文档内容
第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率
公式(精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·福建莆田·高二期末）“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学
的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，
而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（ ）
A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8
【答案】B
【详解】李明上学骑单车准时到校的概率为 ，乘坐公共汽车准时到校的概率为 ，
因此李明准时到校的概率为： ，
故选：B
2．（2022·北京昌平·高二期末）将红、蓝两个均匀的骰子各掷一次，设事件 为“两个骰子的点数之和为
6”，事件 为“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】“两个骰子的点数之和为6”的事件包括 ，共 种，
其中“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”的有 种，
所以 .
故选：B
3．（2022·北京昌平·高二期末）已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率
的信息如下表所示.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
优质率 95% 90%
从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【详解】买到的是优质品的概率是 .
故选：A
4．（2022·云南楚雄·高一期末）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为 ， .则谜
题被破解的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】设“甲独立地破解谜题”为事件 ，“乙独立地破解谜题”为事件 ，“谜题被破解”为事件 ，
且事件 相互独立，
则 ，
故选：C
5．（2022·陕西西安·高二期末（文））长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约 的人近视，
而该校大约有 的学生每天玩手机超过 ，这些人的近视率约为 ．现从该校近视的学生中任意调
查一名学生，则他每天玩手机超过 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A，且 ，从该校学生中任意调查一
名学生他每天玩手机超过 记为事件B，且由题可知， ，所以从该校近视的学生中
任意调查一名学生，则他每天玩手机超过 的概率为： .故B，C，D错误.
故选：A.
6．（2022·福建三明·高一期末）掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现的点数大于2”，B=“第二枚出
现的点数小于6”，则A与B的关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【详解】对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生，
所以A、B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等.
故选：C
7．（2022·陕西渭南·高二期末（文））袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，
2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”， 表示事
件“第二次取出的球上数字是2”， 表示事件“两次取出的球上数字之和是5”， 表示事件“两次取出的
球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出（ ）A． 与 相互独立 B． 与 相互独立 C． 与 相互独立 D． 与 相互独立
【答案】C
【详解】由题意可得： ,
有放回的随机取两次，每次取1个球，两次取出的球上数字之和是5的情况有 共4种，
所以 ;
两次取出的球上数字之和是6的情况有 共3种，故 ,
对于A, ,则 ，
故 与 不是相互独立事件，故A错误；
对于B, ,则 ,
故A与 不是相互独立事件，故B错误；
对于C, ,则 ，
故 与 是相互独立事件，故C正确；
对于D, ,则 ，
故C与D不是相互独立事件，故D错误；
故选：C
8．（2022·吉林·高二期末）某射击小组共有25名射手，其中一级射手5人，二级射手10人，三级射手10
人，若一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.8，0.4，则任选一名射手能通过选拔进
入比赛的概率为（ ）
A．0.48 B．0.66 C．0.70 D．0.75
【答案】B
【详解】设 表示选到i级射手的事件，B表示任选一名射手能通过选拔进入比赛的事件，
则 ,
,
故任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为
,
故选：B
二、多选题
9．（2022·重庆南开中学高二期末）甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙袋子中有3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，
分别用事件 ， 表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，分别用事件
， 表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由题意得： ， ，
，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：AD
10．（2022·广东·高三阶段练习）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，
随机事件 ､ 存在如下关系： .某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两
家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一
天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【详解】设 :第一天去甲餐厅， :第二天去甲餐厅，:第一天去乙餐厅， :第二天去乙餐厅，
所以 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
所以有 ,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为 ，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
三、填空题
11．（2022·河北张家口·高二期末）已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，
乙盒中有3个红球和2个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到
的球是白球的概率为___________.
【答案】 # .
【详解】设 分别为从乙盒中任取两球是两红､两白､一红一白的两两互斥事件，
事件 是最终取到的球是白球，
由全概率公式得 .
故答案为：
12．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））下图表示由三个某种电子元件组成的电路．已知每个元件的
可靠性是0.9，而且各个元件的可靠性是相互独立的，则该电路畅通的概率是______．
【答案】0.981##
【详解】解法一： ．解法二：
故答案为：0.981
四、解答题
13．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））抛掷质地均匀的一红一黄两颗正方体骰子（骰子六个面分别
标有1，2，3，4，5，6点），记下骰子朝上面的点数，若用 表示红色骰子的点数，用 表示黄色骰子的
点数．
(1)设事件A为 ，事件 为 ，判断事件A与事件 是否是相互独立事件，并说明理由；
(2)设随机变量 ，求 的分布列与数学期望．
【答案】(1)事件 与事件 不是相互独立事件，理由见解析
(2)分布列见解析，
(1)事件A与事件 不是相互独立事件．
抛掷质地均匀的一红一黄两颗正方体骰子，记下骰子朝上面的点数总基本事件 ，其中事件A所包
含的基本事件 ， ， …
事件B所包含的基本事件 ， ，
事件AB所包含的基本事件 ， ．
，即 ，故事件A与事件B不是相互独立事件．
(2)随机变量 可以为0、1、2、3、4、5．
， ， ，
， ， ．
的分布列为
0 1 2 3 4 5
P
．
14．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，
每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：
(1)第一次取到正品的概率；
(2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.【答案】(1) (2)
（1）解：设 “第一次取到正品” “第二次取到正品”，所以 ，第一次取到正品
的概率为 ；
（2）解： ，所以 ，故在第一次取到正品的条件下第二次取
到正品的概率为 .
B 能力提升
15．（2022·福建三明·高二期末）有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，
第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，
取出的零件均不放回，求：
(1)第1次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．
【答案】(1) (2)
(1)设 ＝“被挑出的是第i箱” ，
＝“第i次取出的零件是一等品” ，
则 ，
因为 ，
，
所以第1次取出的零件是一等品的概率是 ．
(2)由（1）得 ，
因为 ，
所以
，所以 ．
故在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率为 ．
16．（2022·江苏连云港·高二期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中
有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球．
(1)求第一次取出的球为红球的概率；
(2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
【答案】(1) ;(2) .
(1)设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件 ， ， ，则
，由全概率公式可得：
.
(2)设第二次取出的球是白球为事件 ，由全概率公式可得：
，
所以 .
C 综合素养
17．（2022·黑龙江实验中学高二期末）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安
装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家
订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800
元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．
(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用
的配件M是次品的概率；
(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修
费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分
别为多少？
【答案】(1)需要从甲厂订购配件M的数量为5万个；从乙厂订购配件M的数量为3万个(2)0.028
(3)甲厂应承担的费用为 元，乙厂应承担的费用为 元，本厂应承担的费用为 元
（1）设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8-a，由已知可得，解得a＝0.5．所以需要从甲厂订购配件M的数量为10 0.5＝5万个；
从乙厂订购配件M的数量为 ＝3万个．
（2）由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2，所以该汽车厂使用的配
件M的次品率的估计值为 ，所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M
是次品的概率为0.028．
（3）设A＝“该轿车使用了次品配件 ”， “配件M来自甲厂”， “配件M来自乙厂”，
“配件M来自本厂”．由（2）可知 ．该次品配件M来自甲厂的概率为：
，该次品配件M来自乙厂的概率为：
，该次品配件M来自本厂的概率为：
，所以甲厂应承担的费用为 元，乙
厂应承担的费用为 元，本厂应承担的费用为 元．
