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专题提升 实际问题与反比例函数及其综合（30 题）
1．（2022春•衡阳县期中）如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为 6m的墙，用篱笆围一个面积为
30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的
篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案．
2．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t
小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．3．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（kPa）是气体
体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确
到0.01m3）
4．（2023秋•崇川区期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升 20℃，加热到100℃时，
饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温 y（℃）与通电时间（min）成
反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为
20℃，接通电源后，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的关系如图所示．
（1）求当4＜x≤a时，y与x之间的函数关系式；
（2）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？
5．（2023秋•如皋市期中）柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血
栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为 3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，
其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
6．（2023•西岗区校级模拟）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间 y（分）与录入文字的速度x
（字/分）之间的函数关系如图．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过 19：
35，小明每分钟至少应录入多少个字？
7．（2023秋•汉寿县期中）实验数据显示，一般成人喝 50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量 y（毫
克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，
车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
（1）求部分双曲线AB的函数表达式；（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6：30
能否驾车去上班？请说明理由．
8．（2023秋•于洪区期中）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 V（单位：m3）变化时，气
体的密度 （单位：kg/m3）随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求密度 与体积V的函数表达式；
ρ ρ
（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度 的变化范围．
ρ
ρ
9．（2023秋•临湘市期中）某种原料需要达到60℃及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度y
（℃）与时间x（min）之间的关系，其中线段AB表示原料加热阶段；线段BC∥x轴，表示原料的恒温
阶段；曲线CD是双曲线y＝ 的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：（1）填空：a的值为 ；
（2）求线段AB对应的函数解析式；
（3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工
的时间长度．
10．（2023秋•甘井子区期中）问题背景：
同学们一定都熟悉这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”它道出了“杠杆原理”的意义
和价值，如图1，杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．
解决问题：
如图2，小伟用撬棍撬动一块大石头，已知平衡时，阻力F 和阻力臂L 分别为1600N和0.5m．
1 1
（1）①求动力F和动力臂L的函数关系式．
②当动力臂为2m时，撬动这块石头高于平衡位置，至少需要的力为 N．（直接写出答案）
（2）若想动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂L至少要加长多
少？
11．（2023•包头模拟）通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上
课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随
时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜u时图
象是线段；当a≤x≤45时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答
下列问题：
（1）a＝ ．（2）当0≤x＜10时，求y与x的函数关系式．
（3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，
专注度不低于60？请说明理由．
12．（2023秋•莱州市期中）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧
到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时
间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知
该材料初始温度是32℃．
（1）求材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，需停止操作，那么锻
造的操作时间有多长？
13．（2023秋•洪江市校级月考）近期，流感进入发病高峰期，某校为预防流感，对教室进行熏药消毒，
测得药物燃烧后室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，已知
药物燃烧时，满足y＝2x；药物燃烧后，y与x成反比例，现测得药物m分钟燃毕，此时室内每立方米
空气中的含药量为10mg．请根据图中所提供的信息，解决下列问题：
（1）求m的值，并求当x＞m时，y与x的函数表达式；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 4毫
克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，则此次消毒是否有效？请计算说明．
14．（2023春•淮安区期末）我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 10℃，加热
到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温
降至20℃时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间
x（min）的关系如图所示．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）直接写出图中y关于x的函数表达式．
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？
（4）若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是
20℃，问学生上午第一节下课时（8：40）能喝到50℃以上的水
吗？请说明理由．
15．（2023秋•雁塔区校级期中）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课
时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图
所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段，当20≤x≤45时是反比例函数的一部分．
（1）分别求当0≤x＜10和20＜x≤45时，与之间满足的函数解析式；
（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否在学生认真听讲的时间段完成任务，请说
明理由．16．（2023•安阳二模）寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴的时间
水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是气馁．路过的智者提醒他，木柴不够，可以将水倒
掉一部分．青年听后，茅塞顿开，把水烧开了．智者的话蕴含一定道理，根据物理学公式 Q＝cmΔt
（Q表示寓言故事中水吸收的总热量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量，Δt表示水的温差），
得 ．智者的话可解释为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量 Q随之确定， 为定值，
水上升的温度Δt（单位：℃）与水的质量m（单位：kg）成反比例．
（1）若现有木柴可以将3kg温度为25℃的水加热到75℃，请求出这种情形下 的值及Δt关于m的反比
例函数的表达式；
（2）在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为25℃的水加热到 100℃．
17．（2023秋•霍邱县月考）根据物理学知识，一定的压力F（N）作用于物体上产生的压强p（Pa）与物
体受力面积S（m2）成反比例，已知当S＝5m2时，p＝20Pa．
（1）试确定p与S之间的函数表达式；
（2）如果作用于物体上的压力能产生的压强p要大于1000Pa时，求物体受力面积S（m2）的取值范围．18．（2022秋•宝山区期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升20℃，水温到100℃时
停止加热．此后水温开始下降．水温y（℃）与开机通电时间x（min）成反比例关系．若水温在20℃时
接通电源．一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．
（1）水温从20℃加热到100℃，需要 min；
（2）求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于80℃的时间有多
少？
19．（2023•甘井子区校级模拟）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用
这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达
到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问
题：
（1）抗生素服用 4 小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有 6 微克；
（2）根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；
（3）求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．20．（2023春•淮安区校级期末）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药
物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后
y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.9毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释
放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？21．（2022秋•大洼区期末）如图，一次函数y＝mx+n与反比例函数 的图象交于点A（﹣1，4），B
（b，﹣2）与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求k，b的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式 的解集；
（3）连接OA，OB，求△OAB的面积．
22．（2023秋•杨浦区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，4）在反比例函数y＝ 上的图象上，
将点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B，点B恰好落在反比例函数y＝
的图象上．
（1）求点A、B的坐标．
（2）联结BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求S△ABC ．23．（2023秋•包河区校级期中）如图，一次函数 y＝kx+b与反比例函数 的图象交于点A（﹣1，
6）， ．与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集．
24．（2023秋•莒县期中）如图，直线y＝kx+b与双曲线 相交于点A（2，3）、B两点，B点纵坐标为
1．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）点D（0，n）在y轴上，连接AD，BD，当△ABD的面积为10时，求n的值；
（3）请直接写出关于x的不等式 的解集．25．（2023秋•杨浦区期中）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝ （k≠0）交第一象限于点A（m，4）．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）将点O绕点A逆时针旋转90°至点B，求直线OB的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若点C是射线OB上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交双曲线y＝
（k≠0）的图象于点D，交x轴于点E，且S△DCO ：S△DEO ＝2：3，求点C的坐标．
26．（2023•河南模拟）如图，直线y＝kx+b与双曲线 相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴
相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式 的解集．27．（2023秋•肥城市期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝kx+b的图象上与反比例函数
1
的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（6，2），点B的横坐标为﹣4．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且S△ABD ＝15，求点D坐标．
28．（2023秋•张店区期中）如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝ （m≠ ）的图
1 2
象交于 A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
θ
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出kx+b﹣ ＞0时x的取值范围；
（3）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．29．（2023秋•娄底期中）如图，一次函数y ＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数
1
y ＝ 的图象交于点C（1，2），D（2，n）．
2
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接OC，OD，求△COD的面积；
（3）点P是反比例函数上一点，PQ∥x轴交直线AB于Q，且PQ＝3，求点P
的坐标．
30．（2023秋•迁安市期中）已知：如图是反比例函数 图象的一支，
（1）求k的取值范围；
（2）若该函数图象上有两点M（2，a），N（6，b），则a b（填“＞”“＜”或“＝”），并
求出b与a的关系式；
（3）若一次函数 的图象与该反比例函数图象（交于点 A（4，m），与x轴交于点B，连接
OA；
①求出m、k的值；
②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点P，使得△POB的面积等于△AOB的面积的一半，
若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
