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专题24.39 圆（全章分层练习）（基础练）
一、单选题
1．如图， 是 的直径，弦 于点E，若 ， ，则线段 的长为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．9
2．如图，圆 的半径 垂直弦 于点 ，连接 并延长交圆 于点 ，连接 ．若 ，
，则 长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 是 的直径， 、 是 的两条弦， 交 于点G，点C是 的中点，点B
是 的中点，若 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．如图，已知点 是 的外心， ，连接 ， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
5．如图， 、 为 的两条弦，连接 、 ，点 为 的延长线上一点，若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知锐角 ，按如下步骤作图：（1）在射线 上取一点 ，以点 为圆心， 长
为半径作 ，交射线 于点 ，连接 ；（2）分别以点 ， 为圆心， 长为半径作弧，交
于点 ， ；（3）连接 ， ， ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A． B．若 ，则
C． D．
7．如图， 是 的直径，C、D是 上的点， ，过点C作 的切线交 的延长线于
点E，则 等于（ ）A． B． C． D．
8．如图， 是 的直径， ，垂足为 ，直线 与 相切于点 ， 交 于点 ，
直线 交 的延长线于点 ，连接 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将含 角的直角三角板 绕顶点 顺时针旋转 后得到 ，点 经过的路径为
弧 ，若 ， ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 是 的直径，点 在 上，点A是 的中点，过点A画 的切线，交 的
延长线于点D，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图， 是 的直径，C是 延长线上一点，点D在 上，且 ， 的延长线交于点E．若 ，则 度数为 ．
12．如图， 是 的直径，点C、点B在 上，过点C作 的切线交 的延长线于点D，若
， 垂直于 ， 垂直于 ，则 ．
13．如图， 是 的直径，且 ，弦 于点E， ，连接 ，则
．
14．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点 ， ， ，点 在 轴上，点 的坐标为 ，
则该圆弧所在圆内的圆心坐标为 ．
15．如图， 的三点都在 上， 是直径， ，则 为 ．16．如图， 是 的直径， 与 相切于点 的延长线交 于点 ，则
的度数是 ．
17．如图，A、 、 、 为一个正多边形的相邻四个顶点， 为正多边形的中心，若 ，
则这个正多边形的边数为 ．
18．如图，点A，B，C，D，E都在 上， ， ，则 ．
三、解答题
19．如图， 的直径 ， 是 的弦， ，垂足为 ， ，求
的长．20．如图，在⊙O中，直径 ，弦 ，连接 ．
（1）尺规作图：过点O作弦 的垂线，交 于点E，交 于点D，且点D在劣弧 间．
（2）连接 ，求 的面积．
21．如图，在 中， 是 的直径， 是 的弦， ， ．
（1）求 的半径；
（2）连接 ，过圆心 向 作垂线，垂足为 ，求 的长．22．（1）如图1， 是 的直径，C、D是 上的两点，若 ， ，求
① 的度数
② 的度数
（2）如图2， 的弦 垂直平分半径 ，若 的半径为4，求弦 的长．
23．如图，在 中， 为直径，弦 与 交于点 ，连接 ， ．
（1）如图①，若 ，求 的度数；
（2）如图②，过点 作 的切线与 的延长线交于点 ，若 ，求 的度数．24．如图， 是 上的三个点， ，点 在 上运动（不与点 重合），连接
， ， ．
（1）如图1，当点 在 上时，求证： ；
（2）如图2，当点 在 上时，求证： ；
（3）如图2，已知 的半径为 ， ，求 的长．
参考答案
1．B
【分析】根据垂径定理可得 ，在 中，根据勾股定理， ，计
算即可得出答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中，由勾股定理，得
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用进行求解是解决本题的关键．
2．A
【分析】设 的半径为 ，根据垂径定理可得 ，进而在 中，勾股定理求得半径，
进而根据 ，即可求解．
解：设 的半径为 ．
，
，
为直径，
，
是 的中点，
，
在 中，
∴ ，
∴ ，
（负值舍去），
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
3．D
【分析】先根据垂径定理的推论得到 ， ，再利用勾股定理求出 ，进而得到
，再证明 ，则 ．
解：如图所示，连接 ，∵点B是 的中点， 是 的直径，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∵点C是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角
三角形是解题的关键．
4．B
【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可．
解：方法一、如图，连接 ，∵点 是 的外心，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
方法二、如图，
∵点 是 的外心，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应
用．
5．C
【分析】在优弧 上取点P，连接 ， ，根据圆内接四边形的性质得到 ，再根据圆周
角定理可得 的度数．
解：如图，在优弧 上取点P，连接 ，由圆周角定理得， ，
由圆内接四边形得性质可知： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查圆周角定理与圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题关键．
6．B
【分析】由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题．
解：A、 ，
，
，故 不符合题意；
B、连接 ，由 ，得到 ，
，
，故 符合题意；
C、连接 ， ，，
，
，故 不符合题意；
D、由圆周角定理得到 ，故 不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
7．A
【分析】如图，连接 ，由 是 的切线，可得 ， ，
由 ，可得 ．
解：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌
握．8．A
【分析】根据垂直的定义及平行线的判定可知 ，再利用等腰三角形的性质及平行线的性质即
可解答．
解：连接 ，
∵ 与 相切于 ，
∴半径 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．
【点拨】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，掌握平行线的性
质及切线的性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据旋转的性质知 ，则 ， ，再根据
进行计算即可得到答案．解：在 中， ，
，
，
根据旋转的性质知 ，则 ， ，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了扇形面积的计算，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积计算公
式是解题的关键．
10．B
【分析】根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据圆周角定理得到
，进而求出 ，根据垂径定理得到 ，进而得出答案．
解： 是 的切线，
，
，
，
是 的直径，
，
，
∵点A是 的中点，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是
解题的关键．
11．50
【分析】根据 求出 ，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出 ．
解：连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：50．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆的知识，能求出
∠ODE的度数是解此题的关键．
12．
【分析】根据 垂直于 ，得出 ，在 中，利用勾股定理 代
入数据解答即可．
解：如图，
∵ 垂直于 ，
∴ ，
∵ 垂直于 ，∴ ，
在 中，
，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了垂径定理、勾股定理，正确得出 是解题的关键．
13．2
【分析】根据垂径定理得到 ，由 是 的直径，且 得到
，在 中， ，即可得到答案．
解：∵ 是 的直径，弦 于点E， ，
∴ ， ，
∵ 是 的直径，且 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故答案为：2．
【点拨】此题考查了勾股定理和垂径定理等知识，熟练掌握勾股定理和垂径定理的内容是解决此题的
关键．
14．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 和 的垂直平分线，交点即
为圆心．
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦 和 的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是 ．
故答案为： ．【点拨】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，能够根据垂径定理的推论得到圆心
的位置．
15． /40度
【分析】根据直径所对的圆周角等于 ，再根据同弧所对的圆周角相等及直角三角形的性质即可解
答．
解：∵ 是直径，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了直径所对的圆周角等于 ，同弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，掌握
同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
16． /26度
【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．
解： 是 的直径， 与 相切于点A，
，
，
， ，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．
17．15【分析】连接 ， ，根据圆周角定理得到 ，根据中心角的定义即可求解．
解：如图，连接 ， ，
∴ ，
∴这个正多边形的边数为 ，
故答案为：15．
【点拨】本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
18． /90度
【分析】首先连接 ，由圆周角定理即可得 的度数，继而求得 的度数，然后由圆周角
定理，求得 的度数即可解答．
解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，准确作出辅助线和熟练掌握圆周角定理和圆心角定理是解题的关键．
19．
【分析】由于 的直径 ，则 的半径为 ，又已知 ，则可以求出
， ，连接 ，根据勾股定理和垂径定理可求得 的长度．
解：如图所示，连接 ．
的直径 ，则 的半径为 ，
即 ，
又 ，
∴ ，
，垂足为 ，
，
在 中， ，
．
【点拨】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
20．（1）见详解；（2）
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于 为半径画弧，两弧相交于点F，连接 ，交
于点D，交 于点E；
（2）根据垂径定理得到 ，再求出半径 ，根据三角形面积公式即可求解．
（1）解：如图，OD为所作；
作法：分别以点A、C为圆心，以大于 为半径画弧，两弧相交于点F，连接 ，交 于点D，
交 于点E；
证明：连接 、 、 ，
由作图得 ，由圆的性质得 ，∴点 都在线段 的垂直平分线上，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴ ，
∴ 的面积＝ ．
【点拨】本题考查了作线段的垂线，垂径定理等知识，会作线段的垂直平分线，熟知垂径定理是解题
关键．
21．（1） 的半径为 ；（2） 的长
【分析】（1）如图，连结 ，根据垂径定理可得 的长，设 的半径为 ，在 中，由
勾股定理即可求解；
（2）如图所示，连结 ，根据垂径定理可得 ，可得 是 的中位线，可得
，在 中，根据勾股定理可求出 的长，由此即可求解．
（1）解：如图，连结 ，
∵ ， ，
∴ ，
设 的半径为 ， ，则 ，
在 中，由勾股定理得， ，即 ，
∴ ，即 的半径为 ．（2）解：如图所示，连结 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长 ．
【点拨】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，勾股定理，三角形的中位线的性质
等知识是解题的关键．
22．（1） ， ；（2）
【分析】（1）①根据圆周角定理得到 ，可得 ，根据圆内接四边形的性质即可
求出 ；②根据 得到 ，利用三角形内角和定理计算即可；
（2）连接 ，根据弦 垂直平分半径 可求出 的长，再由勾股定理求出 的长，进而可得
出结论．
解：（1）① 是直径，
，
，
，，
②∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ，
弦 垂直平分半径 ， ，
．
，即 ，
解得 ，
．
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助
线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（1） ；（2） ．
【分析】（1）连接 ，先求得 ，最后求得 ；
（2）连接 ，由切线的性质得 ，由 ， ，得 ，
，最后求得 的度数．
（1）解：如图①，连接 ，∵ 是 的一个外角， ， ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图②，连接 ．
∵ ，
∴ ．
∵ 是 切线，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和
定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．
24．（1）见分析；（2）见分析；（3）AB=10
【分析】（1）根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证；
（2）根据题意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，进而问题可证；
（3）连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，由题意易得圆心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6，然后
根据勾股定理可求解．
解：（1）证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC∴∠ADB=∠ADC；
（2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠ADC，
∴ ；
（3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示：
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=EC=6，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴圆心O在线段AE上，
∵OB=OA= ，
∴在Rt△BEO中， ，
∴ ，
∴在Rt△AEB中， ．
【点拨】本题主要考查圆内接四边形、垂径定理及圆周角，熟练掌握圆内接四边形、垂径定理及圆周
角是解题的关键．
