文档内容
期中押题重难点检测卷（培优卷）
考查范围：人教版第16-18章
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）若二次根式 有意义，则x的值不可以取（ ）
A．1 B．2 C．3 D．7
【答案】A
【分析】
本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数为非负数进行解答即可．
【详解】解： 二次根式 有意义，
，
解得： ，
观察四个选项，x的值不可以取1，
故选：A．
2．（2024年四川省成都市中考预测卷数学模拟预测题（一））下列说法中，不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是正方形
B．两直线平行时，同位角相等
C．对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．矩形的对角线相等且互相平分
【答案】A
【分析】
本题考查了菱形与平行四边形的判定，平行线的性质，矩形的性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题
关键．根据相关判定定理和性质逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，符合题意；
B、两直线平行时，同位角相等，原说法正确，不符合题意；
C、对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意；
D、矩形的对角线相等且互相平分，原说法正确，不符合题意；故选：A．
3．（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】
本题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义得出 ，即可求出a得值．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
故选：D．
4．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，明明从家里出发经过商店后前往书店（商店处不停留），
步行速度为50米/分钟．出发4分钟后，爸爸发现他忘记带买书的费用，便抄近路直接前往书店送买书的
费用，最终两人同时到达书店，则爸爸的平均步行速度为（ ）
A．40米/分钟 B．50米/分钟 C．60米/分钟 D．80米/分钟
【答案】B
【分析】
此题考查了勾股定理的应用，先用勾股定理求出爸爸的路程，再求出爸爸的时间，进一步即可得到答案．
【详解】解：爸爸走的路程为 （米）
爸爸用的时间是 ，
∴爸爸的平均步行速度为 （米/分钟）
故选：B
5．（2024·湖南怀化·一模）如图，将 放在平面直角坐标系中， 、 两点在 轴上，点 在 轴上，已知 ， ，点 的坐标为 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，先利用勾股定理求出 ，设 ，
则 ，由勾股定理建立方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ，
故选：A．
6．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）已知a，b为有理数，满足 ，则的值为（ ）
A． B．7 C．5 D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查了实数的运算，将已知条件适当变形，利用 ， 为有理数得到关于 ， 的方程组，解方程
组即可得出结论．
【详解】
解： ，
．
， 为有理数，
，
解得： ，
．
故选：B．
7．（2023·贵州遵义·一模）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心，适当长
为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交
于点 ，作射线 交 于点 ，再用尺规作图作出 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出 ，再利用面积法求出 ，可得结论．
【详解】
解： ， ， ，
，
由作图可知 平分 ，
， ，
，
，
，
，
．
故选：B．
8．（23-24八年级下·全国·课后作业）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个
三角形不一定全等．如已知 中， ， ， 所对的边为 ，满足已知条件的三角形有
两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】
本题主要考查了勾股定理，含 角的直角三角形的性质等知识，根据题意知， ，作 于
H，再利用含 角的直角三角形的性质可得 的长，再利用勾股定理求出 ，从而得出答案．
【详解】
解：如图， ，作 于H，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
即第三边长为 或 ，
故选：C．
9．（2024·河南郑州·一模）如图，在 中， ， ，点 ， 分别是边
， 上的动点，连接 ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，连接 ，则 的最小值
为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性
质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，如图，取 的中点M，连接 、
、 ，作 于N．首先证明 ，求出 ， ，利用三角形中位线定理，可知
，求出 的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取 的中点M，连接 、 、 ，作 于N．
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵垂线段最短，
∴当点G在点N时， 的最小，即 的最小值为 的长，此时 也最小，
∴ 最小值为 ， 的最小值为 ．
故选：D．
10．（2023·浙江温州·一模）如图，在 中， ，以其三边为边分别向外作正方
形，连接 交 于点 ，连接 ，当 时，则 的长为（ ）A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助
线，综合运用这些知识点是解题关键，延长 到K，使得 ，延长 交 于点L，延长 ，
过 点 E 作 ， 根 据 正 方 形 的 性 质 及 全 等 三 角 形 的 判 定 证 明 ，
， ，再由其性质及勾股定理求解即可
【详解】
解：延长 到K，使得 ，
延长 交 于点L，延长 ，过点E作 ，
∵正方形 ，正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 ， ，
∴ ，
∵正方形 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵正方形 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ , ，
∴ 即 ，
在 中，连接 ，
∵ ，
∴ ，
故选：B
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）平行四边形 的对角线 、 相交于点O，要使平行四边
形 是矩形请添加一个条件 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．
矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是
直角；可针对这些特点来添加条件．【详解】解：若使平行四边形 变为矩形，可添加的条件是：
；（对角线相等的平行四边形是矩形）
等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为： （答案不唯一）．
12．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，点 ，点 ，则线段 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了两点之间的距离．利用两点之间的距离公式进行计算，即可求解．
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ ．
故答案为：5
13．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图， 中， ， ， ， ，
连接 ，则 的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是
解题的关键．
过点C作 ，使 ，连接 ，过点E作 ，交 的延长线于点F，证明
，得出 ，证出四边形 是正方形，得出 ，由勾股定理求出
的长，则可得出答案．
【详解】解: 过点C作 ，使 ，连接 ,过点E作 ,交 的延长线于点F，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．（23-24 八年级下·河北廊坊·阶段练习）若 ，则 的值为：
．
【答案】4
【分析】
本题主要考查二次根式有意义的条件，根据 可求出 ，可得到 代入
计算即可．
【详解】解：∵ 与 有意义，
∴
∴ ，
∴ ，
∴∴ ，
故答案为：4．
15．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知 ， ， ，
，按以上规律推算 的近似值是 ．
【答案】54.77
【分析】
本题考查二次根式的运算，由 求解即可．
【详解】解： ，
故答案为：52.77．
16．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形 中， ，P是 上不与A
和D重合的一个动点，过点P分别作 和 的垂线，垂足分别为E、F．求 ．
【答案】
【分析】
本题考查矩形的性质，三角形的面积，连接 ，利用勾股定理列式求出 ，再利用三角形的面积表示
，然后根据 求出 即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵矩形 的两边 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．（2024·河南郑州·模拟预测）在矩形 中， ，点E为射线 上一点，将 沿着 翻
折，使得点 B 的对应点 F 落在射线 上，若线段 ，连接 ，则 的值为
．
【答案】 或
【分析】
分两种情况：①如图1所示，点F落在线段 上，②如图2所示，点F落在射线 上，证明四边形
为正方形并求出正方形的边长，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】
解：①如图1所示，点F落在线段 上，
∵
∴
∵四边形 是矩形，
∴
由折叠的性质得
∴四边形 为正方形，
∴
在 中，②如图2所示，点F落在射线 上，
∵ ，
∴
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴
由①可知四边形 为正方形，
∴ ．
在 中，
综上所述， 的值为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，正方形的性质和判定等知识，熟练掌握折叠的性质，证明
四边形 为正方形是解决问题的关键．
18．（2024·陕西西安·一模）如图，已知正方形 边长为4，O为对角线的交点，M、N分别是边 、
上的动点，且 ，连接 、 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】
作 ，延长 到点E，使 ，连接 、 、 、 ，由正方形的性质及勾股定理求出 ，再证明 ，得 ，所以 ，由 ，得 ，
于是得到问题的答案．
【详解】解：作 于点F，延长 到点E，使 ，连接 、 、 、 ，
∵四边形 是边长为4的正方形，
∴ ， ， ， ，且 ， ，
则 垂直平分 ， ， ，
∴ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 .
故答案为： ．【点评】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段
的垂直平分线的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24八年级下·河南·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
20．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）先化简．再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】
根据平方差公式，完全平方公式化简，将 代入，即可求解，
本题考查了，多项式乘多项式化简求值，二次根式的运算，解题的关键是：熟练掌握平方差公式，完全平
方公式．
【详解】解：
当 时， ，
故答案为： ， ．
21．（2023·浙江温州·一模）如图，在四边形 中， ，且(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】
本题考查了勾股定理、全等三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）通过 证明 ，即可作答．
（2）由 得 ，根据勾股定理列式 计算得出 的值，再在 中，
同理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
（2）解：∵
∴
在 中，
在 中，
∵
∴
解得
∴22．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，菱形 中，对角线 交于点 ，点 是
的中点，延长 到点 ，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）先证明四边形 为平行四边形，再根据菱形的性质得到 ，然后根据矩形的判定可证
得结论；
（2）根据矩形的对角线相等求得 ，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线 的长，再根据
菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可．
【详解】（1）证明：∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是菱形，
∴ ，即 ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含 的直
角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键．
23．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点
， ，其中 ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边
新建一个取水点 （点 ， ， 在同一直线上），并修建一条路 ，测得 ， ，
．
(1)问 是否为从村庄 到河边最近的路？请通过计算加以说明．
(2)求新路 比原来的路 少多少米？
【答案】(1) 是从村庄 到河边最近的路，理由见解析
(2)新路 比原来的路 少245米
【分析】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设 ，则 ．在 中根据勾股定理求出 的长即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，∴ 是从村庄 到河边最近的路；
（2）解：设 ，则 ．
∵ ，
，
∴ ，即 ，
解得： ．
，
，
，
即新路 比原来的路 少245米．
24．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）二次根式中有这样一些相辅相成的“对子”： ，
，
，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．
于是，二次根式的除法可以这样解：如序 ， 像这样
通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫分母有理化．
(1)填空： 的有理化因式是______， 的有理化因式是______；
(2)计算： ；
(3)化简： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)【分析】
此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）先分母有理化后，化简二次根式，再计算即可得到结果；
（3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ，
故答案为： ， ．
（2）解：
；
（3）
25．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称
性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．【操作】如图1，在矩形 中，点M在边 上，将矩形纸片 沿 所在的直线折叠，使点
落在点Dʹ处， 与 交于点 ．
【猜想】（1）请直接写出线段 的数量关系______．
【应用】如图2，继续将矩形纸片 折叠，使 恰好落在直线 上，点A落在点 处，点B落在
点 处，折痕为ME．
（2）若 ，求 的长．
（3）猜想 、 的数量关系，并说明理由；
【答案】（1） ；（2） （3） ，理由见解析
【分析】
本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等等：
（1）由折叠的性质可得 ，再由矩形的性质结合平行线的性质得到 ，则
，进而可得 ；
（ 2 ） 由 折 叠 的 性 质 可 得 ， ， ， 设 ， 则
，由 ，得到 ，解得 ，则 ，同理可证明
，则 ；
（3）由折叠的性质证明 ，由勾股定理得到 ，再证明 ，即可得到
．
【详解】
解：（1） 矩形纸片 沿 所在的直线折叠，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
．
故答案为： ；
（2） 矩形 沿 所在直线折叠，
， ， ，设 ，
，
在 中， ，
，
，
解得 ，
，
同理可证明 ，
；
（3） ，理由如下：
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
26．（22-23八年级下·山东淄博·期中）如图，已知四边形 是矩形．
(1)如图1，若 分别是 的中点，求证：四边形 是菱形；
(2)若菱形 的三个顶点 分别在 上，连接 ．①如图2，若 ， ，求 的长；
②如图3，若 ，请写出 面积的最小值．
【答案】(1)见解析；
(2)① ，② ．
【分析】
（1）利用三角形的中位线先判断出四边形 是平行四边形，借助矩形的对角线 进而判断
出 ， 即可得出结论；
（2）①先判断出 进而求出 再建立方程 求解即可得出结论；
②先判断出 最小时， 的面积最小，进而判断出 最大时， 最小，最后用勾股定理即
可得出结论．
【详解】（1）
证明：如图1， 连接 ，
在矩形 中，
∵ 分别是 的中点，
且 ，
∵ 分别是 的中点，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 分别是 的中点，
∴
∵四边形 是矩形，
又∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
（2）
解：①如图2，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，
∵四边形 是矩形，
∵四边形 是菱形，∴
设 则
在 中，
∵
∴在 中，
∵
；
② 如图3，过点 作 交 的延长线于 ，
由（1）知，当 要最小，则 最小，
∴ 最大时， 最小，
在 中，
∴ 最大时， 最大，
∵四边形 是菱形，
∴ 最大时， 也最大，
而点 在边 上，
∴当点 和点 重合时， 最大，最大值为：
∴ 最大为
，
∴
∴ 面积的最小值为 ．
【点睛】
此题主要考查了四边形综合题，三角形的中位线定理，平行四边形，菱形的判定和性质，勾股定理，全等
三角形的判定和性质，判断出 是解本题的关键．
