 1 1
即可；
（2）作出点A，点B，点C这三个点关于原点对称的点A，点B，点C ，再顺次连接即可；
2 2 2
（3）根据两点之间，线段最短的性质和轴对称的性质即可找到点P的位置，再连接PA和PB即可．
【详解】解：（1）点A(1,1)向左平移5个单位长度后为点A (−4,1)，点B(4,2)向左平移5个单位长度后
1
为点B (−1,2)，点C(3,4)向左平移5个单位长度后为点C (−2,4)，作图如下：
1 1
（2）点A(1,1)关于原点对称的点A 的坐标为(−1,−1)，点B(4,2)关于原点对称的点B 的坐标为
2 2
(−4,−2)，点C(3,4)关于原点对称的点C 的坐标为(−3,−4)，作图如（1）中所示．
2
（3）作图如（1）中所示，先作出点A(1,1)关于x轴的对称点A′(1,−1)，再连接A′B，与x轴的交点即为
点P，再连接PA和PB即可得△PAB．
【点睛】本题考查图形的平移变化，轴对称变化，中心对称变化，熟练掌握这些知识点是解题关键．【变式8-2】（23-24九年级·江苏扬州·期中）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度
的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(-2，-2)．
（1）画出△ABC以y轴为对称轴的对称图形△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）以原点O为对称中心，画出△A B C 关于原点O对称的△A B C 并写出点C 的坐标；
1 1 1 2 2 2 2
（3）以C 为旋转中心，把△A B C 顺时针旋转90°，得到△C AB．
2 2 2 2 2 3 3
【答案】（1）作图见解析，C (2，-2)；（2）作图见解析，C (-2，2)；（3）作图见解析．
1 2
【分析】（1）分别作出A，B，C的关于y轴的对称点，然后顺次连接即可作出图形；
（2）分别作出A ，B ，C 的关于原点的对称点，然后顺次连接即可作出图形；
1 1 1
（3）以C 为旋转中心，把△A B C 顺时针旋转90°，即可得到△C A B ．
2 2 2 2 2 3 3
【详解】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求，C 的坐标是(2,−2)；
1 1 1 1
（2）如图所示，△A B C 即为所求，C 的坐标是：(−2,2)；
2 2 2 2
（3）如图所示，△C A B 即为所求．
2 3 3
【点睛】本题考查旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图
形．
【变式8-3】（23-24九年级·江苏徐州·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，
2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△ABC ；
1 1 1
（2）四边形CBC B 为 四边形；
1 1
（3）点P为平面内一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的
点P坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）平行；（3）作图见解析，P的坐标为（2，﹣1），（6，5），（0，
3）．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可．
1 1 1
（2）根据平行四边形的判定即为判定．
（3）画出符合条件的平行四边形即可解决问题．
【详解】解：（1）△ABC 如图所示．
1 1 1
（2）连接CB ，BC
1 1．BC=B'C'，BC∥B'C'，∴四边形CBC B 为平行四边形．
∵ 1 1
故答案为：平行．
（3）如图所示，满足条件的点P的坐标为（2，﹣1），（6，5），（0，3）．
【点睛】本考查了中心对称作图和关于原点对称的性质，掌握相关的性质是解题的关键.
【题型9 中心对称图形的规律问题】
【例9】（23-24九年级·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(2,0)，
(0,2)，(−2,0)．一个电动玩具从原点O出发，第一次跳跃到点P ，使得点P 与点O关于点A成中心对称；
1 1
第二次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点
2 2 1 3 3 2
C成中心对称；第四次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点A成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下
4 4 3
去，则点P 的坐标是（ ）.
2023
A．(−4,0) B．(4,0) C．(4,4) D．(0,−4)
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后P 、P 、P 、P
1 2 3 4
、P 、P 、P 的坐标，可得出规律，继而可求点P 的坐标．
5 6 7 2023
【详解】解：由题意得：点P (4,0)、P (−4,4)、P (0,−4)、P (4,4)、P (−4,0)、P (0,0)、P (4,0)，
1 2 3 4 5 6 7
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵2023÷6=337...1，
∴点P 的坐标是(4,0)．
2023
故选：B．
【变式9-1】（23-24九年级·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么点P与点
Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段PQ的中点．如图，在平面直角坐标系中，
△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(0,0)，点P ，P ，P ，…中的相邻两点都关于
1 2 3
△ABO的一个顶点对称，点P 与点P 关于点A对称，点P 与点P 关于点B对称，点P 与点P 关于点O对
1 2 2 3 3 4
称，点P 与点P 关于点A对称，点P 与点P 关于点B对称，点P 与点P 关于点O对称……且这些对称中
4 5 5 6 6 7
心依次循环．已知点P 的坐标是(1,1)，则点P 的坐标为 ．
1 2020【答案】(1,−3)
【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标
每6个一循环是解题关键．
根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点P 关于点A的对称点坐标，以及点P 关于点B
1 2
的对称点坐标，点P 关于点O的对称点P ，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答．
3 4
【详解】解：由题意可得：点P (1,−1)，P (−1,3)，P (1,−3)，P (1,3)，P (−1,−1)，P (1,1)……
2 3 4 5 6 7
∴可知6个点一个循环，2020÷6=336……4，
∴点P 的坐标与点P 的坐标相同，为(1,−3)．
2020 4
故答案为：(1,−3)．
【变式9-2】（2024九年级·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA B 是边长为2的等边
1 1
三角形，作△B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，再作△B A B 与△B A B 关于点B 成中心对
2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 1 2
称，…，如此作下去，则△B A B 的顶点A 的坐标是 ．
2025 2025 2024 2025
【答案】(4049,❑√3)
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点A的横坐标、纵坐标规律．首
先根据△OA B 是边长为2的等边三角形，可得A 的坐标为(1,❑√3)，B 的坐标为(2,0)；然后根据中心对
1 1 1 1
称的性质，分别求出点A 、A 、A 的坐标各是多少；最后总结出A 的坐标的规律，即可求出A 的坐
2 3 4 n 2025标．
【详解】解：∵ △OA B 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴ A 的坐标为(1,❑√3)，B 的坐标为(2,0)，
1 1
∵ △B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
2 1 1
∵ 2×2−1=3，2×0−❑√3=−❑√3，
∴点A 的坐标是(3,−❑√3)，
2
∵ △B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
3 2 2
∵ 2×4−3=5，2×0−(−❑√3)=❑√3，
∴点A 的坐标是(5,❑√3)，
3
∵ △B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，
3 4 4 2 3 3 3
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
4 3 3
∵ 2×6−5=7，2×0−❑√3=−❑√3，
∴点A 的坐标是(7,−❑√3)，
4
…，
∵ 1=2×1−1，3=2×2−1，5=2×3−1，7=2×3−1，…，
∴ A 的横坐标是2n−1，当n为奇数时，A 的纵坐标是❑√3，当n为偶数时，A 的纵坐标是−❑√3，
n n n
∴ △B A B 的顶点A 的坐标是(4049,❑√3)，
2025 2025 2024 2025
故答案为(4049,❑√3)
【变式9-3】（2024九年级·全国·专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中
x +x y + y
心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x ，y )、Q(x ，y )的对称中心的坐标为( 1 2， 1 2 )
1 1 2 2 2 2
．
观察应用：(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P (0,−1)、P (2,3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ；
1 2
(2)另取两点B(−1.6,2.1)、C(−1,0)．有一电子青蛙从点P 处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳
1
动，即第一次跳到点P 关于点A的对称点P 处，接着跳到点P 关于点B的对称点P 处，第三次再跳到点
1 2 2 3
P 关于点C的对称点P 处，第四次再跳到点P 关于点A的对称点P 处，…则点P 、P 的坐标分别为
3 4 4 5 3 8
、 ．
拓展延伸：
(3)求出点P 的坐标，并直接写出在x轴上与点P ，点C构成等腰三角形的点的坐标．
2017 2017
【答案】(1)点A的坐标为(1,1)
(2)P 、P 的坐标分别为(−5.2,1.2)，(2,3)；
3 8
(3)P (0,−1)；(−1−❑√2,0)或(❑√2−1,0)或(1,0)或(0,0)．
2017
【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；
（2）根据题目所给公式求出P ，P ，P 的坐标，依此类推即可求出P 的坐标；
2 3 4 8
（3）根据所求出的坐标可得P 的坐标和P 的坐标相同，P 的坐标和P 的坐标相同，即每6次为一个周期
7 1 8 2
进行循环，利用这个规律即可求出点P 的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在x轴上
2017
与点P ，点C构成等腰三角形的点的坐标．
2017
x +x 0+2 y + y −1+3
【详解】（1）解：∵ 1 2= =1， 1 2= =1，
2 2 2 2
∴点A的坐标为(1,1)；
（2）解：∵P (0,−1)，A(1,1)，
1
∴P 的横坐标为1×2−0=2，纵坐标为1×2−(−1)=3，即P (2,3)，
2 2
∵B(−1.6,2.1)，
∴P 的横坐标为−1.6×2−2=−5.2，纵坐标为2.1×2−3=1.2，即P (−5.2,1.2)，
3 3∵C(−1,0)，
∴P 的横坐标为−1×2−(−5.2)=3.2，纵坐标为0×2−1.2=−1.2，即P (3.2,−1.2)，
4 4
同理可得：P (−1.2,3.2)，P (−2,1)，P (0,−1)，P (2,3)，
5 6 7 8
即点P 、P 的坐标分别为(−5.2,1.2)，(2,3)，
3 8
故答案为：(−5.2,1.2)，(2,3)；
（3）解：∵P (0，−1)→P (2，3)→P (−5.2，1.2)→P (3.2，−1.2)→P (−1.2，3.2)→P (−2
1 2 3 4 5 6
，1)→P (0，−1)→P (2,3)；
7 8
∴P 的坐标和P 的坐标相同，P 的坐标和P 的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，
7 1 8 2
∵2017÷6=336…1，
∴P 的坐标与P 的坐标相同，即P (0,−1)；
2017 1 2017
∴CP =❑√12+12=❑√2，
2017
设x轴上与点P 、点C构成等腰三角形的点为点D，
2017
当CP =CD=❑√2时，点D坐标为(−1−❑√2,0)或(❑√2−1,0)；
2017
当CP =P D时，
2017 2017
∵P O⊥CD，
2017
∴OC=OD=1，点D坐标为(1,0)；
当P D=CD时，点D在CP 的垂直平分线上，
2017 2017
∴点D与原点重合，点D坐标为(0,0)；
综上，在x轴上与点P 、点C构成等腰三角形的点的坐标为(−1−❑√2,0)或(❑√2−1,0)或(1,0)或(0,0)．
2017
【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股
定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键．
【题型10 由平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】
【例10】（23-24九年级·吉林·期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格
图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；
(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小
题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的定义去添加；
（2）根据中心对称图形的定义添加．
【详解】（1）选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如下图：
（2）选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图：
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．
【变式10-1】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期中）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种
植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成
图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、
图②只能算一种）．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形．根据中心对称图形与轴对称图形的概念即可得到结
果．
【详解】解：答案不唯一，如图所示：
．
【变式10-2】（23-24九年级·北京·期中）七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由七块板
组成（如图1），用这七块板可拼出许多图形（1600种以上），例如：三角形、平行四边形、以及不规则
的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图2经过
平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方块顶点上）：
（1）拼成长方形，在图3中画出示意图；
（2）拼成等腰直角三角形，在图4中面出示意图．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）利用网格结合矩形的性质得出答案；
（2）利用网格结合等腰直角三角形的性质得出答案．
【详解】（1）如图3所示：长方形即为所求；
（2）如图4所示：等腰直角三角形即为所求．
【点睛】此题考查旋转变换，正确利用已知图形面积不变是解题关键．
【变式10-3】（23-24九年级·全国·课后作业）（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除
外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值；
（2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点
上），在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求：
①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；
②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；
③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．【答案】（1）正方形是旋转对称图形，最小旋转角为90°，正六边形是旋转对称图形，最小旋转角为
60°；（2）①见解析；②见解析；③见解析
【分析】（1）利用旋转对称图形的性质分别得出符合题意的答案即可；
（2）①利用旋转对称图形以及轴对称图形的性质得出符合题意的答案即可；
②利用旋转对称图形性质得出符合题意的答案即可．
【详解】解：（1）正方形是旋转对称图形，最小旋转角为90°；正六边形是旋转对称图形，最小旋转角为
60°；
（2）①如图2所示：
②如图3所示：
【点睛】此题考查了旋转对称图形和轴对称图形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转对称图形和轴对称图
形的性质．
