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一、单项选择题
1．(2023·黔西模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，
则t等于( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
3．(2023·大同模拟)平面向量a与b互相垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的
夹角是钝角，则b等于( )
A．(－3，－4) B．(4,3)
C．(－4,3) D．(－4，－3)
4．已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影的数
量为( )
A. B．－ C．－ D.
5．(2023·泰州模拟)已知平面单位向量a，b，c满足〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝，则|
3a＋2b＋c|等于( )
A．0 B．1 C. D.
6．(2023·佛山模拟)在△ABC中，设|AC|2－|AB|2＝2AM·(AC－AB)，那么动点M的轨迹必通
过△ABC的( )
A．垂心 B．内心
C．重心 D．外心
二、多项选择题
7．(2024·亳州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的可能取值
是( )
A．－2 B．2 C．4 D．8
8．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，
则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b上的投影的数量为
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
三、填空题9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝________.
10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被 3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个
秤盘中放入重量为60 N的物品，在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码，天平平衡.3根细绳
通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F ，F ，F )，若3根细绳两两之间的夹角均为，不
1 2 3
考虑秤盘和细绳本身的重量，则F 的大小为________ N.
1
11．(2024·抚州模拟)定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝
5，a·b＝－8，则|a×b|等于________．
12．(2023·西安模拟)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，其外接圆的圆心为O，则AO·BC＝
________.
四、解答题
13．(2023·白银模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|＝2|DC|＝2，∠BAD＝，E
是BC边的中点．
(1)试用AB，AD表示AE，BC；
(2)求DB·AE的值．
14．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点
B的三等分点，AF与DE交于点M.
(1)求∠EMF的余弦值；
(2)设AM＝λAF，求λ的值及点M的坐标．15．(2024·永州模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术
之一．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图 2所示其外框是边长为2
的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O
上运动，则PE·OE的最小值为( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
16．(2023·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝9，AM和AN分别是
BC边上的高和中线，则MN·BC等于( )
A．14 B．15 C．16 D．17
