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第二十二章 函数
22.1 函数的概念
第3课时 函数的解析式
【素养目标】
1.能根据实际问题情境建立函数解析式，明确自变量的取值范围.
2.了解实际背景对自变量取值的限制，增强数学建模意识.
3.感受函数在描述现实世界变化规律中的重要作用，增强数学的应用意识.
重点：确定函数解析式.
难点：确定实际问题中函数自变量的取值范围.
【复习导入】
函数：(1) 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x
___________的值，y 都有_________的值与其对应，那么我们就说 x 是
_______，y 是 x 的_______.
(2) 如果y 是 x 的函数，当 x = a 时 y = b，那么 b 叫作当自变量的值为
_____时的_______.
【合作探究】
探究点一：自变量的取值范围
问题1：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t（单位：h），行驶的路程为s（单
位：km）.
(2) 多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
问题 (1) 中，t 取 -2 有实际意义吗？
问题 (2) 中，n 取 2 有意义吗？
问题：根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
概念引入：在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，
函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的
数值范围叫函数的自变量取值范围.
[练一练]
第 1 页1. 某文具店售卖笔记本，每本售价 5 元，销售额 y (元) 与售出数量 (本) 的函数关
系式为 y = 5x，则自变量 x 的取值范围是 .
2. 一个长方形的宽为 4 cm，面积 S (cm²) 与长 a (cm)的函数关系式为 S = 4a，则
自变量 a 的取值范围是 .
3.小明从家骑自行车去图书馆，速度为 12 km/h，骑行时间为 t (h)，骑行路程为 s
(km)，函数关系式为s = 12t. 若家到图书馆的距离为 30 km，则自变量 t 的取值范围
是 .
探究点二：函数解析式
例1 汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：L）随行
驶路程x（单位：km）的增加而减少，已知平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
概念引入：像y＝50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关
系是表示函数的常用方法.这种式子叫作函数的解析式.
（2）指出自变量x的取值范围；
提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题
的实际意义.
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
[练一练]
2. 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，指出其中的自变量与函
数，并写出函数解析式.
(1) 某手机话费原有 50 元，每月套餐扣费 30 元，手机剩余话费 M (单位：元) 随使
用月份数 m 的变化而变化；
(2) 一个圆形花坛的面积为 20 m2，花坛的半径 r (单位：m) 随圆周率 π 的变化而变
化 ；
(3) 某工厂生产零件，每小时能生产 20 个，生产的总数量 Q (单位：个)随生产时间 t
第 2 页(单位：h) 的变化而变化；
(4) 某班级的总人数为 45 人，男生人数 a 随女生人数 b 的变化而变化.
归纳总结：确定函数解析式的方法：
1.找：找出变量和常量；2.定：确定包含变量和常量的等量关系；3.列：根据等量关系
列出等式；4.变：将等式变形，写成用含自变量的式子表示函数的形式，得出函数解析
式.
当堂反馈
1
1.[教材变式]函数y＝ 的自变量x的取值范围是（ ）
x+5
A.x≥－5 B.x≠－5 C.x＞－5 D.x＜－5
2.已知某品牌蚊香每支长20cm，每分钟燃烧的长度是0.4cm，蚊香剩余长度y（cm）与
燃烧时间x（分钟）之间的关系式为 ，自变量的取值范围是 .
3.在开展美丽乡村的活动中，某乡镇计划购买A，B两种树苗共100棵，已知A种树苗
每棵30元，B种树苗每棵90元.设购买A种树苗x棵，购买A，B两种树苗的总费用为
y元.
（1）请写出y与x之间的关系式（不要求写x的取值范围）；
（2）当购买A种树苗40棵时，所花的总费用是多少？
参考答案
【复习导入】
答：(1) 每一个确定 唯一确定 自变量 函数
第 3 页(2) a 函数值
【合作探究】
探究点一：自变量的取值范围
[练一练]答：1. x＞0 且 x 为整数 2.a＞4 3.0≤t≤2.5
探究点二：函数解析式
例1（1）解：行驶路程x是自变量，油箱中剩余的油量y是x的函数.
行驶路程为x时，行驶中的耗油量为0.1x.（行驶中的耗油量＝平均耗油量×行驶路程）
等量关系：油箱中的油量＝原有油量－行驶中的耗油量
y ＝ 50 － 0.1x
所以y与x的函数关系可表示为y＝50－0.1x.
（2）仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数.但是考虑到x代表的实际意义为行
驶路程，因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1xL，它不能超过油箱中现有汽油量
50L，即0.1x≤50.因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
（3）
汽车行驶200km时（此时200在x的取值范围内），油箱中剩余的汽油量是函数y＝50
－0.1x在x＝200时的函数值.将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30.因此，
汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.
[练一练]
2.答：(1) 是函数关系；自变量：使用月份数 m，函数：剩余话费 M.
函数解析式：M = 50 − 30m.
(2) 不是函数关系
(3) 是函数关系；自变量：生产时间 t，函数：生产总数量 Q，
函数解析式：Q = 20t
(4) 是函数关系；自变量：女生人数 b，函数：男生人数 a，
函数解析式：a = 45 − b.
当堂反馈
1. B
2. y ＝ 2 0 － 0 . 4 x ， 0≤ x ≤5 0 .
3.解：（1）根据题意得y＝30x＋90×（100－x）＝－60x＋9000.
（2）当x＝40时，y＝－60×40＋9000＝6600.
即所花的总费用为6600元.
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