文档内容
专题 7.2 期末检测综合压轴题分类专题（考点梳理与分类讲解）
第一部分【考点目录】
一、选择填空题（常考综合题）
【考点1】数轴上的动点.......................................................2
【考点2】整体思想求值.......................................................3
【考点3】转换器.............................................................4
【考点4】数字规律...........................................................5
【考点5】图形规律...........................................................6
【考点6】方程思想...........................................................8
【考点7】三角板中的角......................................................10
【考点8】列方程（选择）....................................................12
【考点9】折叠中的角........................................................13
【考点10】折叠中的线段.....................................................14
【考点11】旋转中的角.......................................................15
二、解答题（常考综合题）
【考点12】计算或解方程.....................................................17
【考点13】化简求值.........................................................19
【考点14】线段的和与差、线段中点有关计算...................................20
【考点15】角的和与差、角平分线有关计算.....................................22
三、选择填空题（压轴题）
【考点16】分类讨论.........................................................23
【考点17】动点问题.........................................................25
【考点18】规律问题.........................................................27
【考点19】方程思想.........................................................28
四、解答题（压轴题）
【考点20】列方程应用题.....................................................30
【考点21】线段上的动点问题.................................................34【考点22】角中的旋转问题...................................................37
【考点23】综合探究题.......................................................42
第二部分【考点展示与方法点拨】
一、选择填空题（常考综合题）
【考点1】数轴上的动点
【1-1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点
P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段 和 的大小关系满足
时，点P表示的数是 ．
【答案】26或 /26或
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，
即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键．
解：在点P运动过程中， ，即 ，
分两种情况：
①当点P运动到点A右侧时， ，
此时点P表示的数是 ；
②当点P运动到点A左侧时，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，则 ，
∴点P表示的数是 ，
综上所述，点P表示的数是26或 ，
故答案为：26或 ．
【1-2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知 在数轴上， 对应的数是 ，点 在 的右边，
且距 点4个单位长度，点 是数轴上两个动点；如果 分别从点 出发，均沿数轴向左运
动，点 每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点 每秒走3个单位长度，当 、 两点相距2个单位长度时，点 对应的数为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，先求出点N表示的数，再设点Q
运动的时间为t秒，分当点P在点Q左边时，当点P在点Q右边时，两种情况分别建立方程求解即可．
解：由题意得，点N表示的数为 ，
设点Q运动的时间为t秒，
当点P在点Q左边时，则 ，
解得 ，
∴点P表示的数为 ；
当点P在点Q右边时，则 ，
解得 ，
∴点P表示的数为 ；
综上所述，点P对应的数为 或 ，
故答案为： 或 ．
【考点2】整体思想求值
【2-1】（24-25七年级上·全国·期末）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
将要求的式子先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可．
解： ，
∵
∴，
故答案为： ．
【2-2】（24-25八年级上·山东威海·期中）若实数x满足 ，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查代数式化简求值，掌握整体代入的思想，根据已知代数式的值将所求代数式进行恒等
变形是解决问题的关键．
将 恒等变形为 ，然后将 根据 变形为
，代值求解后进一步变形为 ，
代值求解即可．
解： 实数x满足 ，
，
，
故答案为： ．
【考点3】转换器
【3-1】（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的m的值是 时，输
出的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算和求出代数式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把 代入数值运算程序中计算得到结果8，比 小，再 代入数值运算程序中计算得到结果，比
大，依此即可求解．
解：当输入的m的值是 时，
， ，
当输入的m的值是 时，
， ，
∴当输入的m的值是 时，输出的结果是 ，
故答案为：
【3-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）在如图所示的运算程序中，若第一次输入 的值为 ，则第
次输出的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律，求代数式的值，有理数的运算，分别求出第一次输出 ，第二次输
出 ，第三次输出 ，第四次输出 ，第五次输出 ，第六次输出 ，第七次输出 ，第八次输出 ，……
由此可得，从第二次开始，每三次一个循环．能够通过所给例子，找到循环规律是解题的关键．
解：由题可知，第一次输出 ，
第二次输出 ，
第三次输出 ，
第四次输出 ，
第五次输出 ，
第六次输出 ，
第七次输出 ，
第八次输出 ，
……，
由此可得，从第二次开始，每三次一个循环，
∵ ，
∴第 次输出结果与第 次输出结果一样，∴第 次输出的结果为 ．
故答案为： ．
【考点4】数字规律
【4-1】（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列式子： ， ， ， ， ，
，…那么 的结果的个位上的数字是 ．
【答案】6
【分析】根据数字2，4，8，6循环的规律，列式计算余数，解答即可．
本题考查了数字的规律问题，正确发现规律是解题的关键．
解：∵ ， ， ， ， ，
∴ （ 为正整数）的结果的个位上的数字以2，4，8，6四个数字依次不断循环．
又∵ ，
∴ 的结果的个位上的数字与 的结果的个位上的数字相同，即为6．
故答案为：6．
【4-2】（2023七年级上·四川眉山·竞赛）有一列数： ， ， ， ，从第二个数开始，每一个数都等
于1与它前面的那个数的倒数的差，若 ，设 ，则式子： 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了数字规律题，涉及了整式的加减运算，由题意得：
可推出该列数每三个数一循环，据此即可求
解；
解：由题意得：
∴该列数每三个数一循环，
∵ ，
∴∵ ，
∴原式 ，
故答案为：
【考点5】图形规律
【5-1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示，以O为端点画六条射线 ， ， ， ，
， ，再从射线 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依
次记为 ， ， ， ， ， ， ， ，那么所描的第2024个点在射线 上．
【答案】
【分析】本题考查了图形规律题，找到规律是解题的关键．根据题意可得，1在射线 上，2在射线
上，3在射线 上，4在射线 上，5在射线 上，6在射线 上，7在射线 上，…，每六个一
循环．根据 ，即可求解．
解：∵1在射线 上，2在射线 上，3在射线 上，4在射线 上，5在射线 上，6在射线
上，7在射线 上，…
∴每六个一循环．
∵ ，
∴所描的第2024个点所在射线和2所在射线一样．
∴所描的第2024个点在射线 上．
故答案为：
【5-2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现
在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余
各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1．图1中第8行第5个数是 ；图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下
每层小球的个数依次为：1，3，6，10 ，记第n层的圆球数记 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的加减法，解题关键是观察图形的变化发现数字规律．
①根据从第三行起，每行两端的数都是“ ”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和即可解决问题；
②根据题意得到 于是得到 求得 于是得到
结论．
解：①由题意可得：第 行第 个数是：
故答案为： ；
②由题意得：， 故答案为： ．
【考点6】方程思想
【6-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知 ， 是有理数，单项式 的次数为3，而且方程
是关于 的一元一次方程．若关于 的一元一次方程的解是负整数，则满足条件
所有整数 的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查单项式的次数，一元一次方程的概念及解一元一次方程；由单项式的次数是3可求得n的值；根据一元
一次方程的概念可求得m的值；由方程的解为负整数即可确定t的取值，从而求得结果．
解：∵单项式 的次数为3，
∴ ；
∵方程 是关于 的一元一次方程，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ；
∴原方程为 ，
解得： ；
由题意， 为负整数，
∴ 为4的负整数因数，即 ， ，
∴ ，
∴t值的和为 ，
故答案为： ．
【6-2】（2024七年级上·全国·专题练习）小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化
为分数，例如，化 为分数，方法如下：
设 ，即 ．将方程两边都乘10，得 ，即 ．又因为，所以 ，所以 ，则 ，所以 ．
尝试解决下列各题：
（1）把 化成分数为 ；
（2）利用小明的方法，把纯循环小数 化成分数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数，一元一次方程解实际问题的应用．熟练掌握建立方程，
是解答的关键．
（1）根据阅读材料设 ，方程两边都乘以10，转化为 ，求出其解即可；（2）根据阅读材
料设 ，方程两边都乘以100，转化为 ，求出其解即可．
解：（1）设 ，
则 ，
即 ，
解得 ，
故答案为：
（2）设 ，
则 ，
即 ，
解得 ．
故答案为： ．
经过两次折叠后数轴上与点 重合的点所表示的数是： 或
故答案为： 或 ．
【考点7】三角板中的角【7-1】（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，一副三角板的直角 与 的顶点O重合在一起，
若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /45度
【分析】本题考查三角板中角的计算、解一元一次方程，设 ，则 ，根据
，列方程求得 ，则 ，再利用 求解即可．
解：∵ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【7-2】（22-23七年级上·河北唐山·期中）如图， 为直线 上一点，过点 作射线 ， ，
将一直角三角板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，将图1中的三角板绕点 以每秒 的速
度沿顺时针方向旋转一周，经过t秒后直线 恰好平分 ，则 （直接写结果）．
【答案】5秒或65秒
【分析】分两种情况，一是 平分 ，先计算出 ，则 ；二
是 的反向延长线平分 ，则 ，解方程求出相应的t值即可．
解：当 平分 时，如图1，作 ，则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当 的反向延长线 平分 时，如图2，过点O作 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述， 或 ，
故答案为：5秒或65秒．
【点睛】此题重点考查角的计算、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确
地用代数式表示直线 平分 时射线 转过的角度是解题的关键．
再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点 与点 重合，
第二次对折的折痕点为： ，
【考点8】列方程（选择）
【8-1】（2024七年级上·河南·专题练习）在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入
第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系，列出方程．根据等量关系为“第一个量筒中水的体积 第二个量筒中水的体
积”建立方程即可解题．
解：由题知，第一个量筒（圆柱）中的水的体积为： ，
第二个量筒中的水的体积为： ，
根据表示同一个量的两个式子相等有 ，
故选：A．
【8-2】（2024七年级上·全国·专题练习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按
出工，求各村出工的人数．
①设甲、乙、丙三村分别出工 人、 人、 人，依题意，得 ；
②设甲村出工 人，依题意，得 ；
③设乙村出工 人，依题意，得 ；
④设丙村出工 人，依题意，得 ．
上面所列方程中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由甲、乙、丙三村按 出工，可得出工人
数之间的关系，再根据计划出工84人列出方程，注意所设未知数不同时，所列方程也不同．
解：①正确，
②应得方程 ，
③应得 ，
④应得 ．
故选：A．
【考点9】折叠中的角
【9-1】（2024七年级上·云南·专题练习）将一张长方形纸片 按如图所示的方式折叠， 、 为
折痕，点 、 折叠后的对应点分别为 、 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角的计算，可以设 ， ，根据折叠可得∠ ，
，进而可求解．
解：设 ， ，
根据折叠性质可知 ， ．
∵ ，
∴ ， ．
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故选：A．
【9-2】（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）如图，把一张长方形的纸片按如图那样折叠后，C、D两
点落在H、G点处，若得 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得
，再根据角的和差求解即可得．
解：由折叠的性质得： ，
， ，
，
故选：A．
【考点10】折叠中的线段
【10-1】（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）如图，已知线段AB与直线BC的夹角 ，D是
直线BC上的一个动点，平移线段AB，使点B移到点D的位置，得到线段DE，连接BE，再将 沿
BE折叠，点D落在点F处．若BF平分 ，则 的度数为 ．
【答案】 或
解：提示：分情况讨论：①如图1，当点D在点B的右侧时，因为BF平分 ，所以 ．
由折叠的性质，得 ．所以 ．由题可知，
．所以 ．②如图2，当，点D在点B的左侧时，同理可得
．因为 ，所以．综上所述， 的度数为 或 ．
【10-2】（23-24七年级上·浙江温州·期中）在长方形纸片上有一条数轴，小周裁剪了10个单位长度（
到8）的一条线段，如图，其中 点表示的数为 ， 点表示的数为3，点 表示的数为1.5，小周先将
纸片对折，再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点 与点 重合，经过两次折叠后数轴上与点 重合的
点所表示的数是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了数轴的应用、线段中点的有关计算，先求出第一次对折的折痕点为3，再根据将对折
后的纸片沿某点折叠后使得点 与点 重合可求出第二次的折痕点，由此即可得出答案，理解题意，灵
活运用所学知识点是解此题的关键．
解： 折痕点为对应点所连线段的中点，
第一次对折的折痕点为： ，
【考点11】旋转中的角
【11-1】（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知 ，现将射线 绕点 顺时
针匀速旋转，射线 保持不动，当射线 与射线 重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两
个角相等（重合除外）时，射线 旋转的角度为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查分类讨论的思想、角的和差关系，根据题意，先进行分类讨论，再根据角的和差
关系解决此题．解：三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，可能存在以下两种情形：
①当射线 旋转到 的外部时， ．
∴射线 旋转的角度为 ．
②当射线 旋转到 内部时， ．
∴ ，
∴射线 旋转的角度为 ，
综上：射线 旋转的角度为 或 ．
故答案为： 或 ．
【11-2】（24-25七年级上·全国·期末）如图①，点O在直线 上，过O作射线 ，三角
板的顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按 的速度沿逆
时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线 恰好平分锐角 （图②）．
【答案】6或24/24或6
【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线 恰好平分锐
角 ，得到三角板旋转的度数，进而得到 的值．
解： ，
，
当直线 恰好平分锐角 时，如图：
，
此时，三角板旋转的角度为 ，
；当 在 的内部时，如图：
三角板旋转的角度为 ，
；
的值为：6或24．
故答案为：6或24．
二、解答题（常考综合题）
【考点12】计算或解方程
【12-1】（23-24七年级上·四川成都·期末）
（1）计算： ； （2）计算： ；
（3）解方程： ； （4）解方程： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ：（4）
【分析】此题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，熟练掌握有理数的运算法则和顺序、解一元
一次方程，是解题的关键．
（1）利用加法交换律进行计算即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再进行加减法即可；
（3）按照去括号、移项合并同类项，系数化1得步骤解方程即可；
（4）按照去分母、去括号、移项合并同类项，系数化1得步骤解方程即可；
解：（1）（2）
（3）
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化1得，
（4）
去分母得，
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化1得，
【12-2】（22-23七年级上·河北石家庄·期末）计算或解方程：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】
此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，以及度分秒的换算，
（1）先计算括号内，计算平方，再算乘法，最后算加减法．（2）先计算平方，再算除法，最后算加减法．
（3）去括号，移项并合并同类项，最后化系数为1即可求解．
（4）利用度分秒的进制计算即可得到结果．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
去分母得： ，
去括号得： ，
移项并合并同类项： ，
化系数为1： ；
（4）
．
【考点13】化简求值
【13-1】（21-22七年级上·重庆璧山·期末）先化简，再求值： ，其
中 ．
【答案】 ，【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可求解．
解：
=
=
= ，
当 时，原式=
【点睛】本题主要考查整式化简求值，掌握去括号合并同类项法则是关键．
【13-2】（23-24七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：已知 ，先化简，再求值：
．
【答案】 ，
【分析】本题考查了偶次方和绝对值的非负性、整式加减中的化简求值、一元一次方程的应用，熟练掌
握整式的加减运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后根据偶次方和绝对值的非负性
可得 的值，最后代入计算即可得．
解：
，
，
∴x−2=0,y+1=0，
解得 ，将 代入得：原式 ．
【考点14】线段的和与差、线段中点有关计算
【14-1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C、D是线段 上的点， ， ．
(1)线段 与 相等吗？请说明理由；
(2)如果M是 的中点， ，求线段 的长．
【答案】(1) ，理由见解析 (2)
【分析】本题主要考查了线段的和差、中点的定义等知识点，掌握线段的和差成为解题的关键．
（1）依据题意可得： 即可解答；
（2）依据中点的定义以及（1）中的结论，即可得到 ，再根据线段的和可得 ，
最后根据线段的和差即可解答．
解：（1）解： ，理由如下：
∵ ， ．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
（2）解：∵ 是 的中点，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【14-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，线段 ，C为线段AB延长线上一点， ．
(1)求线段 的长；
(2)若D是图中最长线段的中点，求线段BD的长．【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义， 熟练掌握线段中点的定义是解题的关键
（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论；
（2）当点D是图中最长线段的中点，根据线段中点的定义即可得到结论．
解：（1） ，
，
，
，
. ；
（2）∵图中最长线段是 ，
∴D为线段 的中点，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ．
【考点15】角的和与差、角平分线有关计算
【15-1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线 、 相交于O， ， ．
(1)求 的度数；
(2)试说明 平分 ．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】本题考查角的运算，涉及角平分线的性质，邻补角的性质，属于基础题型．
（1）先根据条件和邻补角的性质求出 的度数，然后即可求出 的度数．
（2）只要证明 即可得证．
解：（1）∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
【15-2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，点O为直线 上的一点， ， 平
分 ， ，求 和 的度数．
【答案】 ，
【分析】根据角的和差得到 ，则 ，再根
据角平分线的定义得到 ，然后利用 进行计算即可．
解：∵点O为直线 上一点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
【考点16】分类讨论
【16-1】（23-24七年级上·四川达州·期中）若 ，则 的值可能是（ ）
A．1和3 B． 和3 C．1和 D． 和
【答案】B
【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据 ，
即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可．
解： ，设 时，
，
或 时，
，或 ，
时，
，
综上可得： 或 ，
故选：B．
【16-2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知线段 ， 是直线 上一点， 是 的中点，
是 中点，若 ，则 的长为 ．
【答案】8或14.4
【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点 在线段 上以及点 在线段 的延长线上，两种情
况进行讨论求解即可．
解：∵ ， 是 的中点，
∴ ，
当点 在线段 上时：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ；
当点 在线段 的延长线上时，如图，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ；
综上： 的长为8或 ；
故答案为：8或14.4．
【16-3】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，长方形纸片 ，点E在边 上，点F，G在
边 上，连接 ， ．将 对折，点B落在直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，
点A落在直线 上的点 处，得折痕 ．若 ，则
【答案】 或
【分析】本题考查了角平分线以及折叠求角度，分两种情形：当点 在点 的右侧；当点 在点 的左
侧，根据 或 ，求出 即可解决问
题．
解：∵将 对折，将 对折，
∴ 平分 ， 平分 ，
， ，
当点 在点 的右侧，
∴ ，， ，
∴ ，
∴ ；
当点 在点 的左侧，
，
， ，
∴ ，
∴ ，
综上， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
【考点17】动点问题
【17-1】（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，且 、 满足
，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 从点
出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．若点 、 同时出
发，当 、 两点相距 个单位长度时， 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】根据 可得 ， ，由已知条件可得 表示的数是 ， 表示的数是 ，而 、 两点相距 个单位长度，故可列方程 ，解之即可得出答案．
解： ，
， ，
解得： ， ，
动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 从点 出发，以每秒 个单
位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒，
表示的数是 ， 表示的数是 ，
根据题意可得：
，
即： ，
解得： 或 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方
程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含 的代数式表示 、 表示的数并列方程解
决问题是解题的关键．
【17-2】（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，数轴上 两点之间的距离为1个单位长度， 两
点之间的距离为3个单位长度．现有一动点 从点 开始沿该数轴的正方向运动，到达点 停止．若运动
过程中，点 到 三点的距离之和的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查数轴上的数的运算，乘方，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据点 在线段 上和线段 上，以及 的取值范围分别判断出 的取值范围，即可求得
的最大值和最小值，然后代入求值计算即可．
解：点 在线段 上 ，∴ ，
∵ ；
∴
点 在线段 上 ，
∴ ，
∵ ；
∴
综上：
∴点 到 三点的距离之和的最大值为 ，最小值为 ，
∴
故选：D．
【考点18】规律问题
【18-1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，甲、乙两动点分别同时从正方形 的顶点
沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的 倍，
那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第 次相遇在哪条边上?（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形类规律变化问题，设出正方形的边长 ，根据甲的速度是乙的速度的 倍，求得
每一次相遇的地点，找出规律即可解答，根据题意找到规律是解题的关键．
解：设正方形的边长为 ，
∵乙的速度是甲的速度的 倍，时间相同，
∴甲乙所行的路程比为 ，把正方形的每一条边平均分成 份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为 ，乙行的路程为 ，甲行的路程为 ，在
AD边的中点相遇；
②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为 ，乙行的路程为 ，甲行的路程为
，在CD边的中点相遇；
③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为 ，乙行的路程为 ，甲行的路程为
，在 边的中点相遇；
④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为 ，乙行的路程为 ，甲行的路程为
，在AB边的中点相遇；
⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为 ，乙行的路程为 ，甲行的路程为
，在AD边的中点相遇；
∴四次一个循环，
∵ ，
∴它们第 次相遇在边AB上，
故选： ．
【考点19】方程思想
【19-1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且 若动
点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出
发向A做匀速运动，当运动时间为（ ）秒时，P、Q相距3个单位长度．
A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方
程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含 的代数式表示 、 表示的数并列方程解决问题是解题的关键．根据 可得 ， ，由已知条件可得 表示的数是 ，
表示的数是 ，而 、 两点相距3个单位长度，故可列方程 ，解之即可得出答
案．
解： ，
， ，
解得： ， ，
动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点
出发向A做匀速运动，设运动时间为 秒，
表示的数是 ， 表示的数是 ，
根据题意可得：
，
即： ，
解得： 或3，
故选：C．
【19-2】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线 与 相交于点 ， ，将一等
腰直角三角尺 的直角顶点与 重合， 平分 ．将三角尺 以每秒 的速度绕点 顺时针
旋转，同时直线 以每秒 的速度绕点 顺时针旋转，设运动时间为 秒 ，若直线 平分
，则 的值为 ．
【答案】36或108【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转等知识点，分两种情况进行讨论：当 平分 时，
；当 平分 时， ，分别利用t表示角度，根据等量关系列方
程求解即可，利用旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键．
解：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
①当 平分 时， ，
此时 ，
∴
∴ ，
解得 ，
．
②当 平分 时， ，
此时 ， ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：36或108．
．
四、解答题（压轴题）
【考点20】列方程应用题
【20-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱；
(1)每件服装标价多少元？
(2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂
同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？
甲服装厂 乙服装厂
订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代 订购超过100件，服装全部打八折后再减4
金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠 元，同时超过出300件服装，每件服装返款
35件同样价格的服装． 0.12元包装费．
(3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价 ，进行销售，由于接近
年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有 需要降价以5折出售，该服装店要想获得
利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次
购进服装多少件？
【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进 件服装
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用．
（1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可；
（2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可；
（3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可．
解：（1）设每件服装标价x元，根据题意得：
解得： ，
答：每件服装标价为100元；
（2） ，
根据题意：
甲厂：
（件），
购进服装数量为正整数，
在甲厂可购进500件服装，在甲厂可购进500件服装的费用为：
（元）；
乙厂：
（件）
在乙厂可购进500件服装，
在甲厂可购进500件服装的费用为 （元），
则服装店在乙服装厂购进服装利润为： （元）；
，
该服装店在乙服装厂购进服装利润最高；
（3）设需在购进y件服装，根据题意：
由（2）知，进价为： （元），
现标价为： （元），
按进价的基础上每件服装加价 销售的服装有： （件），
按5折出售的服装有： （件），
售价为： （元），
则 ，
，即 ，
解得： ，
答：需要在购进 件服装．
【20-2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示：
停车时段 收费方式
白天
8元/小时
夜间
4元1小时1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收
费；
2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小
备注 时停车时间收费；
3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小
时停车时间收费；
4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费．
(1)若某日刘老师 进场停车， 离场，则需付停车费_______元；
(2)若某日刘老师 进场停车， 离场，则需付停车费_______元；
(3)若某日刘老师 进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的 间，
则他此次停车的费用为多少元？
(4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（ 均
为非负整数），请你写出三种符合条件的 的值．
【答案】(1)24 (2)56 (3) 元 (4)见解析
【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用．理解题意，正确列出算式或代
数式是解题关键．
（1）按白天停车未超过3小时计算即可；
（2）按白天停车6小时，夜间停车2小时计算即可；
（3）按白天停车6小时，夜间停车 小时计算即可；
（4）分类讨论：①当 ， 时，②当 ， 时，③当 ， 时和④当 ， 时，
分别计算即可．
解：（1）刘老师 进场停车， 离场，则他停车2小时36分，
因为不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费，且为白天停车，未超过6小时，
所以刘老师需付停车费 元；
（2）刘老师 进场停车， 离场，则他白天停车8小时，夜间停车1小时41分，
所以刘老师白天停车按6小时计费，夜间停车按2小时计费，
所以刘老师需付停车费 元；
（3）若某日刘老师 进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的
间，则他白天停车10小时，夜间停车 小时，
因为离场时间介于当日的 间，所以夜间停车未超过6小时，
所以刘老师需付停车费 元；
（4）分类讨论：①当 ， 时，
因为在该停车场停车费用为60元，
所以 ，即 ．
因为 均为非负整数，
所以只能取 ， ；
②当 ， 时，
因为在该停车场停车费用为60元，
所以 ，即 ，
因为 均为非负整数，
所以此时a取大于等于6小于等于12的任意整数都可以， ；
③当 ， 时，
因为在该停车场停车费用为60元，
所以 ，即 ，不符合题意；
④当 ， 时，
刘老师应付停车费 元，不符合题意．
综上可知 ， 或 ， 或 ， ．
【考点21】线段上的动点问题
【21-1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线 上有A、B两点， ， 上有两个动点
P、Q．点P从点A出发，以每秒 个单位长度的速度沿直线 向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒
个单位长度的速度沿直线 向右运动．设运动时间为 （秒）．
(1)请用含t的代数式表示线段 的长．
(2)当点B是线段 的中点时，求t的值．
(3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？
(4)运动过程中，线段 与线段 的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由．【答案】(1)当 时， ；当 时， (2) (3)能重合， (4)
【分析】（1）根据题意，点P每秒 个单位长度，点P运动到点B需要用时间为 ，当
时， 秒过后，点P运动的路程为 ，结合 ，得 ，得到
；当 时， 秒过后，点P运动的路程为 ，结合 ，得 ，得到
即 ．
（2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段 的中点．根据题意得到等量关系： 列式计算即可；
（3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则 ，列式计算即可；
（4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值．
解：（1）根据题意，点P的速度为每秒 个单位长度，点P运动到点B需要用时间为 ，当
时， 秒过后，点P运动的路程为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时， 秒过后，点P运动的路程为 ，
∵ ， ，
∴ 即 ．
（2）根据题意，点P每秒 个单位长度，点P运动到点B需要用时间为 ，
当 时， 秒过后，点P运动的路程为 ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
∵点Q从点B出发，以每秒 个单位长度的速度沿直线 向右运动．
∴ 秒过后，点Q运动的路程为 ，
∵点B是线段 的中点．
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即点P、Q出发 秒钟后，点B是线段 的中点．
（3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则 ，
∴ ．
解得： ；
故点P、Q出发 秒钟后，点P和点Q重合．
（4）当点P在点Q左侧时，线段 与线段 的长度不可能相等．
当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段 与线段 的长度相等，根据题意，得
，
解得： ．
当 时，线段 与线段 的长度相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要
读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【21-2】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段AB上，线段 厘米，
厘米，点M，N分别是 ， 的中点．
(1)求线段 的长度；
(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设 ，其他条件不变，求 的长度；
(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1厘
米/秒的速度沿 向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：
①点P恰好为线段 的中点？
②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外）
【答案】(1) 厘米 (2) (3)① ② 或
【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，
以防遗漏．
（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）①分为 为线段 的中点和 为线段 的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，
可得答案；
②分为C为线段 的中点和点 为线段 的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可
得答案．
解：（1）∵线段 厘米， 厘米，点 , 分别是 , 的中点,
厘米， 厘米，
厘米；
（2）∵点 , 分别是 的中点,
，
；（3）①当 时， 为线段 的中点， ，
解得 ；
②当 时， 是线段 的中点，得
解得
当 时， 为线段 的中点，
解得
当 时， 为线段 的中点，
解得 (舍) ,
综上所述： 或
【考点22】角中的旋转问题
【22-1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）探究与实践
将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知 ， ，按如图1所示摆放，将 、
边重合在直线 上， 、 边在直线 的两侧：
【问题发现】
（1）保持三角板 不动，将三角板 绕点O旋转至如图2所示的位置，则
① __________；
② __________．
【问题探究】
（2）若三角板 按每分钟 的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板 按每分钟 的速度也绕点O
逆时针方向旋转， 旋转到射线 上时都停止运动，设旋转t分钟，计算 （用含t的代
数式表示）．
【问题解决】
（3）保持三角板 不动，将三角板 绕点O逆时针方向旋转 ，若射线 平分 ，
射线 平分 ，求 的大小．【答案】（1）① ；② ；（2） ；（3） 或
【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解；
（1）①将 转化为 即可得；②依据 、
，将原式转化为 计算可得；
（2）设运动时间为t秒， ，只需表示出 即可得出答案，而 在 与
相遇时， ，再画出图形求解即可；
（3）设 绕点O逆时针旋转 ，再分①① 时，如图；② 时，如图，分
别画出图形求解即可．
解：（1）①
，
②
；
（2）设旋转时间为t秒，则 ， ，
当 与 相遇时， ，
解得： ，
如图，
，
∴ ；
（3）设 绕点O逆时针旋转 ，① 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴
∴ ，
∴ ；
② 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ．综上， 或 ．
【22-2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的
图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广
播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为 、 两点，两脚脚跟位置分别为 、
两点，定义 、 、 、 平面内 为定点，将手脚运动看作绕点 进行旋转．
(1)如图2， 、 、 三点共线，点 、 重合， ，则 ；
(2)如图3， 、 、 三点共线，且 ， 平分 ，求 的大小；
(3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然 、 、 三点共线，却不在水平方向上，且
，他经过计算发现， 的值为定值，请写出这个定值为 ；
(4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线 平分 ，且
，开始运动前 、 、 三点在同一水平线上， 、 绕点 顺时针旋转， 旋转速度
为每秒 ， 旋转速度为每秒 ，当 旋转到与 重合时运动停止（ 是竖直方向的一条射
线）
① 运动停止时， ；
② 请帮助乐乐写出运动过程中 与 的数量关系为 ．
【答案】(1) (2) (3)60°
(4) ； 当 时， ；当 时，
【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用；
（1）由 ， ， 三点共线，可得出 ，再由 ，即可求出
；
（2）由 ，设 ，根据 、O、 三点共线，则
，得出 ，再根据 ，即可求解；
（3）由 ，设 ，则 ，分别求出， ，再代入 即可求解；
（4）①算出运动停止时间，求出 运动的角度，进而求出 度数；
②由 的运动过程可知，需要分类讨论，在点 ， ， 三点共线前和点 ， ， 三点共线后，分别
求解即可；
解：（1）∵ ， ， 三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 、O、 三点共线，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴
（3）这个定值是 ，理由，
∵ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴小田的发现是正确的，这个定值是 ；
（4）∵ ，
∴ ， ，
设运动时间为 ，则 ，则 ，
①运动停止时，即 时， 旋转的角度为 ，
∴ ，
故答案为： ；②当点 ， ， 三点共线时， ；
∴当 时， ， ，
∴ ；
当 时， ， ，
∴ ，
综上，当 时， ；当 时， ．
【考点23】综合探究题
【23-1】（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）【知识准备】
若数轴上点 对应的数为 ，点 对应的数为 ， 为 的中点，则我们有中点公式：点 对应的数
为 ．
（1）在一条数轴上， 为原点，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，且有 ，则
的中点 所对应的数为______；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点 从点 出
发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为 ， 为______时， 的中点所对应的数为5．
【拓展延伸】
（3）若数轴上点 对应的数为 ，点 对应的数为 ， 为 靠近点 的三等分点，则我们有三等分
点公式：点 对应的数为 ：若数轴上点 的对应数为 ，点 的对应数为 ， 为 最靠近点
的四等分点，则我们有四等分点公式：点 对应的数为： ．
①填空：若数轴上点 的对应数为 ，点 的对应数为 ， 为 最靠近点 的五等分点．则点 对
应的数为______．
②在（2）的条件下，若 是 最靠近 的五等分点， 为 的中点，则是否存在 ，使得
为定值？若存在，请求出 的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由．【答案】（1）2（2）6（3）① ②存在， ，7
【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟
练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键．
（1）先由非负数的性质求出 ，进而可得 的中点N所对应的数；
（2）首先依题意求出点P所表示的数为： ，点Q所表示的数为： ，然后根据 的中点所对
应的数为5，得 ，由此解出t即可；
（3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为： ，点Q所表示的数为：
，再求出点E所表示的数为 ，点F所表示的数为 ，进而求出
， ，从而得 ，然后根据绝对值的意义即可得出答案．
解：（1） ，
，
，
点N是 的中点，
的中点N所对应的数为： ，
故答案为： ；
（2）由题意可得，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ．
，
解得 ，
∴当 时， 的中点所对应的数为5；
（3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为： ；
②存在；由题意，得点E表示的数为 ，点F所表示的数为
∴ ， ，
∴ ，
∴ 表示数 到数11和4之间的距离之和，
∴当 时， 为定值．
【23-2】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】
如果两个角的差的绝对值等于30°，就称这两个角互为“和谐角”，其中一个角叫做另一个角的“和谐
角”，例如： ， ， ，则 和 互为“和谐角”，即 是 的“和谐
角”， 也是 的“和谐角”．
【初步感知】
（1）如图， ， ，则下列各角：① ，② ，③ ，④
，⑤ 中，是 的“和谐角”的有______(填入正确的序号)．
【拓展探究】
（2）在（1）的条件下，若射线 绕点 以每秒 逆时针旋转，射线 绕点 以每秒 顺时针旋转，
射线 绕点 每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线 重合时，三条射线同时
停止运动．
①当运 秒后， ， ；(用含t的代数式表示)
②在三条射线的运动过程中， 与 的关系为：______；
③在运动过程中，当 为何值时， 和 互为“和谐角”？【答案】（1）③⑤；（ ）① ， ， ；② ， ；
， ③ 或 ．
【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程式及绝对值的相关知识点；
（ ）根据和谐角的定义， 的和谐角为 或60°，选择符合这一条件的角填入填空；
（ ）①根据题目中给出的射线 、 、 旋转方向及速度即可求出它们与直线 的夹角度数；
②由①可得 ，期间射线 和射线 会重合，对射线 与射线 重合前后进行分类讨论；
③对射线 与射线 及射线 与射线 重合前后进行分类讨论并根据和谐角定义用含 的代数式表
示 ，即可求出 的值．
解：（ ）由题干可得相差30°的角互为和谐角，
，
它的和谐角为 或60°，
又 ，
，
，
，
和 符合，
故答案为：③⑤；
（ ）① 逆时针旋转， 和 顺时针旋转，
增大， 和 减小，结合题目中射线 、 、 每秒旋转的速度，
， ， ；
②当射线 与直线 重合时， ，
当 时， ，则 ，当 时， ， ，
则 ，
当 时， ， ，
则 ，
综上所述， ， ； ， ；
③当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
，
，
解得 ， 不符合)，故 ，
当 时， ，
，
，
解得 不符合)， 不符合)，故 不存在，
当 时， ，
，
，
解得 ， 不符合)，故 ，
综上所述，当 或 时， 和 互为“和谐角”．
