文档内容
第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
第2课时 二次根式的性质
教学设计
课题 19.1第2课时 二次根式的性质 授课人
1.理解二次根式的非负性，正确区分(√a) 2 =a (a≥0)和 √a2 =a(a≥0)，能运
用二次根式的性质计算和化简.
教学目标
2.通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问
题和解决问题的能力.
教学重点 掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算.
教学难点 二次根式基本性质的应用.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 上一课时我们学习了二次根式及其相关知识，你还记得二次根式 通过回顾
的概念吗？被开方数需要满足什么条件？ 旧知为学
习新知做
一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式，“√❑
好准备.
”称为二次根号．
被开方数大于或等于零.
探究新知 1.√a≥0（a≥0） 通过由特
殊 到 一
思考：二次根式 √a 中被开方数 a 的取值范围是 a≥0，那么
般，帮助
√a 的取值范围是什么？
学生总结
当 a＞0 的时候，√a 表示 a 的算术平方根，则 √a ＞0； 出二次根
式 的 性
当 a＝0 的时候，√a 表示 0 的算术平方根，则 √a＝0. 质，培养
学 生 观
当 a≥0 时，√a 是非负数，即 √a≥0.
察，归纳
（链接例1、针对练习） 总结的能
力.
2.（√a）²=a（a≥0）
利用下图，你能推测 √a 和 a 有什么关系吗？能得到
√a⋅√a ＝ a
根据算术平方根的意义填空，并说出得到的结论及依据．
（1）(√3)2＝ 3 ； （2）(√0.5)2＝ 0. 5 ；
√1 2 1
（3）( ) ＝ ； （4）(√0)2＝ 0 ．
3 3
一般地，二次根式有下面的性质：
（√a）2＝a（a≥0）.
因为 √a（a≥0）表示 a 的算术平方根，
所以将 a 的算术平方根平方，得（√a）2＝a.
（链接例2）
3.√a2=a（a≥0）
填空：
√ 2 2
√22=______； √0.12=______；
( )
=______；√02=______．
3
根据算术平方根的意义，可以得到
√ 2 2 2
√22=2； √0.12=0.1； ( ) = ；√02=0．
3 3
一般地，√a2＝a(a≥0).
思考 当a为任意实数时，√a2都有意义.如果上式中的a为负实
数，那么上式还成立吗？为什么？
填空：√22= 2 ， |2|＝ 2 ；
√(−5) 2= 5 ， |－5|＝ 5 ；
√02= 0 ， |0|＝ 0 ．
请比较左右两边的式子，议一议：√a2与|a|有什么关系？
当 a≥0 时，√a2＝ a ；当 a＜0 时 ，√a2＝ －a ．
可以得到 √a2＝|a|.
一般地，二次根式有下面的性质：
{ a(a≥0)；
√a2＝|a|＝
−a(a＜0)．
根据算术平方根的意义，无论 a 是正数、0 或负数， a2 的算术平方根可以记为 √a2．
当 a≥0 时，√a2＝a；当 a＜0 时，√a2＝－a．
而当 a≥0 时， |a|＝a；当 a＜0 时，|a|＝－a．
所以 √a2＝|a|．
（链接例3、例4）
(√a) 2 (a≥0) 与 √a2 的异同
典例精析 【例1】若|a−2|+√b−3+(c−4) 2=0，求a-b+c的值. 在实际的
化简计算
【解】由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
中再次区
解得a=2,b=3,c=4.
别 (√a) 2
和 √a2，
所以a-b+c=2-3+4=3.
让学生深
【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零. 刻理解二
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 次根式的
性质，并
【针对练习】 已知y =√x−3+√3−x+8,求3x+2y的算术平方根.
熟练的运
用二次根
{x−3≥0,
【解】由题意得 式解决问
3−x≥0,
题.针对
∴x=3，∴y=8， 典 例 所
讲，让学
∴3x+2y=25. 生再次深
刻理解二
∵25的算术平方根为5，
次根式的
性质，熟
∴3x+2y的算术平方根为5．
练的运用
【例2（教材P4例题）】 计算： 二次根式
进行化简
（1）(√1.5) 2＝ 1. 5 ;
计算.
（2）(2√5) 2＝ 2 2 × (√5) 2 ＝ 4× 5 ＝ 2 0 .
【方法总结】（1）利用二次根式的性质：（√a）2＝a（a≥0）.（2）同时利用二次根式的性质和(ab)2＝a2b2.
【例3】 化简：
（1）√16； （ ） √(−5) 2；
（ ）√10−2； （ ）√（3.14−π）2
2
【解】（1）√16=√42=4；
3 4 .
（ ）√(−5) 2=√52=5；
（ ）√10−2 √(10−1 ) 2 10−1 10−1
2
（ ）√（3.14−π）2 −π π−
3 = =| |= .
【方法总结】☀注意 √a2＝|a|，而3.14＜π，要注意a的正负
4 =|3.14 |= 3.14.
性.
【例4】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
√a2−√b2+√(a−b) 2.
【解】由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
【方法总结】☀注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关
键是要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
随堂检测 1．下列计算正确的是( A ) 通过设置
随 堂 检
A．－(√6)2＝－6 B．(√3)2＝9 测，及时
获知学生
2 对所学知
√16 16
C．(√16)2＝±16 D．−(− ) = 识的掌握
25 25
情况，明
确哪些学
1
2．把 4 写成一个正数的平方的形式是( B ) 生需要在
4
课后加强
1 2 √17 2 辅导，达
A.(2 ) B.( ) 到全面提
2 4
高 的 目
1 2 √17 2
C.(±2 ) D.(± ) 的.
2 4
3.化简：
（1）（−√9）²＝ 9 ; （2）√(−4) 2＝ 4 ;
（3）− √ (− 2 ) 2 = - 2 ; （4）(4√2) 2= 3 2 .
7 7
4. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a-2|+√(a−1) 2的结果是 1 .
5．计算：
（1）√(−7) 2−(√7) 2
（2）(−√11) 2+√(−13) 2
【解】（1）√(−7) 2−(√7) 2 ＝|−7|−7＝7−7＝0
（2）(−√11) 2+√(−13) 2
＝ (√11) 2+|−13|＝11+13＝24
6.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足
b=√3−a+√2a−6+4，求此三角形的周长．
{3−a≥0,
【解】由题意得
2a−6≥0,
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂小结 1. 本节课的学习，你有哪些收获？ 巩固所学
知识，加
二次根式的性质(√a) 2=a(a≥0) (双重非负性)
深对本节
知识的理
{
a(a>0)
√a2=|a|=
0(a=0)
解.
−a(a<0)
2. 如何利用二次根式性质化简计算？
作业布置
板书设计 19.1.2 二次根式的性质
1.√a≥0（a≥0）
2.（√a）²=a（a≥0）
3.√a2=a（a≥0）
二次根式有下面的性质：
{ a(a≥0)；
√a2＝|a|＝
−a(a＜0)．
教学反思
