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5.1.1&5.1.2 相交线与垂线
邻补角和对顶角的概念
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长
线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角，如右图∠1和∠2、∠2 和
∠3分别互为邻补角.
注意：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角
的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
2. 对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
注意：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
题型1、邻补角和对顶角的概念
1.下列说法正确的是（ ）
A．互补的两个角是邻补角
B．相等的角必是对顶角
C．对顶角一定相等
D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等【分析】根据邻补角以及对顶角的定义解决此题．
【解答】解：A．有一条边是公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，故A不符合题意．
B．对顶角指角的两边互为反向的延长线的两个角，相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意．
C．根据对顶角的性质，得对顶角一定相等，故C符合题意．
D．等腰三角形的底角相等，但两个底角不是对顶角，故D不符合题意．
故选：C．
【变式1-1】图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用邻补角定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；
故选：B．
【变式1-2】如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：
①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2；④∠1＝∠3
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【分析】根据对顶角和邻补角的定义逐个判断即可．
【解答】解：∠1和∠2不是对顶角，故①错误；
∠1和∠2互为邻补角，故②正确；
∠1和∠2不一定相等，故③错误；
∠1＝∠3，故④正确；
故选：B．题型2：判断对顶角和邻补角
2下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】依据邻补角的定义进行判断即可．
【解答】解：A．两个角不存在公共边，故不是邻补角，故A不符合题意；
B、两个角不存在公共边，故不是邻补角，故B不符合题意；
C、两个角不存在公共边，故不是邻补角，故C不符合题意；
D、两个角是邻补角，故D符合题意．
故选：D．
【变式2-1】下列四幅图中，∠1和∠2是对顶角的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶
角，再结合具体的图形进行判断即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，
选项B中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
【变式2-2】下列说法正确的是（ ）
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．对顶角不一定相等
C．有公共顶点且相等的角是对顶角
D．对顶角相等
【分析】根据对顶角的定义和对顶角相等的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、有公共顶点的两个角是对顶角错误，例如角平分线分成的两个角，故本选项错误；
B、对顶角相等，故本选项错误；
C、有公共顶点且相等的角是对顶角错误，例如角平分线分成的两个角，故本选项错误；D、对顶角相等正确，故本选项正确．
故选：D．
【新题速递】（2022秋•道里区校级月考）下列四个图形中，∠1和∠2是对顶角的是
A. B. C. D.
【解答】解：A、两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；
B、两角没有公共顶点，两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合
题意；
C、两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向延长线，不符合题意；
D、两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对顶角的定义，属于基础题，熟练掌握对顶角的概念是解决本题的关键．
题型3：找一个角的邻补角和对顶角
3直线L ，L 被L 所截所得如图所示的5个角，其中是对顶角的一组是（ ）
1 2 3
A．∠3和∠5 B．∠3和∠4 C．∠1和∠5 D．∠1和∠4
【分析】根据对顶角的定义进行判断即可．
【解答】解：A、∠3与∠5属于是对顶角，故A符合题意；
B、∠3与∠4属于是邻补角，故B不符合题意；
C、∠1与∠5不是对顶角，故C不符合题意；
D、∠1与∠4不属于对顶角，故D不符合题意．
故选：A．
【变式3-1】下列图形中∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反
向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可求解．
【解答】解：对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有
这种位置关系的两个角．
满足条件的只有C．
故选：C．
【变式3-2】4条直线交于一点，则对顶角有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．12对
【分析】每两条直线交于一点，形成两对对顶角，4条直线交于一点，则有6条直线形成两对对顶角，
那么对顶角的个数有12对．
【解答】解：根据对顶角的定义可知：4条直线交于一点，则对顶角有12对．故选D．
【点评】本题考查对顶角的概念，两直线相交形成两对对顶角．
题型4：邻补角和对顶角相关角度求解
4如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，且∠BOC＝100°，则∠DOE为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．140°
【分析】根据邻补角、角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，且∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝80°，
又∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠EOC＝ ∠AOC＝40°，
∵∠AOD＝∠BOC＝100°，
∴∠DOE＝∠AOD+AOE＝100°+40°＝140°，
故选：D．
【变式4-1】如图，∠C＝88°＝∠D，AD与BE相交于点E，若∠DBC＝23°，则∠CAE的度数是（ ）
A．23° B．25° C．27° D．无法确定
【分析】利用三角形内角和定理可得∠CAE＝∠DBE＝23°．
【解答】解：在△ACE和△BDE中，由三角形内角和定理可知，∠CAE+∠AEC+∠C＝180°＝∠DBE+∠BED+∠D，
∵∠C＝88°＝∠D，∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE＝23°，
故选：A．
【变式4-2】如果∠A＝135°，那么∠A的邻补角的度数为 °．
【分析】根据邻补角互补求出答案即可．
【解答】解：∵∠A＝135°，
∴∠A的邻补角的度数是180°﹣135°＝45°，
故答案为：45．
【变式4-3】∠2与∠1互为邻补角，且∠2比∠1的3倍还多20°．则∠1的度数是 ．
【分析】由邻补角的定义可得∠2＝180°﹣∠1，再根据∠2比∠1的3倍还多20°列式计算可求解．
【解答】解：∵∠2与∠1互为邻补角，
∴∠2＝180°﹣∠1，
由题意得180°﹣∠1﹣3∠1＝20°，
解得∠1＝40°．
故答案为：40°．
【新题速递】（2022春•思明区校级期中）如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD=1：2，
OA平分∠EOC，求∠BOD．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD=1：2，
∴∠EOD=2∠EOC，
∵∠EOC+∠EOD=180°，
∴3∠EOC=180°，
∴∠EOC=60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=2
∠EOC=30°，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【点评】本题考查角平分线，对顶角，邻补角的概念，关键是掌握以上概念的性质．
邻补角与对顶角对比总结：
角的名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
对顶角 ①两条直线相交形成 对 顶 角 相 ①都是两条直线相 ①有无公共边；
的角； 等. 交而成的角； ② 两 直 线 相 交
②有一个公共顶点； ②都有一个公共顶 时，对顶角只有
③没有公共边. 点； 2对；邻补角有4
③都是成对出现 对.
的.
邻补角 ①两条直线相交而 邻 补 角 互
成； 补.
②有一个公共顶点；
③有一条公共边.
垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是
直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它
们的交点叫垂足．
注意：
(1)记法：直线a与b垂直，记作： ；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，
即有： CD⊥AB．
题型5：垂线的定义及性质
5下列语句中，正确的有 ( )
①一条直线的垂线只有一条；
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
③两直线相交，则交点叫垂足；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】正确的是：②④
【变式5-1】直线 外有一点P，则点P到直线 的距离是( ).
A．点P到直线 的垂线的长度.
B．点P到直线 的垂线段.
C．点P到直线 的垂线段的长度.
D．点P到直线 的垂线.
【答案】C
【新题速递】（2022 春•景县月考）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，下列条件：①∠AOD=90°；
②∠AOC=∠BOC；③∠AOC=∠BOD，其中能说明AB⊥CD的有（ ）A.① B.①或② C.①或③ D.①或②或③
【解答】解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；
②∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=∠BOC=90°，可以得出AB⊥CD；
③∠AOC=∠BOD，不能得到AB⊥CD；
故能说明AB⊥CD的有①②．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90°．
垂线的画法：过一点画已知直线的垂线（有且只有一条），可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三
角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画
直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
注意：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线
上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
题型6：垂线的唯一性及作图
6.如图所示，过点M作l ，l 的垂线，过M作AB的垂线段，标出垂足．
1 2
【分析】根据垂线的画法利用直角三角板画图即可．
【解答】解：如图所示：．
【变式6-1】如图．
①过P点画AB的垂线．
②过P点分别画OA、OB的垂线．
③过点A画BC的垂线．
【分析】分别根据垂线的定义作出即可．
【解答】解：如图所示．
题型7： 垂线及角度计算
7.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF＝56°，则∠BED的度数为（ ）
A．24° B．26° C．34° D．44°
【分析】先根据垂直的定义求出∠AEC的度数，即可得解．
【解答】解：∵EF⊥AB于E，∠CEF＝56°，∴∠AEC＝90°﹣∠CEF＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BED＝∠AEC＝34°．
故选：C．
【变式7-1】如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝34°，则∠2的大小为（ ）
A．56° B．66° C．54° D．46°
【分析】根据垂直的定义，由AC⊥BC，得∠ACB＝90°，进而解决此题．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠ACB＝180°﹣34°﹣90°＝56°．
故选：A．
【变式 7-2】如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，且∠BOD＝2∠BOC，若以点 O 为端点的射线
OE⊥CD，则∠BOE的度数为 ．
【分析】首先根据叙述作出图形，根据条件求得∠COB的度数，然后根据∠BOE＝∠COE﹣∠COB即
可求解．
【解答】解：
∵∠BOC＝ ×180°＝60°，
又∵OE⊥CD
∴∠COE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°．
当点E′在EO的延长线上时，∠BOE′＝∠COE′+∠BOC＝90°+60°＝150°
故答案是：30°或150°．
【新题速递】（2022春•如皋市期中）如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，若∠AOC：
∠BOC=1：2，求∠EOD的度数．【解答】∵∠AOC：∠BOC=1：2，
∠BOC=2∠∠AOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOD=∠AOC=60°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠EOD=∠EOB-∠BOD=30°．
【点评】本题考查角的计算，关键是掌握垂直的定义，对顶角的性质：对顶角相等．
垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
注意：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说
明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一
点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”
解决问题．
题型8：垂线段最短及应用
8.如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PM的长度 D．线段PH的长度
【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．利用垂线段最短求解即可．
【解答】解：依据垂线段最短，可得测量运动员跳远成绩选取的应是图中线段PH的长度．
故选：D．
【变式8-1】如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到
的河边，他这样做的道理是（ ）A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求解．
【解答】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的
河边，他这样做的道理是垂线段最短．
故选：D．
【变式8-2】已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 ．（各写出一对即可）
【分析】（1）根据垂线的定义，线段，射线的定义作图即可；
（2）根据垂线段最短即可求解；
（3）由互余、互补的定义解题即可．
【解答】解：（1）如图：（2）∵CD⊥AD，
∴CA＞CD；
（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAC与∠DCA互余，
∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，
∴∠ADC与∠BDC互补，
故答案为：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC．
【新题速递】（2022春•汉阴县月考）如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，使李庄的人乘火
车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．
【分析】根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知，要选垂线段．
【解答】解：为了使李庄人乘火车最方便（即距离最近），过李庄向铁路画垂线段，根据是垂线段最
短．
【点评】本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
注意：
（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
题型9：点到直线的距离应用
9如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，线段CD的长度是（ ）A．点A到BC的距离 B．点B到AC的距离
C．点C到AB的距离 D．点D到AC的距离
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．根据点到直线的距离的定义可得答
案．
【解答】解：∵CD⊥AB，垂足为D，
∴线段CD的长度是点C到AB的距离，
故选：C．
【变式9-1】如图，点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长度 B．线段CB的长度
C．线段AD的长度 D．线段CD的长度
【分析】根据点到直线距离的定义进行解答即可．
【解答】解：因为CD⊥AB，
所以点C到直线AB的距离是线段CD的长度．
故选：D．
【变式9-2】如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三
角形，其中AC⊥BC，AC＝900米，BC＝1200米，AB＝1500米．
（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．
（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．
【分析】（1）利用点到直线的距离定义分别得出答案；
（2）过点C作CD⊥AB进而得出答案．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，AC＝900米，BC＝1200米，∴小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；
（2）如图所示：CD即为小丽家到街道AB距离．
【新题速递】（2022春•东城区期中）如图，A、B、C是平面内三点．
（1）按要求作图：
①作射线BC，过点B作直线l,使A、C两点在直线l两旁；
②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ；
（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B
之间的距离为 8，点 A、C 之间的距离为 6，则 AP+PQ 的最小值为 ,依据是
.
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据线段的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①如图1所示，射线BC，直线l即为所求；
②如图1所示，线段AP，PQ即为所求；
（2）过A作AQ⊥BC交直线l于P，
则此时，AP+PQ的值最小，
∵点A到直线BC的距离为5，
∴AP+PQ的最小值为5，
依据是垂线段最短，
故答案为：5，垂线段最短．
【点评】本题考查了点到直线的 距离，直线，射线，线段的定
义，正确的作出图形是解题的关 键．
一、单选题
1．（2022·吉林模拟）如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的数
学道理是（ ）A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解析】【解答】解：∵PB⊥AD，垂足为D，
∴沿线路PB行走距离最短，其依据的数学道理是垂线段最短.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答，即可得出答案.
2．平面内，经过直线 l 外一点画 l 的垂线，能画出（ )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【解析】【解答】解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，
故答案为：A.
【分析】根据同一平面内，过一点有一条而且只有一条直线垂直于同一直线即可得出答案.
3．下列图形中， ∠1 与 ∠2 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2的两边没有都互为反向延长线，故A不是对顶角；
B、∠1与∠2的两边没有都互为反向延长线，故B不是对顶角；
C、∠1与∠2符合对顶角定义，是对顶角，故C选项符合题意；D、∠1与∠2没有公共顶点，故D不是对顶角；
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的定义对每个图形一一判断即可。
4．如图， ∠1 与 ∠2 是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠1与∠2在两条直线的内侧，在第三条直线的异侧，
∴∠1 与 ∠2 是内错角.
故答案为：B.
【分析】观察图形，∠1和∠2在两条直线之间，第三条直线的两旁，由此可得答案。
5．如图，点O是直线AB上的一点， ∠AOC=40∘ ，OM平分 ∠BOC ，则 ∠BOM 等于 (
)
A．60∘ B．65∘ C．70∘ D．75∘
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵∠AOC=40∘ ，
∴∠BOC=180∘−40∘=140∘ .
∵OM 平分 ∠BOC ，
1
∴∠BOM= ∠BOC=70∘ .
2
故答案为：C.
【分析】利用邻补角的两个角的和为180°，可求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可证
∠BOC=2∠BOM，然后代入计算可求值。
6．如图，直线AB，CD相交于点O， EO⊥AB，垂直为点O，∠BOD=50°，则 ∠COE= （ ）A．1 30° B．1 40° C．50° D．40°
【答案】B
【解析】【解答】根据对顶角相等，可由∠BOD=∠COA=50°，然后根据垂直的定义，可由EO⊥AB，
垂直为点O，得到∠AOE=90°，因此可得到∠COE=140°.
故答案为：B.
【分析】因为∠BOD与∠AOC是对顶角，所以相等，又因为EO⊥AB，所以∠AOE=90°，所以
∠COE=140°.
二、填空题
7．如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线
上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是 ．
【答案】垂线段最短
【解析】【解答】解：如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角
板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短
【分析】利用点到直线的距离中垂线段最短判断即可．
8．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE是 度．【答案】135
【解析】【解答】由常用的三角板的特点可得，△EBD为等腰直角三角形，∠BDE=45°，
∠ADE=180°-45°=135°
故答案为：135
【分析】本题依据常用的三角板的特点及邻补角，内容简单。
9．如图，已知O是直线AB上一点，∠1=20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是 度．
【答案】80
【解析】【解答】解：如图，∵∠1=20°，∠1+∠BOC=180°，
∴∠BOC=160°．
又∵OD平分∠BOC，
1
∴∠2= ∠BOC=80°；
2
故填：80．
1
【分析】首先根据邻补角的定义得到∠BOC=160°；然后由角平分线的定义求得∠2= ∠BOC．
2
10．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC=
度，∠COB= 度．
【答案】52；128
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，又∠EOD=38°，
∴∠DOB=90°﹣38°=52°，
∵∠AOC=∠DOB，
∴∠AOC=52°，
∵∠COB与∠AOC互补，
∴∠COB=180°﹣52°=128°．
故答案为：52；128．
【分析】根据垂直的定义得出∠EOB=90°，根据角的和差得出∠DOB=90°﹣38°=52°，根据对顶角相
等得出∠AOC=∠DOB=52°，根据邻补角相等得出∠COB的度数。
三、作图题
11．如图，已知直线l，点A是直线l外一点，用尺规作l的垂线，使它经过点A（请保留作图痕迹，
不写做法）。
【答案】解：如图，直线AB即为所求．
【解析】【分析】根据过直线外一点作一直线的垂线的方法，进行分析利用尺规作图．
四、解答题
12．如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，若∠3＝3∠2、∠2＝2∠1，求∠1、∠2、∠3的度数.
【答案】解：由图可知∠FOD＝∠2，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∵∠3＝3∠2，∠2＝2∠1，
∴可得：∠1＝20°，∠2＝40°，∠3＝120°.
【解析】【分析】利用对顶角相等得 ∠FOD＝∠2 ，再利用平角的定义，列方程计算解答.
13．（2017七下·寮步期中）如图直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠EOD =32° ，求
∠AOC和∠COB的度数。
【答案】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∵∠EOD=32°，
∴∠BOD=∠BOE-∠EOD=90°- 32°=58°，
∴∠AOC=∠BOD=52°（对顶角相等），
∠COB=180°-∠BOD=180°- 58°=122°．
【解析】【分析】因为EO⊥AB，可知∠EOD与∠BOD 互余，所以∠BOD=58°，又因为对顶角相等，
可知∠AOC=58°，再用邻补角或对顶角的性质，可知∠COB的度数.
五、综合题
14．（2022七下·潢川期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；
1
（2）若∠1= ∠BOC，求∠BOD的度数.
4
【答案】（1）解：ON⊥CD.理由如下：
∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠BOM=90°，
∴∠1+∠AOC=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，
∴ON⊥CD.
1
（2）解：∵∠1= ∠BOC，
4
∴∠BOM=3∠1=90°，
解得：∠1=30°，
∴∠BOD=90°−30°=60°.
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可推出∠2+∠AOC=∠1+∠AOC=90°，即得∠CON=90°，继而得
解；
1
（2） 由∠1= ∠BOC可得∠BOM=3∠1=90°，从而求出∠1的度数，利用∠BOD=90°-∠1即可求
4
解.
15．如图，直线AB、CD相交于O点，OM⊥AB；
（1）若∠1=∠2，求∠NOD；
1
（2）若∠1= ∠BOC，求∠AOC与∠MOD.
4
【答案】（1）∵OM⊥AB
∴∠AOM=90°
∴∠1＋∠AOC=90°
∵∠1=∠2
∴∠2＋∠AOC=90°
∴∠CON=90°∴∠NOD=180°－∠CON=90°
（2）∵OM⊥AB
∴∠AOM=∠BOM=90°
1
∵∠1= ∠BOC
4
1
∴∠1= ∠BOM=30°
3
∴∠AOC=∠AOM－∠1=60°
∴∠MOD=180°－∠1=150°
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠AOM=90°，从而得出∠1＋∠AOC=90°，然后利用等量
代换可得∠2＋∠AOC=90°，从而求出结论；（2）根据垂直的定义可得∠AOM=∠BOM=90°，然后结
合已知条件即可求出∠1，然后从而求出结论.
