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第 3 节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的
公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单
命题.
1.平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点
的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
图形
平行 语言
关系 符号
a∥b a∥α α∥β
语言
图形
相交 语言
关系
符号
a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
语言
图形
独有 语言
关系 符号 a，b是异面直
a α
语言 线
⊂
3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点 O作直线a′∥a，b′∥b，
把a′与b′所成的 锐角 ( 或直角 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
1.公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的
直线互为异面直线.
3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角
可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(
)
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点
的公共直线，故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.
(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交
的直线，故错误.
2.如图所示，在正方体ABCD－A B C D 中，E，F分别是AB，AD的中点，则异
1 1 1 1
面直线B C与EF所成角的大小为( )
1
A.30° B.45°C.60° D.90°
答案 C
解析 连接B D ，D C，则B D ∥EF，故∠D B C或其补角为所求的角.又B D
1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝B C＝D C，∴∠D B C＝60°.
1 1 1 1
3.已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直
线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行 B.相交或异面
C.平行或异面 D.相交、平行或异面
答案 D
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
4.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点
的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
答案 D
解析 ∵AB γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
⊂
根据公理3可知，M在γ与β的交线上.
同理可知，点C也在γ与β的交线上.
5.(2021·日照调研)若直线l 和l 是异面直线，l 在平面α内，l 在平面β内，l是
1 2 1 2
平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A.l与l ，l 都不相交
1 2
B.l与l ，l 都相交
1 2
C.l至多与l ，l 中的一条相交
1 2
D.l至少与l ，l 中的一条相交
1 2
答案 D
解析 由于l与直线l ，l 分别共面，故直线l与l ，l 要么都不相交，要么至少
1 2 1 2
与l ，l 中的一条相交.若l∥l ，l∥l ，则l ∥l ，这与l ，l 是异面直线矛盾.故l
1 2 1 2 1 2 1 2
至少与l ，l 中的一条相交.
1 26.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中
点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形.
答案 (1)AC＝BD
(2)AC＝BD且AC⊥BD
解析 (1)∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，∵EF綉AC，EH綉BD，
∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，
∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF綉AC，EH綉BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
考点一 平面的基本性质及应用
例1 如图所示，已知在正方体ABCD－A B C D 中，E，F分别为D C ，C B 的
1 1 1 1 1 1 1 1
中点，AC∩BD＝P，A C ∩EF＝Q.求证：
1 1
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
1
证明 (1)∵EF是△D B C 的中位线，
1 1 1
∴EF∥B D .
1 1
在正方体AC 中，B D ∥BD，∴EF∥BD.
1 1 1
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.(2)在正方体AC 中，设平面A ACC 为α，平面BDEF为β.
1 1 1
∵Q∈A C ，∴Q∈α.
1 1
又Q∈EF，∴Q∈β，
则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又A C∩β＝R，∴R∈A C.
1 1
∴R∈α，且R∈β，
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
感悟提升 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线
经过该点.
训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分
别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
证明 因为K∈EH，EH 平面ABD，
所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，
⊂
因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
考点二 空间两直线的位置关系
例2 (1)(2022·全国名校联考)如图，在正方体ABCD－A B C D 中，M，N，P分
1 1 1 1
别是C D ，BC，A D 的中点，有下列四个结论：
1 1 1 1
① AP 与 CM 是异面直线；② AP，CM，DD 相交于一点；③ MN∥BD ；
1 1
④MN∥平面BB D D.其中所有正确结论的序号是( )
1 1A.①④ B.②④
C.①③④ D.②③④
(2)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面
ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
答案 (1)B (2)B
解析 (1)连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交
直线，
又面A ADD ∩面C CDD ＝DD ，
1 1 1 1 1
所以AP，CM，DD 相交于一点，则①不正确，②正确.
1
③令AC∩BD＝O，连接OD ，ON.
1
因为M，N分别是C D ，BC的中点，
1 1
所以ON∥D M∥CD，ON＝D M＝CD，
1 1
则四边形MNOD 为平行四边形，所以MN∥OD ，
1 1
因为MN⊄平面BD D，OD 平面BD D，
1 1 1
所以MN∥平面BD D，③不正确，④正确.
1 ⊂
综上所述，②④正确.
(2)取CD的中点O，连接ON，EO，
因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，
又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EO 平面ECD，
所以EO⊥平面ABCD.
⊂
设正方形ABCD的边长为2，
则EO＝，ON＝1，
所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.
过M作CD的垂线，交CD于点P，连接BP，则MP＝，CP＝，
所以BM2＝MP2＋BP2＝＋＋22＝7，得BM＝，
所以BM≠EN.
连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB
均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，故选B.
感悟提升 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定.异
面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位
线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用
线面垂直或面面垂直的性质来解决.
训练2 (1)已知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直，l与n垂直，则( )
A.m与n异面
B.m与n相交
C.m与n平行
D.m与n平行、相交、异面均有可能
(2)(2021·宜宾质检)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD
的中点，下列说法错误的是( )
A.MN与PD是异面直线
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
答案 (1)D (2)C
解析 (1)因为m⊥l，n⊥l，结合长方体模型可知m与n可以相交，也可以异面，
还可以平行.
(2)如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC，
由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC，又HC 平面PBC，MN⊄
平面 PBC，所以 MN∥平面 PBC，设四边形 MHCN 确定平面 α，又 D∈α，故
⊂
M，N，D共面，但P∉平面α，D∉MN，因此MN与PD是异面直线；故A，B说
法均正确.若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC，
事实上AC∩CH＝C，
C说法不正确；
因为PC＝BC，H为PB的中点，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D
说法正确.
考点三 异面直线所成的角
例3 (1)在长方体ABCD－A B C D 中，AB＝BC＝1，AA ＝，则异面直线 AD 与
1 1 1 1 1 1
DB 所成角的余弦值为( )
1
A. B. C. D.
(2)
(2021·衡水检测)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD
＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切
值为( )
A. B. C. D.
答案 (1)C (2)D
解析 (1)如图，连接BD ，交DB 于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O
1 1
为BD 的中点，所以AD ∥OM，则∠MOD为异面直线AD 与DB 所成角或其补
1 1 1 1
角.
因为在长方体ABCD－A B C D 中，AB＝BC＝1，AA ＝，
1 1 1 1 1
AD ＝＝2，
1
DM＝＝，
DB ＝＝.
1
所以OM＝AD ＝1，OD＝DB ＝，
1 1于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝.
故异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为.
1 1
(2)如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异
面直线SC与OE所成的角.
∵SE＝SB，∴SE＝BE.
又OB＝3，∴OF＝OB＝1.
∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴SC＝3.
∵SO⊥OF，∴SF＝＝.
∵OC⊥OF，∴CF＝.
∴在等腰△SCF中，
tan∠CSF＝＝.
感悟提升 综合法求异面直线所成角的步骤：
(1)作：通过作平行线得到相交直线.
(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角).
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求
的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
训练3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A B C D 中，P为B D 的中点，则直
1 1 1 1 1 1
线PB与AD 所成的角为( )
1
A. B. C. D.
(2)(2021·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC－A B C 中，底面ABC为等腰直角
1 1 1
三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA ＝，则异面直线A C与AD所成
1 1
角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 (1)D (2)C
解析 (1)如图，连接C P，
1因为ABCD－A B C D 是正方体，且P为B D 的中点，
1 1 1 1 1 1
所以C P⊥B D ，
1 1 1
又C P⊥BB ，B D ∩BB ＝B ，B D ，BB 平面B BP，所以C P⊥平面B BP.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又BP 平面B BP，所以有C P⊥BP.
1 1 ⊂
连接 BC ，则 AD ∥BC ，所以∠PBC 为直线 PB 与 AD 所成的角.设正方体
⊂ 1 1 1 1 1
ABCD－A B C D 的棱长为2，则在Rt△C PB中，C P＝B D ＝，BC ＝2，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
sin ∠PBC ＝＝，所以∠PBC ＝.
1 1
(2)如图，取B C 的中点D ，连接A D ，则AD∥A D ，∠CA D (或其补角)就是
1 1 1 1 1 1 1 1 1
异面直线A C与AD所成的角.连接D C.
1 1
∵A B ＝A C ，∴A D ⊥B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1
又A D ⊥CC ，B C ∩CC ＝C ，
1 1 1 1 1 1 1
∴A D ⊥平面BCC B ，
1 1 1 1
∵D C 平面BCC B ，∴A D ⊥D C，
1 1 1 1 1 1
∴△A D C为直角三角形，在Rt△A CD 中，A C＝2，CD ＝，
1⊂1 1 1 1 1
∴∠CA D ＝60°.
1 1
截线、截面问题
利用平面的性质确定截面的形状是解决问题的关键.
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的
直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平
行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
一、截面问题
例1 (1)在正方体ABCD－A B C D 中，M，N分别是棱DD 和BB 上的点，MD＝
1 1 1 1 1 1DD ，NB＝BB ，那么正方体中过M，N，C 的截面图形是( )
1 1 1
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
(2)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此
正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 (1)C (2)A
解析 (1)先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面
与几何体的棱的交点.
设直线C M，CD相交于点P，直线C N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD
1 1
于点E，交直线AB于点F，则五边形C MEFN为所求截面图形.
1
(2)如图，依题意，平面α与棱BA，BC，BB 所在直线所成角都相等，容易得到
1
平面AB C符合题意，进而所有平行于平面AB C的平面均符合题意.
1 1
由对称性，知过正方体ABCD－A B C D 中心的截面面积应取最大值，此时截面
1 1 1 1
为正六边形EFGHIJ.
易知正六边形EFGHIJ的边长为，将该正六边形分成6个边长为的正三角形.
故其面积为6××＝.
二、截线问题
例 2 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱 ABCD－A B C D 的棱长均为 2，
1 1 1 1
∠BAD＝60°.以D 为球心，为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为__________.
1 1 1
(2)已知正方体ABCD－A B C D 的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是
1 1 1 1
线段A B上的动点，C P与平面D EF的交点Q的轨迹长为________.
1 1 1
答案 (1) (2)
解析 (1)如图，设B C 的中点为E，球面与棱BB ，CC 的交点分别为 P，Q，
1 1 1 1连接 DB，D B ，D P，D Q，D E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知
1 1 1 1 1
△ABD为等边三角形，∴D B ＝DB＝2，∴△D B C 为等边三角形，则D E＝且
1 1 1 1 1 1
D E⊥平面BCC B ，∴E为球面截侧面BCC B 所得截面圆的圆心，设截面圆的
1 1 1 1 1
半径为r，则r＝＝＝.
可得EP＝EQ＝，∴球面与侧面BCC B 的交线为以E为圆心的圆弧PQ.
1 1
又D P＝，∴B P＝＝1，同理C Q＝1，
1 1 1
∴P，Q分别为BB ，CC 的中点，
1 1
∴∠PEQ＝，知PQ的长为×＝.
(2)如图所示，
连接EF，A B，连接A C ，B D 交于点M，连接B E，BC 交于点N，
1 1 1 1 1 1 1
由EF∥B D ，即E，F，B ，D 共面，
1 1 1 1
由P是线段A B上的动点，当P重合于A 或B时，C A ，C B与平面D EF的交
1 1 1 1 1 1
点分别为M，N，
即Q的轨迹为MN，
由棱长为3，
得C M＝A C ＝3，则BC ＝6，
1 1 1 1
又＝＝，
则NC ＝BC ＝4，
1 1
由A B＝BC ＝A C ，
1 1 1 1
得∠A C B＝60°，
1 1
则MN＝
＝＝.1.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共
点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定 1个或3个平面.其中正确
的序号是( )
A.① B.①④ C.②③ D.③④
答案 B
解析 显然命题①正确.
由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.
命题③中，两个平面重合或相交，③错.
三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.
2.在正方体ABCD－A B C D 中，E为棱CC 的中点，则异面直线AE与CD所成
1 1 1 1 1
角的正切值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接BE，因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相
交直线AE与AB所成的角，即为∠EAB.不妨设正方体的棱长为 2，则CE＝1，
BC＝2，由勾股定理得BE＝.
又由AB⊥平面BCC B 可得AB⊥BE，
1 1
所以tan∠EAB＝＝.
3.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
答案 C
解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，
b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异
面；由异面直线所成的角的定义知C正确.4.如图所示，ABCD－A B C D 是长方体，O 是 B D 的中点，直线 A C 交平面
1 1 1 1 1 1 1
AB D 于点M，则下列结论正确的是( )
1 1
A.A，M，O三点共线
B.A，M，O，A 不共面
1
C.A，M，C，O不共面
D.B，B ，O，M共面
1
答案 A
解析 连接A C ，AC(图略)，则A C ∥AC，∴A ，C ，A，C四点共面，
1 1 1 1 1 1
∴A C 平面ACC A ，
1 1 1
∵M∈A C，∴M∈平面ACC A ，
⊂1 1 1
又M∈平面AB D ，
1 1
∴M在平面ACC A 与平面AB D 的交线上，
1 1 1 1
同理A，O在平面ACC A 与平面AB D 的交线上.
1 1 1 1
∴A，M，O三点共线.
5.下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或
所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
答案 C
解析 图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异
面；
图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此GH与MN异面.所以在图②④中，GH与MN异面.
6.在各棱长均相等的四面体ABCD中，已知M是棱AD的中点，则异面直线BM
与AC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设四面体ABCD的棱长为2，取CD的中点N，连接MN，BN，
∵M是棱AD的中点，
∴MN∥AC，
∴∠BMN(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角.
∵BM＝BN＝＝，
MN＝AC＝1，
∴在△BMN中，
cos∠BMN＝＝＝，
∴异面直线BM与AC所成角的余弦值为.
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线
EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
答案 4
解析 因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四
个侧面相交.
8.如图，已知圆柱的轴截面 ABB A 是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C
1 1 1
是圆柱上底面弧 A B 的中点，那么异面直线 AC 与 BC 所成角的正切值为
1 1 1
________.答案
解析 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C D，AD，
1
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC 与AD所成角等于异面直线AC 与BC所成角.
1 1
因为C 是圆柱上底面弧A B 的中点，所以C D⊥圆柱下底面，
1 1 1 1
所以C D⊥AD，
1
因为圆柱的轴截面ABB A 是正方形，所以C D＝AD，
1 1 1
所以直线AC 与AD所成角的正切值为，
1
所以异面直线AC 与BC所成角的正切值为.
1
9.在正方体ABCD－A B C D 中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线
1 1 1 1
C E 平行，若正方体的棱长为 2，则平面 α 截正方体所得的多边形的面积为
1
________.
答案
解析 如图，过点 B作BM∥C E交B C 于点 M，过点 M作BD的平行线，交
1 1 1
C D 于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，
1 1由图可知M，N分别为B C ，C D 的中点，
1 1 1 1
故BD＝2，MN＝，
且BM＝DN＝，
∴等腰梯形MNDB的高为
h＝＝，
∴梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝.
10.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，
∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为
FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綉AD.
又BC綉AD，∴GH綉BC.
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 共面 ∵BE綉AF，G是FA的中点，∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平
行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
11.在正方体ABCD－A B C D 中，
1 1 1 1
(1)求异面直线AC与A D所成角的大小；
1
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A C 与EF所成角的大小.
1 1解 (1)如图，连接B C，AB ，由ABCD－A B C D 是正方体，易知A D∥B C，
1 1 1 1 1 1 1 1
从而B C与AC所成的角就是异面直线AC与A D所成的角.
1 1
在△AB C中，AB ＝AC＝B C，
1 1 1
所以∠B CA＝60°.
1
故异面直线A D与AC所成的角为60°.
1
(2)连接BD，在正方体ABCD－A B C D 中，AC⊥BD，AC∥A C ，
1 1 1 1 1 1
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC.
所以EF⊥A C .
1 1
故异面直线A C 与EF所成的角为90°.
1 1
12.平面α过正方体ABCD－A B C D 的顶点A，α∥平面CB D ，α∩平面ABCD
1 1 1 1 1 1
＝m，α∩平面ABB A ＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
1 1
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图所示，设平面CB D ∩平面ABCD＝m ，
1 1 1
∵α∥平面CB D ，
1 1
α∩平面ABCD＝m，则m ∥m，
1
又∵平面ABCD∥平面A B C D ，
1 1 1 1
平面CB D ∩平面A B C D
1 1 1 1 1 1
＝B D ，∴B D ∥m ，
1 1 1 1 1
∴B D ∥m，同理可得CD ∥n.
1 1 1
故m，n所成角的大小与B D ，CD 所成角的大小相等，即∠CD B 的大小.
1 1 1 1 1
又∵B C＝B D ＝CD (均为面对角线)，
1 1 1 1∴∠CD B ＝，
1 1
得sin ∠CD B ＝，故选A.
1 1
13.(2022·太原检测)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三
角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A B C 中，AB＝AC
1 1 1
＝AA ＝2，M、N 分别是 BB 和 A C 的中点，则平面 AMN 截“堑堵”ABC－
1 1 1 1
A B C 所得截面图形的面积为________.
1 1 1
答案
解析 延长AN，与CC 的延长线交于点 P，则P∈平面BB C C，连接PM，与
1 1 1
B C 交于点E，连接NE，得到的四边形 AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC－
1 1
A B C 所得截面图形，
1 1 1
由题意解三角形可得NE＝ME＝，
AM＝AN＝，MN＝.
∴△AMN中MN边上的高
h ＝＝，
1
△EMN中MN边上的高
h ＝＝.
2
∴AMN截“堑堵”ABC－A B C 所得截面图形的面积S＝S ＋S ＝MN·(h
1 1 1 △AMN △EMN 1
＋h )＝×＝.
2
14.如图，在四棱锥 O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面
ABCD，OA＝2，M为OA的中点.(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.
解 (1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥O－ABCD的体积V
＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，
∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线 OC 与MD 所成的角，由已知可得 DE＝，EM
＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，
即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
